电液系统因响应快、定位准确等广泛应用于工业生产中^[1]。系统结构的非对称、工作负载的时变等使得系统的动态特性呈现非线性^[2]，导致系统的动态品质差。为了改善系统的动态特性，国内外学者应用非线性控制策略对系统进行控制。速度前馈控制^[3]、滑模控制^[4-5]、自适应控制^[6]、反馈线性化控制^[7]、鲁棒控制^[8]、模型预测控制^[9]等被应用到系统的控制中，以提高系统的跟踪性能。但以上研究都是基于构建系统单一模型，系统模型不能精确描述系统特性，工程应用具有一定的局限性。切换控制^[10-11]、多模型控制^[12]在电液控制系统中得到了应用，在一定程度上改善了系统的动态特性，但对时变负载下系统的速度响应缺少研究。

本文提出一种基于负载力分段建立系统多模型方法和统一切换控制策略，消除负载变化对速度的影响，实现时变负载下的高精度速度追踪和平稳控制。

1 系统模型 1.1 系统动力学模型

大型装备电液系统原理图如图 1所示。图中：P_s、P_o分别为油源压力和回油压力，P₁、P₂分别为液压缸无杆腔和有杆腔压力；A₁、A₂分别为液压缸无杆腔和有杆腔面积，定义A₂/A₁=η < 1；Q₁、Q₂分别为液压缸无杆腔和有杆腔的流量；x_v为比例阀阀芯位移，C_d为比例流量系数，ρ为液压油密度，w为比例阀开口度，y为活塞杆位移，C_i为内泄露系数，C_e为外泄露系数，E为油液的体积模量，V₁₀和V₂₀分别为两腔初始容积，F_L为负载，m为活塞和负载总质量，β_e为活塞的粘性阻尼系数。

1) 当x_v > 0时

比例阀负载流量方程为

$ \left\{ \begin{array}{l} {Q_1} = {C_d}w{x_v}\sqrt {\frac{2}{\rho }\left( {{p_s} - {p_1}} \right)} \\ {Q_2} = {C_d}w{x_v}\sqrt {\frac{2}{\rho }{p_2}} \end{array} \right. $

(1)

液压缸流量连续方程为

$ {Q_1} = {A_1}\dot y + {C_i}\left( {{P_1} - {P_2}} \right) + {C_e}{P_1} + \frac{{{V_1}\left( y \right)}}{E}{{\dot P}_1} $

(2)

$ {Q_2} = {A_2}\dot y - {C_i}\left( {{P_2} - {P_1}} \right) - {C_e}{P_2} - \frac{{{V_2}\left( y \right)}}{E}{{\dot P}_2} $

(3)

其中：V₁(y)=V₁₀-A₁y，V₂(y)=V₂₀-A₂y。

2) 当x_v < 0时

比例阀负载流量方程为

$ \left\{ \begin{array}{l} {Q_1} = {C_d}w{x_v}\sqrt {\frac{2}{\rho }{p_1}} \\ {Q_2} = {C_d}w{x_v}\sqrt {\frac{2}{\rho }\left( {{p_s} - {p_2}} \right)} \end{array} \right. $

(4)

液压缸流量连续方程为

$ {Q_1} = {A_1}\dot y + {C_i}\left( {{P_2} - {P_1}} \right) - {C_e}{P_1} + \frac{{{V_1}\left( y \right)}}{E}{{\dot P}_1} $

(5)

$ {Q_2} = {A_2}\dot y - {C_i}\left( {{P_2} - {P_1}} \right) + {C_e}{P_2} - \frac{{{V_2}\left( y \right)}}{E}{{\dot P}_2} $

(6)

系统液压缸负载力平衡方程为

$ {A_1}{P_1} = m\ddot y + {\beta _e}\dot y + {A_2}{P_2} + {F_L} $

(7)

1.2 多模型的建立

大型装备金属成型过程的本质是时变负载作用下的电液速度伺服控制过程，基于系统动力学模型，在给定的速度规律下，依据系统外负载力的变化规律，对系统运行过程进行分段，如图 2所示，分段的数量可以由负载力的近似程度确定，图中S₁为空载，S₂~S_i为成型过程。

依据式(1)~(7)，选择液压缸活塞杆的位移x、速度v和两腔压力P₁、P₂为状态变量，则系统非线性模型的状态空间可以描述为

$ \mathit{\boldsymbol{x}} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}&{{x_2}}&{{x_3}}&{{x_4}} \end{array}} \right]^{\rm{T}}} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} x&{\dot x}&{{P_1}}&{{P_2}} \end{array}} \right]^{\rm{T}}} $

系统的状态方程如下

$ \left\{ \begin{array}{l} \mathit{\boldsymbol{\dot x}} = {\mathit{\boldsymbol{f}}_i}\left( \mathit{\boldsymbol{x}} \right) + {\mathit{\boldsymbol{g}}_i}\left( \mathit{\boldsymbol{x}} \right) \cdot u\\ y = h{\left( x \right)_i} = {x_2} \end{array} \right. $

(8)

式中：i=1, 2, …, n为系统给定速度、时变负载下的一个状态；f_i(x)、g_i(x)对应于第i个子模型，且

$ {\mathit{\boldsymbol{f}}_i}\left( \mathit{\boldsymbol{x}} \right) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_2}}\\ {1/m \cdot \left[ {{A_1}\left( {{x_3} - \eta {x_4}} \right) - {F_{Li}}} \right]}\\ {E/{V_1}\left( {{x_1}} \right) \cdot \left[ { - {C_i}\left( {{x_3} - {x_4}} \right) - {A_1}{x_2}} \right]}\\ {E/{V_2}\left( {{x_1}} \right) \cdot \left[ {{C_i}\left( {{x_3} - {x_4}} \right) + {A_2}{x_2}} \right]} \end{array}} \right] $

$ {\mathit{\boldsymbol{g}}_i}\left( \mathit{\boldsymbol{x}} \right) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ 0\\ {E/{V_1}\left( {{x_1}} \right) \cdot {B_V}\sqrt {\Delta {x_3}} }\\ { - E/{V_2}\left( {{x_1}} \right) \cdot {B_V}\sqrt {\Delta {x_4}} } \end{array}} \right] $

$ \Delta {x_3} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} \begin{array}{l} {p_s} - {x_3},\\ {x_3} - {p_0}, \end{array}&\begin{array}{l} {x_v} \ge 0\\ {x_v} < 0 \end{array} \end{array}} \right. $

$ \Delta {x_4} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} \begin{array}{l} {x_4} - {p_0},\\ {p_s} - {x_4}, \end{array}&\begin{array}{l} {x_v} \ge 0\\ {x_v} < 0 \end{array} \end{array}} \right. $

$ {B_v} = {C_d}w\sqrt {\frac{2}{\rho }} $

由f_i(x)的表达式可知，系统各个子模型的区别在于负载力是不一致的，因此可建立结构一致、负载力不同的系统子模型，将所有子模型进行合成，即可构建时变负载下系统多模型。

2 统一切换控制 2.1 子模型切换控制律

对于阀控非对称缸液压系统，文献[7]提出了线性化反馈控制策略，且证明系统是稳定的，忽略泄漏因素影响，对第i个子模型可表示为

$ {\mathit{\boldsymbol{f}}_i}\left( \mathit{\boldsymbol{x}} \right) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_2}}\\ {1/m \cdot \left[ {{A_1}\left( {{x_3} - \eta {x_4}} \right) - {F_{Li}}\left( x \right)} \right]}\\ {E/{V_1}\left( {{x_1}} \right) \cdot \left[ { - {A_1}{x_2}} \right]}\\ {E/{V_2}\left( {{x_1}} \right) \cdot \left[ {{A_2}{x_2}} \right]} \end{array}} \right] $

为简化分析过程，选取系统速度的相对阶为2，进行微分同胚变换，选取

$ \left\{ \begin{array}{l} {z_1} = h\left( x \right) = {x_2}\\ {z_2} = {L_f}h\left( x \right) = \frac{{{A_1}{x_3} - {F_{Li}} - {A_2}{x_4}}}{m} \end{array} \right. $

(9)

式中：L_fh(x)为h(x)沿f方向的李导数，则在新的坐标系下，可将系统转换成如下的Brunovsky标准型：

$ \left\{ \begin{array}{l} {{\dot z}_1} = {z_2}\\ {{\dot z}_2} = \alpha \left( x \right) + \beta \left( x \right)u \end{array} \right. $

(10)

式中：

$ \alpha \left( x \right) = - \left( {{\eta ^2}\frac{E}{{{V_1}\left( {{x_1}} \right)}} + \frac{E}{{{V_2}\left( {{x_1}} \right)}}} \right)\frac{{{A_2}^2}}{m}{x_2} - {{\dot F}_{Li}}/m $

$ \beta \left( x \right) = \frac{{{A_1}{B_v}}}{m}\left( {\eta \frac{E}{{{V_1}\left( {{x_1}} \right)}}\sqrt {\Delta \left( {{x_3}} \right)} + \frac{E}{{{V_2}\left( {{x_1}} \right)}}\sqrt {\Delta \left( {{x_4}} \right)} } \right) $

对每个子模型采用反馈线性化控制，选择控制律：

$ \mu = \frac{{v - \alpha \left( x \right)}}{{\beta \left( x \right)}} $

(11)

当v满足以下条件时，可以按照线性系统的设计方法设计控制器：

$ v = {\mathit{\boldsymbol{\upsilon }}_d}^{\left( 2 \right)} + {K_v}e + {K_\alpha }\dot e $

(12)

式中：e为速度误差，e=υ_d-x₂；υ_d为期望速度；K_υ为速度误差反馈系数；K_a为加速度误差反馈系数，严格为正。

根据式(11)、(12)可以得到指数稳定系统如下

$ {e^{\left( 2 \right)}} = {K_\mathit{\boldsymbol{\upsilon }}}\dot e + {K_a}e = 0 $

(13)

根据线性系统的设计理论，选择合适的系数可以将系统的极点配置在左半平面。

考虑负载的变化和其他参数的不确定性，增加了一个干扰的补偿项，最终的控制律可描述为

$ \mu = \frac{{v - \alpha \left( x \right)}}{{\beta \left( x \right)}} - K\left[ {{\mathop{\rm sgn}} \left( s \right)} \right] $

(14)

式中：K为控制增益，K=D+δ；D为步长参数的摄动；δ为控制切换的速度系数。

2.2 边界函数设计

为减小因符号函数带来的不连续控制而引起的系统的颤振，将符号函数用边界层函数代替：

$ {\rm{sat}}\left( {\frac{S}{\mathit{\Phi }}} \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} \begin{array}{l} {\mathop{\rm sgn}} \left( {S/\mathit{\Phi }} \right),\\ S/\mathit{\Phi }, \end{array}&\begin{array}{l} \left| {S/\mathit{\Phi }} \right| \ge 1\\ \left| {S/\mathit{\Phi }} \right| < 1 \end{array} \end{array}} \right. $

式中Φ为边界层厚度。

则改进后的控制律为

$ \mu = \frac{{v - \alpha \left( x \right)}}{{\beta \left( x \right)}} - K{\rm{sat}}\left( {\frac{S}{\mathit{\Phi }}} \right) $

(15)

2.3 切换控制律修正

考虑负载力的变化，进一步对控制律进行修正，得到

$ \mu = \frac{{v - \alpha \left( x \right)}}{{\beta \left( x \right)}} - {\delta _i} - K'{\rm{sat}}\left( {\frac{S}{\mathit{\Phi }}} \right) $

(16)

式中：δ_i为负载变化补偿等效分量, $K'{\rm{sat}}\left( {\frac{S}{{\mathit{\Phi }}}} \right)$为切换分量。

式(16)对于对每个子系统具有统一的控制器，第i个子系统只需要修改控制器切换增益中的负载变化补偿等效分量。

3 仿真与实验

为了验证控制策略的有效性，通过仿真和实验进行验证。利用AMEsim和Simulink联合搭建仿真模型，进行仿真验证，并在阀控非对称缸系统实验台上进行实验验证。系统的仿真模型由式(8)确定，液压缸系统参数为：液压缸体积V_t=0.002 355 m³，无杆腔作用面积A₁=0.007 85 m²，有杆腔作用面积A₂=0.005 47 m²，液压泵压力P_s=4.5 MPa，液体油体积模量E=1.4×10³ MPa，阻尼系数β_e=700 N·s/m，等效负载质量m=200 kg。

3.1 仿真分析

设液压缸有效行程为100 mm，如图 3所示设置负载状态。状态①模拟空载，运行范围为0~20 mm，设速度为0.03 m/s，负载力为常数200 N；状态②模拟液压缸与工件接触后并运行一段位移，运行范围为20~60 mm，设速度为0.02 m/s，主要为形变负载，负载力为F₂=200+10 000(x-0.02)；状态③模拟液压缸继续运动后的系统状态，在此位移变化内，设速度为0.01 m/s，运动范围为60~100 mm，主要为弹性负载，负载力为F₃=600+15 000(x-0.06)。

针对不同的负载状态，设置不同的切换增益，通过调试，得具体参数设置为：速度系数K_v=12 675，加速度系数K_a=195，控制增益K=450，边界层厚度K=450，切换增益δ₁=100，切换增益δ₂=150。图 4为分段不同目标速度时，时变负载情况下系统动态响应特性。仿真结果表明，无论是在空载还是时变负载情况下，在设定速度时，统一切换控制的稳态误差始终近似为零，说明了统一切换控制对于时变负载具有比较好的控制效果，能实现电液系统较好的速度追踪。

3.2 实验研究

实验台原理图和实物图分别如图 5、6所示。设定运行过程速度保持恒定，通过设置负载缸两腔比例溢流压力，提供不同的负载。实验过程是通过比例阀设置无缸腔压力。在0~20 mm时，负载缸两腔的压力都设置为1.5 MPa，等价于施加一个恒定负载。在20~60 mm时，让负载缸的无杆腔均匀增加0.5 MPa，有杆腔压力保持恒定。在60~100 mm时，设置无杆腔的压力再均匀增加1 MPa，有杆腔压力保持恒定，如图 7所示。由于负载泵存在压力脉动和比例溢流阀本身原因，无论是有杆腔还是无杆腔，其压力都存在波动，导致负载也是波动的。

通过反复调试，最终控制参数设置为：速度系数K_v=32 000，加速度系数K_a=225，控制增益K=50，边界层厚度K=3 200，切换增益δ₁=100，切换增益δ₂=200。

图 8、9分别为系统速度的目标值为0.01 m/s和0.02 m/s时的速度响应。图 8、9中的固定负载设为2.0 MPa，设定速度为0.02 m/s时变负载各段时间缩短为速度为0.01 m/s时的一半。由图可知，在两种不同的设定速度时，变载情况下系统的稳态误差基本在0.2 mm/s范围内。同时，固定负载和时变负载情况下系统误差接近于零，结果说明统一切换控制对系统时变负载具有较强的抑制能力。

由实验结果可知，统一切换控制策略在时变负载情况下，通过改变切换增益参数，能取得较好的控制效果，提高了系统速度响应精度和系统的稳定性。

4 结论

1) 针对阀控非对称缸液压系统时变导致系统输出非线性问题，提出统一切换控制策略，提高系统速度跟踪特性。

2) 提出了基于将电液系统时变负载等效为一个负载状态进行分段处理，构建了系统时变负载下的多模型。

3) 设计了统一切换控制策略，对不同的子模型只需根据各负载状态等效负载力的大小修改切换增益，实现各子模型的切换控制。

4) 对比了时变负载情况下，设定系统不同运行速度时的速度响应特性，系统的稳定误差保持在0.2 mm/s的范围内。