利用计算机对全回转起重船作业工况进行仿真计算，求出压载水的调节方案对于起重船安全作业具有十分重要的意义。刘志杰等^[1]及刘晓宇^[2]提出了在保证船舶正浮的情况下，采用力矩平衡对起重船作业工况进行建模计算；董智惠等^[3]建立了起重船压载水系统的虚拟井群系统和管网结构模型。在同样作为具有多压载舱的船舶，浮船坞、半潜船和驳船在工作时也存在压载水大量调节的情形，廉静静等^[4]提出了采用力平衡与力矩平衡解决了半潜船在装载重大件时调节压载水总量最小；孙承猛等^[5]提出了采用罚函数法解决了浮船坞在船舶结构分段上坞过程中压载水调节总量最小；Woods等^[6]提出了一种无缆水下机器人的压载系统，并进行了实验验证；孙承猛等^[7]提出了下水驳船在工作时实时配载的工程优化方法。Samyn等^[8]结合了压载舱质量、惯性与力矩的影响，提出了半潜式平台的六自由度动力学压载水控制系统。

全回转起重船如果采用半潜船、浮船坞、驳船的调载方法进行求解，则会出现压载水调节量过大；并且在回转相同角度时，压载水调节量差异较大，导致吊臂不能匀速回转^[9-16]。本文根据力矩平衡原理提出一种全回转起重船压载水调拨模型，允许起重船产生规范允许范围内的横倾角与纵倾角，使得吊臂回转相同小角度时压载水调节量保持一致且为最小，进而使起重船作业时吊臂可以匀速回转。

1 全回转起重船作业过程的力学描述

全回转起重船在作业时应符合《船舶与海上设施起重设备规范(2007)》规定要求^[9]，船舶最大横倾角为5°，最大纵倾角为2°，因此利用力矩平衡原理，建立全回转起重船作业模型：重物在x轴、y轴方向上移动所产生的倾斜力矩、压载水调节产生的倾斜力矩与船体本身的复原力矩和为0：

$ \left\{ \begin{array}{l} {M_{{\rm{RH}}}} + {M_{{\rm{TH}}}} + {M_{{\rm{PH}}}} = 0\\ {M_{{\rm{RZ}}}} + {M_{{\rm{TZ}}}} + {M_{{\rm{PZ}}}} = 0 \end{array} \right. $

(1)

式中：M_RH与M_RZ分别为横向复原力矩与纵向复原力矩；M_TH与M_TZ分别为压载水调节所产生的横向倾斜力矩与纵向倾斜力矩；M_PH与M_PZ分别为吊臂回转产生的横向倾斜力矩和纵向倾斜力矩。

建立一个固定在起重船上的O-xyz坐标系，为方便计算，以全回转起重船某吃水下正浮时的水线面、中站面、中线面的交点作为原点O；为方便推导，采用向船艉方向为y轴正方向，向右舷为x轴正方向，水线面向上为z轴正方向；如图 1所示。

起重机的转台旋转轴纵坐标为y_Z；吊臂与转台的连接轴到转台旋转轴的距离为r；吊臂与y轴正方向夹角为β，取逆时针旋转为正；吊臂与xoy平面的夹角为α，取向上为正；吊臂长度为l_b；吊臂与转台的转动轴到主甲板的高度为h；型深为D；当前载荷情况下的吃水为d。

建立与静止海平面相固定的固定坐标系O-x′y′z′，固定在船上的坐标系原点与固定于静止海面的坐标系原点重合，船舶横倾角为θ，纵倾角为γ。由于规范要求横倾角小于5°、纵倾角小于2°，因此假定船舶发生倾斜且为等体积倾斜后，新水线面与原水线面交线仍通过中线面、中站面及原水线面的交点，因此固定于船上的坐标系与固定于静止海面的坐标系关系如图 2所示。

1.1 复原力矩

可利用式(2)求得船体倾斜角度较小时的复原力矩：

$ \left\{ \begin{array}{l} {M_{{\rm{RH}}}} = \Delta {h_{{\rm{GM}}}}\sin \theta \\ {M_{{\rm{RZ}}}} = \Delta {h_{{\rm{GML}}}}\sin \gamma \end{array} \right. $

(2)

式中:h_GM为初稳性高；h_GML为纵稳性高。

计算起重船稳性变化量时，假定船上除压载水与起重机外无其他物体移动，因此计算船体稳性变化时需考虑吊物与压载水2个方面的影响^[17]。

船舶悬挂重物对船舶稳性具有不利影响^[18-19]，船舶的实际横稳性高为:

$ {h_{{\rm{GM}}}} = {h_{{\rm{G}}{{\rm{M}}_0}}} - \frac{{pl}}{\Delta } $

(3)

式中：悬挂长度为l；悬挂重物重量为p；h_GM0为修正前稳性高；h_GM1为修正后稳性高。

因此在起重船起吊重物后、吊臂回转之前，对横稳性高进行悬挂重物影响修正后，保持悬挂长度l不变的情况下回转，悬挂重物对稳性的影响可以不再进行计算。纵稳性高同理。

起重船压载系统具有多个压载舱，可以通过对不同位置的压载舱调入一定量的压载水进而产生倾斜力矩来抵消吊臂回转到不同角度时所产生的倾斜力矩。压载舱中水位的变化势必会导致起重船稳性发生变化。2个压载舱之间调节压载水时，根据重心移动原理，这部分压载水重心高度的变化，将对船舶稳性产生影响，不考虑自由液面影响的情况下，调节后船舶横稳性高为:

$ {h_{{\rm{GM}}}} = {h_{\overline {{\rm{G}}{{\rm{M}}_0}} }} - \frac{{V\omega {z_{\rm{m}}}}}{\Delta } $

(4)

式中:V为调节的压载水体积；z_m为调节的压载水重心高度变化量；ω为压载水的密度。

实际计算中，不会仅出现压载水仅从一个压载舱调入另一个压载舱的情形，在一个回转工况内，还会出现一个舱将压载水调节给不同的压载舱或者多个压载舱的水调节至一个压载舱，甚至会出现不同压载舱之间的压载水进行混合调节，而此时仍采用一对一调节方式计算压载水变化对稳性修正的值显然十分麻烦且不易于建模。假设共有n个压载舱，每个舱压载水增量为W_i，减少量为C_i，并且满足公式：

$ \sum\limits_{i = 1}^n {{W_i}} = \sum\limits_{i = 1}^n {{C_i}} $

(5)

通过对各个压载舱进行最大公约数细分，建立各个舱之间压载水增减的一一对应关系，结合重心定理推导出压载水调节时所有压载舱压载水变化对稳性的总体影响：

$ {h_{{\rm{G}}{{\rm{G}}_1}}} = \frac{{\sum\limits_{i = 1}^n {{W_i}{H_{1i}}} - \sum\limits_{i = 1}^n {{C_i}{H_{0i}}} }}{\Delta } $

(6)

式中：H_1i为增加的压载水的重心高度；H_0i为减少的压载水的重心高度；h_GG1为重心高度变化量。

起重船作为多压载舱的工程船舶，在舱内压载水没有装满的时候，自由液面对横稳性高和纵稳性高均会产生降低效果。因此在考虑利用横稳性高和纵稳性高计算复原力矩的时候，需要将船体舱内自由液面对稳性的影响计算进去。自由液面对横稳性高的影响为：

$ {h_{G{M_1}}} = {h_{G{M_0}}} - \frac{{{\omega _1}{i_x}}}{\Delta } $

(7)

式中i_x为自由液面的面积对其倾斜轴线的惯性矩。

惯性矩的值仅与压载舱的长宽有关，为方便计算，假定除压载舱外的其他液舱在回转过程中舱内总量不变，且提供的初始横稳性高已完成液舱的稳性高修正，纵稳性高同理；而压载舱液位的变化可能会出现某舱未满-装满及装满-未满的情况。由于个别压载舱出现该情况且对稳性影响较小，为方便建模计算，假定提供的初始横稳性高和纵稳性高均为进行了所有压载舱的自由液面修正计算后的值，而压载舱状态每次改变后，即使出现某压载舱打满压载水，同样按照自由液面修正后的值进行计算。此时计算的横稳性高和纵稳性高的值小于等于实际值，计算出的横倾角为θ₁，而将实际值带回计算后的横倾角为θ₀，θ₀≥θ₁，因此可以保证船体倾斜不会超过规范要求。

1.2 吊臂回转产生的倾斜力矩

全回转起重船在回转工况下工作时，吊臂会随转台绕旋转轴进行回转运动，所起吊的重物重心在横向和纵向2个方向产生位移，进而产生倾斜力矩，此位移值的计算需要根据旋转前后2个状态进行比较求得，如图 3所示。

计算某一状态下的重物重心距横倾轴的距离时，距离由2部分组成，吊臂与转台的连接轴到转台旋转轴的距离、吊臂长度及吊臂与转台平面间的仰角、转台当前旋转的角度(相对于y轴正方向)β组成固定的长度；由于重物是悬挂在吊臂顶端，随着起重船船身发生横倾，重物与经过吊臂顶端的垂线也存在与横倾角大小相等的夹角。因此起吊的重物距离横倾轴的距离L_H可表示为:

$ \begin{array}{l} {L_{\rm{H}}} = \left( {{l_{\rm{b}}}\cos \alpha + r} \right)\sin \beta \cos \theta + \\ \;\;\;\;\;\;\;\left( {D - d + h + {l_{\rm{b}}}\sin \alpha } \right)\sin \theta \end{array} $

(8)

现设定，转台每回转一个角度即为一个状态，假设转台初始状态为状态1，回转某一角度后为状态2，要计算从状态1旋转到状态2，重物发生的位移，仅需知道状态1时转台旋转角β₀、横倾角θ₀、吊臂仰角α₀及状态2时转台旋转角β₁、横倾角θ₁、吊臂仰角α₁，通过公式计算出L_H0及L_H1，则重物在吊臂回转时x轴方向发生的位移量为：

$ {L_{{\rm{PH}}}} = {L_{{\rm{H1}}}} - {L_{{\rm{H0}}}} $

(9)

因此由于吊臂回转所产生的横倾力矩为：

$ {M_{{\rm{PH}}}} = {L_{{\rm{PH}}}} \times {P_{\rm{c}}} $

(10)

全回转起重船在回转工况时，吊臂携带重物回转产生横倾力矩的同时也会产生纵倾力矩，纵倾力矩的计算方式与横倾力矩的计算方式稍有不同，如图 4所示。

起重船的转台旋转轴距离船身纵倾轴的距离为y₀，为方便计算，本文假定船舶在发生小角度纵倾(≤2°)时，船舶纵倾轴的y坐标发生的微弱变化忽略不计，因此在计算被起吊的重物发生的位移为：

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{L_{\rm{Z}}} = \left( {\left( {{l_b}\cos \alpha + r} \right)\cos \beta + {y_0}} \right)\cos \gamma + }\\ {\left( {D - d + h + {l_b}\sin \alpha } \right)\sin \gamma } \end{array} $

(11)

同样要计算从状态1到状态2重物在y轴方向上发生的位移，仅需得知状态1的转台旋转角β₀、纵倾角γ₀、吊臂仰角α₀及状态2时转台旋转角β₁、纵倾角γ₁、吊臂仰角α₁，通过公式计算出L_Z0和L_Z1，则重物在吊臂回转时在y轴方向上产生的位移量为:

$ {L_{{\rm{Zp}}}} = {L_{{{\rm{Z}}_{\rm{1}}}}} - {L_{{{\rm{Z}}_{\rm{0}}}}} $

(12)

由于吊臂回转产生的纵倾力矩M_ZP为:

$ {M_{{\rm{Zp}}}} = {L_{{\rm{Zp}}}} \times {P_{\rm{c}}} $

(13)

1.3 压载水调节产生的倾斜力矩

在某一个作业工况下，通常可能会出现一对多、多对一、多对多调节。在最复杂的多对多调节情形时，往往不能准确的找到压载水从某舱调入某舱的对应的关系，与压载水调节后对稳性的影响情况相似。因此利用前文的结论得出压载水调节产生的横倾力矩和纵倾力矩的计算公式:

$ \left\{ \begin{array}{l} {M_{{\rm{TH}}}} = \sum\limits_{i = 1}^n {{W_i}{x_i}} - \sum\limits_{j = 1}^n {{C_j}{x_j}} \\ {M_{{\rm{TZ}}}} = \sum\limits_{i = 1}^n {{W_i}{y_i}} - \sum\limits_{j = 1}^n {{C_j}{y_j}} \end{array} \right. $

(14)

此时仅需已知调节前后各个压载舱增加和减少的压载水总量以及各个舱的底面形心坐标，就可以求出在压载水调节结束后产生的横倾力矩和纵倾力矩。

2 压载水调节最小化数学模型

全回转起重船吊臂携重物回转时，需要根据回转角度等情况实时调节压载舱中的压载水量以保持船体的横倾角小于5°，纵倾角小于2°。从实际全回转起重船的作业工况看，在起重机回转的过程中，为保证吊物不会出现剧烈的摆动^[20-21]，吊臂应保持匀速回转。通过压载水调节产生的倾斜力矩来平衡吊臂回转产生的倾斜力矩，而实际中在产生同样的倾斜力矩时，压载水的调节速度慢于吊臂回转的速度，吊臂需要降速配合压载水的调节，因此为了让吊臂可以匀速回转，压载水的调节也须保持匀速。

将计划回转的总角度均分为若干个相同大小的角度ε，为保证压载水匀速调节，当吊臂每回转ε时，均调节压载水量τ，并且保证全回转起重船的浮态满足规范要求。

根据对船舶作业时的力矩分析，假定在回转作业期间，起重船压载舱中的压载水总量不变。以每回转ε所调节的压载水总量τ为目标函数；船体横向力矩平衡、纵向力矩平衡、压载水调节总量保持恒定为等式约束，各个舱的压载水增加量和减少量限制、横倾角和纵倾角限制为不等式约束。然而如果将式(6)代入到复原力矩的计算中，模型的求解十分困难并且耗时太长，因此采用最小稳性高来计算复原力矩。通过将横纵倾角、纵倾角限制在规范要求范围内进行配载方案的求解，而在配载方案求解后，利用配载方案回算横稳性高、纵稳性高、横倾角、纵倾角。因求解模型时代入的横稳性高为初始配载情况下可能出现的最低值，因此回算出的横纵倾角会因为横稳性高的增加而减少，同时满足规范要求的横纵倾角要求，纵倾角回算同理。但若根据配载方案计算得到的横倾角与纵倾角不满足施工环境对横倾角与纵倾角的特殊要求，需要修正最低横稳性高、纵稳性高来重新计算配载方案，直到满足环境要求为止。算法流程如图 5所示。

2.1 压载水调节产生的最小稳性高

在已知各个压载舱初始压载水装载情况及横稳性高、纵稳性高时，可利用线性规划方法计算出在该初始配载方案条件下，仅考虑压载水调节对稳性的影响时，会产生的最低横稳性高。通过本文分析可知，仅考虑压载水调节对稳性的影响时，横稳性高的计算表达式为

$ {h_{{\rm{GM}}}} = {h_{{\rm{G}}{{\rm{M}}_0}}} - \frac{{\sum\limits_{i = 1}^n {{W_i}{H_i}} - \sum\limits_{i = 1}^n {{C_i}{H_i}} }}{\Delta } $

(15)

式中：W_i为各个压载舱增加压载水的量，C_i为各个压载舱减少压载水的量，H_i为减少压载水的重心高度，因此以GM最小为目标，各个压载舱压载水容量与存量为约束进行求解，即可得到当前压载水装载情况下通过调节压载水可能出现的最低横稳性高。纵稳性高亦采用同样的计算方法。

2.2 求解配载方案

通过对全回转起重船回转工况下的受力分析，以每回转ε所需调节的压载水量τ最小为目标函数；横纵两个方向力矩平衡、各个舱压载水增加量总和与减少量总和相等作为等式约束；横倾角与纵倾角取值范围、各个压载舱调载量受舱容及原水量限制作为不等式约束。建立数学模型为:

1) 目标函数为minτ

2) 约束条件为

$ \left( {{M_{{\rm{R}}{{\rm{H}}_{\left( k \right)}}}} - {M_{{\rm{R}}{{\rm{H}}_{\left( {k - 1} \right)}}}}} \right) + {M_{{\rm{T}}{{\rm{H}}_{\left( k \right)}}}} + {M_{{\rm{P}}{{\rm{H}}_{\left( k \right)}}}} = 0 $

(16)

$ \left( {{M_{{\rm{R}}{{\rm{Z}}_{\left( k \right)}}}} - {M_{{\rm{R}}{{\rm{Z}}_{\left( {k - 1} \right)}}}}} \right) + {M_{{\rm{T}}{{\rm{Z}}_{\left( k \right)}}}} + {M_{{\rm{P}}{{\rm{Z}}_{\left( k \right)}}}} = 0 $

(17)

$ \tau = \sum\limits_{i = 1}^n {{W_{i{\rm{k}}}}} $

(18)

$ \tau = \sum\limits_{i = 1}^n {{C_{i{\rm{k}}}}} $

(19)

$ \sum\limits_{k = 1}^{m = \frac{\beta }{\varepsilon }} {{C_{i{\rm{k}}}}} \le {W_{0i}},\;\;\;\;i = 1,2, \cdots ,N $

(20)

$ \sum\limits_{k = 1}^{m = \frac{\beta }{\varepsilon }} {{W_{i{{\rm{k}}_i}}}} \le {W_{li}} - {W_{0i}},\;\;\;\;i = 1,2, \cdots ,N $

(21)

$ - 5 \le {\theta _k} < 5 $

(22)

$ - 2 \le {\gamma _k} < 2 $

(23)

$ {W_{ik}} \ge 0\;\;i = 1,2, \cdots ,N $

(24)

$ {C_{ik}} \ge 0\;\;i = 1,2, \cdots ,N $

(25)

$ k = 1,2, \cdots ,\frac{\beta }{\varepsilon } $

(26)

模型中：式(16)、(17)为力矩平衡约束；式(18)、(19)为回转同样小角度下调节总量相同约束；式(20)、(21)为各舱室容量与调节量约束；(22)、(23)为横倾角、纵倾角约束；式(24)、(25)为各舱调节量非负约束。

3 算例分析

利用某1 000 t全回转起重船数据进行仿真计算，计算工况为吊臂起吊500 t重物与中线面夹角0°回转至90°。回转开始前船体保持正浮状态，横稳性高为12 m，纵稳性高为240 m，各个舱初始压载量及舱容如表 1所示。

获得的调解方案如图 6所示，图 6(a)~(d)显示了该起重船20个压载舱各个舱调出压载水的计划量占回转5°所需调节的压载水总量的比例；图 6(e)~(h)显示了该起重船20个压载舱调入压载水的计划量占回转5°所需调节的压载水总量的比例。

根据配载方案计算出吊臂回转到各个角度时的横稳性高如图 7(a)所示。计算配载方案时求得的横倾角与利用横稳性高与配载方案回算出的横倾角如图 7(b)所示，回算后的横倾角均小于计算配载方案时得出的横倾角值，更加有利于起重船作业时的安全。

4 结论

1) 针对全回转起重船回转时的特殊性，提出了一种与其他多压载舱船型计算压载水调节最小化不同的计算模型，解决了起重机回转与压载泵调节压载水不协调的问题。

2) 从实际应用角度出发，与传统方法通过经验调节压载水相比，提供了一种安全可行的压载水调节方案的计算方法，可有效的避免经验法可能导致的危险情况。

随着全回转起重船建造技术的发展，全回转起重船的作业效率也需进一步提升，而提高压载设备的效率是提升起重船作业效率的主要方法之一，因此全回转起重船的压载水调节方式需要进一步结合船舶舱室优化、压载系统的管系布置进行进一步的研究。