传统帆船在海上航行时，通过人为操舵并实时调整帆角，以达到最佳航向控制性能。与之相比，无人帆船使用计算机替代人工操帆，且能够同步观测风向、风速等海上信息，使帆船始终保持在期望航向上航行^[1]。在复杂的海况下，无人帆船在航行中会遭遇许多未知航行危险及外界环境中风、浪、流等海洋干扰，这给无人帆船自动化技术发展和工程实现带来了诸多困难。因此，对无人帆船航向保持控制研究引起了学者的关注。

Emami等^[2]利用PID算法设计了一个2 m小型自主帆船的航向保持控制器，实现了帆船的航向保持控制。由于帆船是一种具有较强干扰和模型不确定性的时变系统，使得PID控制器受到很大的限制和挑战。考虑时变的帆船航行系统，文献[3-4]分别采用模糊和神经网络控制方法，设计小型帆船自适应舵，在航向保持上的控制效果与PID近乎相同，但对外部环境扰动具有更强的鲁棒性。然而，文献[3-4]基于模糊、神经网络的帆船运动控制方法，由于其固有的控制结构，均未考虑帆船的动力学模型，故在系统稳定性和控制性能分析等方面存在一定的局限性。Saoud等^[5]以三自由度帆船模型^[6]为研究对象，忽略横摇对帆船运动过程中产生的偏航影响，利用反演法和开关函数设计航向控制器，实现了帆船的航向保持控制。林晓等^[1]针对不含有外界环境扰动的四自由度帆船数学模型，采用反演法设计了船舶运动航向控制器，实现了无扰动的航向保持控制。Wille等^[7]在文献[1]的基础上，考虑外界扰动的影响，利用状态反馈线性化设计了航向保持控制器，并引入横漂角作为修正项来减小航向控制误差。SAOUD等^[5]和SAOUD等^[6]及WILLE等^[7]研究帆船数学模型是完全已知，且控制器设计中的控制方向已知，这与工程实际存在一定差距。在实际工程中，无人帆船存在模型不确定，控制方向未知的情况。耿宝亮等^[8]采用积分型Lyapunov函数，并结合神经网络方法，克服了因控制方向未知而可能存在的系统奇值问题。张元涛等^[9]和张伟等^[10]设计滑模和模糊控制器对系统中的控制方向未知函数进行在线逼近，有效实现对参考信号的跟踪控制。文献[11-12]在控制器设计中引入Nussbaum增益技术^[13]，有效地解决了控制方向未知的问题。田佰军等^[14]提出了一种可以人为改变增益符号的自适应调节控制方法，在反演法中引入Nussbaum函数，改善了船舶航向保持控制问题。

基于上述研究成果，本文采用RBF神经网络逼近帆船模型不确定部分，将动态面技术^[15]与Nussbaum函数结合，既解决控制方向未知问题，又可避免可能存在的控制器奇异值问题。并基于一艘12 m型无人帆船模型进行仿真研究，验证所设计控制器的有效性。

1 无人帆船航向控制问题描述

文献[1]将帆船分成风帆、船舵、龙骨和船体4部分，结合气体流体动力学理论和机翼理论对各部分进行受力分析，建立了一种四自由度帆船模型，然而该模型未考虑外界干扰，故本文在此基础上增加风和浪等扰动模型，将四自由度帆船运动数学模型表示为:

$ \left\{ \begin{array}{l} \mathit{\boldsymbol{\dot x}} = \mathit{\boldsymbol{u}}\cos \psi - \mathit{\boldsymbol{v}}\sin \psi \cos \psi \\ \mathit{\boldsymbol{\dot y}} = \mathit{\boldsymbol{u}}\sin \phi - \mathit{\boldsymbol{v}}\sin \phi \cos \phi \\ \dot \phi = \mathit{\boldsymbol{p}}\\ \mathit{\boldsymbol{\dot \psi }} = \mathit{\boldsymbol{r}}\cos \phi \\ \mathit{\boldsymbol{\dot u}} = \left[ {\left( { - m + {Y_{{\rm{\dot v}}}}} \right)\mathit{\boldsymbol{vr}} - {F_{x{\rm{k}}}} - {F_{x{\rm{h}}}} + {F_{x{\rm{s}}}} + {F_{x{\rm{r}}}} + } \right.\\ \;\;\;\;\;\left. {{X_{{\rm{wind}}}} + {X_{{\rm{wave}}}}} \right]{\left( {m - {X_{{\rm{\dot u}}}}} \right)^{ - 1}}\\ \mathit{\boldsymbol{\dot v}} = \left[ {\left( {m - {X_{\dot u}}} \right)\mathit{\boldsymbol{ur}} - {F_{y{\rm{k}}}} - {F_{y{\rm{h}}}} + {F_{y{\rm{s}}}} + {F_{y{\rm{r}}}} + } \right.\\ \;\;\;\;\;\left. {{Y_{{\rm{wind}}}} + {Y_{{\rm{wave}}}}} \right]{\left( {m - {Y_{{\rm{\dot v}}}}} \right)^{ - 1}}\\ \mathit{\boldsymbol{\dot p}} = \left[ { - {M_{\rm{r}}}\left( \phi \right) - {M_{x{\rm{k}}}} - {M_{x{\rm{h}}}} + {M_{x{\rm{s}}}} + {M_{x{\rm{r}}}} - } \right.\\ \;\;\;\;\;\;\left. {{\mathit{\boldsymbol{M}}_{\phi {\rm{d}}}}\left( {\dot \phi } \right) + {K_{{\rm{wind}}}} + {K_{{\rm{wave}}}}} \right]{\left( {{I_{xx}} - {K_{{\rm{\dot p}}}}} \right)^{ - 1}}\\ \mathit{\boldsymbol{\dot r}} = \left[ { - \left( {{X_{{\rm{\dot u}}}} + {Y_{{\rm{\dot v}}}}} \right)\mathit{\boldsymbol{u\nu }} - {\mathit{\boldsymbol{M}}_{z{\rm{k}}}} - {\mathit{\boldsymbol{M}}_{z{\rm{h}}}} + {\mathit{\boldsymbol{M}}_{z{\rm{s}}}} + {\mathit{\boldsymbol{M}}_{z{\rm{r}}}} - } \right.\\ \;\;\;\;\;\left. {{\mathit{\boldsymbol{M}}_{\psi {\rm{d}}}}\left( {\dot \psi } \right)\cos \phi + {N_{{\rm{wind}}}} + {N_{{\rm{wave}}}}} \right]{\left( {{I_{zz}} - {N_{{\rm{\dot r}}}}} \right)^{ - 1}} \end{array} \right. $

(1)

式中:x和ψ为帆船重心在大地坐标系的实际位置; ϕ为横摇角；ψ为艏摇角；u为前进速度；v为横移速度；p为横摇角速度；r为艏摇角速度。F_xs、F_ys、M_xs、M_zs为风帆产生的力和力矩，F_xr、F_yr、M_xr、M_zr为船舵产生的力和力矩；F_xk、F_yk、M_xk、M_zk为龙骨产生的力和力矩；F_xh、F_yh、M_xh、M_zh为船体阻尼力和力矩；M_ψd(${\dot \psi } $)为艏摇阻尼矩阵; M_r(ϕ)为静态回复力矩; m为帆船的质量；I_xx为附体坐标系下x轴的附加转动惯量；I_zz为附体坐标系下z轴的附加转动惯量; ${{\dot X}_{\rm{u}}} $、${{\dot Y}_{\rm{v}}} $、${{\dot K}_{\rm{p}}} $、${{\dot N}_{\rm{r}}} $为附体坐标系中的附加质量系数; X_wind、Y_wind、K_wind、N_wind为干扰风作用于帆船的船体产生的流体动力和力矩；而X_wave、Y_wave、K_wave、N_wave为海浪干扰产生的力和力矩^[16]。

其中，风帆产生的力和力矩表示为

$ \left\{ \begin{array}{l} {F_{x{\rm{s}}}} = {L_{\rm{s}}}\sin {\alpha _{{\rm{aw}}}} - {D_{\rm{s}}}\cos {\alpha _{{\rm{aw}}}}\\ {F_{y{\rm{s}}}} = {L_{\rm{s}}}\cos {\alpha _{{\rm{aw}}}} - {D_{\rm{s}}}\sin {\alpha _{{\rm{aw}}}}\\ {M_{x{\rm{s}}}} = \left( {{L_{\rm{s}}}\cos {\alpha _{{\rm{aw}}}} + {D_{\rm{s}}}\sin {\alpha _{{\rm{aw}}}}} \right)\left| {{z_{\rm{s}}}} \right|\\ {M_{z{\rm{s}}}} = \left( {{L_{\rm{s}}}\cos {\alpha _{{\rm{aw}}}} + {D_{\rm{s}}}\sin {\alpha _{{\rm{aw}}}}} \right)\left( {{x_{\rm{m}}} - {x_{{\rm{sm}}}}\cos {\delta _{\rm{s}}}} \right) - \\ \;\;\;\;\;\;\;\;{x_{{\rm{sm}}}}\sin {\delta _{\rm{s}}}\left( {{L_{\rm{s}}}\sin {\alpha _{{\rm{aw}}}} - {D_{\rm{s}}}\cos {\alpha _{{\rm{aw}}}}} \right) \end{array} \right. $

式中:L_s和D_s分别为风帆产生的升力和阻力；z_s为风帆重心距离船基线高度；α_aw为相对风向角；δ_s为帆角；x_sm为桅杆距离帆上空气动力中心点的距离；x_m为桅杆在附体坐标系中x轴的坐标。

由四自由度帆船运动数学模型式(1)，可得帆船航向运动数学模型为

$ \left\{ \begin{array}{l} \dot \psi = r\cos \phi \\ \dot r = {f_1} = {\left( {{I_{zz}} - {{\dot N}_{\rm{r}}}} \right)^{ - 1}}\left[ {\left( { - {{\dot X}_{\rm{u}}} + {{\dot Y}_{\rm{v}}}} \right)\mathit{\boldsymbol{uv}} - } \right.\\ \;\;\;\;\;{M_{\psi {\rm{d}}}}\left( {\dot \psi } \right)\cos \phi + {M_{z{\rm{s}}}} + {M_{z{\rm{r}}}} - {M_{z{\rm{k}}}} - \\ \;\;\;\;\left. {{M_{z{\rm{h}}}} + {N_{{\rm{wind}}}} + {N_{{\rm{wave}}}}} \right] \end{array} \right. $

(2)

式中:δ_s为帆角；δ_r为舵角。

为便于帆船航向控制器设计，根据舵角δ_r的执行器实际配置范围，可将模型式(2)中的非仿射系统f₁变换为如下关于控制舵角输入δ_r的仿射系统:

$ \left\{ \begin{array}{l} \mathit{\boldsymbol{\dot \psi }} = \mathit{\boldsymbol{r}}\cos \phi \\ \mathit{\boldsymbol{\dot r}} = {f_2}\left( {\psi ,\mathit{\boldsymbol{r}},{\delta _{\rm{s}}},\mathit{\boldsymbol{u}},\mathit{\boldsymbol{v}},\mathit{\boldsymbol{p}},\phi } \right) + {g_{\rm{r}}}{\delta _{\rm{r}}} + \Delta \end{array} \right. $

(3)

式中:ψ、r为系统状态变量；f₂(ψ, r, δ_s, u, v, p, ϕ)为光滑结构未知的非线性函数；δ_r、ψ分别为系统的输入和输出；${g_{\rm{r}}} = \frac{{\left| {{x_{\rm{r}}}} \right|\rho {A_r}V_{\rm{R}}^2{K_{{\rm{Lr}}}}}}{{2\left( {{I_{zz}} - {N_{{\rm{\dot r}}}}} \right)}} $，其中, |x_r |为舵在附体坐标系中x轴的坐标，ρ为流体密度，A_r为舵平面区域的面积，V_R为相对风速，k_Lr为舵的升力系数，g_r中部分参数难以实时测量得出，故假设其为未知光滑控制增益函数；Δ=(N_wind+N_wave)/(I_zz- ${{N_{{\rm{\dot r}}}}} $)即为风浪干扰，其值未知但有界。

为便于控制器的设计，提出以下2个假设:

假设1:无人帆船的期望航向ψ_d是光滑可导且有界的，其一阶导数$ {{\dot \psi }_{\rm{d}}}$和二阶导数${{\ddot \psi }_{\rm{d}}} $亦是有界的；

假设2:控制增益函数g_r方向未知且有界，即存在常数G_r>0，使得|g_r| ≤G_r。

综上，无人帆船航向控制目标可描述为:针对无人帆船航向控制数学模型式(3)，在满足假设1和假设2的情况下，考虑存在模型不确定以及控制增益方向和外部环境扰动均未知的情况下，设计一种神经网络自适应动态面航向保持控制器，使无人帆船可以沿期望航向航行，并保证闭环系统所有信号的一致最终有界性，实现无人帆船的航向保持控制。

2 自适应动态面航向控制器设计

考虑帆船存在模型不确定部分、控制增益方向和外部环境扰动未知问题，引入Nussbaum函数，结合神经网络、动态面技术和自适应反演技术，设计无人帆船航向保持的神经网络自适应动态面控制器。

为了便于控制器设计，先给出Nussbaum型函数及与之相关的一个引理。

定义1 ^[13]:连续函数N(ξ): R→R被称为是一个Nussbaum型函数，具有下列属性:

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\mathop {\lim }\limits_{s \to + \infty } \sup \frac{1}{s}\int_0^s {N\left( \xi \right){\rm{d}}\xi } = + \infty }\\ {\mathop {\lim }\limits_{s \to + \infty } \inf \frac{1}{s}\int_0^s {N\left( \xi \right){\rm{d}}\xi } = - \infty } \end{array} $

(4)

引理1 ^[13]:设V(·)和ξ(·)为定义在[0, t_f)上的光滑函数，其中V(t)≥0，∀t∈[0, t_f)，并且N(·)为一光滑Nussbaum型函数，如果∀t∈[0, t_f)，以下不等式成立:

$ \begin{array}{*{20}{c}} {V\left( t \right) \le {c_0} + {{\rm{e}}^{ - {c_1}t}}\int_0^t {g\left[ {x\left( \tau \right)} \right]N\left( \xi \right)\dot \xi {{\rm{e}}^{{c_1}\tau }}{\rm{d}}\tau } + }\\ {{{\rm{e}}^{ - {c_1}t}}\int_0^t {\dot \xi {{\rm{e}}^{{c_1}\tau }}{\rm{d}}\tau } } \end{array} $

(5)

式中:c₀表示某一适当的常数；常数c₁>0；g[x(τ)]为时变函数，则$\int_0^t {g\left[ {x\left( \tau \right)} \right]N\left( \xi \right)} \dot \xi {\rm{d}}\tau $ 、ξ(t)和V(t)在[0, t_f)上必定有界。

根据文献[17]的命题2, 若闭环系统有界, 则t_f=∞。

考虑式(3)中存在未知非线性函数f₂，故引进RBF神经网络对其进行在线逼近。对光滑的非线性函数f₂:Ω→ R，存在一个径向基函数向量H(x) : R^m→R^l，以及理想的神经网络权值矩阵W ^*∈R^l，使得

$ {f_2}\left( {\psi ,\mathit{\boldsymbol{r}},{\delta _{\rm{s}}},\mathit{\boldsymbol{u}},\mathit{\boldsymbol{v}},\mathit{\boldsymbol{p}},\phi } \right) = {\mathit{\boldsymbol{W}}^{ * {\rm{T}}}}\mathit{\boldsymbol{H}}\left( \mathit{\boldsymbol{x}} \right) + \varepsilon $

(6)

式中:x =[ψ, r, ϕ]^T∈Ω为神经网络的输入，Ω为R^m上的紧集；H(x)=[h₁(x), h₂(x), …, h_l(x)]^T∈R^l为神经网络径向基函数向量，h_l(x)为神经网络的高斯基函数输出，其表达式为${h_l}\left( \mathit{\boldsymbol{x}} \right) = \exp \left[ { - \frac{{{{\left( {\mathit{\boldsymbol{x}} - {\mathit{\boldsymbol{c}}_j}} \right)}^{\rm{T}}}\left( {\mathit{\boldsymbol{x}} - {\mathit{\boldsymbol{c}}_j}} \right)}}{{2b_j^2}}} \right] $，b_j>0为高斯基函数的宽度，j为神经网络隐含层的第j个节点，j=1, 2, …, l，c_j=[c_j1, c_j2, c_j3]^T为第j个隐层神经元的中心点向量值；ε∈ R为神经网络的逼近误差，理想的权值矩阵W^*取在紧集Ω内使得|ε|最小的估计值${{\hat W}^{\rm{T}}} $，定义为

$ {\mathit{\boldsymbol{W}}^ * } = \arg \mathop {\min }\limits_{\hat w \in {{\bf{R}}^l}} \left\{ {\mathop {\sup }\limits_{x \in \mathit{\Omega }} \left| {{f_2} - {{\mathit{\boldsymbol{\hat W}}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{H}}\left( \mathit{\boldsymbol{x}} \right)} \right|} \right\} $

(7)

理想权重W^*在实际中无法得到，故用${\hat W} $表示其估计值，${\tilde W} $为估计误差，即$\tilde W = \hat W - {W^*} $。因此，系统的未知非线性不确定性f₂可表示为

$ {f_2} = {{\mathit{\boldsymbol{\hat W}}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{H}}\left( \mathit{\boldsymbol{x}} \right) - {{\mathit{\boldsymbol{\tilde W}}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{H}}\left( \mathit{\boldsymbol{x}} \right) + \varepsilon $

(8)

假设3:对于所有的x ∈Ω、理想权值W^*和逼近误差ε有界，即存在正常数W_M和ε_H，满足‖ W^*‖≤ W_M，|ε| ≤ε_H。

控制器设计的具体步骤为:

1) 定义航向误差变量z₁，并对z₁子系统进行设计:

$ {\mathit{\boldsymbol{z}}_1} = \mathit{\boldsymbol{\psi }} - {\mathit{\boldsymbol{\psi }}_{\rm{d}}} $

(9)

式中:ψ_d是期望航向，且${{\mathit{\boldsymbol{\dot \psi }}}_{\rm{d}}} $是连续有界的。

对式(9)求导得

$ {{\mathit{\boldsymbol{\dot z}}}_1} = \mathit{\boldsymbol{r}}\cos \phi - {{\mathit{\boldsymbol{\dot \psi }}}_{\rm{d}}} $

(10)

选择Lyapunov函数${V_1} = \frac{{z_1^2}}{2} $并求导可得

$ {{\dot V}_1} = {\mathit{\boldsymbol{z}}_1}{{\mathit{\boldsymbol{\dot z}}}_1} = {\mathit{\boldsymbol{z}}_1}\left( {r\cos \phi - {\psi _d}} \right) $

(11)

式中横摇角ϕ∈(-π/2，π/2)，则cosϕ>0。

2) 定义艏摇角速度误差变量z₂，并对z₂子系统进行设计:

$ {\mathit{\boldsymbol{z}}_2} = r - {\alpha _1} $

(12)

式中α₁为虚拟控制量，选取为

$ {\alpha _1} = - {k_1}{\mathit{\boldsymbol{z}}_1} + \frac{{{{\mathit{\boldsymbol{\dot \psi }}}_{\rm{d}}}}}{{\cos \phi }} $

(13)

为避免对虚拟控制量直接求导产生“微分爆炸”问题，根据Swaroop^[17]提出的动态面方法，引入新的状态变量θ₁作为α₁的一阶低通滤波器输出，其表达式为

$ {T_1}{{\dot \theta }_1} + {\theta _1} = {\alpha _1},{\theta _1}\left( 0 \right) = {\alpha _1}\left( 0 \right) $

(14)

式中T为滤波器时间常数。用滤波器的$ {{\dot \theta }_1}$代替$ {{\dot \alpha }_1}$项，避免传统反演法中对虚拟控制量直接求导产生的计算复杂问题，易于工程实现。

定义无人帆船闭环系统滤波器跟踪误差为

$ Y = {\theta _1} - {\alpha _1} $

(15)

对式(12)求导，并用神经网络系统(8)逼近系统不确定函数f₂，可得

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{{\mathit{\boldsymbol{\dot z}}}_2} = \mathit{\boldsymbol{\dot r}} - {{\dot \alpha }_1} = {f_2} + {g_r}{\delta _r} + \Delta - {{\dot \theta }_1} = }\\ {{{\mathit{\boldsymbol{\hat W}}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{H}}\left( \mathit{\boldsymbol{x}} \right) - {{\mathit{\boldsymbol{\tilde W}}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{H}}\left( \mathit{\boldsymbol{x}} \right) + {g_r}{\delta _r} - {{\dot \theta }_1} + \Delta + \varepsilon } \end{array} $

(16)

假设4:对于无人帆船风浪扰动Δ和RBF神经网络逼近误差ε，存在未知且有界函数D>0，使|ε| + |Δ|＜D。

设计无人帆船航向保持舵角控制律为

$ {\delta _r} = N\left( \xi \right)\left[ {{k_2}{z_2} + {{\mathit{\boldsymbol{\hat W}}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{H}}\left( \mathit{\boldsymbol{x}} \right) + \mathit{\Xi }\hat D - {{\dot \theta }_1}} \right] $

(17)

$ N\left( \xi \right) = {{\rm{e}}^{{\xi ^2}}}\cos \left[ {\left( {{\rm{ \mathsf{ π} }}/2} \right)\xi } \right] $

(18)

式中:Ξ=tanh(z₂/χ)，χ为正的设计常数；${\hat D} $为D的估计值；k₂亦为正的设计常数；ξ为Nussbaum函数变量。

设计权值向量自适应律为

$ \mathit{\boldsymbol{\dot {\hat W}}} = \gamma \left[ {\mathit{\boldsymbol{H}}\left( \mathit{\boldsymbol{x}} \right){z_2} - \sigma \mathit{\boldsymbol{\hat W}}} \right] $

(19)

式中σ和γ均为正的设计参数。

设计ξ的参数自适应律为

$ \dot \xi = \left[ {{k_2}{z_2} + {{\mathit{\boldsymbol{\hat W}}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{H}}\left( \mathit{\boldsymbol{x}} \right) + \mathit{\Xi }\hat D - {{\dot \theta }_1}} \right]{\mathit{\boldsymbol{z}}_2} $

(20)

对神经网络逼近误差和外部环境扰动组成的界变量D，设计带σ-修正泄露项的自适应律对其进行估计:

$ \dot {\hat D} = Q\left[ {{\mathit{\Xi }_{{z_2}}} - \mathit{\Lambda }\left( {\hat D - {D^0}} \right)} \right] $

(21)

式中:Q为正的设计参数；Λ亦为正的设计参数，选取值较小，以保证${\hat D} $不会增长到无界；D⁰为D的先验估计。

本文仅对无人帆船模型不确定部分采用RBF神经网络逼近，对控制方向未知函数g_r则通过引入Nussbaum型增益函数N(ξ)进行在线逼近。其中自适应参数仅有一个变量ξ，这样就使得控制器中自适应参数减少，并结合动态面技术，解决“计算膨胀”问题，简化计算，易于工程实现。

在设计帆船航向控制器的过程中，文献[1]未考虑外界环境扰动。但在实际工程中，帆船存在模型不确定部分和外部环境扰动未知问题，用神经网络在线逼近模型不确定部分，其神经网络逼近误差和外界环境扰动的总和采用基于σ-修正泄露项的自适应律对其界进行估计补偿，可提高无人帆船航向保持精确性，增强鲁棒性。

3 控制器稳定性分析

为便于分析无人帆船闭环系统的稳定性，提出如下定理。

定理: 针对无人帆船航向运动数学模型式(3)，存在模型不确定、控制方向和外部环境扰动均未知的情况。在假设1、2成立的情况下，利用神经网络逼近模型不确定项，设计参数ξ的自适应律式(20)和估计外界环境干扰界值的自适应律式(21)，在控制律式(17)的作用下，通过设计适当的参数k₁、k₂、γ、σ、χ、Q、Λ和滤波器时间常数T，可保证无人帆船航向控制系统所有信号的一致最终有界性。

证明:选择如下Lyapunov函数:

$ {V_2} = {V_1} + \frac{1}{2}z_2^2 + \frac{1}{{2\gamma }}{{\mathit{\boldsymbol{\tilde W}}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{\tilde W + }}\frac{1}{2}{Y^2} + \frac{1}{{2Q}}{{\tilde D}^2} $

(22)

式中: $\mathit{\boldsymbol{\tilde W}} = \mathit{\boldsymbol{\hat W}} - {\mathit{\boldsymbol{W}}^*} $为神经网络权值估计误差变量；$ \tilde D = \hat D - D$为神经网络逼近误差和外部环境扰动组成的界估计误差变量。

考虑到式(17)~ (19)，式(16)变为

$ {{\mathit{\boldsymbol{\dot z}}}_2} = \left[ {{g_r}N\left( \xi \right) + 1} \right]\zeta - {{\mathit{\boldsymbol{\tilde W}}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{H}}\left( \mathit{\boldsymbol{x}} \right) + D - {k_2}{\mathit{\boldsymbol{z}}_2} - \mathit{\Xi }\hat D $

(23)

其中，$ \xi = {k_2}{z_2} + {{\mathit{\boldsymbol{\hat W}}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{H}}\left( \mathit{\boldsymbol{x}} \right) + \mathit{\Xi }\hat D - {{\dot \theta }_1}$。

对式(23)关于时间求导，可得

$ \begin{array}{l} {{\dot V}_2} = {{\dot V}_1} + {z_2}{{\dot z}_2} + \frac{1}{\gamma }{{\mathit{\boldsymbol{\tilde W}}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{\dot {\hat W}}} + \mathit{\boldsymbol{Y\dot Y}} + \frac{1}{Q}\tilde D\dot {\hat D} = \\ \;\;\;\;\;\; - {k_1}\cos \phi \mathit{\boldsymbol{z}}_1^2 + {\mathit{\boldsymbol{z}}_1}{\mathit{\boldsymbol{z}}_2}\cos \phi + Y\dot Y + \frac{1}{\gamma }{{\mathit{\boldsymbol{\tilde W}}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{\dot {\hat W}}} + \\ \;\;\;\;\;\;{\mathit{\boldsymbol{z}}_2}\left\{ {\left[ {{g_r}N\left( \xi \right) + 1} \right]\zeta - {{\mathit{\boldsymbol{\tilde W}}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{H}}\left( \mathit{\boldsymbol{x}} \right) + D - {k_2}{\mathit{\boldsymbol{z}}_2} - } \right.\\ \;\;\;\;\;\;\left. {\mathit{\Xi }\hat D} \right\} + \mathit{\Xi }\tilde D{\mathit{\boldsymbol{z}}_2} - \mathit{\Lambda }\tilde D\left( {\hat D - {D^0}} \right) = \\ \;\;\;\;\;\; - {k_1}\cos \phi \mathit{\boldsymbol{z}}_1^2 + {\mathit{\boldsymbol{z}}_1}{\mathit{\boldsymbol{z}}_2}\cos \phi - {k_2}\mathit{\boldsymbol{z}}_2^2 + Y\dot Y + \\ \;\;\;\;\;\;{{\mathit{\boldsymbol{\tilde W}}}^{\rm{T}}}\left[ {\frac{1}{\gamma }\mathit{\boldsymbol{\dot {\hat W}}} - \mathit{\boldsymbol{H}}\left( \mathit{\boldsymbol{x}} \right){\mathit{\boldsymbol{z}}_2}} \right] + \left[ {{g_r}N\left( \xi \right) + 1} \right]\dot \xi + \\ \;\;\;\;\;\;{z_2}D - \mathit{\Xi }D{\mathit{\boldsymbol{z}}_2} - \mathit{\Lambda }\left( {\hat D - D} \right)\left( {\hat D - {D^0}} \right) \end{array} $

(24)

考虑到

$ \begin{array}{*{20}{c}} { - \left( {\hat D - D} \right)\left( {\hat D - {D^0}} \right) = }\\ { - \frac{1}{2}{{\left( {\hat D - D} \right)}^2} - \frac{1}{2}{{\left( {\hat D - {D^0}} \right)}^2} + \frac{1}{2}{{\left( {D - {D^0}} \right)}^2} \le }\\ { - \frac{1}{2}{{\left( {\hat D - D} \right)}^2} + \frac{1}{2}{{\left( {\hat D - {D^0}} \right)}^2}、}\\ { - {{\mathit{\boldsymbol{\tilde W}}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{\hat W}}\frac{1}{2}{{\left\| {{\mathit{\boldsymbol{W}}^ * }} \right\|}^2} - \frac{1}{2}{{\mathit{\boldsymbol{\tilde W}}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{\tilde W}}、ab \le \frac{1}{2}\left( {{a^2} + {b^2}} \right),} \end{array} $

并应用双曲正切函数的性质，对于χ>0，A∈ R，有0≤ |A| -Atanh(A/χ)≤0.278 5χ，故式(24)变为

$ \begin{array}{l} {{\dot V}_2} \le \left( {\frac{1}{2} - {k_1}\cos \phi } \right)z_1^2 + \left( {\frac{1}{2} - {k_2}} \right)z_2^2 + Y\dot Y + \\ \;\;\;\;\;\;\;\frac{\sigma }{2}{\left\| {{\mathit{\boldsymbol{W}}^ * }} \right\|^2} - \frac{\sigma }{2}{{\mathit{\boldsymbol{\tilde W}}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{\tilde W + }}\left[ {{g_r}N\left( \xi \right) + 1} \right]\dot \xi + \\ \;\;\;\;\;\;\;0.278\;5\chi D + \frac{\mathit{\Lambda }}{2}{\left( {D - {D^0}} \right)^2} - \frac{\mathit{\Lambda }}{2}{\left( {\hat D - D} \right)^2} \end{array} $

(25)

对于式(25)中$Y\dot Y $项，由式(15)可得

$ \dot Y = {{\dot \theta }_1} - {{\dot \alpha }_1} = - Y/T + {k_1}{{\dot z}_1} - {{\ddot \psi }_d}\sec \phi \tan \phi $

(26)

考虑如下紧集:

$ \prod\nolimits_d { = \left\{ {\left( {{\mathit{\boldsymbol{\psi }}_d},{{\mathit{\boldsymbol{\dot \psi }}}_d},{{\mathit{\boldsymbol{\ddot \psi }}}_d}} \right):{{\left| {{\mathit{\boldsymbol{\psi }}_d}} \right|}^2} + {{\left| {{{\mathit{\boldsymbol{\dot \psi }}}_d}} \right|}^2} + {{\left| {{{\mathit{\boldsymbol{\dot \psi }}}_d}} \right|}^2} \le {\bf{I}}} \right\}} $

$ \prod\nolimits_1 { = \left\{ {\sum\limits_{j = 1}^2 {z_j^2} + \frac{1}{\gamma }{{\mathit{\boldsymbol{\tilde W}}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{\tilde W}} + {Y^2} + \frac{1}{Q}{{\tilde D}^2} < 2T} \right\}} $

式中Ι、Γ为任意正常数。考虑紧集∏_d∈ R和紧集∏₁∈ R，则∏_d×∏₁∈ R也是紧集，即存在非负的连续函数β(·)，使得

$ \left| {\dot Y + \frac{Y}{T}} \right| \le \beta \left( {{\mathit{\boldsymbol{z}}_1},{\mathit{\boldsymbol{z}}_2},{k_1},Y,\mathit{\boldsymbol{\hat W}},{\mathit{\boldsymbol{\psi }}_d},{{\mathit{\boldsymbol{\dot \psi }}}_d},{{\mathit{\boldsymbol{\ddot \psi }}}_d}} \right) $

且β(·)在空间∏_d×∏₁上有最大值N。故

$ Y\dot Y = - \frac{{{Y^2}}}{T} + Y\left( {\dot Y + \frac{Y}{T}} \right) \le - \frac{{{Y^2}}}{T} + \eta {Y^2} + \frac{{{N^2}}}{{4\eta }} $

(27)

式中η为正常数。

综合式(25)和(27)，可得

$ \begin{array}{l} {{\dot V}_2} \le - \left( {{k_1}\cos \phi - \frac{1}{2}} \right)\mathit{\boldsymbol{z}}_1^2 - \left( {{k_2} - \frac{1}{2}} \right)\mathit{\boldsymbol{z}}_2^2 - \frac{\sigma }{2}{{\mathit{\boldsymbol{\tilde W}}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{\tilde W}} - \\ \;\;\;\;\;\;\;\left( {\frac{1}{T} - \eta } \right){Y^2} - \frac{\mathit{\Lambda }}{2}{{\tilde D}^2} + \left[ {{g_r}N\left( \xi \right) + 1} \right]\dot \xi + \frac{{{N^2}}}{{4\eta }} + \\ \;\;\;\;\;\;\;\frac{\sigma }{2}{\left\| {{\mathit{\boldsymbol{W}}^ * }} \right\|^2} + 0.278\;5\chi D + \frac{\mathit{\Lambda }}{2}{\left( {D - {D^0}} \right)^2} \le \\ \;\;\;\;\;\;\; - {\mu _0}{V_2} + \left[ {{g_r}N\left( \xi \right) + 1} \right]\dot \xi + \partial \end{array} $

(28)

其中，

$ \left\{ \begin{array}{l} {\mu _0} = \min \left[ {2\left( {{k_1}\cos \phi - \frac{1}{2}} \right),2\left( {{k_2} - \frac{1}{2}} \right),\sigma \gamma ,} \right.\\ \;\;\;\;\;\;\;\left. {2\left( {\frac{1}{T} - \eta } \right),Q\mathit{\Lambda }} \right]\\ \partial = \frac{{{N^2}}}{{4\eta }} + \frac{\sigma }{2}{\left\| {{\mathit{\boldsymbol{W}}^ * }} \right\|^2} + 0.278\;5\chi D + \frac{\mathit{\Lambda }}{2}{\left( {D - {D^0}} \right)^2} \end{array} \right. $

(29)

式中${k_1} > \frac{1}{{2\cos \phi }}, {k_2} > \frac{1}{2}, \eta ＜ \frac{1}{T} $。

对式(28)两端乘以e^μ₀t，则有

$ \frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}\left[ {{V_2}\left( t \right){{\rm{e}}^{{\mu _0}t}}} \right] \le \partial {{\rm{e}}^{{\mu _0}t}} + {g_r}N\left( \xi \right)\dot \xi {{\rm{e}}^{{\mu _0}t}} + \dot \xi {{\rm{e}}^{{\mu _0}t}} $

(30)

式中μ₀为正的设计常数。

设$ \ell $=∂/μ₀，对式(30)在[0, t]上进行积分，得

$ \begin{array}{*{20}{c}} {0 \le {V_2}\left( t \right) \le \ell + {V_2}\left( 0 \right){{\rm{e}}^{ - {\mu _0}t}} + {{\rm{e}}^{ - {\mu _0}t}}\int_0^t {\dot \xi {{\rm{e}}^{{\mu _0}\tau }}{\rm{d}}\tau } + }\\ {{{\rm{e}}^{ - {\mu _0}t}}\int_0^t {{g_r}N\left( \xi \right)\dot \xi {{\rm{e}}^{{\mu _0}\tau }}{\rm{d}}\tau } } \end{array} $

(31)

式(31)可以由引理1得出结论:在有限时间[0, t_f)，V₂(t)、ξ、z₁、z₂、Y、$ {\mathit{\boldsymbol{\hat W}}}$及$ {\hat D}$都是有界的。因此对设计参数k₁、k₂、γ、σ、χ、Q、Λ及滤波器时间常数T进行适当调整选择，并且由文献[17]可知，当t_f=∞时，得到闭环系统所有信号在定义的紧集内部都是一致最终有界的。

另外，由于|ψ(t)| ≤ |z₁(t)| + |ψ_d(t)|，根据式(22)和(31)得

$ \left| {\psi \left( t \right)} \right| \le \sqrt {2\left( {\ell + C} \right) + 2{V_2}\left( 0 \right){{\rm{e}}^{{\mu _0}t}}} + \left| {{\mathit{\boldsymbol{\psi }}_d}\left( t \right)} \right| $

(32)

其中，$C = \sup \int_0^t {\left\{ {\left[ {{g_r}N\left( \xi \right) + 1} \right]\dot \xi } \right\}} {e^{ - {\mu _0}\left( {t - \tau } \right)}}{\rm{d}}\tau $。

由μ₀、∂及$\ell $的定义可知，可以通过选取适当的设计参数k₁、k₂、γ、σ、χ、Q、Λ和滤波器时间常数T，使得$\ell $尽可能小，从而使得$\bar \omega > \sqrt {2\left( {\ell + C} \right)} $尽可能小。因此，存在一个任意常数υ>0，使得对于所有的t≥υ，都有z₁(t)≤ $ {\bar \omega }$，从而$\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } \left| {{z_1}\left( t \right)} \right| \le \bar \omega $成立。即，通过选取适当控制器参数而使得航向保持误差z₁=ψ-ψ_d尽量小，可以实现无人帆船高精度的航向保持。

4 无人帆船航向控制仿真研究

为验证所设计航向保持控制器的有效性，本文以文献[1]中的帆船作为研究对象进行仿真试验，该船的质量为25 900 kg，船长为12 m，船宽为3.21 m，帆面积为170 m²，舵面积为1.17 m²，详细参数参考文献[1]。

在仿真过程中，假设吃水T_d=2.15 m，波数k=1，波向角μ=2°，浪的有义波高h=1.15 m，遭遇频率ω_e=0.65 Hz，海水密度ρ_water=1 025 m²/kg。设定真实风向角为α_tw=120°，风速为v_tw=9 m/s，初始船速v(0)=2 m/s，初始航向ψ=0°，期望航向ψ_d=20°。控制参数k₁=0.5，k₂=25，Λ=1×10^-4，χ=0.5，γ=10，σ=1×10^-5，Q=8，T=0.3。N(ξ)=e^ξ2cos[(π/2)ξ]。RBF神经网络的隐含层数量选择为41个，取c_j1在[-2, 2]平均分布，c_j2在[-0.4, 0.4]平均分布，c_j3在[-1, 1]平均分布，高斯基函数的宽度b_j取为2。

为了验证本文设计的自适应动态面方法(adaptive dynamic surface control, ADSC)的有效性，将本文算法与文献[1]中的Backstepping控制方法进行对比分析。在进行帆船航向控制的同时，帆角的操作采用文献[18]的操帆规则进行控制。仿真结果如图 1~6所示。

图 1分别表示在风浪扰动的作用下，对给定期望航向的无人帆船航向保持控制曲线和航向误差曲线。由图可知，相较于文献[1]的Backstepping方法，本文设计的自适应动态面控制算法可实时估计扰动的界值，对扰动具有较强的鲁棒性。当闭环控制系统趋于稳定后，帆船实际航向能够自适应地跟踪在期望航向上，航向误差小，具有较高的控制精度，符合航向保持的要求。

图 2为控制器输出，即为舵角的曲线图，本文算法相较于Backstepping方法控制输出响应速度快，调节时间较短，达到稳态时压舵角约为2°用于平衡风浪对帆船的转向力，使帆船航向在受环境扰动的情况下稳定在期望航向上，符合实际要求。图 3为RBF神经网络逼近曲线，在35 s左右神经网络基本跟踪上所要逼近的不确定项f₂。图 4表示对外部环境扰动和逼近误差总和的界进行良好的估计，保证帆船的高精度航行。图 5为Nussbaum函数N(ξ)及其参数ξ曲线图，可以看出Nussbaum变量最终趋于稳定，说明系统误差及状态信号有界，能够解决未知控制增益的问题。图 6为相对风向角、攻角和帆角三者关系曲线图和相对风速和船速的历时曲线图，不断调整帆角使风帆处于最佳攻角位置，大约30°，此时帆船受到风的有效推力最大，最佳攻角对航向保持控制有一定的辅助作用。结合图 6(a)可知，获得最大推力时船速也是最快的，稳定时船速为4.3 m/s，此时相对风速为7.3 m/s。以上对比试验结果验证了本文所提出的控制策略的有效性，表明所设计航向保持控制器实现了良好的航向保持性能，对外界干扰具有较强的鲁棒性。

5 结论

1) Nussbaum函数的引入和动态面的设计，避免了可能存在的控制器奇异情况，解决了“计算膨胀”问题，与神经网络高度并行处理信息方式的优点结合，易于工程实现。

2) 设计带σ-修正泄露项的自适应律对神经网络逼近误差与外界环境扰动总和的界进行估计，保证帆船的高精度航行。

3) 所提出的控制器考虑了真实风浪等扰动作用，能保证帆船航向跟踪精度，且控制舵角符合实际操作要求，可为智能帆船的开发提供一种的参考方法。

另外，本文对帆船的舵角和帆角是分别进行控制器设计的，考虑帆船整体操纵特性，采用舵帆联合优化控制，将是下一阶段的研究重点。