长江黄金水道南京以下12.5 m深水航道建设一期工程(太仓荡茜闸至南通天生港)2014-07通过交工验收，二期工程(南通天生港至南京新生圩港区)已于2015-06开工，二期工程河段里程较长，分汊型河段众多, 环境复杂、不确定因素多，其河床演变趋势研究关系到航道整治工程布置、工程治理效果和航道维护前景。徐国宾等^[1]采用最小熵产生、耗散结构和混沌理论的方法研究分析河床演变。谢鉴衡^[2]探讨了分汊型河道汊道段水力要素与单一段水力要素之间的关系，总结了分汊河道的形成机理和演变规律。Pittaluga等^[3]通过一维动态地貌模型研究汊道的平衡形态和稳定性以预测河床走势。Lane等^[4]通过高精度的二维空间模型研究了多汊道河流的流场形态。文献[5-7]通过三维模型对分汊河口分流处的水沙运动特性进行了较为深入的研究。Bertoldi等^[8]通过实验观测研究了分汊河流分汊口的平衡断面形态。姚仕明等^[9]基于平衡输沙埋论得到了分汉河道进口段的分流分沙变化与汉道冲游之间的关系式，认为汉道的河床演变与上游来沙量、汉道分流分沙比的变化等有关。Ensign等^[10]探讨了流量的改变对河流断面形态及水力能量耗散的影响。迄今为止，分汊河道平衡水深的研究甚少，本文采用基于水力几何形态的平衡水深方法对长江南京以下12.5 m深水航道分汊河段进行分析讨论。

1 水力几何形态

水力几何形态关系即为河流形态与水动力条件之间存在着的一定函数关系，决定河床断面形态的基本方程有：

1) 连续方程。

$ Q = \int_0^B {h\left( x \right)u\left( x \right){\rm{d}}x} $

(1)

式中:Q为造床流量；B为河宽；h(x)为水深；u(x)为垂线平均流速。

2) 阻力关系。

$ u\left( x \right) = C\sqrt {gh\left( x \right)J} $

(2)

式中：u(x)沿河宽(x方向)的垂线平均流速；h(x)水深；J为水力坡度；C为无因次谢才系数，反映河流阻力的参数。

3) 水流挟沙能力公式^[11]。

$ {S_ * } = {k_0}\left( {\frac{{{V^2}}}{{gH}}} \right) $

(3)

式中:S_*为浓度计的水流挟沙能力；H为平均水深；V为断面平均流速；k₀为常数。

4) 宽深比关系^[11]。

$ \frac{{\sqrt {BD} }}{H} = \xi $

(4)

式中：ξ为形态系数；D为泥沙粒径。

根据上述4个方程可以求出水力几何形态关系。

设h(x)/h_max=F(x)，则整个断面内通过的流量可表示为

$ Q = \int_0^B {h\left( x \right)u\left( x \right){\rm{d}}x} = C{h_{\max }}\sqrt {g{h_{\max }}J} \int_0^B {F{{\left( x \right)}^{3/2}}{\rm{d}}x} $

(5)

式中：F(0)=0；F(B)=0；F(x)≤1, x∈(0, B)；h_max为断面最大水深，如图 1所示。

令t=x/B，则$ \int_0^B {F{{\left( x \right)}^{3/2}}} {\rm{d}}x = B\int_0^1 {F{{\left( t \right)}^{3/2}}} {\rm{d}}t $。因此，

$ \begin{array}{l} Q = BC{h_{\max }}\sqrt {g{h_{\max }}J} \int_0^1 {F{{\left( t \right)}^{3/2}}{\rm{d}}t} = \\ \;\;\;\;\;\;{k_1}BC{h_{\max }}\sqrt {g{h_{\max }}J} \end{array} $

(6)

$ {k_1} = \int_0^1 {F{{\left( t \right)}^{3/2}}} {\rm{d}}t $是与相对水深横向分布有关的积分，可根据地形曲线数值积分获得，也可采用实际地形数据计算，对任意地形曲线适用，其值随地形不同而异。

全过水断面面积A则为

$ A = \int_0^B {h\left( x \right){\rm{d}}x} = B{h_{\max }}\int_0^1 {F\left( t \right){\rm{d}}t} = {k_2}B{h_{\max }} $

(7)

$ {k_2} = \int_0^1 {F\left( t \right)} {\rm{d}}t $为地形曲线积分系数，一般介于0.5~1，断面平均流速V为：

$ \begin{array}{*{20}{c}} {V = Q/A = \frac{{BC{h_{\max }}\sqrt {g{h_{\max }}J} \int_0^1 {F{{\left( t \right)}^{3/2}}{\rm{d}}t} }}{{B{h_{\max }}\int_0^1 {F\left( t \right){\rm{d}}t} }} = }\\ {\frac{{{k_1}}}{{{k_2}}}C\sqrt {g{h_{\max }}J} } \end{array} $

(8)

平均水深H为：

$ H = {k_2}{h_{\max }} $

(9)

将式(8)、(9)代入式(3)可得：

$ {S_ * } = {k_0}\frac{{k_1^2}}{{k_2^3}}{C^2}J $

(10)

分汊河道经长期动力调整处于平衡或准平衡状态，可近似认为分汊前后水流挟沙能力相同^[12]，且等于分汊前含沙浓度：

$ {S_{ * 0}} = {S_{ * i}} = {S_0} $

(11)

式中:下标0表示分汊前的单一河道；i表示第i汊道，如图 2所示。

分汊前后的断面曲线形式是一致的，由此可得

$ \frac{{{J_i}}}{J} = {\left( {\frac{C}{{{C_i}}}} \right)^2} $

(12)

式(12)表示能坡的变化取决于河道阻力。

$ {Q_i} = {k_1}{B_i}{h_{\max i}}{C_i}\sqrt {g{h_{\max i}}{J_i}} $

(13)

分流比η_i为：

$ {\eta _i} = \frac{{{Q_i}}}{Q} + \frac{{{B_i}}}{B}{\left( {\frac{{{h_{\max i}}}}{{{h_{\max }}}}} \right)^{3/2}}\frac{{{C_i}}}{C}{\left( {\frac{{{J_i}}}{J}} \right)^{1/2}} $

(14)

将式(12)代入式(14)可得

$ {\eta _i} = \frac{{{B_i}}}{B}{\left( {\frac{{{h_{\max i}}}}{{{h_{\max }}}}} \right)^{3/2}} $

(15)

假定分汊前后泥沙粒径D和形态系数ξ保持不变，由式(4)可导出：

$ \frac{{{B_i}}}{B} = {\left( {\frac{{{H_i}}}{H}} \right)^2} = {\left( {\frac{{{h_{\max i}}}}{{{h_{\max }}}}} \right)^2} $

(16)

将式(16)代入式(15)可得:

$ \frac{{{H_i}}}{H} = \frac{{{h_{\max i}}}}{{{h_{\max }}}} = \eta _i^{2/7} $

(17)

因此可以得到如下水力几何形态关系:

$ \frac{{{B_i}}}{B} = \eta _i^{4/7} $

(18)

$ \frac{{{J_i}}}{J} = \eta _i^{ - \frac{2}{{21}}} $

(19)

$ \frac{{{V_i}}}{V} = \eta _i^{1/7} $

(20)

2 平衡水深方法

冲积河流的河床在水流泥沙长期作用下，表现为与之相适应的最合适形态，当这种形态用水下地形来表征时，即为平衡地形。此形态是水沙长期作用的结果，对应存在着平衡水深与平衡地形，是分汊河段的最终走向。

根据水利几何形态关系式(17)~(20)，可以得出:

$ \frac{{{A_i}}}{{{A_0}}} = \eta _i^{6/7} = {\left( {\frac{{{Q_i}}}{{{Q_0}}}} \right)^{6/7}} $

(21)

由式(21)可得汊道与单一河道过水断面面积之比为:

$ {h_{\max i}} = {\left( {\frac{{{Q_i}}}{{{Q_0}}}} \right)^{6/7}}\frac{{{A_0}}}{{B{k_2}}} $

(22)

通过式(21)和(22)，结合断面形态便可求出平衡水深：

$ h\left( x \right) = \frac{{{A_0}}}{{B{k_2}}}{\left( {\frac{{{Q_i}}}{{{Q_0}}}} \right)^{6/7}}F\left( x \right) $

(23)

对于通航河道，最大通航水深可以根据航道位置依据式(23)计算得出，对于不同断面形态F(x)均具有适用性。天然河流的断面大多呈抛物线，此时

$ \left\{ \begin{array}{l} F\left( x \right) = 1 - {\left( {\frac{{2x}}{B} - 1} \right)^2}\\ {k_2} = \frac{2}{3} \end{array} \right. $

(24)

当汊道建有丁坝、导堤等整治建筑物时，丁坝群头部的连线为治导线，治导线间为主槽, 主槽过水断面面积A_i'和主槽流量Q_i'是决定河床地形的主要因素，而坝田内水流对河床地形影响较小，可修正为

$ \frac{{{{A'}_i}}}{{{A_0}}} = {\left( {\frac{{{{Q'}_i}}}{{{Q_0}}}} \right)^{\frac{6}{7}}} $

(25)

3 平衡水深方法的应用 3.1 航道整治思路

运用平衡水深理论，采用的水流参数均应为多年平均量值才能反映河段的平衡状态。而由于测量条件所限，一般较难从实测水文资料中取得，需通过数学模型计算得出。采用平衡水深理论进行航道整治的思路大致如下：

1) 建立数学模型，模型范围包括研究河段，根据实际地形与实测数据，率定模型参数。模型参数率定后，上游边界条件采用造床流量，通过马卡维耶夫法进行计算，下游边界则与造床流量相适应，以此计算出多年平均量值的水流参数；

2) 选择相对自然的平衡河段，通过数学模型计算出造床流量下的水流参数，基于平衡水深理论计算出平均水深，与平衡河段实际平均水深进行比较，以此验证平衡水深理论的可靠性；

3) 针对需要整治的实际通航河段，通过数学模型计算出造床流量下的水流参数，根据平衡水深理论计算出工程前的最大通航水深，与设计通航水深进行比较，判断平衡水深是否满足设计的通航要求，确定需要航道整治的河段；

4) 针对需要整治的河段，根据设计的工程布置，通过数学模型计算出水流参数，基于平衡水深理论预测造床流量下工程实施后的最大通航水深，与设计通航水深进行比较，以预测设计工程能达到的整治效果。

3.2 模型的验证

选取相对稳定的落成洲河段对平衡水深方法模型进行验证。断面位置如图 3所示，计算结果如表 1所示，文中LCZ为落成洲，LCZC为落成洲左汊，LCZYC为落成洲左汊。

计算出的平均水深与多年平均水深基本一致，表明本研究提出的分汊河段平衡水深理论用于计算汊道平衡水深是适合的。

3.3 最大通航水深计算 3.3.1 福姜沙

1) 工程前

福姜沙河段上起江阴长江大桥下至九龙港，全长约40 km，该河段上距南京约180 km，下距浏河口约120 km，距离长江口外约270 km。在平面上呈现“两级分汊、三汊并存”的格局。福姜沙水道是南京以下河段航道治理的难点，也是长江口深水航道进一步向上延伸的关键控制河段之一。选取福姜沙左汊和双涧沙左汊多个断面，见图 4，通过数模计算断面①~⑧的流量，断面形态按抛物线概化，并根据航道位置计算最大通航水深h_L，结果如表 2所示。

计算结果显示，保障设计航道宽度的情况下，福姜沙左汊可通航水深为12.05 m，与12.5 m设计通航水深的差值为0.45 m，双涧沙左汊可通航水深为7.59 m，与12.5 m设计通航水深的差值为4.91 m，无法满足设计的通航要求。

2) 工程后

根据设计文件整治建筑物布置如图 5所示。

整治工程建成后，水动力、泥沙输运、河床地形和断面形态等发生了明显改变，对此，断面形态概化将会发生重大变化，需要结合实际工程特点，考虑丁坝对断面形态的影响以及沿岸码头密布的实际情况，可将丁坝作用河段的断面形态概化为图 6。丁坝头部连线为治导线，治导线与对岸之间的主槽取底部断面曲线为抛物线。则主槽过流断面面积A_i'为:

$ {{A'}_i} = {B_{\rm{r}}}\left( {{h_{\rm{u}}} + \frac{2}{3}{h_{\rm{d}}}} \right) $

(26)

式中：B_r为治导线与岸线的间距；B_j为河道总宽；h_u为上部矩形水深；取治导线上平均水深；h_d为下部抛物形最大水深。

可以得到主槽最大平衡水深h_max：

$ {h_{\max }} = {h_{\rm{u}}} + {h_{\rm{d}}} = \frac{{3{{A'}_i}}}{{{B_{{\rm{r2}}}}}} - \frac{1}{2}{h_{\rm{u}}} $

(27)

平衡水深为

$ \begin{array}{l} h\left( x \right) = {h_{\rm{u}}} + {h_{\rm{d}}}F\left( x \right) = \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{h_{\rm{u}}} + \left( {\frac{{3{{A'}_i}}}{{{B_{\rm{r}}}2}} - \frac{3}{2}{h_{\rm{u}}}} \right)\left[ {1 - {{\left( {\frac{{2x}}{{{B_{\rm{r}}}}} - 1} \right)}^2}} \right] \end{array} $

(28)

所选的①~⑧断面位置见图 7，位于各丁坝之间，通过数学模型计算主槽的流量，不包括坝田内的流量，因为不同丁坝束水作用有所不同以及各主槽宽度的差异，主槽流量是沿程变化的，最终主槽流量分流比计算结果见表 3。

计算结果显示，保障设计航道宽度情况下，福姜沙左汊可通航水深均大于12.5 m，能满足深水航道通航水深的要求。福北水道可水深相比工程前有所增加，增加幅度约3 m，可通航水深为10.63~10.71 m。

3.3.2 世业洲

1) 工程前

仪征水道上起三江口，下至瓜州，全长约31 km，上接龙潭弯道，下连六圩弯道，与和畅洲水道相邻。选取世业洲右汊多个断面，见图 8，通过数模计算断面①~⑤的断面流量，并根据航道位置计算最大通航水深h_L，结果如表 4所示。

计算结果显示，保障500 m的航道宽度情况下，最浅水深为10.79 m，与12.5 m通航水深的差值为1.71 m，无法保证设计要求的通航水深。

2) 工程后

世业洲工程整治如图 9所示，①~⑤断面位置如图 10所示。计算结果如表 5所示。

计算结果显示，保障500 m的航道宽度情况下，最浅水深从10.79 m，增大至12.95 m，与12.5 m通航水深的差值为+0.45 m，能满足12.5 m通航水深的要求。

4 结论

1) 基于水力几何形态的平衡水深理论对于不同断面形态的分汊河道均具有适用性，汊道与单一河道过水断面面积之比为分流比的6/7次方。

2) 平衡水深方法提供了一种除数学模型和物理模型外预测河床演变趋势的方法，它更加注重对最终结果的探求，与数学模型重视过程变化的特点有所不同，优势互补。

3) 长江南京以下12.5 m深水航道二期工程对增大通航水深效果明显，但个别河段，仍无法达到12.5 m通航水深要求。对此应着重于增大分流比和减小水流阻力，调整分流鱼嘴和丁坝布设等措施，增大可维持的最大平衡水深，使其接近设计水深。