并联机构具有刚度大、承载能力强等诸多优点，广泛应用于运动模拟、并联机床和产品的测试中^[1-5]。在船舶运动模拟实验中，六自由度并联机构用来模拟船舶在海浪作用下的平移、升降、俯仰和偏航等六自由度运动^[6-9]。液压驱动并联机构存在功耗高、易漏油和维护难等缺点。而电动并联机构具有功耗低、可靠性高、易维护的优点，在实际工程中越来越多的取代液压并联机构。然而，电动并联机构也存在驱动能力偏小的弱点，因此如何降低电动并联机构的功耗并提高其驱动能力，使其适应重载船舶运动模拟试验台的要求变得非常重要。辅以冗余驱动单元来平衡负载的重力是弥补电动缸驱动力不足的有效方法之一；对并联机构各参数进行优化设计，也可以提高并联机构的驱动能力。

近些年来，国内外学者在冗余并联机构的优化上取得了不少成果。孙小勇等^[11-12]对并联机构速度进行了优化；Fiore E等^[13]对应用于风力系统的六自由度并联机构进行了动力学优化，并进行了对比分析；Alessandro C等^[14]针对3T1R型并联机构提出了自己的驱动力优化方案。也有不少学者针对冗余并联机构驱动力的优化进行研究：Yao J等^[15]优化了五自由度的并联机构的驱动力；邵华等^[16]对四自由度冗余并联机床的驱动力进行了优化；董成林等^[17]分析并优化了还有一条冗余支链的4-UPS & UP并联机构的运动学性能；杨志东等^[18]针对二自由度并联冗余振动台的加载力提出了优化方案。

本文采用3条恒力气动冗余支腿平衡部分重力负载，以降低驱动支腿的载荷。采用免疫遗传算法对有3条冗余支腿的电动六自由度摇摆台进行基于速度、驱动力和功率的多目标优化设计，以获得并联机构的最优结构参数。并将优化后的结构进行仿真对比验证，对结果进行了分析和讨论。

1 数学建模与动力学分析 1.1 冗余并联机构结构

六自由度冗余并联机器人是在steward平台的基础上，增加3条冗余气动支腿构成的。如图 1(a)所示。该冗余并联机构由上、下平台、6条电动支腿、3条气动冗余支腿以及连接各支腿和上、下平台的铰链组成。3条冗余支腿位于相邻电动支腿所在平面的法平面上。

重物与冗余机构的上平台相连，总质量为15 000 kg。如果没有冗余支腿，平台自身与负载的重力及运动中的惯性载荷均由电动支腿平衡。当采用三条气动冗余支腿时，冗余驱动力会平衡部分重力。此时，电动支腿的负荷会减少，从而在一定程度上降低了电动支腿的功耗。

1.2 坐标系的建立

为方便后续的运动学及动力学研究，在下平台中心处建立右手坐标系，此为静坐标系。然后建立动坐标系，动系的坐标中心与动(上)平台中心重合。初始位置时，两坐标系的坐标轴均平行且正方向相同。如图 1(b)所示。

初始状态时，动、静坐标系原点之间的方向向量为：t₀=[0 0 h]^T。随着上平台不断运动，t=[q₁ q₂ q₃]^T表示动平台的平移运动，θ=[q₄ q₅ q₆]^T表示动平台的旋转运动，其中q₄、q₅、q₆分别表示运动平台姿态的横滚(roll)、俯仰(pitch)和偏转(yaw)角度。

因此，由动坐标系到静坐标系的坐标旋转矩阵R为

$ \mathit{\boldsymbol{R}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\rm{c}}{q_5} \cdot {\rm{c}}{q_6}}&{ - {\rm{c}}{q_4} \cdot {\rm{s}}{q_6} + {\rm{s}}{q_4} \cdot {\rm{s}}{q_5} \cdot {\rm{s}}{q_6}}&{{\rm{s}}{q_4} \cdot {\rm{s}}{q_6} + {\rm{c}}{q_4} \cdot {\rm{s}}{q_5} \cdot {\rm{c}}{q_6}}\\ {{\rm{c}}{q_5} \cdot {\rm{s}}{q_6}}&{{\rm{c}}{q_4} \cdot {\rm{c}}{q_6} + {\rm{s}}{q_4} \cdot {\rm{s}}{q_5} \cdot {\rm{s}}{q_6}}&{ - {\rm{s}}{q_4} \cdot {\rm{c}}{q_6} + {\rm{c}}{q_4} \cdot {\rm{s}}{q_5} \cdot {\rm{s}}{q_6}}\\ { - {\rm{s}}{q_5}}&{{\rm{s}}{q_4} \cdot {\rm{c}}{q_5}}&{{\rm{c}}{q_4} \cdot {\rm{c}}{q_5}} \end{array}} \right] $

式中：c、s为cos、sin的缩写^[19]。

各电动支腿在静坐标系中的向量表示为

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\mathit{\boldsymbol{L}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\mathit{\boldsymbol{L}}_1}}&{{\mathit{\boldsymbol{L}}_2}}&{{\mathit{\boldsymbol{L}}_3}}&{{\mathit{\boldsymbol{L}}_4}}&{{\mathit{\boldsymbol{L}}_5}}&{{\mathit{\boldsymbol{L}}_6}} \end{array}} \right] = }\\ {\mathit{\boldsymbol{R}} \cdot \mathit{\boldsymbol{A}} + \mathit{\boldsymbol{P}} + {\mathit{\boldsymbol{P}}_0} - \mathit{\boldsymbol{B}}} \end{array} $

(1)

式中：P=[t … t]_3×6，P₀=[t₀…t₀]_3×6。A为电动支腿与上平台相连的铰点坐标矩阵，B为电动支腿与下平台相连的铰点坐标矩阵。

同理，各冗余支腿在静坐标系中的向量表示为

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{\mathit{\boldsymbol{E}}_i} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\mathit{\boldsymbol{L}}_{e1}}}&{{\mathit{\boldsymbol{L}}_{e2}}}&{{\mathit{\boldsymbol{L}}_{e3}}} \end{array}} \right] = }\\ {\mathit{\boldsymbol{R}} \cdot {\mathit{\boldsymbol{A}}_{ei}} + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\mathit{\boldsymbol{t}} + {\mathit{\boldsymbol{t}}_0}}&{\mathit{\boldsymbol{t}} + {\mathit{\boldsymbol{t}}_0}}&{\mathit{\boldsymbol{t}} + {\mathit{\boldsymbol{t}}_0}} \end{array}} \right] - {\mathit{\boldsymbol{B}}_{ei}},i = 1,2,3} \end{array} $

(2)

式中：A_ei为冗余支腿与上平台相连的铰点坐标矩阵，B_ei为冗余支腿与下平台相连的铰点坐标矩阵。

1.3 运动学、动力学分析

为求运动支腿伸长的速度，对等式(1)的两端求导，可得

$ \mathit{\boldsymbol{\dot L}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\mathit{\boldsymbol{\dot L}}}_1}}&{{\mathit{\boldsymbol{L}}_2} \cdots {{\mathit{\boldsymbol{\dot L}}}_6}} \end{array}} \right] = \mathit{\boldsymbol{\dot P}} + \mathit{\boldsymbol{\hat \omega }} \times \mathit{\boldsymbol{RA}} $

(3)

令$\mathit{\boldsymbol{\dot q = }}{\left[ {{\mathit{\boldsymbol{t}}^{\rm{T}}}{\mathit{\boldsymbol{\theta }}^{\rm{T}}}} \right]^T}$表示上平台的速度，整理得

$ \mathit{\boldsymbol{\dot L}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} \mathit{\boldsymbol{E}}&{ - \mathit{\boldsymbol{R}}{{\mathit{\boldsymbol{\tilde a}}}_1}{\mathit{\boldsymbol{R}}^{\rm{T}}}}\\ \vdots&\vdots \\ \mathit{\boldsymbol{E}}&{ - \mathit{\boldsymbol{R}}{{\mathit{\boldsymbol{\tilde a}}}_1}{\mathit{\boldsymbol{R}}^{\rm{T}}}} \end{array}} \right]\mathit{\boldsymbol{\dot q}} = \mathit{\boldsymbol{J\dot q}} $

(4)

其中$\mathit{\boldsymbol{J}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} \mathit{\boldsymbol{E}}&{ - \mathit{\boldsymbol{E}}{{\mathit{\boldsymbol{\tilde a}}}_1}{\mathit{\boldsymbol{R}}^{\rm{T}}}}\\ \vdots & \vdots \\ \mathit{\boldsymbol{E}}&{ - \mathit{\boldsymbol{R}}{{\mathit{\boldsymbol{\tilde a}}}_1}{\mathit{\boldsymbol{R}}^{\rm{T}}}} \end{array}} \right]$为机构的雅可比矩阵。

由此可计算各支腿的伸长速度：

$ {{\mathit{\boldsymbol{\dot D}}}_i} = \frac{1}{{\left| {{{\mathit{\boldsymbol{\dot L}}}_i}} \right|}}\mathit{\boldsymbol{\dot L}}_i^{\rm{T}} \cdot {{\mathit{\boldsymbol{\dot L}}}_i} $

(5)

根据上述运动学的分析，利用牛顿-欧拉法建立并联机构的系统动力学方程，牛顿第二定律推导的上平台的力平衡方程:

$ \sum\limits_{i = 1}^6 {{\mathit{\boldsymbol{e}}_i} \cdot {f_i}} + \sum\limits_{i = 1}^3 {{\mathit{\boldsymbol{e}}_{ei}} \cdot {f_e}} - \mathit{\boldsymbol{mg}} = \mathit{\boldsymbol{m\ddot p}} $

(6)

由欧拉公式得到的上平台旋转方向力平衡公式：

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\sum\limits_{i = 1}^6 {\left( {\mathit{\boldsymbol{R}} \cdot {\mathit{\boldsymbol{a}}_i}} \right) \times \left( {{\mathit{\boldsymbol{e}}_i} \cdot {f_i}} \right)} + \sum\limits_{i = 1}^3 {\left( {\mathit{\boldsymbol{R}} \cdot {\mathit{\boldsymbol{a}}_{ei}}} \right) \times \left( {{\mathit{\boldsymbol{e}}_{ei}} \cdot {f_e}} \right)} = }\\ {\mathit{\boldsymbol{I\dot \omega }} + \mathit{\boldsymbol{\omega }} \times \mathit{\boldsymbol{I\omega }}} \end{array} $

(7)

式中：f_i为第i条电动支腿驱动力的幅值(i=1, 2, …, 6)；f_e为冗余支腿驱动力的幅值；e_i为第i条电动支腿方向的单位向量：

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{\mathit{\boldsymbol{e}}_i} = \frac{1}{{\left| {{L_i}} \right|}}{L_i}}&{i = 1,2, \cdots ,6} \end{array} $

e_ei为第i条冗余支腿方向的单位向量：

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{\mathit{\boldsymbol{e}}_{ei}} = \frac{1}{{\left| {{\mathit{\boldsymbol{L}}_{ei}}} \right|}}{\mathit{\boldsymbol{L}}_{ei}}}&{i = 1,2,3} \end{array} $

I为上平台在静坐标系下的惯性矩；

根据上述分析可知，单支电动支腿的功率峰值为

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{W_{\max }} = \max \left( {{f_i} \cdot {{\dot D}_i}} \right)}&{i = 1,2, \cdots ,6} \end{array} $

(8)

过大的扭矩会导致电机剧烈升温，影响电机及相关元件的电气和机械性能。超速运转易对系统其他的机械部件(轴承等)造成过度的磨损，影响机械的寿命。因此，只有合理地平衡并联机器人工作时作用力和速度的峰值$\left( {\max \left( {{f_i}} \right)\max \left( {{{\dot D}_i}} \right)} \right)$，才能有效地优化功率，降低大负载对系统的负面影响。

2 结构优化分析 2.1 设计变量

根据前文叙述，需要优化的结构参数有：电动支腿上、下铰点所处的外接圆半径r_a、r_b，相邻铰点间的直线距离l_a、l_b，冗余支腿上、下铰点所处的外接圆半径r_ae、r_be，冗余支腿对上平台的支持力f_e，初始状态时上、下平台的高度差h。故待优化的设计变量为

$ \mathit{\boldsymbol{X}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{r_a}}&{{r_b}}&{{l_a}}&{{l_b}}&{{r_{ae}}}&{{r_{be}}}&{{f_e}}&h \end{array}} \right] $

2.2 目标函数

并联机构工作时需要模拟船舶运动时的摇摆和晃动，为待测试仪器提供测试环境。为此选取了4种典型的运动作为优化时考虑的特征运动：沿固定坐标系Y、Z轴的平移，沿X、Z轴的转动。具体运动参数见表 1。

本文针对并联机构的设计目的是尽可能地降低运动过程中电动支腿速度、作用力和功率的峰值，这是一个典型的多目标优化问题。通常的处理方法就是多目标加权法^[20]。但是由于力和速度在物理意义上完全不同，单位和数量级都不同，所以在此之前需进行两者的正规化处理：

$ {V_{\max }} = \frac{{\max \left( {{{\dot D}_i}} \right) - {v_{\min }}}}{{{v_{\max }} - {v_{\min }}}} $

(9)

$ {F_{\max }} = \frac{{\max \left( {{f_i}} \right) - {f_{\min }}}}{{{f_{\max }} - {f_{\min }}}} $

(10)

$ {P_{\max }} = \frac{{\max \left( {{P_i}} \right) - {P_{\min }}}}{{{P_{\max }} - {P_{\min }}}} $

(11)

式中：v_min、v_max分别表示理论的速度极限值，根据现场工况的实际需求和电机的承受极限分别取0和2.5 m/s；f_min、f_max表示驱动力的理论极值，分别取0、140 kN；P_min、P_max表示功率的理论极值，分别取0、120 kW。

由此，可以得出目标函数的表达式：

$ \min f\left( X \right) = {a_1}\left| {{V_{\mathit{max}}}} \right| + {a_2}\left| {{F_{\max }}} \right| + {a_3}\left| {{P_{\max }}} \right| $

式中：a₁、a₂、a₃分别为速度项、驱动力项和功率项的权重系数，可根据实际的工况需求选取不同的权重值，但是三者之间要满足关系：a₁+a₂+a₃=1。结合船舶运动模拟的工况设定，本文选取a₁=0.4、a₂=0.3、a₃=0.3。

2.3 约束条件

考虑到运动模拟对机构工作空间的需求、并联机器人现场的工作环境以及支腿在最大伸长时的稳定性，设定设计变量的各个参数取值范围：

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\mathit{\boldsymbol{X}} = }\\ {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{r_a}/m}&{{r_b}/m}&{{l_a}/m}&{{l_b}/m}&{{r_{ae}}/m}&{{r_{be}}/m}&{{f_e}/kN}&{h/m} \end{array}} \right] = }\\ {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left[ {1.5,2.5} \right]}&{\left[ {2.0,3.0} \right]}&{\left[ {0.2,0.6} \right]}&{\left[ {0.2,0.6} \right]} \end{array}} \right.}\\ {\left. {\begin{array}{*{20}{c}} {\left[ {1.5,2.5} \right]}&{\left[ {2.0,3.0} \right]}&{\left[ {0.4,1.5} \right]}&{\left[ {1.3,3.0} \right]} \end{array}} \right]} \end{array} $

经过仿真验证，在上述取值范围内，机构的球绞没有超出最大摆角限制，各支腿在全尺寸运动范围内也没有发生干涉。故该组约束条件可以满足本文机构设计的线性约束条件和非线性约束条件。

综上所述，可以给出本文所设计的冗余机构的优化模型：

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\rm{Find}}\;\mathit{\boldsymbol{X}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{r_a}}&{{r_b}}&{{l_a}}&{{l_b}}&{{r_{ae}}}&{{r_{be}}}&{{f_e}}&h \end{array}} \right]}\\ {\min f\left( \mathit{\boldsymbol{X}} \right)}\\ {{\rm{s}}.\;{\rm{t}}.\;\;\;\;\;\;\mathit{\boldsymbol{X}} \in {\mathit{\boldsymbol{L}}_X}} \end{array}} \right. $

(12)

3 多目标优化设计 3.1 算法设计

免疫遗传算法是借鉴生物的免疫系统，与传统的遗传算法相结合的新型优化算法。传统的遗传算法中，初始种群个体根据对环境的适应性，做出淘汰或繁衍后代的选择。随着种群的不断演化，种群中个体对环境的适应性不断提高，最终达到最佳表现^[21-23]。

而在生物的免疫过程中，抗原入侵生物本体后，免疫细胞做出反应，产生特异性抗体。随着免疫的不断进行，抗原浓度越来越少，抗体的浓度则不断增加，抗体之间的相互抑制作用增强，抗体的数量逐渐减少，免疫系统在动态变化中保持平衡。同时，免疫细胞分化为记忆细胞，减少了下次相同抗原入侵时的免疫反应时间。

免疫遗传算法中，抗原表示待求解问题的目标函数，问题对应的解为抗体。用抗原和抗体之间的亲和力来描述可行解与最优解的逼近程度。而抗体与抗体之间的亲和力则对应为候选解之间的距离。记忆细胞的分化则表示优良解的保持，使下次相似情况的问题求解更快速。在本文优化求解过程中，抗原为f(X)，抗体为X。

可见免疫遗传算法与传统遗传算法之间的区别主要有：种群个体之间的相互作用和抗体群中优良个体的保持。前者能够降低浓度较高的个体的繁殖，从而防止求解陷入局部最优解。而后者能够将优良个体保存在抗体群中，缩短下次搜索的时间。所以，免疫遗传算法在全局搜索能力、局部搜索能力和搜索速度上有着无可比拟的优势^[24-30]。

针对本文所述的冗余并联机构优化问题，免疫遗传算法的具体步骤为：首先随机生成一个X的初始种群，其中X中的每一个参数用20位二进制位数表达，每个种群共有20个个体。然后计算种群中的各个个体的目标函数值(抗原和抗体之间的亲和力)和种群中的浓度(抗体与抗体之间的亲和力)，根据目标函数值和浓度综合判断哪些个体可以重组产生后代，重组率为0.7。随机选取个体进行变异操作，染色体中的每一个元素变异的概率近似等于0.5。然后，依据临界抗体浓度0.7对比两两抗体之间的相似度。最后得到子代种群并更新抗体群。重复上述步骤，直至满足终止条件。

设置迭代次数为200次，可以得出每一代最小值和平均值的变化关系为图 2所示。可以看出，免疫遗传算法在迭代次数内趋于收敛。

3.2 优化结果

经过优化计算，可以得到一组优化后的结构参数。为验证优化结果的有效性，将优化后的结果与一组典型的参数进行对比仿真验证。这里选择在工业界被广泛应用的力士乐公司的HSE-6-MS-6-C-5/D型六自由度并联机器人作为对比对象。两者的结构参数如表 2所示。优化前后，机构的特征运动速度与作用力对比如图 3、4所示。

图 3为每项运动中速度峰值所在的支腿的速度曲线。每一张图中的最大值，就是这项特征运动中的速度峰值；四项特征运动中的速度峰值的最大值就是总的速度峰值。

可以看出，特征运动1、3、4中优化后的速度峰值均明显小于对比并联机构；特征运动2中，两者速度曲线基本重合。在全部特征运动中，对比构型的速度峰值出现在特征运动4中，为2.049 3 m/s；优化后速度峰值出现在特征运动2中为1.765 9 m/s，下降了13.83%。因此总的速度峰值也得到显著优化。

图 4为每项运动中作用力峰值所在的支腿的作用力曲线。同理，每一张图中的最大值，就是这项特征运动中电动支腿的驱动力峰值；四项特征运动中的驱动力峰值的最大值就是总的驱动力峰值。

由图 4可知，优化后，每种特征运动的驱动力均得到了不同程度的降低，且优化后的驱动力大致相对于0 N对称分布，符合预期。可以看出，对照构型中驱动力峰值出现在特征运动1中，为96.601 kN；优化后驱动力峰值也同样出现在特征运动1中，为72.931 kN，下降了24.50%，优化效果明显。

优化前后的功率峰值与平均值对比呈现在表 3中，分析表中数据可得，功率峰值出现在B项运动中，对比构型功率峰值为95.398 kW，优化后功率峰值为51.824 kW，下降了45.68%。

综上所述，本文基于速度峰值、作用力峰值和功率峰值的多目标免疫遗传优化方案，对各项运动参数的优化效果都十分明显。

4 结论

1) 冗余支腿能够很好的配合电动支腿的运动，以恒力平衡掉载荷的部分重力，对比工业中常用的典型六自由度并联机构，优化后摇摆台工作时电动支腿的速度、作用力和系统的功耗峰值分别降低了13.83%、24.50%和45.68%。

2) 使用免疫遗传优化算法，保证了种群的个体多样性。在确保优化效果的前提下，能够避免过早地收敛于局部最优解。

3) 采用综合权衡速度、驱动力和功率的多目标优化策略，使其更接近工作环境的实际需求。