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  哈尔滨工程大学学报  2018, Vol. 39 Issue (12): 1994-2000  DOI: 10.11990/jheu.201706086
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引用本文  

陈玲玲, 宋晓伟, 王婕, 等. 下肢外骨骼系统摆动相非线性干扰观测器设计[J]. 哈尔滨工程大学学报, 2018, 39(12), 1994-2000. DOI: 10.11990/jheu.201706086.
CHEN Lingling, SONG Xiaowei, WANG Jie, et al. Design of nonlinear disturbance observer for lower extremity exoskeleton system of swing phase[J]. Journal of Harbin Engineering University, 2018, 39(12), 1994-2000. DOI: 10.11990/jheu.201706086.

基金项目

国家自然科学基金项目(61503118,61703135,61703134,61773151);河北省自然基金项目(F2016202327,F2017202119)

通信作者

王婕, E-mail:wangjie@hebut.edu.cn

作者简介

陈玲玲(1981-), 女, 副教授;
王婕(1986-), 女, 讲师, 博士

文章历史

收稿日期:2017-06-22
网络出版日期:2018-06-13
下肢外骨骼系统摆动相非线性干扰观测器设计
陈玲玲 1,2, 宋晓伟 1, 王婕 1,2, 张腾宇 3     
1. 河北工业大学 人工智能与数据科学学院, 天津 300130;
2. 智能康复装置与检测技术教育部工程研究中心, 天津 300130;
3. 国家康复辅具研究中心, 北京 100176
摘要:针对下肢外骨骼在运行过程中,穿戴者提供的主动力矩不确定问题,本文进行了基于干扰观测技术的摆动相控制方法研究。利用拉格朗日原理对简化后的实物模型进行动力学分析,建立下肢外骨骼摆动相模型。考虑模型的非线性、强耦合特征设计滑模控制器,基于干扰观测器对穿戴者的主动力矩进行估计,实现对滑模控制器的补偿,并对观测器/控制器综合设计的闭环系统稳定性进行证明。搭建下肢外骨骼控制系统仿真平台进行髋关节和膝关节的角度控制。实验结果证明,所设计的闭环系统对期望角度具有良好的跟随能力,可以有效抑制干扰的影响。
关键词下肢外骨骼    人机共驱动系统    摆动相    动力学建模    干扰观测器    滑模控制    仿真验证    
Design of nonlinear disturbance observer for lower extremity exoskeleton system of swing phase
CHEN Lingling 1,2, SONG Xiaowei 1, WANG Jie 1,2, ZHANG Tengyu 3     
1. School of Artificial Intelligence, Hebei University of Technology, Tianjin 300130, China;
2. Engineering Research Center of Intelligent Rehabilitation, Ministry of Education, Tianjin 300130, China;
3. National Research Center for Rehabilitation Technical Aids, Beijing 100176, China
Abstract: Considering the uncertainty of the active moments by the wearer's muscles during the lower extremity exoskeleton operation, this study investigates the swing phase control method based on the disturbance observer technology. The physical model was simplified. Lagrange principle was used to analyze the dynamic characteristics, and a swing model of the lower limb exoskeleton was established. The sliding mode controller was designed, considering the nonlinearity and strong coupling characteristics of the model. The active torque of the wearer was estimated based on disturbance observer technology to compensate the sliding mode controller, and the closed-loop system for the observer/controller integrated design was found to be stable. The control system simulation platform was established to control the angle of hip and knee joints. The results demonstrate that this closed-loop system can effectively follow the desired angle and restrain disturbances.
Keywords: lower extremity exoskeleton    system co-driven by human and machine    swing phase    dynamics modeling    disturbance observer    sliding mode control    simulation verification    

下肢外骨骼机器人是一种可穿戴的人机一体化装置,通过跟踪穿戴者的期望轨迹完成日常生活中的常见运动。外骨骼系统能够增强使用者的力量和耐力,可用于军事、医学、康复等不同领域。引起世界各国学者的广泛关注[1-2]

建立面向控制的下肢外骨骼模型是对其进行稳定性控制的基础[3]。精确的模型可以很好的反映外骨骼系统的特性,从而设计相对应的控制系统;但过于复杂的模型将增大控制器设计的难度,反而可能影响控制效果[4]。下肢外骨骼模型具有非线性和强耦合的特点[5-6],其输入力矩包括穿戴者提供的主动力矩和机械结构提供的辅助力矩。在穿戴者是偏瘫患者的情况下,人的主动力矩只占极小的一部分,一般可以忽略[7]。但对于有一定行为能力的穿戴者来说,主动力矩在外骨骼的驱动力矩中占据很大的一部分,并且主动力矩具有不确定性,对主动力矩的处理是实现系统稳定的关键问题之一[8]。文献[9]仅利用系统的鲁棒性处理主动力矩的干扰,降低了系统的控制精度。文献[10]成比例地分配人机的力矩输入,但所构成的系统适用范围很小,不能很好地应对运行过程中的突发情况。文献[11]提出通过系统的运行状态构造观测器,估计穿戴者的主动力矩输入,但观测器仅设计膝关节的部分,未考虑髋关节部分主动力矩的输入影响,具有一定的局限性。

本文针对主动力矩不确定问题,对气动肌肉构建的下肢外骨骼系统进行动力学分析,建立面向控制的下肢外骨骼摆动相模型,反映各关节间的相互作用。通过设计干扰观测器估计穿戴者在摆动相提供的主动力矩,由此设计相应的滑模控制器。对控制系统进行稳定性证明,并利用实验平台对所设计系统进行了仿真验证。

1 基于拉格朗日的动力学建模

相对于上肢而言,下肢运动具有明显的周期性特点,通过足底压力传感器,将整个步态周期分为摆动期和支撑期两个阶段。在摆动期过程中,通过控制气动肌肉充放气来模拟人体拮抗肌,驱动下肢外骨骼为穿戴者提供助力;在支撑期过程中,气动肌肉放气结束,保持最大长度,下肢外骨骼跟随穿戴者的运动,无需进行控制。为了建立面向控制的下肢外骨骼摆动期动力学模型,现将模型进行如下的处理[12]

1) 对躯干部分和下肢系统共同建模会增加模型的复杂性,提高了控制器设计的难度。而躯干部分对下肢运动的影响无法忽略,因此对髋关节进行坐标设置。将髋关节的速度和加速度信息建立到模型中,利用髋关节信息作为干扰来代替躯干部分对下肢运动的影响。

2) 气动肌肉在控制过程中长度和质心位置都会发生变化。为了简化气动肌肉在下肢运动过程中造成的影响,假设气动肌肉在控制过程中可以完全跟随人的运动状态,利用腿部的两固定点间的距离代替气动肌肉的长度,并认为气动肌肉的质心始终在气动肌肉的中心位置。

通过以上处理,将外骨骼系统简化为图 1所示的连杆模型。取向前的方向为x轴正方向,向下的方向为y轴正方向,建立如图 1所示的坐标系及系统模型描述。

Download:
图 1 下肢外骨骼模型 Fig. 1 Lower extremity exoskeleton model

图 1中,髋关节为p0,膝关节为p7,气动肌肉1分别与腰部和膝关节连接于p3p5,气动肌肉2分别与大腿和小腿连接于p1p9,大腿、小腿、气动肌肉1、气动肌肉2的质心依次为p2p8p4p6

运用拉格朗日动力学对图 1所示的外骨骼模型进行分析,得到系统的微分方程:

$ \mathit{\boldsymbol{F}}\left( \mathit{\boldsymbol{\theta }} \right)\mathit{\boldsymbol{\ddot \theta }} + \mathit{\boldsymbol{H}}\left( {\mathit{\boldsymbol{\theta }},\mathit{\boldsymbol{\dot \theta }}} \right)\mathit{\boldsymbol{\dot \theta }} + \mathit{\boldsymbol{G}}\left( \mathit{\boldsymbol{\theta }} \right) = \mathit{\boldsymbol{\tau }} + {\mathit{\boldsymbol{\tau }}_h} $ (1)

其中:

$ \mathit{\boldsymbol{F}}\left( \mathit{\boldsymbol{\theta }} \right) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{F_{11}}}&{{F_{12}}}\\ {{F_{21}}}&{{F_{22}}} \end{array}} \right] $
$ \begin{array}{*{20}{c}} {{F_{11}} = \frac{1}{4}r_5^2{m_3} + \frac{1}{3}\left( {{m_1}{l_2} + {m_2}{l_3}} \right) + \left( {l_2^2 + r_4^2} \right){m_4} + }\\ {\left[ {2{r_4}{l_2}{m_4} + \frac{1}{2}{r_5}\left( {{r_1} + {l_2}} \right){m_3}} \right]\cos {\theta _2} + \frac{1}{4}r_3^2 + }\\ {\frac{1}{4}\left( {{r_1} + {l_2}} \right)2{m_3}} \end{array} $
$ \begin{array}{*{20}{c}} {{F_{12}} = - \frac{1}{4}{r_5}\left( {{r_1} + {l_2}} \right){m_3}\cos {\theta _1}\cos \left( {{\theta _2} - {\theta _1}} \right) - }\\ {{r_4}{l_2}{m_4}\cos {\theta _1}\cos \left( {{\theta _2} - {\theta _1}} \right) - }\\ {\frac{1}{4}r_5^2{m_3} - r_4^2{m_4} - \frac{1}{3}{m_2}{l_3}} \end{array} $
$ \begin{array}{*{20}{c}} {{F_{21}} = - \frac{1}{4}{r_5}\left( {{r_1} + \frac{1}{2}} \right){m_3}\cos {\theta _1}\cos \left( {{\theta _2} - {\theta _1}} \right) - }\\ {{r_4}{l_2}{m_4}\cos {\theta _1}\cos \left( {{\theta _2} - {\theta _1}} \right) - }\\ {\frac{1}{4}r_5^2{m_3} - r_4^2{m_4} - \frac{1}{3}{m_2}{l_3}} \end{array} $
$ {F_{22}} = \frac{1}{4}r_5^2{m_3} + r_4^2{m_4} + \frac{1}{3}{m_2}{l_3} $
$ \mathit{\boldsymbol{H}}\left( {\mathit{\boldsymbol{\theta }},\mathit{\boldsymbol{\dot \theta }}} \right) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{H_{11}}}&{{H_{12}}}\\ {{H_{21}}}&{{H_{22}}} \end{array}} \right] $
$ \begin{array}{*{20}{c}} {{H_{11}} = {r_5}\left( {{r_1} + {l_2}} \right)\left( {\frac{1}{2}{m_2} + \frac{1}{4}{m_3}} \right)\sin \left( {2{\theta _1} - {\theta _2}} \right){{\dot \theta }_2} + }\\ {3{r_4}{l_2}{m_4}\sin \left( {2{\theta _1} - {\theta _2}} \right){{\dot \theta }_2}} \end{array} $
$ \begin{array}{*{20}{c}} {{H_{12}} = \frac{1}{4}{r_5}\left( {{r_1} + {l_2}} \right){m_3}\cos {\theta _1}\sin \left( {{\theta _2} - {\theta _1}} \right){{\dot \theta }_2} + }\\ {{r_4}{l_2}{m_4}\cos {\theta _1}\sin \left( {{\theta _2} - {\theta _1}} \right){{\dot \theta }_2}} \end{array} $
$ {H_{21}} = \left[ {\frac{1}{4}{r_5}\left( {{r_1} + {l_2}} \right){m_3} + {r_4}{l_2}{m_4}} \right]\sin \left( {2{\theta _1} - {\theta _2}} \right){{\dot \theta }_1} $
$ \begin{array}{*{20}{c}} {{H_{22}} = \frac{1}{4}{r_5}\left( {{r_1} + {l_2}} \right){m_3}\cos {\theta _1}\sin \left( {{\theta _2} - {\theta _1}} \right){{\dot \theta }_1} + }\\ {{r_4}{l_2}{m_4}\cos {\theta _1}\sin \left( {{\theta _2} - {\theta _1}} \right){{\dot \theta }_1}} \end{array} $
$ \mathit{\boldsymbol{G}}\left( \mathit{\boldsymbol{\theta }} \right) = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{G_1}}&{{G_2}} \end{array}} \right]^{\rm{T}}} $
$ \begin{array}{*{20}{c}} {{G_1} = \left\{ {\left[ {{m_1}{r_1} + \frac{1}{2}{r_3}{m_2} + \frac{1}{2}\left( {{r_1} + {l_2}} \right){m_3} + {l_2}{m_4}} \right]\cos {\theta _1} + } \right.}\\ {\left. {\left( {{r_4}{m_4} - \frac{1}{2}{r_5}{m_3}} \right)\cos \left( {{\theta _2} - {\theta _1}} \right)} \right\}{{\ddot x}_0} - }\\ {\left\{ {\left[ {{m_1}{r_1} + \frac{1}{2}{r_3}{m_2} + {l_2}{m_4} + \frac{1}{2}\left( {{r_1} + {l_2}} \right){m_3}} \right]\sin {\theta _1} + } \right.}\\ {\left. {\left( {{r_4}{m_4} + \frac{1}{2}{r_5}{m_3}} \right)\sin \left( {{\theta _2} - {\theta _1}} \right)} \right\}{{\ddot y}_0} - }\\ {\left( {{r_2}{m_1} + {l_2}{m_2}} \right)g\sin {\theta _1} + {r_4}{m_2}g\sin \left( {{\theta _2} - {\theta _1}} \right)} \end{array} $
$ \begin{array}{*{20}{c}} {{G_2} = - \left[ {\frac{1}{2}{r_5}{m_3}\cos \left( {{\theta _2} - {\theta _1}} \right) + {r_4}{m_4}\cos \left( {{\theta _2} - {\theta _1}} \right)} \right]{{\ddot x}_0} - }\\ {\left[ {\frac{1}{2}{r_3}{m_3}\sin \left( {{\theta _2} - {\theta _1}} \right) + {r_4}{m_4}\sin \left( {{\theta _2} - {\theta _1}} \right)} \right]{{\ddot y}_0} - }\\ {{r_4}{m_2}g\sin \left( {{\theta _2} - {\theta _1}} \right)} \end{array} $

式中:m1m2m3m4依次为大腿、小腿和气动肌肉1、2的质量,l2l3依次为大、小腿长度,l1为气动肌肉1与腰部连接点p3到髋关节p0的距离,r1为气动肌肉2与大腿连接点p1到髋关节p0的距离,r2为大腿质心p2到髋关节p0的距离,r3为气动肌肉1与大腿连接点p5到髋关节p0距离,r4为小腿质心p8到膝关节p7的距离,r5为气动肌肉2与小腿连接点p9到膝关节p7的距离, τ=[τ1  τ2]T为髋关节和膝关节的外骨骼力矩,τh=[τh1  τh2]T为髋关节和膝关节的穿戴者肌肉力矩,${\ddot x_0}$${\ddot y_0}$分别为髋关节在x轴和y轴方向的加速度,用来代表穿戴者躯干对下肢运动系统的影响。

2 基于非线性扰动观测器的滑模控制

基于下肢外骨骼模型设计相应的控制系统,针对主动力矩设计相应的干扰观测器,利用李雅普诺夫函数证明系统的稳定性。

2.1 控制系统设计

通过数学模型可知,下肢外骨骼系统膝关节和髋关节具有非线性和强耦合的特点,因此对下肢外骨骼系统设计滑模控制器。

滑模控制与其他控制方法的不同之处在于,系统的结构不是固定的,而是可以在动态过程中根据系统当前状态有目的地不断变化,迫使系统按照预定滑动模态的状态轨迹运动,提高系统的鲁棒性和抗干扰能力[13]

在下肢外骨骼系统控制过程中,将穿戴者提供的主动力矩作为一种干扰输入。由于滑模控制具有不连续性,仅利用系统的鲁棒性克服干扰容易产生抖振现象。本文通过设计干扰观测器,在滑模控制律中加入干扰估计值对干扰加以补偿,从而有效地降低抖振。根据下肢外骨骼系统和滑模变结构的特点,设计控制系统,如图 2所示。

Download:
图 2 系统控制框图 Fig. 2 System control block diagram
2.2 干扰观测器设计

d=τh,针对模型的特点设计非线性干扰观测器:

$ \left\{ \begin{array}{l} \mathit{\boldsymbol{\dot z}} = \mathit{\boldsymbol{L}}\left( \mathit{\boldsymbol{\theta }} \right)\left( {\mathit{\boldsymbol{H}}\left( {\mathit{\boldsymbol{\theta }},\mathit{\boldsymbol{\dot \theta }}} \right) + \mathit{\boldsymbol{G}}\left( \mathit{\boldsymbol{\theta }} \right) - \mathit{\boldsymbol{\tau }}} \right) - \mathit{\boldsymbol{L}}\left( \mathit{\boldsymbol{\theta }} \right)\mathit{\boldsymbol{\hat d}}\\ \mathit{\boldsymbol{\hat d}} = \mathit{\boldsymbol{z}} + \mathit{\boldsymbol{p}}\left( {\mathit{\boldsymbol{\dot \theta }}} \right) \end{array} \right. $ (2)
$ \mathit{\boldsymbol{L}}\left( \mathit{\boldsymbol{\theta }} \right) = {\mathit{\boldsymbol{A}}^{ - 1}}{\mathit{\boldsymbol{F}}^{ - 1}}\left( \mathit{\boldsymbol{\theta }} \right) $ (3)
$ \mathit{\boldsymbol{p}}\left( {\mathit{\boldsymbol{\dot \theta }}} \right) = {\mathit{\boldsymbol{A}}^{ - 1}}\mathit{\boldsymbol{\dot \theta }} $ (4)

$\mathit{\pmb{\dot p}}\left( {\mathit{\pmb{\dot \theta }}} \right) = \mathit{\pmb{L}}\left( \theta \right)\mathit{\pmb{F}}\left( \theta \right)\mathit{\pmb{\ddot \theta }}$,式(2)~(4)构成非线性干扰观测器。其中,$\mathit{\pmb{\hat d}}$d的干扰观测值,A为可逆的参数矩阵,可通过Schur定理求解线性矩阵:

$ {\mathit{\boldsymbol{A}}^{ - {\rm{T}}}} + {\mathit{\boldsymbol{A}}^{ - {\rm{1}}}} - {\mathit{\boldsymbol{A}}^{ - {\rm{T}}}}\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varGamma} }}{\mathit{\boldsymbol{A}}^{ - {\rm{1}}}} \ge \xi \mathit{\boldsymbol{I}} $ (5)

式中$\left\| {\mathit{\pmb{\dot F}}\left( \mathit{\pmb{\theta }} \right)} \right\| \le \xi $

定义干扰观测器的观测误差为

$ \mathit{\boldsymbol{\tilde d}} = \mathit{\boldsymbol{d}} - \mathit{\boldsymbol{\hat d}} $ (6)

对式(6)进行求导,并将式(2)代入,得

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\mathit{\boldsymbol{\dot {\tilde d}}} = \mathit{\boldsymbol{\dot d}} - \mathit{\boldsymbol{\hat d}} = \mathit{\boldsymbol{\dot d}} - \mathit{\boldsymbol{\dot z}} - \mathit{\boldsymbol{\dot p}}\left( {\mathit{\boldsymbol{\dot \theta }}} \right) = }\\ {\mathit{\boldsymbol{\dot d}} - \mathit{\boldsymbol{L}}\left( \mathit{\boldsymbol{\theta }} \right)\left( {\mathit{\boldsymbol{H}}\left( {\mathit{\boldsymbol{\theta }},\mathit{\boldsymbol{\dot \theta }}} \right)\mathit{\boldsymbol{\dot \theta }} + \mathit{\boldsymbol{G}}\left( \mathit{\boldsymbol{\theta }} \right) - \mathit{\boldsymbol{\tau }}} \right) + \mathit{\boldsymbol{L}}\left( \mathit{\boldsymbol{\theta }} \right)\mathit{\boldsymbol{\hat d}} - }\\ {\mathit{\boldsymbol{L}}\left( \mathit{\boldsymbol{\theta }} \right)\mathit{\boldsymbol{F}}\left( \mathit{\boldsymbol{\theta }} \right)\ddot \theta = }\\ {\mathit{\boldsymbol{\dot d}} + \mathit{\boldsymbol{L}}\left( \mathit{\boldsymbol{\theta }} \right)\mathit{\boldsymbol{\hat d}} - \mathit{\boldsymbol{L}}\left( \mathit{\boldsymbol{\theta }} \right)\mathit{\boldsymbol{d = }}}\\ {\mathit{\boldsymbol{\dot d}} - \mathit{\boldsymbol{L}}\left( \mathit{\boldsymbol{\theta }} \right)\mathit{\boldsymbol{\tilde d}}} \end{array} $ (7)

假设相对于干扰观测器,动态特性干扰的变化是缓慢的,即$\mathit{\pmb{\dot d}} = 0$,代入式(7)得到观测器的误差方程为

$ \mathit{\boldsymbol{\dot {\tilde d}}} + \mathit{\boldsymbol{L}}\left( \mathit{\boldsymbol{\theta }} \right)\mathit{\boldsymbol{\tilde d}} = 0 $ (8)

将式(3)代入式(8),得

$ \begin{array}{l} \mathit{\boldsymbol{\dot {\tilde d}}} = - {\mathit{\boldsymbol{A}}^{ - 1}}{\mathit{\boldsymbol{F}}^{ - 1}}\left( \mathit{\boldsymbol{\theta }} \right)\mathit{\boldsymbol{\tilde d}}\\ {{\mathit{\boldsymbol{\dot {\tilde d}}}}^{\rm{T}}} = - {{\mathit{\boldsymbol{\tilde d}}}^{\rm{T}}}{\mathit{\boldsymbol{F}}^{ - {\rm{T}}}}\left( \mathit{\boldsymbol{\theta }} \right){\mathit{\boldsymbol{A}}^{ - {\rm{T}}}} \end{array} $ (9)

在外骨骼设计中,为了尽量减小外骨骼对人体的负担,要求m3m4小于穿戴者大小腿的质量,则F为正定阵,设计系统的Lyapunov函数为

$ {V_o} = {{\mathit{\boldsymbol{\tilde d}}}^{\rm{T}}}{\mathit{\boldsymbol{A}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{F}}\left( \mathit{\boldsymbol{\theta }} \right)\mathit{\boldsymbol{A\tilde d}} $ (10)

对式(10)进行求导,并代入式(9),得

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{{\mathit{\boldsymbol{\dot V}}}_o} = {{\mathit{\boldsymbol{\dot {\tilde d}}}}^{\rm{T}}}{\mathit{\boldsymbol{A}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{F}}\left( \mathit{\boldsymbol{\theta }} \right)\mathit{\boldsymbol{A\tilde d}} + {{\mathit{\boldsymbol{\tilde d}}}^{\rm{T}}}{\mathit{\boldsymbol{A}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{\dot F}}\left( \mathit{\boldsymbol{\theta }} \right)\mathit{\boldsymbol{A\tilde d}} + }\\ {{{\mathit{\boldsymbol{\tilde d}}}^{\rm{T}}}{\mathit{\boldsymbol{A}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{F}}\left( \mathit{\boldsymbol{\theta }} \right)\mathit{\boldsymbol{A\dot {\tilde d}}} = - {{\mathit{\boldsymbol{\tilde d}}}^{\rm{T}}}\left( {\mathit{\boldsymbol{A}} - {\mathit{\boldsymbol{A}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{\dot F}}\left( \mathit{\boldsymbol{\theta }} \right)\mathit{\boldsymbol{A}} + {\mathit{\boldsymbol{A}}^{\rm{T}}}} \right)\mathit{\boldsymbol{\tilde d}}} \end{array} $ (11)

构造不等式:

$ \mathit{\boldsymbol{A}} - {\mathit{\boldsymbol{A}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{\dot F}}\left( \mathit{\boldsymbol{\theta }} \right)\mathit{\boldsymbol{A}} + {\mathit{\boldsymbol{A}}^{\rm{T}}} \ge \mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varGamma} }} $ (12)

式中,Γ>0为实对称正定阵,存在Γ′,有

$ {{\tilde V}_o} \le - {{\mathit{\boldsymbol{\tilde d}}}^T}\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varGamma} \tilde d}} = - \mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varGamma} '}}{V_o} $ (13)

式中Γ′>0。由式(8)可得观测器误差方程解为

$ \mathit{\boldsymbol{\tilde d}}\left( t \right) = \mathit{\boldsymbol{\tilde d}}\left( {{t_0}} \right)\exp \left( { - \mathit{\boldsymbol{L}}\left( \theta \right) \cdot t} \right) $ (14)

通过以上的稳定性分析可知,干扰观测器指数收敛,收敛精度取决于参数ΓΓ值越大,收敛速度越快,精度越高。

2.3 滑模控制律设计

设关节的理想角度为θd,跟踪误差为e=θ-θd,定义滑模函数为

$ \mathit{\boldsymbol{s}} = \mathit{\boldsymbol{\dot e}} + \mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varLambda} e}} $ (15)

式中,$\mathit{\pmb{\Lambda }} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\lambda _1}} & 0\\ 0 & {{\lambda _2}} \end{array}} \right]$λi > 0,i=1, 2。

设计系统的滑模控制器为

$ \begin{array}{l} \mathit{\boldsymbol{\tau }} = \mathit{\boldsymbol{F}}{{\mathit{\boldsymbol{\ddot \theta }}}_d} + \mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varLambda} F}}{{\mathit{\boldsymbol{\dot \theta }}}_d} - \mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varLambda} F\dot \theta }} + \mathit{\boldsymbol{H}}{{\mathit{\boldsymbol{\dot \theta }}}_d} + \mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varLambda} H}}{\mathit{\boldsymbol{\theta }}_d} - \\ \;\;\;\;\;\;\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varLambda} H\theta }} + \mathit{\boldsymbol{G}} - \mathit{\boldsymbol{\eta }}{\rm{sgn}}\mathit{\boldsymbol{s}} - \mathit{\boldsymbol{\hat d}} \end{array} $ (16)

式中:$\mathit{\pmb{\eta }} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\eta _1}} & 0\\ 0 & {{\eta _2}} \end{array}} \right]$η1 > 0,η2 > 0。

对式(15)求导,然后将式(16)代入$\mathit{\pmb{F}}\mathit{\pmb{\dot s}}$,得

$ \mathit{\boldsymbol{F\dot s}} = - \mathit{\boldsymbol{Hs}} - \mathit{\boldsymbol{\eta }}{\rm{sgn}}\mathit{\boldsymbol{s}} + \mathit{\boldsymbol{\tilde d}} $ (17)

设计闭环系统的Lyapunov函数为

$ V = {V_o} + \frac{1}{2}{\mathit{\boldsymbol{s}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{Fs}} $ (18)

由于干扰观测器指数收敛,则$\left\| {\mathit{\pmb{\tilde d}}} \right\| \le \left\| {\mathit{\pmb{\tilde d}}\left( {{t_0}} \right)} \right\|$。取$\left\| \eta \right\| \ge \left\| {\mathit{\pmb{\tilde d}}\left( {{t_0}} \right)} \right\|$,对式(18)进行求导,并将式(17)、式(1)及$\left\| \eta \right\| > \left\| {\mathit{\pmb{\tilde d}}\left( {{t_0}} \right)} \right\|$代入式(18),得

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\dot V = {\mathit{\boldsymbol{s}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{F\dot s}} + \frac{1}{2}{\mathit{\boldsymbol{s}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{\dot Fs + }}{{\dot V}_o} = }\\ {{\mathit{\boldsymbol{s}}^{\rm{T}}}\left( { - \mathit{\boldsymbol{Hs}} - \mathit{\boldsymbol{\eta }}{\rm{sgn}}\mathit{\boldsymbol{s}} + \mathit{\boldsymbol{\tilde d}}} \right) + \frac{1}{2}{\mathit{\boldsymbol{s}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{\dot Fs + }}{{\dot V}_o} = }\\ { - \mathit{\boldsymbol{\eta }}\left\| \mathit{\boldsymbol{s}} \right\| - {\mathit{\boldsymbol{s}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{\tilde d}} + \frac{1}{2}{\mathit{\boldsymbol{s}}^{\rm{T}}}\left( {\mathit{\boldsymbol{\dot F}} - 2\mathit{\boldsymbol{H}}} \right)\mathit{\boldsymbol{s}} + {{\dot V}_o} = }\\ { - \mathit{\boldsymbol{\eta }}\left\| \mathit{\boldsymbol{s}} \right\| - {\mathit{\boldsymbol{s}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{\tilde d}} + \frac{1}{2}{{\mathit{\boldsymbol{\tilde d}}}^{\rm{T}}}\left( {\mathit{\boldsymbol{\dot F}} - 2\mathit{\boldsymbol{H}}} \right)\mathit{\boldsymbol{\tilde d}} \le 0} \end{array} $ (19)

$\dot V \equiv 0$,由于式(19)的第3项${\dot V_o}$不含s,与前两项线性无关,则

$ - \mathit{\boldsymbol{\eta }}\left\| s \right\| - {s^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{\tilde d}} \equiv 0 $ (20)
$ {{\mathit{\boldsymbol{\tilde d}}}^{\rm{T}}}\left( {\mathit{\boldsymbol{\dot F}} - 2\mathit{\boldsymbol{H}}} \right)\mathit{\boldsymbol{\tilde d}} \equiv 0 $ (21)

从而s≡0,$\mathit{\pmb{\tilde d}} \equiv 0$。根据LaSalle不变性原理,当t→∞时,$\mathit{\pmb{\tilde d}} \to 0$s→0,故系统稳定。

3 系统仿真 3.1 参数的选取

为验证所设计闭环系统的性能,对其进行仿真验证。取中国男生的平均身高l=1.75 m和平均体重m=60 kg作为模型的参数输入,根据文献[14]中公布的数据得到相应的人体参数,确定图 3所示的下肢外骨骼系统模型中与穿戴者有关的大小腿质量和长度、外骨骼穿戴位置等参数,与外骨骼自身长度和质量参数,在表 1中一起列出。

Download:
图 3 下肢外骨骼实验装置 Fig. 3 The experimental device of lower limb exoskeleton
表 1 外骨骼系统主要参数 Table 1 Main parameters of exoskeleton system

表 1中参数代入下肢外骨骼模型式(1)得到式(1)各项的具体形式为

$ {F_{11}} = 2.007\;1 + 0.209\;6\cos {\theta _2} $
$ {F_{12}} = - 0.346\;6 - 0.104\;8\cos {\theta _1}\cos \left( {{\theta _2} - {\theta _1}} \right) $
$ {F_{21}} = - 0.346\;6 - 0.104\;8\cos {\theta _1}\cos \left( {{\theta _2} - {\theta _1}} \right) $
$ {F_{22}} = 0.346\;6 $
$ {H_{11}} = 0.420\;6\sin \left( {2{\theta _1} - {\theta _2}} \right){{\dot \theta }_2} $
$ {H_{12}} = 0.104\;8\cos {\theta _1}\sin \left( {{\theta _2} - {\theta _1}} \right){{\dot \theta }_2} $
$ {H_{21}} = 0.104\;8\sin \left( {2{\theta _1} - {\theta _2}} \right){{\dot \theta }_1} $
$ {H_{22}} = 0.104\;8\cos {\theta _1}\sin \left( {{\theta _2} - {\theta _1}} \right){{\dot \theta }_1} $
$ \begin{array}{*{20}{c}} {{G_1} = \left[ {2.092\;7\cos {\theta _1} + 0.201\;6\cos \left( {{\theta _2} - {\theta _1}} \right)} \right]{{\ddot x}_0} - }\\ {\left[ {1.502\;6\sin {\theta _1} - 0.291\;4\sin \left( {{\theta _2} - {\theta _1}} \right)} \right]{{\ddot y}_0} - }\\ {29.065\;3\sin {\theta _1} + 3.583\;0\sin \left( {{\theta _2} - {\theta _1}} \right)} \end{array} $
$ \begin{array}{*{20}{c}} {{G_2} = - 0.291\;4\cos \left( {{\theta _2} - {\theta _1}} \right){{\ddot x}_0} - 0.321\;6\sin \left( {{\theta _2} - } \right.}\\ {\left. {{\theta _1}} \right){{\ddot y}_0} - 3.583\;0\sin \left( {{\theta _2} - {\theta _1}} \right)} \end{array} $

在摆动相过程,角度的变化与力矩的输入线性相关,因此假设主动力矩干扰模型为d(θ)=,将该模型作为实际干扰的输入,其中k=[k1  k2]。考虑各关节的动态特性,设髋关节系数k1=2,膝关节系数k2=1,θ=[θ1  θ2]T为髋关节和膝关节的期望角度,是通过采集人体平地行走过程中的实际关节角度得到。

3.2 仿真实验结果

干扰观测器采用式(2)~(4)的形式,为了保证观测效果,取主动干扰力矩[0.5  0.05]T作为实际干扰的初始输入。根据$\left\| {\mathit{\pmb{\dot F}}\left( \mathit{\pmb{\theta }} \right)} \right\| \le \xi $,取ξ=3.0,$\mathit{\pmb{\Gamma }} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {0.1} & 0\\ 0 & {0.03} \end{array}} \right]$$\mathit{\pmb{A}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {0.283\;7} & 0\\ 0 & {0.350\;3} \end{array}} \right]$

控制器的形式如式(16)所示,采用饱和函数代替连续函数,取边界层厚度为0.2。系数矩阵为$\mathit{\pmb{\Lambda }} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {10} & 0\\ 0 & {10} \end{array}} \right]$$\mathit{\pmb{\eta }} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{array}} \right]$

得到控制仿真结果如图 4~5所示。

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图 4 髋关节和膝关节的跟随效果 Fig. 4 Tracking effects of hip and knee joints
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图 5 控制系统仿真结果 Fig. 5 Control system simulation results

图 5(a)可以看出,干扰观测器对干扰具有良好的观测能力。由图 4可以看出,在有初始设置误差且干扰较小的情况下,两种方法均可消除误差并跟随关节角度和角速度的变化。但是如主动力矩的干扰增大,无观测器的控制方法不再能很好地跟随角度的变化趋势,运行轨迹误差明显,并随着干扰的增大而增大;而增加干扰观测器的控制器仍可很好地跟随期望轨迹的变化,说明干扰观测器可以为控制器提供必要的补偿,从而使整个闭环系统具有更好的跟随能力。得到髋关节和膝关节相应的控制器输入(即控制器输出)如图 5(b)所示,由于干扰观测器对控制器进行了补偿,从而减小了控制器的输出,避免控制器输出因为变化幅度太大调整不及时造成控制误差。

3.3 实物验证

利用图 3所示的装置进行实物仿真实验,进一步验证控制方法的可行性。本文首先根据仿真实验数据,经过离线计算得到气动肌肉的控制量,进而进行开环验证实验,式(22)~(26)为气动肌肉控制量转化公式。

气动肌肉的力学表达特性[15]

$ \mathit{\boldsymbol{P}} = \left( {\mathit{\boldsymbol{F}} + 168} \right)/\left( {289 - 1\;528\varepsilon + 2\;468{\varepsilon ^2}} \right) $ (22)

式中:P为气动肌肉内气体的压强,ε为气动肌肉的收缩率,气动肌肉1的收缩率与髋关节角度的关系为

$ {\varepsilon _1} = 1 - \sqrt {5.151\;2 + 3.498\;0\cos {\theta _1}} $ (23)

气动肌肉2的收缩率与膝关节角度的关系为

$ {\varepsilon _2} = 1 - \sqrt {0.504\;8 + 0.495\;3\cos {\theta _2}} $ (24)

气动肌肉1为大腿提供的力矩与力的关系:

$ {F_1} = \frac{{{\tau _1}}}{{\sin \beta \sqrt {1.01 + b\cos {\theta _1}} }} $ (25)
$ \beta = {\theta _1} - \arctan \frac{{a\sin {\theta _1}}}{{0.1 + a\cos {\theta _1}}} $

气动肌肉2为大腿提供的力矩与力的关系:

$ {F_2} = {\tau _2}/\left( {c + a\cos {\theta _2}} \right) $ (26)

式中:a=0.342 8, b=0.685 6, c=0.282 4。

将仿真系统得到的力矩转化为压强输入到气动肌肉中,利用角度传感器测量髋关节与膝关节角度,与期望轨迹相比较,验证控制算法的有效性。如图 6所示,外骨骼系统可以很好地跟随期望轨迹的变化,进一步证明了控制方案的有效性。

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图 6 模拟实验结果 Fig. 6 Simulated experimental results
4 结论

1) 对由气动肌肉组建的下肢外骨骼做了一系列合理的假设,利用拉格朗日原理对下肢外骨骼进行了动力学分析,然后建立面向控制的动力学模型,仿真验证证明,该模型可以很好地反映下肢外骨骼的动力学特性,为外骨骼建模提供一定思路。

2) 利用干扰观测器对下肢行走过程中,由穿戴者提供的主动力矩进行估计,并对控制器进行相应的补偿,从而提升外骨骼的抗干扰能力。并通过设计相应的仿真实验和实物实验,验证了控制算法的有效性,干扰观测器可以有效解决主动力矩的不确定性。

虽然进行了一定的硬件实验验证,但是由于外骨骼硬件设备的不足,可完成动作的幅度具有一定的局限性,致使髋关节与膝关节角度的运动趋势与仿真实验一致,但最大角度均明显偏小。下一步的研究重点是优化外骨骼机构设计,为控制算法验证提供更优越的硬件平台。

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