结构物被广泛用于海洋资源的开发和利用，而结构物间的窄缝广泛存在于海洋工程结构物中，如：船侧与码头之间、并排的船与船之间、海上机场等超大型浮式结构物的浮箱模块之间。浮体间窄缝中的水体在某一波浪的激振下，窄缝处水体波面急剧抬高，对结构物的流体作用力也随之显著增大，该现象被称为窄缝共振现象。窄缝共振现象，轻则会影响船舶或海洋工程结构物的正常使用和生产作业，重则会影响结构的安全与寿命，甚至直接造成损伤和破坏。因此，有必要开展波浪作用下多浮体间的窄缝共振现象的研究。通过揭示窄缝间水体共振的机理，实现减少水体共振对海洋的储油设备、运输船舶和码头等带窄缝的海上结构物的破坏，该研究将对含窄缝的多浮体结构物的设计具有重要的指导意义。

目前已有学者对固定多浮体间的窄缝共振现象开展了研究，但大多基于势流模型。Miao等^[1-2]建立势流模型，应用渐进匹配法研究了两个固定方箱的吃水和窄缝宽度对方箱所受波浪力的影响。何广华等^[3-4]应用比例边界有限元法对双箱和三箱的狭缝水动力共振现象展开了研究。朱仁传等^[5]基于频域三维势流数值模型，考查了小间隙对双浮体系统所受波浪力及浮体间水动力相互作用的影响。Li等^[6]基于完全非线性势流理论，建立数值水槽，考察两靠近驳船的距离和吃水等对窄缝共振的影响。苏晓杰等^[7]基于源造波的时域高阶边界元方法建立完全非线性数值水槽，在窄缝内引入人工阻尼，分析了箱体数量对多体-窄缝系统的各箱体所受波浪载荷的影响。由于传统势流理论不易考虑粘性影响，因此上述基于势流模型计算所得到的窄缝共振时的波面抬高和浮体波浪力总体偏大，甚至高估10倍之多^[1]。

Lu等^[8-9]建立粘流模型，分析入射波浪频率、窄缝宽度、浮体吃水、浮体宽度、浮体数目等对窄缝间波高及浮体所受荷载的影响。陈学彬等^[10-11]用粘性流CFD软件FLUENT，对波浪与相邻浮体作用的共振现象进行了数值模拟。Saitoh等^[12]通过物理模型试验，对固定双浮体间窄缝共振现象进行了研究。文献[13-16]基于约束插值剖面(constrained interpolation profile, CIP)方法对强非线性自由表面流问题展开了研究。结果显示：基于CIP方法能精确地计算波浪破碎、水花飞溅等强非线性现象。本文基于CIP方法建立了二维强非线性粘性流数值波浪水槽，通过造波试验，给出了波面抬高和流体体积变化率的时间历程线。然后，对固定双浮体共振现象展开研究，分析共振时窄缝处的波面抬高，并与文献[8, 12]进行了对比。分别给出双浮体的水平波浪力和垂向波浪力，并与其他数值计算方法得到的结果^[9]进行了对比。最后，对处于共振与非共振频率的多种工况进行对比研究，分析了水体共振对波面抬高和浮体受力的影响。

1 数值水槽的建立

本文所采用的计算模型如图 1所示，在水槽中建立右手坐标系O-xy，x轴位于静水面向右为正，y轴沿水槽左端向上为正。水槽采用源造波方法进行造波，并在水槽左右两端设人工阻尼层进行消波，以便长时间模拟。两箱体模型设置在中后段的工作区。

假设流体不可压缩，其连续性方程和N-S方程可写为：

$ \frac{{\partial {v_x}}}{{\partial x}} + \frac{{\partial {v_y}}}{{\partial y}} = 0 $

(1)

$ \frac{{\partial {v_x}}}{{\partial t}} + \left( {{v_x}\frac{{\partial {v_x}}}{{\partial x}} + {v_y}\frac{{\partial {v_x}}}{{\partial y}}} \right) = - \frac{1}{\rho }\frac{{\partial P}}{{\partial x}} + \nu {\Delta ^2}{v_x} + {f_x} $

(2)

$ \frac{{\partial {v_y}}}{{\partial t}} + \left( {{v_x}\frac{{\partial {v_y}}}{{\partial x}} + {v_y}\frac{{\partial {v_y}}}{{\partial y}}} \right) = - \frac{1}{\rho }\frac{{\partial P}}{{\partial y}} + \nu {\Delta ^2}{v_y} + {f_y} $

(3)

式中：Δ²为拉普拉斯算子，v_x和v_y分别表示x和y方向的速度，t表示时间，ρ表示流体密度，P表示流体压力，ν=μ/ρ表示运动粘度，f_x和f_y分别为x和y方向所受的质量力。

本数值水槽中的初始条件为静止状态，即水体和物体无初始速度。数值波浪水槽出入口处均假定无流体的流入和流出，物体表面采用无滑移边界条件。

CIP方法是利用三次插值多项式来模拟网格内的物理量(以轮廓表示)，其核心思想为同时求解该物理量及它的空间导数，以实现数值计算的精确性和稳定性^{[13, 17]}。

$ \frac{{\partial f}}{{\partial t}} + u\frac{{\partial f}}{{\partial x}} = 0 $

(4)

式(4)为对流方程，假设以速度u向右传播。图 2中的竖直虚线为其网格线，以x_i来表示，可得某一时刻不同网格点处的波高。如图 2(a)实线所示为该时刻的实际波形。经过时间Δt后，波浪向右传播，其精确波形为图 2(a)中的虚线。由于只能知道网格点x_i-2，x_i-1，x_i，x_i+1点的波高值如图 2(b)，即用一阶的迎风差分法得到Δt后的x_i-2，x_i-1，x_i，x_i+1点处的值，为图 2(c)实线。为了更精确地求解该波浪轮廓线，同时计算对流项变量f和其空间梯度cf/∂x，采用半拉格朗日法可得图 2(d)实线。即将式(4)取空间导数得

$ \frac{{\partial g}}{{\partial t}} + \mathit{\boldsymbol{u}}\frac{{\partial g}}{{\partial x}} = - g\frac{{\partial u}}{{\partial x}} $

(5)

其中，g=∂f/∂x。同时求解式(4)和式(5)，则得到网格(x_i-1, x_i)内的轮廓为图 2(d)中的实线。

2 数值结果与讨论 2.1 规则波的生成

基于所开发的数值水槽模型，对规则波的纯造波问题展开了模拟。计算域长为18.8 m, 水深h为0.50 m。关于网格大小、时间步长等收敛性问题已通过大量数值算例进行了系统的验证。限于篇幅，本文只给出了波长λ=1.57 m的模拟结果。图 3为波长λ=1.57 m时，x=10.5 m处的波面抬高时历曲线。x轴为无因次化的时间，T_wave表示波浪周期；y轴为以入射波高A进行无因次化后得到的波面抬高。

从图 3可以看出：前数个波周期水面抬高几乎为0，是因为源造波法所造的规则波仍然未传播至x=10.5 m处，水面仍处于平静状态。进入约第3个周期，波面开始扰动，并呈光顺地过渡到指定波高，其原因为造波使用了缓启动数值技术以使波高从零逐渐增大，保障数值模拟过程的顺利和光滑。生成的正弦波，波形稳定、波高相同，且具有非常好的周期性，与正弦波的特性吻合很好；本模型生成的正弦波能够满足后续研究对正弦波的需求。

为了验证计算过程中的质量守恒问题，本文引入了流体体积变化率R_V：

$ {R_{\rm{V}}} = \frac{{{V_{\rm{t}}} - {V_0}}}{{{V_0}}} \times 100 $

(6)

式中:V_t表示t时刻流体的体积；V₀表示初始时刻流体的体积。经过长达35个波浪周期的模拟后，流体体积最后仅减小了0.000 155%，因此可以认为流体体积保持不变，即本模型具有良好的质量守恒性。

2.2 两箱体间窄缝水体的共振现象

数值水槽设置两个固定箱体A(迎浪侧)、B(背浪侧)。为了便于与文献[8, 9, 12]的实验及数值结果相比较，本模型的参数设置与文献[8, 12]的一致。即水深h=0.5 m，两箱体宽度均为B=0.5 m。取两箱体吃水均为d=0.252 m，两箱体间窄缝宽度B_g=0.07 m的工况进行对比；两箱体的中心(即狭缝中心)的坐标为x_s=12.1 m；具体设置如图 1所示。

图 4给出了窄缝处平均波高随不同入射波数k_h的变化规律，其中H_g/H₀为以入射波高H₀进行无因次化得到的窄缝处的平均波高，k_h为利用水深h无因次化得到的入射波数，值为有量纲的波数k与水深h的乘积。结果显示：1)在某一入射波频率激振下，两箱体窄缝间的水体确实会发生共振现象，且粘流模型和势流模型都能够较精确地预测窄缝共振频率；2)在远离共振的频带，各模型结果都与实验结果吻合较好；在共振频带，因为势流模型忽略了流体的粘性，导致预测窄缝处波高过高；3)本粘流模型结果与文献[8, 12]实验结果吻合良好，但本粘流模型与文献[8]的结果均与文献[12]实验结果存在一定的相位差; 文献[8]的结果较^[12]实验结果向右(k_h增大侧)偏移；而本数值结果相对于实验结果^[12]向左偏移，但相对于文献[8]结果更加接近实验值。

由图 4可得引起窄缝内水体共振的入射波数k_h和共振时窄缝内平均波高H_g/H₀。为了分析本模型计算结果的准确性，分别计算了本粘流模型结果与文献[8]模型的结果相对于文献[12]实验结果的相对误差，结果如表 1所示。

由表 1可知，本粘流模型对共振频率k_h的预测值为1.420，相比文献[12]实验值的误差为-3.30%，而文献[8]结果的相对误差为1.7%；总体来说，两者均较为精确地预测了共振频率；本粘流模型对共振时窄缝处的平均波高的预测值为4.705，相比实验值的误差为-0.70%，只有文献[8]结果的相对误差的1/7。

由图 4和表 1可知，本粘流模型结果与实验结果^[12]吻合较好，可用来求解两箱体间窄缝的水动力共振。窄缝间水体共振时，窄缝内波高急剧增大，引发结构物上的波浪力增大，导致结构受损甚至破坏。因此，下面对共振时箱体所受的波浪力进行分析。由于实验数据的缺失，故计算结果将与文献[9]的结果及势流模型结果进行比较。箱体A、B所受无量纲水平波浪力可表示为F_{A, x}、F_{B, x}，而无量纲垂向波浪力为F_{A, y}、F_{B, y}:

$ {F_{{\rm{A}}, x}} = {F_{{\rm{A}}x}}/\rho gh{H_0} $

(7)

$ {F_{{\rm{B}}, x}} = {F_{{\rm{B}}x}}/\rho gh{H_0} $

(8)

$ {F_{A, y}} = {F_{{\rm{A}}y}}/\rho gh{H_0} $

(9)

$ {F_{{\rm{B}}, y}} = {F_{{\rm{B}}y}}/\rho gh{H_0} $

(10)

式中：F_Ax、F_Bx、F_Ay、F_By为箱体A、B实际受到的水平及垂向波浪力，ρ为流体密度，h为水深，H₀为入射波波高。

图 5分别给出了箱体A、B的水平受力F_{A, x}、F_B，x及垂向受力F_{A, y}、F_{B, y}随不同入射波波数k_h的变化规律。

从图 5 (a)和图 5 (b)可以看出：1)在远离共振响应区域，势流模型和粘流模型均能较为准确地估计箱体A、B受到的水平波浪力F_{A, x}、F_{B, x}；而在共振响应区附近，势流模型则高估了箱体A、B受到的水平波浪力F_{A, x}、F_{B, x}。2)在共振响应频率处，本粘流模型结果与文献[9]的结果吻合较好，但仍存在一定的相位差；本粘流模型得到的水平波浪力曲线相对比较光滑，文献[9]的结果得到的水平波浪力曲线稍有波动；3)箱体A所受水平波浪力在共振响应频率后的值大于响应频率前的值，而箱体B所受水平波浪力的值在响应频率后小于响应频率前。

由图 5 (c)和图 5 (d)可知：1)与水平波浪力的结论相似，除在响应频率附近，势流模型过高地估计了垂向波浪力以外，势流模型与粘流模型一样能够较为准确地计算垂向波浪力F_{A, y}、F_{B, y}；2)两粘性流模型结果总体吻合较好，但在共振响应区附近，两者存在一定的相位差；3)箱体A、B所受垂向波浪力在响应频率区域都急剧下降，在响应频率后所受的垂向波浪力远小于响应频率前，箱体B在高频率入射波作用下几乎不受垂向波浪力；4)箱体A受到的垂向波浪力整体比箱体B受到的垂向波浪力大。

为了进一步分析水体共振对两箱体的水动力特性的影响，本文对共振频率及其近邻频率下的水动力响应展开了对比研究，图 6分别给出了窄缝处的波高及两箱体水平受力在3种频率下的时间历程线。

从图 6 (a)可以看出，共振时k_h=1.42，窄缝处的波高显著增大，为非共振时的水面抬高的2.1倍以上；从图 6 (b)看出，k_h=1.42时作用在箱体A上的水平力F_A，x，比k_h=1.20时作用在箱体A上的水平力F_A，x明显要大，但与k_h =1.7时的F_A，x相差不大，结合图 5 (a)可知，k_h=1.7仍处于共振响应区间附近，箱体A的水平波浪力仍比较大；从图 6 (c)看出，箱体B受到的水平波浪力F_B，x在共振点也明显较非共振点的值要大，但箱体B受到的波浪力的幅值整体比箱体A的要小。从图 6 (b)、(c)可以看出：箱体A和B的水平波浪力几乎是大小相等，相位相反的一对作用力，其原因为窄缝共振产生的波浪力对箱体A和B的水平波浪力贡献较大且窄缝水体对箱体A和B的作用力大小相等，方向相反。

对应于图 6的对比分析，图 7和图 8给出了更为直观的箱体周围自由液面位置。图 7和图 8分别为非共振频率处(k_h=1.20)和共振频率处(k_h=1.42)处箱体周围的波面抬高情况。为了便于比较，图 7和图 8均以窄缝处的波浪上跨零点为初始相位给出了一个周期内的四个典型相位，它们分别是初始相位(上跨零点)：图 7 (a)和图 8 (a)；最大波高相位：图 7 (b)和图 8 (b)；下跨零点：图 7 (c)和图 8 (c)；最小波高相位：图 7 (d)和图 8 (d)。对比图 7 (b)、(d)与图 8 (b)、(d)可以看出：发生窄缝水体共振时(即k_h=1.42)，窄缝处的波面抬高要较非共振频率时的波面抬高要大。从图 8 (b)和图 8 (d)可以看出：发生水体共振时，箱体左右的波面抬高相差较大，从而导致作用在箱体上的水平力F_x明显增大，该结论印证了图 6的分析结果。

3 结论

1) 本数值结果与实验结果和其他数值结果尤其是粘性流模型结果吻合较好。

2) 本文建立的数值模型能够准确分析窄缝处水体共振对两箱体水动力性能的影响，对工程应用具有一定的指导意义。

本文只考虑了两箱体固定的情形。因为海洋中结构物难以保持固定不动，所以进一步研究浮体可以自由运动时，两箱体间的水动力共振问题具有重要意义。