以微电子机械传感器为核心构建的微惯性捷联惯导系统，具有自主性强、体积小、提供导航参数丰富、适应高动态载体等优势，能解决城市峡谷、山区、丛林等复杂环境的自主导航，因而成为各类军民用车载导航系统的核心导航系统^[1-2]。然而，现有的车载捷联惯导系统通常采用三轴正交安装的微机械惯性传感器敏感三维线运动和角运动，当复杂电子环境、高过载、冲击等严苛应用环境导致单个惯性器件出现故障后，整套捷联惯导系统会失效；同时，正交配置的惯性传感器，器件间没有耦合关系，致使系统故障诊断难度极大^[3]。

通过增加惯性器件数目的器件级冗余技术提升系统可靠性，较配置多套相同系统的方式能够显著降低成本、体积^[4-5]。典型四冗余方案如法国Ixblue公司应用于航天器导航的Asrtic 200四陀螺冗余惯导，但这种方案无法应对惯性传感器双故障失效状况；典型五冗余方案如Honeywell用于波音777飞机的冗余惯导方案，由5个GG1320激光陀螺构成^[6]；六冗余方案系统成本、体积加倍，安装、标定难度大^[7-8]。国内黄静雯基于系统可靠性和精度分析结果，提出了三正交两斜置的五陀螺冗余方案^[9]。

冗余式捷联惯导系统惯性传感器发生故障后，惯性传感器不再是正交配置关系，这为惯性传感器发生故障后的故障检测，以及故障隔离后的系统重构提供了极为便捷的条件^[10]。冗余式惯性导航系统的故障诊断方法中，基于解析模型的故障检测与隔离方法，能深入系统本质的动态性质和实时诊断，目前应用成熟的方法有广义似然比故障检测法^[11]、最优奇偶向量法^[12]以及奇异值分解法^[13-14]等。广义似然比方法(generalized likelihood test，GLT)检测灵敏度高、计算量小、广泛应用于工程研究的特点，对系统进行快速有效的故障检测，因而得到更广泛的应用。针对其无法隔离双故障的局限，采用基于线性预测思想的故障隔离方法解决双故障隔离的问题^[15]。

基于五陀螺冗余、故障诊断技术在提升捷联惯导系统可靠性方面的优势，设计五冗余式高可靠性车载系统导航新方法，将冗余配置和故障诊断有机结合，从而实现系统可靠性的提升。

1 五陀螺惯导系统冗余方案优化设计 1.1 冗余式惯导系统陀螺测量输出

常规捷联惯导系统陀螺沿正交坐标轴向安装，冗余式捷联惯导方案改变了惯性器件的正交编排方式，因此在优化惯导冗余方案时需要综合考虑系统可靠性、导航特性、单故障的测量性能以及工程安装便易性，优化设计性能最佳的器件测量轴空间指向角度。

如图 1所示，oz与ox、oy构成载体系下的右手直角坐标系，编号为i的斜置陀螺测量轴与z轴的夹角为α_i，ω_i在xoy面上的投影与ox轴的夹角为β_i。

由图 1可知陀螺i的输出为

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{\mathit{\boldsymbol{\omega }}_i} = {f^i}\left( {{\omega _x},{\omega _y},{\omega _z}} \right) = }\\ {f_1^i\left( {{\alpha _i},{\beta _i}} \right){\omega _x} + f_2^i\left( {{\alpha _i},{\beta _i}} \right){\omega _y} + f_3^i\left( {{\alpha _i},{\beta _i}} \right){\omega _z} = }\\ {\left( {\sin {\alpha _i}\cos {\beta _i}} \right){\omega _x} + \left( {\sin {\alpha _i}\sin {\beta _i}} \right){\omega _y} + \left( {\cos {\alpha _i}} \right){\omega _z}} \end{array} $

(1)

式中：ω_x、ω_y、ω_z分别为ox、oy、oz轴的角速率。

五陀螺冗余系统的陀螺测量输出可表示为

$ \mathit{\boldsymbol{\omega }}_{ig}^g = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\omega _1}}\\ {{\omega _2}}\\ {{\omega _3}}\\ {{\omega _4}}\\ {{\omega _5}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {f_1^1}&{f_2^1}&{f_3^1}\\ {f_1^2}&{f_2^2}&{f_3^2}\\ {f_1^3}&{f_2^3}&{f_3^3}\\ {f_1^4}&{f_2^4}&{f_3^4}\\ {f_1^5}&{f_2^5}&{f_3^5} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\omega _x}}\\ {{\omega _y}}\\ {{\omega _z}} \end{array}} \right] $

(2)

式中：ω_ig^g=[ω₁  ω₂  ω₃  ω₄  ω₅]^T为五个陀螺的测量值。

1.2 冗余式惯导方案优化设计

捷联惯导冗余方案设计是一个优化过程，大多数研究以实现系统可靠性最大化为目标对配置方案粗略优化，如图 2所示的三正交两斜置冗余方案。

斜置配置满足可靠性最大化原则，而由于冗余配置同时具备提供重复观测量的性能，因此还可在保证最大可靠性条件下，构建导航特性最优准则，优化配置结构使得测量噪声误差最小^[16]，构建如图 3所示的圆锥配置方案。五个陀螺测量轴均匀分布在圆锥面上，α₁=α₂=α₃=α₄=α₅，β₁=0°，β₂=72°，β₃=144°，β₄=216°，β₅=288°。由此可得冗余系统的陀螺测量输出为

$ \mathit{\boldsymbol{\omega }}_{ig}^g = {\mathit{\boldsymbol{H}}_b}\mathit{\boldsymbol{\omega }} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sin \alpha \cos {\beta _1}}&{\sin \alpha \sin {\beta _1}}&{\cos \alpha }\\ {\sin \alpha \cos {\beta _2}}&{\sin \alpha \sin {\beta _2}}&{\cos \alpha }\\ {\sin \alpha \cos {\beta _3}}&{\sin \alpha \sin {\beta _3}}&{\cos \alpha }\\ {\sin \alpha \cos {\beta _4}}&{\sin \alpha \sin {\beta _4}}&{\cos \alpha }\\ {\sin \alpha \cos {\beta _5}}&{\sin \alpha \sin {\beta _5}}&{\cos \alpha } \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\omega _x}}\\ {{\omega _y}}\\ {{\omega _z}} \end{array}} \right] $

(3)

式中H_b为系统配置矩阵。

依据导航特性最优准则：

$ \mathit{\boldsymbol{H}}_b^{\rm{T}}{\mathit{\boldsymbol{H}}_b} = \frac{5}{3}{\mathit{\boldsymbol{I}}_3} $

易求得圆锥方案的配置角度α=54.73°。此时圆锥方案同时满足系统可靠性最大化和导航特性最优。

由于复杂工作环境可能出现系统单故障状况，因此进一步优化冗余方案确保陀螺单故障后系统仍能够高精度测量，同时鉴于陀螺正交安装较斜置安装工艺更成熟，优化设计如图 4所示的正交锥配置方案，陀螺1、2分别安装于x坐标轴和y坐标轴。陀螺3、4、5均匀分布在半锥顶角为α的锥面上，对称设计β₃=45°，β₄=165°，β₅=285°，配置方案在xoy面的投影如图 5所示。

参考式(3)，可得陀螺测量输出为

$ \mathit{\boldsymbol{\omega }}_{ig}^g = {\mathit{\boldsymbol{H}}_c}\mathit{\boldsymbol{\omega }} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0\\ 0&1&0\\ {\sin \alpha \cos {{45}^ \circ }}&{\sin \alpha \sin {{45}^ \circ }}&{\cos \alpha }\\ {\sin \alpha \cos {{165}^ \circ }}&{\sin \alpha \sin {{165}^ \circ }}&{\cos \alpha }\\ {\sin \alpha \cos {{285}^ \circ }}&{\sin \alpha \sin {{285}^ \circ }}&{\cos \alpha } \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\omega _x}}\\ {{\omega _x}}\\ {{\omega _y}}\\ {{\omega _z}} \end{array}} \right] $

(4)

式中H_c为系统配置矩阵。

根据导航特性最优准则计算得α=41.81°，由各夹角得出正交锥方案的具体配置矩阵为

$ \mathit{\boldsymbol{H}}_c^{\rm{T}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&{0.4714}&{ - 0.6440}&{0.1725}\\ 0&1&{0.4714}&{0.1725}&{ - 0.6440}\\ 0&0&{0.7454}&{0.7454}&{0.7454} \end{array}} \right] $

系统存在单故障时，通过对应工作模式的行列式绝对值大小评定其测量精度，行列式绝对值越大，测量精度越高^[17]。

计算圆锥配置和正交锥配置各种工作模式下的测量精度，如表 1和表 2所示。

通过表 1和表 2易得，正交锥配置的3种较优工作模式测量精度明显高于圆锥配置，次优的5种工作模式与圆锥配置测量精度相当，在相同可靠性条件下，正交锥配置的测量性能更优。同时，该方案在正交轴向装配2个陀螺，易于安装和标定。综合可靠性、导航特性、单故障测量精度和工程实现性，正交锥配置的一种优选五冗余配置方案。

2 冗余系统故障隔离方法研究 2.1 基于广义似然比的故障检测方法

设m个冗余传感器的测量方程为

$ \mathit{\boldsymbol{Z}} = \mathit{\boldsymbol{H\omega }} + \mathit{\boldsymbol{f}} + \mathit{\boldsymbol{\varepsilon }} $

(5)

式中：Z∈R^m是传感器的测量值，ω∈Rⁿ为待测的状态变量，H为传感器的配置矩阵，f为故障向量，ε为高斯白噪声。

通过对冗余系统测量方程引入奇偶矩阵，构造奇偶方程，用于实现系统故障检测和隔离。即对传感器测量值Z引入线性变换，用于实现系统故障检测和隔离：

$ \mathit{\boldsymbol{P}} = \mathit{\boldsymbol{VZ}} + \mathit{\boldsymbol{VH\omega }} + \mathit{\boldsymbol{Vf}} + \mathit{\boldsymbol{V\varepsilon }} $

(6)

式中：V是(m-3)×m维奇偶矩阵，V中的每一个行向量称为奇偶向量，且满足VH=0，VV^T=I_m-3。

由此，式(6)变为

$ \mathit{\boldsymbol{P}} = \mathit{\boldsymbol{Vf}} + \mathit{\boldsymbol{V\varepsilon }} $

(7)

此时，P是一个仅与故障向量或噪声有关的函数。由式(7)可知，奇偶向量P在无故障假设H₀及有故障假设H₁情况下的统计特性为

$ \begin{array}{l} {H_0}:{\rm{E}}\left[ \mathit{\boldsymbol{P}} \right] = 0,{\rm{E}}\left[ {\mathit{\boldsymbol{P}}{\mathit{\boldsymbol{P}}^{\rm{T}}}} \right] = {\sigma ^2};\\ {H_1}:{\rm{E}}\left[ \mathit{\boldsymbol{P}} \right] = \mu ,{\rm{E}}\left[ {\left( {\mathit{\boldsymbol{P}} - \mu } \right){{\left( {\mathit{\boldsymbol{P}} - \mu } \right)}^{\rm{T}}}} \right] = {\sigma ^2} \end{array} $

其中，μ=Vf。

因为P是ε的线性函数，所以P服从m-n维的正态分布。GLT方法的故障检测函数为

$ {\rm{F}}{{\rm{D}}_{{\rm{GLT}}}} = \frac{1}{{{\sigma ^2}}}\left( {{\mathit{\boldsymbol{P}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{P}}} \right) $

(8)

则FD_GLT~χ²(m-n)。

故障判断准则：

$ \begin{array}{l} {\rm{F}}{{\rm{D}}_{{\rm{GLT}}}} \ge {T_D}\;\;\;\;故障发生;\\ {\rm{F}}{{\rm{D}}_{{\rm{GLT}}}} < {T_D}\;\;\;\;未发生故障。\end{array} $

其中T_D为故障门限值。

GLT的故障检测函数可用于判断系统是否发生故障。当系统无故障时，奇偶向量P仅与量测噪声有关，此时由P构成的故障检测函数值FD_GLT未超过故障检测门限值T_D；当系统发生故障时，奇偶向量P不仅与量测噪声有关，还与故障信息有关，此时由P构成的故障检测函数值FD_GLT必然超过故障检测门限值。因此，广义似然比故障检测方法可断出系统是否发生故障。

2.2 基于线性预测思想的五冗余故障隔离方案设计

当系统发生双故障时，传统的GLT隔离方案将失效。线性预测思想的出现可解决五冗余发生双故障的情况。由于车辆在连续运行时，安装在载体上的陀螺仪的输出值呈现连续性，在足够小的时间段内，陀螺仪输出值线性变化；当陀螺仪出现故障时，陀螺仪输出值将不连续，呈现非线性变化的特点。基于线性预测思想的故障隔离方案，即当t时刻发生故障时，可根据前面两个时刻的陀螺仪输出值，估计出t时刻陀螺仪测量估计值，通过求取t时刻陀螺仪测量估计值与t时刻陀螺仪输出值残差，判断出t时刻五冗余系统的故障陀螺。

设定冗余系统测量方程式(5)的传感器测量输出为Z=[ω₁^g  ω₂^g  ω₃^g  ω₄^g  ω₅^g]^T，ω_i^g(i=1, 2, …, 5)为单个陀螺测量输出值。

已知t-2时刻陀螺仪输出值ω_f(t-2)^g与t-1时刻陀螺仪输出值ω_f(t-1)^g，通过作差，得到陀螺仪输出值变化趋势Δω_f^g：

$ \Delta \mathit{\boldsymbol{\omega }}_f^g = \mathit{\boldsymbol{\omega }}_{f\left( {t - 1} \right)}^g - \mathit{\boldsymbol{\omega }}_{f\left( {t - 2} \right)}^g $

(9)

因此，通过陀螺仪输出值变化趋势可得t时刻陀螺仪估计值$\widehat \omega _{f\left( t \right)}^g$：

$ \hat \omega _{f\left( 1 \right)}^g = \omega _{f\left( {t - 1} \right)}^g + \Delta \omega _f^g $

(10)

根据式(10)，将t时刻陀螺仪输出值与t时刻陀螺仪估计值作差，可得t时刻陀螺仪估计误差δω_k^g(t)：

$ \delta \omega _f^g\left( t \right) = \omega _{f\left( t \right)}^g - \hat \omega _{f\left( t \right)}^g $

(11)

δω_f^g(t)为t时刻第f号陀螺仪估计误差。理论上，陀螺仪发生故障时，δω_f^g(t)中最大的元素为发生故障的陀螺仪。然而在实际五冗余车载惯导系统运行过程中，陀螺仪输出值必然包含测量噪声。测量噪声将干扰测量残差δω_f^g(t)中元素的比较，导致无法准确隔离故障陀螺。

为降低测量噪声的影响，提高估计误差最大值δω_f^g(t)的准确识别度，引入多个时刻的残差矩阵。即通过线性预测方法，分别得到t-2时刻陀螺仪估计误差δω_f^g(t-2)、t-1时刻陀螺仪估计误差δω_f^g(t-1)、t时刻陀螺仪估计误差δω_f^g(t)以及t+1时刻陀螺仪估计误差δω_f^g(t+1)：

$ \delta \omega _f^g\left( {t - 2} \right) = \omega _{f\left( {t - 2} \right)}^g - \hat \omega _{f\left( {t - 2} \right)}^g $

(12)

$ \delta \omega _f^g\left( {t - 1} \right) = \omega _{f\left( {t - 1} \right)}^g - \hat \omega _{f\left( {t - 1} \right)}^g $

(13)

$ \delta \omega _f^g\left( t \right) = \omega _{f\left( t \right)}^g - \hat \omega _{f\left( t \right)}^g $

(14)

$ \delta \omega _f^g\left( {t + 1} \right) = \omega _{f\left( {t + 1} \right)}^g - \hat \omega _{f\left( {t + 1} \right)}^g $

(15)

此时计算四个时刻残差矩阵之和：

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\mathit{\boldsymbol{\bar W}} = }\\ {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left[ {\delta \omega _1^g\left( {t - 2} \right) + \delta \omega _1^g\left( {t - 1} \right) + \delta \omega _1^g\left( t \right) + \delta \omega _1^g\left( {t + 1} \right)} \right]/4}\\ {\left[ {\delta \omega _2^g\left( {t - 2} \right) + \delta \omega _2^g\left( {t - 1} \right) + \delta \omega _2^g\left( t \right) + \delta \omega _2^g\left( {t + 1} \right)} \right]/4}\\ {\left[ {\delta \omega _3^g\left( {t - 2} \right) + \delta \omega _3^g\left( {t - 1} \right) + \delta \omega _3^g\left( t \right) + \delta \omega _3^g\left( {t + 1} \right)} \right]/4}\\ {\left[ {\delta \omega _4^g\left( {t - 2} \right) + \delta \omega _4^g\left( {t - 1} \right) + \delta \omega _4^g\left( t \right) + \delta \omega _4^g\left( {t + 1} \right)} \right]/4}\\ {\left[ {\delta \omega _5^g\left( {t - 2} \right) + \delta \omega _5^g\left( {t - 1} \right) + \delta \omega _5^g\left( t \right) + \delta \omega _5^g\left( {t + 1} \right)} \right]/4} \end{array}} \right] = }\\ {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\bar W}_1}}\\ {{{\bar W}_2}}\\ {{{\bar W}_3}}\\ {{{\bar W}_4}}\\ {{{\bar W}_5}} \end{array}} \right]} \end{array} $

(16)

记

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\delta \mathit{\boldsymbol{Z}}\left( t \right) = }\\ {{{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\delta \omega _1^g\left( t \right)}&{\delta \omega _2^g\left( t \right)}&{\delta \omega _3^g\left( t \right)}&{\delta \omega _4^g\left( t \right)}&{\delta \omega _5^g\left( t \right)} \end{array}} \right]}^{\rm{T}}}} \end{array} $

计算陀螺仪估计误差矩阵，得

$ \mathit{\boldsymbol{X}} = \delta \mathit{\boldsymbol{Z}}\left( t \right) - \mathit{\boldsymbol{\bar W}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\delta \omega _1^g\left( t \right) - {{\bar W}_1}}\\ {\delta \omega _2^g\left( t \right) - {{\bar W}_2}}\\ {\delta \omega _3^g\left( t \right) - {{\bar W}_3}}\\ {\delta \omega _4^g\left( t \right) - {{\bar W}_4}}\\ {\delta \omega _5^g\left( t \right) - {{\bar W}_5}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}\\ {{x_2}}\\ {{x_3}}\\ {{x_4}}\\ {{x_5}} \end{array}} \end{array}} \right] $

(17)

$ \left| x \right| = \max \left| {{x_j}} \right|,{x_j} = 1,2,3,4,5 $

(18)

陀螺仪估计误差最大值，即为发生故障的陀螺。

3 冗余式惯导系统性能仿真 3.1 可靠性仿真验证

正交锥方案是捷联惯导系统应用的冗余配置方案，无冗余方案和正交配置方案(其中两个正交轴各安装两个陀螺)是对比方案，各配置方案均应用单自由度陀螺。可靠性分析结果如表 3。

从表 3可以得出五陀螺正交锥方案的平均无故障时间是无冗余方案的2.35倍，相比简单的轴向冗余式正交配置方案，实现了等同陀螺数目下可靠性1.47倍的提升；假设单个陀螺仪的MTBF为20 000 h，三种方案3 000 h内可靠度随时间变化的曲线如图 7所示，正交锥方案可靠度随着时间增加明显高于无冗余方案和正交配置方案，在3 000 h时系统可靠度依然能维持在98%的高水平。

3.2 故障诊断算法仿真验证

故障检测及隔离仿真条件如下：

1) 陀螺仪噪声标准差σ_η=0.5(°)/h；

2) 假设虚警率α=0.001，则故障门限值为T_D=χ_0.999²(5-3)=13.82；

3) 仿真时长共计5 s，采样时间间隔为0.005 s。

双故障仿真条件为：1号陀螺和4号陀螺在第3 s后发生故障，即在3号陀螺和4号陀螺输出中分别加入一个噪声信噪比为20 σ_η的阶跃信号。

4) 三轴角运动设为X：50sin(8πt(°)/s；Y：50cos(πt)(°)/s；Z：50t(°)/s。

根据上述仿真条件，可得五冗余惯导系统故障检测曲线以及各个陀螺故障隔离函数曲线如图 8、9。

由图 8可知，当系统双故障时，GLT故障检测函数值在第3 s超出了故障门限值，因此，GLT故障检测方法可以准确判断出第3 s开始五陀螺冗余惯导系统发生故障；由图 9可知，1号陀螺和4号陀螺在3 s时线性预测误差估计值明显高于其他陀螺，说明1号和4号陀螺发生故障。因此，五陀螺惯性导航系统发生双故障时，基于线性预测的故障隔离方法能正确隔离系统中故障陀螺。

4 结论

1) 以实现车载高可靠性导航为目标，完成一种创新性的高可靠性车载惯性传感器冗余配置方案，该方案通过基于广义似然比和线性预测的故障诊断方法和五冗余正交锥结构相结合，解决了传统正交配置方案可靠性差的问题。

2) 设计五陀螺正交锥优化配置方案，通过广义似然比故障检测方法检测冗余系统的多故障，并通过线性估计的方法隔离系统中的多故障，实现了五陀螺系统的多故障检测与隔离。

3) 通过可靠性分析和故障诊断算法仿真验证表明，优化的五陀螺正交锥配置方案能够大幅提升捷联惯性导航系统的可靠性，与无冗余配置方案相比可使系统可靠性提升1.35倍；广义似然比故障检测与线性估计隔离方案可实现系统多故障检测与隔离，切实满足复杂环境下的高可靠性自主工作的实际应用需求。