超空泡减阻技术可以大幅度提高水下航行器航速，其应用越来越被重视^[1-3]。空泡关系到水下航行器的受力状态与弹道稳定性等重大问题。为使超空泡航行体能够稳定航行，必须对其运动和动力稳定性进行研究，而运动和动力稳定性是和超空泡形态的稳定性密切相关的^[4]，因此超空泡形态稳定性的研究具有非常重要的意义。

目前，针对超空泡的稳定性已经开展了许多相关的研究工作。宋向华等^[5]建立超空泡射弹截锥形结构的动力偏微分方程，利用Bolotin方法对其动力稳定性进行数值计算；周凌等^[6]运用Monte-Carlo法进行了超空泡运动体强度与稳定性的非概率可靠性分析；Zhao等^[7]利用最小二乘法逼近非线性滑行力，建立了定深俯仰超空泡航行器的简化模型以用于分析超空泡溃灭特性，并根据空泡分裂理论，建立了定深俯仰超空泡飞行器的尖点突变势函数，得到了突变的临界条件；Plocek^[8]利用对外部水箱上传感器的信号进行处理来表示空化实验中气泡状态，并用来提高气泡的位置稳定性；张学伟等^[9]通过在水洞中开展的系列实验对通气超空泡形态及其稳定性进行了研究。上述文献研究主要集中在理论以及空泡形态稳定方面，而鲜有通过水洞实验过程中水压信号采集和分析来研究空泡振动特性。

本文采用钝头体模型在密闭式循环水洞中进行了自然空化实验，并使用压力变送器和微型水压传感器采集了实验过程中的水压信号，采用小波变换对信号频域、幅值进行了分析以研究空泡振动特性。

1 空泡压力微震方程

基于Logvinovich独立扩张原理，文献[10-11]推导了空泡内压力振动方程:

$ \begin{align} &{{{{p}'''}}_{\text{c}}}\left( {\bar{t}} \right)+{{{{p}'}}_{\text{c}}}\left( {\bar{t}} \right)+{{{{p}'}}_{\text{c}}}\left( \bar{t}-\bar{\tau } \right)- \\ &\ \ \ \frac{2}{\tau }{{p}_{\text{c}}}\left( {\bar{t}} \right)+\frac{2}{{\bar{\tau }}}{{p}_{\text{c}}}\left( \bar{t}-\bar{\tau } \right)=0 \\ \end{align} $

(1)

式中:p_c为空泡内气体的压力；t为无因次时间；τ为无因次时间延迟，τ =τ/T；τ为有因次时间延迟, $\bar{\tau }=\sqrt{\frac{12}{n}\left( \frac{{{E}_{\text{u}}}}{{{\sigma }_{c}}}-1 \right)} $; 其中，1/n为空泡内热力学过程的热指数，等温过程n=1；Eu为欧拉数，Eu=p_∞/0.5ρV_∞²；σ_c为空泡内压力平衡时的空化数，也可取平均空化数; σ_c=(p_∞-p_c0)/(ρV_∞²/2)，p_c0为平衡时的空泡内气压。

对于空泡压力微震方程式(1)，由于存在时延参数，并不能直接求解，因此，需要对方程进行线性化处理。设p_c(t)=e^λt，λ=μ(τ)+jω(τ)，代入微分方程式(1)得:

$ {{\lambda }^{3}}+\lambda +\lambda {{\text{e}}^{-\lambda \bar{\tau }}}-\frac{2}{{\bar{\tau }}}+\frac{2}{{\bar{\tau }}}{{\text{e}}^{-\lambda \bar{\tau }}}=0 $

(2)

对式(2)求微分，得:

$ \frac{\text{d}\lambda }{\text{d}\bar{\tau }}=-\frac{1}{{{{\bar{\tau }}}^{2}}}\frac{2-{{\text{e}}^{-\lambda \bar{\tau }}}\left( {{\lambda }^{2}}{{{\bar{\tau }}}^{2}}-2\lambda \bar{\tau }-2 \right)}{3{{{\bar{\tau }}}^{2}}+1-{{\text{e}}^{-\lambda \bar{\tau }}}\left( \lambda \bar{\tau }+1 \right)} $

(3)

代入λ=μ(τ)+jω(τ)，得到:

$ \left\{ \begin{align} &\frac{\text{d}\mu }{\text{d}\bar{\tau }}=-\frac{1}{{{{\bar{\tau }}}^{2}}}\frac{AC+BD}{{{C}^{2}}+{{D}^{2}}} \\ &\frac{\text{d}\omega }{\text{d}\bar{\tau }}=-\frac{1}{{{{\bar{\tau }}}^{2}}}\frac{BC+AD}{{{C}^{2}}+{{D}^{2}}} \\ \end{align} \right. $

(4)

$ 而\left\{ \begin{align} &A=2-{{\text{e}}^{-\mu \bar{\tau }}}\left\{ \cos \left( \omega \bar{\tau } \right)\left[ {{\left( \mu \bar{\tau }-1 \right)}^{2}}-3- \right. \right. \\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left. \left. {{\left( \omega \bar{\tau } \right)}^{2}} \right]+2\omega \bar{\tau }\left( \mu \bar{\tau }-1 \right)\sin \left( \omega \bar{\tau } \right) \right\} \\ &B=-{{\text{e}}^{-\mu \bar{\tau }}}\left\{ \sin \left( \omega \bar{\tau } \right)\left[ {{\left( \mu \bar{\tau }-1 \right)}^{2}}-3- \right. \right. \\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left. \left. {{\left( \omega \bar{\tau } \right)}^{2}} \right]+2\omega \bar{\tau }\left( \mu \bar{\tau }-1 \right)\cos \left( \omega \bar{\tau } \right) \right\} \\ &C=3\left( {{\mu }^{2}}-{{\omega }^{2}} \right)+1-{{\text{e}}^{-\mu \bar{\tau }}} \\ &\ \ \ \ \ \ \left[ \left( \mu \bar{\tau }+1 \right)\cos \left( \omega \bar{\tau } \right)+\omega \bar{\tau }\sin \left( \omega \bar{\tau } \right) \right] \\ &D=6\mu \omega -{{\text{e}}^{-\mu \bar{\tau }}} \\ &\ \ \ \ \ \ \left[ -\left( \mu \bar{\tau }+1 \right)\sin \left( \omega \bar{\tau } \right)+\omega \bar{\tau }\cos \left( \omega \bar{\tau } \right) \right] \\ \end{align} \right. $

同时，由式(2)容易得到边界条件:

$ \mu \left( \sqrt{2}\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }\mathit{j} \right)=0,\omega \left( \sqrt{2}\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }\mathit{j} \right)=\sqrt{2},\ \ \ j=1,2,3\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot $

运用四阶R-K方法对微分方程组式(4)作数值求解得到图 1所示曲线。

由图 1可以看出，对于不同的ω曲线有着相似的特性。μ随着τ的增大经历了由负到正并趋近于某一正值的过程。从振动学的角度来看:μ < 0部分对应稳定区域；而μ≥0部分则对应不稳定区域。即，当1≤Eu/σ_c < 2.645时，空泡受扰之后仍是稳定的。

2 水洞空泡实验及结果分析 2.1 实验装置及数据采集

水洞实验示意如图 2所示。实验调节来流速度，待其稳定之后，调节流场环境压力，使空化数达到预期值。实验过程中，进行了高速摄影，并同步测量了流速(压力变送器组压差测得)、压力(压力变送器p₁和微型水压传感器p₂)和空化数(依据流速和压力计算所得)。压力变送器和微型水压传感器输出端连接到数据采集卡，采集卡将压力信号采集并存储到与之相连的计算机中。实验中所使用的压力变送器的响应频率为650 kHz，微型水压传感器的响应频率为150 kHz，而数据采集卡的采样频率为100 kHz，存储速度为8 kHz，故而本文对数据进行频谱分析时的最大频率仅为4 kHz。

本实验采用的是钝头体模型，头部直径为ϕ12 mm，圆台部位长200 mm，直至腰部最大直径ϕ50 mm，尾部为ϕ50 mm×400 mm圆柱。

传感器p₂安装于模型肩部略后上方位置，既避开了圆台部复杂的迎流，又不远离头部空泡区，脱落空泡也会经过传感器，所采集到的压力信号能较好反应空泡所引起的流动噪声特性。

2.2 实验结果

超空泡形态主要由空化数σ决定的，当σ减小到一定的程度，才能观察到明显的空泡形成。通过高速摄影，得到了各工况的超空泡瞬态特性。从实验的摄影来看，只有当空化数降低到0.8左右，才能明显看到空泡形成；同时，空化数越小，空泡的瞬态脉动特性更明显。如图 3所示的为来流速度为10 m/s、空化数为0.2时候的高速摄影图。根据前面的理论求解，可知此时Eu/σ_c=1.11，表明空泡即使存在脱落现象，也处于动态稳定状态。从图中可以看出，空泡有规律脉动，脉动过程中，模型头部空泡边缘向后移动，脱落泡体由头部向后，并从上部边缘末端脱落。脱体空泡有大有小，小泡脱落的所需时间短，频率更快；而大泡脱落所需时间长，频率稍慢。

实验中的流速和空化数通过压力变送器组所测得的压力信号计算得到，失去了很多原始信号的很多信息，所以对于实验数据的分析仅限于实验段压力变送器采到的压力信号和实验体上微型水压传感器采到的压力信号。而空泡脉动所产生的压力也容易被这两个传感器采集到。

图 4(a)为流速10 m/s、空化数0.2时压力变送器所采集到的原始压力信号p₁，图 4(b)为该信号的频域图。而图 4(c)为该信号经过db3小波5层分解之后得到的信号，也即p₁=a₁+d₁+d₂+d₃+d₄+d₅；其中a₁为p₁信号的基信号，也可表征p₁信号的低频特性；d₁~d₅表征信号的高频特性，从d₁到d₅频率降低。从图 4可以看出，p₁信号是一个宽频信号，基本遍布整个采样频率范围。其中，图 4(b)可以发现，p₁信号在0附近有一个大幅值的频域信号，同时图 4(c)中的p₁信号的基信号a₁也可以发现，1 s内所采集到的p₁约有1~3个信号起伏，该峰峰值的间隔时间与水洞运行周期相近，这一信号仅存在于0~1 Hz，并不妨碍对信号频谱其他段的分析；同时，信号在165、386、1 208、2 091和2 593 Hz等频率上也有较大幅值，而这也与图 5中的d₅~d₁所反应的信号频率对应。从图 4(c)中的a₁可以得出，压力变送器采集到的压力基信号具有约-0.058 4~0.026 kPa (最大、小偏差)幅值、1~2 Hz频率的脉动特性；从d₅到d₁，随着表征信号频率的减小，幅值增大，脉动幅值最大的也仅有-0.044 5~0.046 1 kPa。

图 5(a)为流速10 m/s、空化数0.2时微型水压传感器所采集到的原始压力信号p₂。图 5(b)为该信号的频域图。而图 5(c)为该信号经过db3小波5层分解之后得到的信号，也即p₂=a'₁+d'₁+d'₂+d'₃+d'₄+d'₅；含义同上。对比图 4、5可以看出，微型水压传感器所采集到的信号要复杂的多，这主要是因为微型水压传感器更靠近空泡，也更靠近空泡脱落的位置。从图 5(b)可以看出，0频率附近有一个大幅值的频域信号，而这也即是图 5(c)中的a'₁信号；同时，信号在185、373、1 280、1 918和3 591 Hz等频率上也有较大幅值。从图 5(c)中的a'₁可以看出，微型水压传感器采集到的压力基信号具有约-4.3311~3.3 684 kPa(最大、小偏差)幅值、3~5 Hz频率的脉动特性；从d'₅到d'₁，信号脉动的幅值都较大，而脉动幅值最大的d'₃高达-6.904 9~6.306 0 kPa。

为更好地研究实验点处压力信号的整体频域特征，采集了不同工况下实验点处信号，并对信号进行了平滑处理，再进行对比分析。而平滑处理后的信号虽然失去了细节信息，但更有利于观测信号的整体情况。

图 6为相同空化数0.2，不同流速情况下的p₁、p₂点处采集到平滑后的压力信号频谱图。由图 6(c)可知，p₁点处不同速度下的声压在各频率下的幅值基本相同，约为2 Pa。由图 6(b)可知，p₂点处，不同速度下的压力在各频率下的幅值基本在80~300 Pa，同时，压力幅值在频域内随频率的增大而减小。而2点处的压力幅值均在频域范围内起伏波动。

同理，图 7为相同流速10 m/s、空化数不同情况下的p₁、p₂点处采集到平滑后的压力信号频谱图。p₁处压力信号在低频处略有差异，同一频率下，空化数越低(环境压力越小)，幅值越大；而p₂处压力信号除在空化数0.2下幅值较高外，其他工况下的信号差异不大。

2.3 结果分析

对比p₁、p₂信号的频域和小波分解图，可以发现:采集到的p₁、p₂信号从频域上而言基本遍布整个采样频率范围，都在接近0附近有一个较大幅值的信号。p₁信号除少数几个频率点上，脉动幅值基本相同，且都比较小；而p₂信号较p₁信号要更复杂，在较多的频率点上都具有较大的幅值，在低频段的幅值比高频段的幅值要大，而且整体频域范围内的信号的幅值都比较大。

p₁、p₂的基信号a₁、a'₁都具有低频率、大幅值的特点，这是由于水洞运行过程中造成整个水洞系统的振动而引起的。而两者频率、幅值的差异主要是由传感器安装位置的不同所产生的；压力变送器安装在水洞实验段壁面上，其产生的基信号的波动基本和系统振动相同；而微型水压传感器安装在实验体上，系统振动对其影响更大，同时，作用于实验体和支撑杆上的迎流也会造成实验体的振动，所以a'₁的脉动频率和幅值比a₁要大；a₁信号的均值要大于a'₁信号，这是由于壁面的粘性效应，导致近壁面处的流速较实验段中部的流速要低。

p₁、p₂信号在160~180 Hz具有较大的幅值，这是由于较大片空泡从尾部脱落造成的。采用SSIM算法对空化的高速摄影图片进行过瞬态特性分析，所得出的结论也表明，来流速度为10 m/s、空化数为0.2时，空泡尾部脱落频率约为160~180 Hz^[12]。p₁、p₂信号在360~380 Hz具有较大的幅值，是由于较小片空泡从尾部脱落造成的。

p₁、p₂信号在1 200~1 280 Hz、1 900~2 100 Hz或更高频率点上有较大的幅值，形成原因较为复杂。主要由以下因素构成:更小的空泡脱落、空泡界面上的气泡云破碎、水流中的游离小空泡破碎和传感器附近的湍流脉动等。

对比不同工况下p₁、p₂处水压信号，p₂处受来流速度和远场压力影响较大。同一空化数下，来流速度越大，同一频率下的水压幅值也越大；同一流速下，而除在空化数0.2下幅值较高外，其他工况下的信号差异不大。

3 结论

1) 空泡的脉动主要是由尾部空泡脱落引起的，空泡脱落的体积越大，引起空泡脉动的频率越低，幅值越大；空泡界面上的气泡云破碎、水流中的游离小空泡破碎和湍流脉动也会引起空泡脉动，而引起的脉动频率较高。

2) 空泡脉动主要与来流速度有关，速度越大，脉动压力越大，而与远场压力相关性较小。

3) 本文的结果可为超空泡的稳定性研究提供一定的参考，有助于更好地掌握超空泡技术，为工程实践提供数据支撑。