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  哈尔滨工程大学学报  2019, Vol. 40 Issue (12): 1958-1964  DOI: 10.11990/jheu.201808025
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引用本文  

梁国龙, 田蕴琦, 付进, 等. 基于均匀圆阵中心对称性的相干源方位估计[J]. 哈尔滨工程大学学报, 2019, 40(12): 1958-1964. DOI: 10.11990/jheu.201808025.
LIANG Guolong, TIAN Yunqi, FU Jin, et al. Direction estimation of coherent signals based on the central symmetry of uniform circular array[J]. Journal of Harbin Engineering University, 2019, 40(12): 1958-1964. DOI: 10.11990/jheu.201808025.

基金项目

国家重点研发计划(2017YFC0306900);黑龙江省归国人员科学基金项目(JJ2016LX0051);青岛海洋科学与技术国家实验室开放基金项目(QNLM2016ORP0102);技术基础科研基金项目(JSJL2016604B003)

通信作者

付进, E-mail:fujin@hrbeu.edu.cn

作者简介

梁国龙, 男, 教授, 博士生导师;
付进, 女, 教授, 博士生导师

文章历史

收稿日期:2018-08-10
网络出版日期:2019-06-25
基于均匀圆阵中心对称性的相干源方位估计
梁国龙 1,2,3, 田蕴琦 1,2, 付进 1,2,3, 邹男 1,2,3     
1. 哈尔滨工程大学 水声技术重点实验室, 黑龙江 哈尔滨 150001;
2. 哈尔滨工程大学 水声工程学院, 黑龙江 哈尔滨 150001;
3. 青岛海纳水下信息技术有限公司, 山东 青岛 266500
摘要:均匀圆阵的相干源方位估计一直是阵列信号处理中备受关注的问题,而现行算法的分辨率仍有进一步提高的空间。针对这一问题,本文提出了一种基于均匀圆阵中心对称性的解相干算法。首先利用模式空间变换将均匀圆阵等效为虚拟均匀线阵,然后利用均匀圆阵的中心对称性对模式空间数据进行共轭平均,最后计算数据的相关函数并据此构造Hermitian Toeplitz矩阵,实现相干源的方位估计。本算法实现简单,与传统算法相比具有更高的分辨率和方位估计精度。仿真实验证实了所提算法的有效性和性能优势。
关键词均匀圆阵    相干源    中心对称性    模式空间    Hermitian Toeplitz矩阵    方位估计    
Direction estimation of coherent signals based on the central symmetry of uniform circular array
LIANG Guolong 1,2,3, TIAN Yunqi 1,2, FU Jin 1,2,3, ZOU Nan 1,2,3     
1. Acoustic Science and Technology Laboratory, Harbin Engineering University, Harbin 150001, China;
2. College of Underwater Acoustic Engineering, Harbin Engineering University, Harbin 150001, China;
3. Qingdao Haina Underwater Information Technology Limited Company, Qingdao 266500, China
Abstract: The direction estimation of coherent signals on uniform circular array (UCA) has always been an important topic in the array signal processing, and the resolution of existing algorithms can be further improved. A decoherence algorithm based on the central symmetry of UCA is proposed to solve this problem. First, the UCA equivalent to a virtual uniform linear array is obtained using the mode space transformation. Then, the mode space data are averaged by utilizing the central symmetry of UCA. Finally, the correlation function of the data is calculated, and the result is used to reconstruct a Hermitian Toeplitz matrix, realizing the direction estimation of coherent signals. The proposed method is simple and features a higher precision than the conventional algorithms. Simulations prove the effectiveness and superior performance of the proposed algorithm.
Keywords: UCA    coherent signals    centrosymmetry    mode space    Hermitian Toeplitz matrix    direction estimation    

阵列处理技术在移动通信、雷达、声呐等领域有着广泛的应用[1-3]。实际水声环境中存在大量的相干信号,例如海底、海面反射产生的多途信号,主动探测中多个目标的回波信号,以及声干扰器、声诱饵等人为干扰信号。相干信号子空间与噪声子空间的不完全正交会导致MUSIC、ESPRIT等经典的信号子空间类算法性能严重下降[4-5],因此相干源的波达方向(direction of arrival, DOA)估计逐渐成为水声阵列信号处理领域的热点问题。与均匀线阵(uniform linear array, ULA)相比,均匀圆阵(uniform circular array, UCA)具有以下优点:UCA可以提供360°无模糊的方位信息,在各个方位具有近似相同的估计精度和分辨力;UCA作为平面阵列能够进行二维DOA估计[6]。然而,UCA的阵列流形不具有ULA的Vandermonde结构[7],因此空间平滑算法[8-9]、矩阵重构算法[10]等众多ULA的解相干算法无法直接应用到UCA上。为此,Griffiths提出了基于相位模式激励的UCA方向图合成技术[11],可以通过模式空间变换将圆阵的阵列流形变换成具有Vandermonde结构的矩阵,给解决UCA的相干源DOA估计问题提供了新思路。在此基础上,文献[12-13]将空间平滑技术应用于UCA,提出了模式空间平滑(mode spatial smoothing, MODESS)和模式空间前后向空间平滑(mode forward-backward spatial smoothing, MODEFBSS);但是此类算法存在计算量大、平滑次数不易确定的问题。之后,ULA的矩阵重构算法被应用到UCA上,一种无需平滑的模式空间Toeplitz矩阵重构算法(mode Toeplitz, MODETOEP)[14-15]能够实现信号协方差矩阵的对角化,具有较低的信噪比(signal-to-noise ratio, SNR)门限;但是MODETOEP没有充分利用UCA的对称性,具有改进的空间。受上述文献启发,本文提出了一种基于UCA中心对称性的相干源DOA估计方法。

1 UCA阵列信号模型

对于一个半径为R的UCA,M个各向同性的阵元均匀分布在圆周上,N个远场窄带实信号入射到阵列上,快拍数为L。如图 1所示,用球坐标系描述信号的来波方向,以圆心O为参考点,方位角θ表示入射信号在xy平面的投影与x轴沿顺时针方向的夹角,俯仰角φ表示入射信号与xy平面之间的夹角,因此有$\theta \in [0, 2\pi ], \varphi \in [0, \pi /2]$信号的方向向量$\mathit{\boldsymbol{r}} = [\cos \varphi \cos \theta - \cos \varphi \sin \theta \;\;\;{\kern 1pt} \sin \varphi ]$m号阵元与x轴的夹角为θm=2πm/M,阵元坐标可以表示pm=(Rcosθm, -Rsin θm, 0),m号阵元的接收信号si(t), (i=1, 2, …, N)相对于参考点的时延和相移分别为:

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图 1 均匀圆阵模型 Fig. 1 Uniform circular array model
$ {\tau _{mi}} = \frac{R}{c}\cos \left( {{\theta _i} - {\theta _m}} \right)\cos {\varphi _i} $ (1)
$ {\phi _{mi}} = \frac{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}R}}{\lambda }\cos \left( {{\theta _i} - {\theta _m}} \right)\cos {\varphi _i} $ (2)

由此可得信号的导向矢量:

$ \mathit{\boldsymbol{a}}\left( {{\theta _i},{\varphi _i}} \right) = {\left[ {\exp \left( { - {\rm{j}}{\phi _{0i}}} \right)\quad \cdots \quad \exp \left( { - {\rm{j}}{\phi _{\left( {M - 1} \right)i}}} \right)} \right]^{\rm{T}}} $ (3)

本文只讨论所有信源都在UCA平面上的情况,即俯仰角$\varphi = 0, \mathit{\boldsymbol{a}}\left( {{\theta _i}, {\varphi _i}} \right) = \mathit{\boldsymbol{a}}\left( {{\theta _i}} \right)$。假设各阵元接收噪声nm(t)为与信号独立的加性高斯白噪声,均值为0,方差为σn2。则t时刻m号阵元上的接收数据为:

$ {x_m}\left( t \right) = \sum\limits_{i = 1}^N {\exp } \left( { - {\rm{j}}\beta \cos \left( {{\theta _i} - {\theta _m}} \right)} \right){s_i}\left( t \right) + {n_m}\left( t \right) $ (4)

式中β=2πR/λ。则阵列接收信号可以表示成:

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\mathit{\boldsymbol{X}}\left( t \right) = \mathit{\boldsymbol{A}}\left( \theta \right)\mathit{\boldsymbol{S}}\left( t \right) + \mathit{\boldsymbol{N}}\left( t \right) = }\\ {{{\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x_0}(t)}&{{x_1}(t)}& \cdots &{{x_{M - 1}}(t)} \end{array}} \right]}^{\rm{T}}}} \end{array} $ (5)

式中:$\mathit{\boldsymbol{N}}(t) = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {{n_0}(t)}&{{n_1}(t)}& \cdots &{{{\left. {{n_{M - 1}}(t)} \right]}^{\rm{T}}}} \end{array}} \right.$为噪声矢量;$\mathit{\boldsymbol{S}}(t) = {\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {{s_1}(t)}&{{s_2}(t)}& \cdots &{{s_N}(t)} \end{array}} \right]^{\rm{T}}}$为入射信号矢量;$\mathit{\boldsymbol{A}}(\mathit{{\theta }}) = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\mathit{\boldsymbol{a}}\left( {{\theta _1}} \right)}&{\mathit{\boldsymbol{a}}\left( {{\mathit{{\theta }}_\mathit{\boldsymbol{2}}}} \right)}& \cdots &{\mathit{\boldsymbol{a}}\left( {{\theta _N}} \right)} \end{array}} \right]$为UCA对信号的M×N阶阵列流形矩阵。

2 基于UCA中心对称性的相干源DOA估计算法

本文提出的解相干算法,首先采用模式空间变换算法将UCA转变为虚拟均匀线阵(virtual uniform linear array, VULA),使其阵列流形具有易于处理的Vandermonde结构,然后利用UCA模式空间阵列流形的中心对称性对数据进行共轭平均处理,并计算相关函数;最后重构一个Hermitian Toeplitz矩阵以实现信号协方差矩阵的对角化,达到解相干的目的。

2.1 模式空间变换

图 2表示VULA的阵列模型,d表示VULA的阵元间距,K为UCA可激励的模式数。VULA的输出数据Y(t)由原阵列接收数据乘以转换矩阵 T 得到:

Download:
图 2 虚拟均匀线阵模型 Fig. 2 Virtual uniform linear array model
$ \mathit{\boldsymbol{Y}}\left( t \right) = \mathit{\boldsymbol{TX}}\left( t \right) = {\mathit{\boldsymbol{A}}_v}\left( \theta \right)\mathit{\boldsymbol{S}}\left( t \right) + \mathit{\boldsymbol{TN}}\left( t \right) $ (6)
$ {y_k}\left( t \right) = \sum\limits_{i = 1}^N {{s_i}} \left( t \right)\exp \left( {{\rm{j}}k{\theta _i}} \right) + {{\tilde n}_k}\left( t \right) $ (7)

式中k=-K, -K+1, …, K

UCA可激励的最大模式数${K_{\max }} = \left\lfloor \beta \right\rfloor $, 且满足$2{K_{\max }} < M, \left\lfloor \cdot \right\rfloor $表示向下取整。当KKmax时,转换后的VULA具有最大的阵列孔径。根据文献[16],转换矩阵 T 的计算公式为:

$ \mathit{\boldsymbol{T}} = {\mathit{\boldsymbol{J}}^{ - 1}}\mathit{\boldsymbol{F}}/M $ (8)

式中:F 是空间离散傅里叶变换的子矩阵;J 是由k阶的第1类Bessel函数Jk(·)构成的对角阵:

$ \mathit{\boldsymbol{F}} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {{\mathit{\boldsymbol{w}}_{ - K}}}&{{\mathit{\boldsymbol{w}}_{ - K + 1}}}& \cdots &{{\mathit{\boldsymbol{w}}_K}} \end{array}} \right]^{\rm{H}}} $ (9)
$ {\mathit{\boldsymbol{w}}_K} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{\exp \left( {\frac{{ - {\rm{j}}2{\rm{ \mathsf{ π} }}k}}{M}} \right)}& \cdots &{\exp \left( {\frac{{ - {\rm{j}}2{\rm{ \mathsf{ π} }}k\left( {M - 1} \right)}}{M}} \right)} \end{array}} \right]^{\rm{T}}} $ (10)
$ \begin{array}{*{20}{c}} {J = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{j^{ - K}}{J_{ - K}}\left( { - \beta } \right)}&{}&{}\\ {}& \ddots &{}\\ {}&{}&{{j^K}{{\rm{J}}_K}\left( { - \beta } \right)} \end{array}} \right] = }\\ {{\rm diag}\left( {{j^k}{J_k}\left( { - \beta } \right)} \right)} \end{array} $ (11)

转换后的虚拟阵列流形为:

$ {\mathit{\boldsymbol{A}}_v}\left( \theta \right) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\exp \left( { - {\rm{j}}K{\theta _1}} \right)}& \cdots &{\exp \left( { - {\rm{j}}K{\theta _N}} \right)}\\ \vdots &{}& \vdots \\ {\exp \left( {{\rm{j}}K{\theta _1}} \right)}& \cdots &{\exp \left( {{\rm{j}}K{\theta _N}} \right)} \end{array}} \right] $ (12)

可以看出,(2K+1)×(2K+1)阶矩阵Av(θ)具有与ULA阵列流形相同的Vandermonde结构。模式空间数据相关矩阵为:

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{\mathit{\boldsymbol{R}}_Y} = {\rm{E}}\left[ {\mathit{\boldsymbol{Y}}\left( t \right){\mathit{\boldsymbol{Y}}^{\rm{H}}}\left( t \right)} \right] = {\mathit{\boldsymbol{A}}_v}\left( \theta \right){\rm{E}}\left[ {\mathit{\boldsymbol{S}}\left( t \right){\mathit{\boldsymbol{S}}^{\rm{H}}}\left( t \right)} \right]\mathit{\boldsymbol{A}}_v^{\rm{H}}\left( \theta \right) + }\\ {{\rm{E}}\left[ {\mathit{\boldsymbol{TN}}\left( t \right){\mathit{\boldsymbol{N}}^{\rm{H}}}\left( t \right){\mathit{\boldsymbol{T}}^{\rm{H}}}} \right] = {\mathit{\boldsymbol{A}}_v}\left( \theta \right){\mathit{\boldsymbol{R}}_S}\mathit{\boldsymbol{A}}_v^{\rm{H}}\left( \theta \right) + {{\mathit{\boldsymbol{\tilde R}}}_n}} \end{array} $ (13)

式中:

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{{\mathit{\boldsymbol{\tilde R}}}_n} = \mathit{\boldsymbol{\sigma }}_n^2\mathit{\boldsymbol{T}}{\mathit{\boldsymbol{T}}^{\rm{H}}} = }\\ {\frac{{\sigma _n^2}}{M}{\rm diag}\left( {\frac{1}{{J_K^2\left( \beta \right)}},\frac{1}{{J_{K - 1}^2\left( \beta \right)}}, \cdots ,\frac{1}{{J_K^2\left( \beta \right)}}} \right)} \end{array} $ (14)

因此,经过转换矩阵T实现了从原阵元空间中的UCA到模式空间中的ULA的转换,为在Y(t)的基础上进行解相干提供了可能。

2.2 利用中心对称性的解相干矩阵重构

经典的MODEFBSS算法受信噪比影响较大,在低信噪比下性能远不如MODETOEP;而MODETOEP算法中重构的矩阵为Toeplitz矩阵,不具有理想独立信源协方差矩阵的复共轭对称性质。本文算法利用UCA的中心对称性,对模式空间数据进行共轭平均处理,并构造与理想独立信源协方差矩阵具有相同性质的Hermitian Toeplitz矩阵,因此可以有效提高算法在低信噪比下的解相干能力和DOA估计精度。

用[RY]p, q表示RY中第p行第q列的元素,σsi2表示第i个信源的功率,σyn2为模式空间的噪声功率。当入射信号为理想情况下的独立信号时,有式(15)成立,其中rY(·)表示不同阵元接收数据间的相关函数。

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{{\left[ {{\mathit{\boldsymbol{R}}_Y}} \right]}_{p,q}} = {\rm{E}}\left[ {{y_p}\left( t \right)y_q^{\rm{H}}\left( t \right)} \right] = {r_Y}\left( {p - q} \right) = }\\ {\sum\limits_{i = 1}^N {\sigma _{si}^2} \exp \left( {{\rm{j}}(p - q){\theta _i}} \right) + \sigma _n^2{\delta _{p,q}}/M = }\\ {r_Y^*(q - p) = \left[ {{\mathit{\boldsymbol{R}}_Y}} \right]_{q,p}^*} \end{array} $ (15)
$ {\delta _{p,q}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {1,}&{p = q}\\ {0,}&{p \ne q} \end{array}} \right. $ (16)

rY(·)来表示模式空间数据的相关矩阵 RY

$ {\mathit{\boldsymbol{R}}_Y} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{r_Y}(0)}&{{r_Y}( - 1)}& \cdots &{{r_Y}( - 2K)}\\ {{r_Y}(1)}&{{r_Y}(0)}& \cdots &{{r_Y}(1 - 2K)}\\ \vdots & \vdots &{}& \vdots \\ {{r_Y}(2K)}&{{r_Y}(2K - 1)}& \cdots &{{r_Y}(0)} \end{array}} \right] $ (17)

可见,独立信号源的协方差矩阵任意一个对角线上的元素取相同值,且矩阵中的元素满足复共轭对称关系,即为Hermitian Toeplitz矩阵。在实际阵列信号处理中,受到系统误差以及信源相干性的影响,RY一般只是对角占优的矩阵,而不是Hermitian Toeplitz矩阵。

由UCA的中心对称性可知:

$ {\mathit{\boldsymbol{A}}_v}(\theta ) = {\mathit{\boldsymbol{B}}_{2K + 1}}\mathit{\boldsymbol{A}}_v^*(\theta ) $ (18)

式中:B为副对角线上元素全为1,其他元素全为0的置换矩阵。UCA在模式空间的阵列流形具有对称性,因此可以将中心阵元(0号阵元)一侧的阵列数据进行共轭重排后与另一侧阵元的数据进行平均。中心阵元右侧的接收数据${\mathit{\boldsymbol{Y}}_r}\left( t \right) = {\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {{y_0}(t)}& \cdots &{{y_K}(t)} \end{array}} \right]^{\rm{T}}}$, 即Yr(t)为k=0, 1,…, K的模式空间接收数据组合。对于中心阵元左侧的模式空间阵列接收数据$\mathit{\boldsymbol{Y}}(t) = {\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {{y_{ - K}}(t)}& \cdots &{{y_0}(t)} \end{array}} \right]^ \top }$,按照式(19)进行倒序排列:

$ {\mathit{\boldsymbol{Y}}_l}(t) = {\mathit{\boldsymbol{B}}_{K + 1}}{\mathit{\boldsymbol{Y}}^*}(t) = {\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {y_0^*(t)}& \cdots &{y_{ - K}^*(t)} \end{array}} \right]^{\rm{T}}} $ (19)

对处理后的2部分接收数据进行平均,由于实际中的发射信号和噪声均为实信号,单个阵元上的接收数据可以表示为:

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{z_k}(t) = \left( {{y_k}(t) + y_{ - k}^*(t)} \right)/2 = }\\ {\left( {\sum\limits_{i = 1}^N {{s_i}} (t)\exp \left( {{\rm{j}}k{\theta _i}} \right) + {{\tilde n}_k}(t) + } \right.}\\ {\left. {\sum\limits_{i = 1}^N {s_i^*} (t)\exp \left( {{\rm{j}}k{\theta _i}} \right) + \tilde n_{ - k}^*(t)} \right)/2 = }\\ {\sum\limits_{i = 1}^N {{s_i}} (t)\exp \left( {{\rm{j}}k{\theta _i}} \right) + \left( {{{\tilde n}_k}(t) + {{\tilde n}_{ - k}}(t)} \right)/2} \end{array} $ (20)

比较式(7)和式(20),可以看出信号部分没有变化,随机噪声被平均。当k≠0时,因为不同阵元上接收的噪声是不相关的,所以噪声功率减半。将处理后的数据表示为式(21)中的矢量形式,式(22)为新的阵列流形矩阵,可见共轭平均处理损失了一半的阵列孔径,阵元个数减少到K+1个。

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\mathit{\boldsymbol{Z}}(t) = \left( {{\mathit{\boldsymbol{Y}}_r}(t) + {\mathit{\boldsymbol{Y}}_l}(t)} \right)/2 = }\\ {{{\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {{z_0}(t)}&{{z_1}(t)}& \cdots &{{z_K}(t)} \end{array}} \right]}^{\rm{T}}} = }\\ {{{\mathit{\boldsymbol{\bar A}}}_v}(\theta )\mathit{\boldsymbol{S}}(t) + {\mathit{\boldsymbol{N}}_z}(t)} \end{array} $ (21)
$ {{\mathit{\boldsymbol{\bar A}}}_v}(\theta ) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1& \cdots &1\\ \vdots &{}& \vdots \\ {\exp \left( {{\rm{j}}K{\theta _1}} \right)}& \cdots &{\exp \left( {{\rm{j}}K{\theta _N}} \right)} \end{array}} \right] $ (22)

定义以下相关函数表示各阵元接收数据与中心阵元的相关性:

$ \begin{array}{*{20}{c}} {r(k) = {\rm{E}}\left[ {{\mathit{\boldsymbol{z}}_0}(t)\mathit{\boldsymbol{z}}_k^{\rm{H}}(t)} \right] = \sum\limits_{i = 1}^N {{d_i}} \exp \left( { - {\rm{j}}k{\theta _i}} \right) + }\\ {\sigma _n^2{\delta _{0,k}}/M} \end{array} $ (23)

式中:di表示第i个信号与所有信号的互相关之和:

$ {d_i} = \sum\limits_{l = 1}^N {\rm{E}} \left[ {{\mathit{\boldsymbol{s}}_i}(t)\mathit{\boldsymbol{s}}_l^{\rm{H}}(t)} \right]\;\;\;\;i = 1,2, \cdots ,N $ (24)

比较式(15)和式(23)可以看出,相关函数r(k)具有与rY(k)相似的结构,同样包含了所有信号的入射角信息。

利用式(23)可以得到K+1个相关值,构造如下Hermitian Toeplitz矩阵,式中IK+1表示单位阵:

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{\mathit{\boldsymbol{R}}_{{\rm{HT}}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {r(0)}&{r(1)}& \cdots &{r(K)}\\ {{r^*}(1)}&{r(0)}& \cdots &{r(K - 1)}\\ \vdots & \vdots &{}& \vdots \\ {{r^*}(K)}&{{r^*}(K - 1)}& \cdots &{r(0)} \end{array}} \right] = }\\ {\overline {{\mathit{\boldsymbol{A}}_v}} \mathit{\boldsymbol{D}}\overline {\mathit{\boldsymbol{A}}_v^{\rm{H}}} + \frac{{\sigma _n^2}}{M}{\mathit{\boldsymbol{I}}_{K + 1}}} \end{array} $ (25)

式中

$ \mathit{\boldsymbol{D}} = diag\left( {{d_1},{d_2}, \cdots ,{d_N}} \right) $ (26)

RHT与理论上独立信源协方差矩阵具有相同的复共轭对称性质,可以用其代替数据协方差矩阵进行特征分解。RHT由对角阵D和Vandermonde矩阵相乘得到,因此秩数rank(RHT)=min(N, K+1)。只要K+1>N,且信号方位角各不相同,重构的协方差矩阵的秩数就等于信号源数,可对信号子空间与噪声子空间做出正确的估计,解决了高分辨算法在信号相干时性能严重下降的问题。

RHT进行广义特征值分解,得到信号子空间US和噪声子空间UN后,按照式(27)所示的MUSIC谱峰搜索公式便可以得到相干源DOA估计结果,搜索矢量${\mathit{\boldsymbol{\bar a}}_v}(\theta ) = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} 1&{\exp ({\rm{j}}\theta )}& \cdots &{\exp ({\rm{j}}K\theta )} \end{array}} \right]$

$ {P_{{\rm{MUSIC}}}}(\theta ) = 1/\left( {\mathit{\boldsymbol{\bar a}}_v^{\rm{H}}(\theta ){\mathit{\boldsymbol{U}}_N}\mathit{\boldsymbol{U}}_N^{\rm{H}}{{\mathit{\boldsymbol{\bar a}}}_v}(\theta )} \right) $ (27)
2.3 算法流程及计算量分析

基于以上分析,本文算法的具体流程可以归纳为4步:1)利用式(8)~(11)求模式空间转换矩阵T,由式(6)将UCA接收数据X (t)变换为模式空间数据Y(t);2)利用式(22)求共轭平均后的数据Z(t);3)根据式(23)计算Z(t)的相关函数r(k),利用式(25)重构Hermitian Toeplitz矩阵RHT;4)对RHT进行特征分解,由式(27)得到DOA估计结果。

UCA解相干算法的主要计算量集中在模式空间变换、解相干矩阵构造和对矩阵进行特征分解上。根据上文中的算法流程,由于模式激励法的变换矩阵可以离线计算,本文算法在模式变换时的计算复杂度为O((2K+1)2L);忽略求和与平均运算,求相关函数时的计算复杂度为O((K+1)L);特征分解的计算复杂度为O((K+1)3)。所以本文算法的计算复杂度为O((2K+1)2L+(K+1)L+(K+1)3)。当MODEFBSS算法的平滑次数为(K+1)时,解相干处理矩阵的阶数与本文算法相同,计算复杂度为O((2K+1)2L+(K+1)3L+(K+1)3),MODETOEP的计算量为O((2K+1)2L+(2K+1)L+ (K+1)3)。因此,本文算法的计算量略小于以上2种算法。

3 仿真验证

为验证本文算法的有效性,并与MODETOEP和MODEFBSS进行性能比较,本文设计了仿真实验。实验中UCA的阵元间隔为半波长,阵元数为21,2个远场窄带信号的相关系数为1,中心频率为30 kHz,默认的快拍数为600,SNR为0 dB。

3.1 分辨率

图 3为本文算法、MODETOEP、MODEFBSS以及MUSIC算法在3种情况下的空间谱估计结果。由图 3(a)可知,信号源相干时MUSIC算法已经失效,无法得到可靠的DOA估计结果;本文算法可以成功地估计相干源的方向,仿真结果验证了算法的有效性;其他2种算法也可以成功分辨相干源,但本文算法得到的谱峰最尖锐明显,对噪声的抑制能力最强,分辨率最高。在图 3(b)中,随着SNR下降到-10 dB,3种算法的分辨率均有所降低,MODEFBSS性能下降最为严重。在图 3(c)中,信号入射角度间隔从25°减小到15°,MODEFBSS无法分辨2个相干信源,本文算法和MODETOEP仍然有效。综上所述,在相同的仿真条件下,本文算法的分辨率高于MODETOEP和MODEFBSS。

Download:
图 3 空间谱曲线 Fig. 3 Normalized spatial spectrum
3.2 解相干能力

算法的解相干能力可以用分辨概率来衡量,分辨概率表示算法成功分辨出2个相干信号的概率,当所有DOA估计结果的偏差都在允许范围内,认为是一次成功的解相干。一个信号从-10°方向入射,改变另一个信号的入射角,偏差门限取角度间隔的一半,进行300次蒙特卡洛独立实验,比较3种算法的分辨概率,结果如图 4(a)所示。随着角度间隔的增大,MODETOEP、MODEFBSS和本文算法分辨相干信源的成功概率均逐渐增加至1;当分辨概率大于0.9时,本文算法对应的角度间隔为12°,MODETOEP为14°,MODEFBSS为18°,因此本文算法对角度间隔的要求最低。

Download:
图 4 相干信号的分辨概率 Fig. 4 Success probability of coherent signals

相干信号分别从-10°和15°入射,偏差门限取2°,改变SNR进行300次蒙特卡洛实验,结果如图 4(b)所示。随着SNR的增加,3种算法的分辨概率逐渐增加;当SNR为-9 dB时,本文算法的分辨概率为1,MODETOEP的分辨概率为0.98,MODEFBSS分辨概率为0.18;在-5 dB信噪比以下,本文算法的解相干能力显著优于MODEFBSS,略优于MODETOEP。

当SNR取0 dB,偏差门限为1°时,快拍数从10变化到560,分辨概率随快拍数变化情况如图 4(c)所示。此种仿真条件下,相同快拍数时MODEFBSS的分辨概率最小,本文算法的分辨概率大于另外2种算法。

3.3 DOA估计精度

本文利用均方根误差(root mean square error, RMSE)衡量算法的DOA估计精度,具体计算过程:

$ {\rm RMSE} = \sqrt {\frac{1}{{{N_{{\rm{sig}}}}{N_{{\rm{det}}}}}}\sum\limits_{i = 1}^{{N_{{\rm{sig}}}}} {\sum\limits_{j = 1}^{{N_{{\rm{det}}}}} {{{\left( {{{\bar \theta }_{ij}} - {\theta _i}} \right)}^2}} } } $ (28)

式中:Nsig表示实验中已知的信号个数;Ndet表示成功分辨出2个相干信号的次数。在分辨概率都达到0.8以上时,比较3.2节中3种算法DOA估计的RMSE。

图 5 DOA估计结果可以看出,随着角度间隔、SNR和快拍数的增加,3种算法的RMSE均逐渐减小,DOA估计精度逐渐提高;在相同仿真条件下时,本文方法DOA估计的RMSE比MODEFBSS和MODETOEP小,即估计精度更高。

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图 5 DOA估计的RMSE Fig. 5 Root mean square error of estimation
3.4 算法稳健性

以上仿真结果都是在理想阵列模型下得到的,而在实际中阵列幅相误差是普遍存在的,这就对算法的稳健性提出了考验。幅相误差对阵列流形矩阵中元素的幅度和相位产生扰动,用ukϑk分别表示阵元k的幅度误差和相位误差,仿真实验中依式(29)获得[17]

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{u_k} = 1 + \sqrt {12} {a_k}{\sigma _u}}\\ {{\vartheta _k} = \sqrt {12} {b_k}{\sigma _\vartheta }} \end{array}} \right. $ (29)

式中:akbk是在[-0.5, 0.5]内均匀分布的随机数,σuσϑ分别表示umϑm的标准差。信号从-10°和15°入射,改变σu,保持σϑ等于0;改变σϑ,保持σu等于0。分别进行500次随机实验,结果如图 6所示。可见,随着幅度误差和相位误差的增大,3种算法的相干源分辨概率均逐渐减小;本文算法的稳健性不如MODEFBSS和MODETOEP,且受相位误差的影响较大。

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图 6 分辨概率随幅相误差变化曲线 Fig. 6 Success probability versus amplitude-phase error
4 结论

1) 与空间平滑类算法相比,本文算法无需多次平滑、无需计算接收数据协方差矩阵,计算量更小;

2) 与MODETOEP相比,本文算法利用了UCA的中心对称性,解相干能力更强;

3) 本文算法能够估计相干信源的DOA,其分辨率和DOA估计精度高于MODEFBSS和MODETOEP,但幅相误差存在时的稳健性较差。

本文算法对中心对称阵列的信号处理有借鉴意义,但是本文算法依赖于预处理后的中间阵元,因此如何降低对中间阵元的依赖、充分利用其它阵元间的互相关信息,值得今后进一步研究。

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