随着对柴油机排放的严格控制，以往的机械式燃油喷射系统已经难以满足现有的排放法规，于是电控燃油喷射系统应运而生，成为目前满足日益严格的排放法规的关键技术^[1-3]。电控燃油喷射系统较机械式喷油系统结构简单，且对喷油规律控制准确，高速电磁阀是其核心元件之一，决定着喷油定时和喷油量^[4]，其动态响应性能及强电磁力特性直接影响柴油机喷油规律的控制精度，从而对柴油机的动力性和燃油经济性造成影响，因此提高电磁阀动态响应特性及电磁力特性具有重要意义。

目前国内外学者主要对高速电磁阀的进行单参数优化分析与研究^[5-6]，且大都集中在模型建立^[7-8]、动静态参数的优化分析^[9-10]、驱动电路的优化^[11-12]等方面。以上研究虽为高速电磁阀的设计与优化提供了一定的理论指导，但由于高速电磁阀是一个多物理场耦合的非线性系统，而以上研究主要针对单物理场或局部耦合场进行优化，且大多数只分析单一参数或多个参数的交互作用的影响，使得总体优化效果不理想。同时高速电磁阀是高精度、微位移的精密元件，其动态仿真的计算量较大，通过仿真计算来进行多参数组合的优化周期较长。近似模型技术解决了该类问题，它是通过近似方法对离散数据进行插值构造的零维数学模型^[13]，可替代高速电磁阀进行各物理场的CAE分析。因此利用近似模型技术构建出其动态响应特性与各物理场参数间的函数关系来对其进行优化是一种有效手段，不仅可以避免繁琐的计算，且可以充分地考虑各参数间的交互作用，大大提高优化效率。

本文结合试验设计与近似模型方法，建立优化变量和优化目标及约束之间的近似模型，并基于近似模型构建了电磁阀的多目标优化数学模型，通过NSGA-Ⅱ遗传算法计算得到最优解集，以期获得高速电磁阀较好的动态响应特性。

1 高速电磁阀结构及仿真模型建立 1.1 高速电磁阀结构及工作原理

本文研究仅以电控单体泵高速电磁阀为例，其结构如图 1(a)、(b)所示，主要包括电磁阀、控制阀杆、衔铁复位弹簧、堵头等零部件。其中电磁铁的结构如图 1(c)所示，主要由阀芯(主、副磁极)、励磁线圈、衔铁等组成。通电后，阀芯吸合衔铁，拉动控制阀杆，关闭密封锥面，切断燃油回路，从而在泵腔内建立起燃油喷射所需的高压；断电后，在复位弹簧预紧力的作用下迫使衔铁推动控制阀杆复位，开启密封锥面，卸载高压燃油，停止燃油喷射。电磁铁通过对衔铁的吸合时刻与吸合时间的控制实现对喷油定时和喷油量的控制。该方式改变了传统喷油泵复杂的机械控制方式，实现了对燃油喷射过程的数字控制，使得燃油喷射过程的控制更加精确。

1.2 模型建立

高速电磁阀是集电、磁、机械运动于一体的耦合系统，模型建立需充分考虑各子系统交互关系。

1) 电路子系统

电磁阀驱动电路中电流和电压关系可表述为

$ L\frac{{{\rm{d}}i}}{{{\rm{d}}t}} + Ri + {U_c} = 0 $

(1)

式中：U_c为线圈两端电压，i为线圈电流，L为线圈电感，R为线圈电阻。

2) 磁路子系统

磁场的求解是基于麦克斯韦方程组，其积分形式如下：利用有限元法将方程离散化，然后转变为矩阵求解^[7]:

$ \oint {\mathit{\boldsymbol{H}}{\rm{d}}l} = \iint {\left( {\mathit{\boldsymbol{J}} + \frac{{\partial \mathit{\boldsymbol{D}}}}{{\partial t}}} \right){\rm{d}}S} $

(2)

$ \oint {\mathit{\boldsymbol{E}}{\rm{d}}l} = - \iint {\frac{{\partial B}}{{\partial t}}{\rm{d}}S} $

(3)

$ ∯ \mathit{\boldsymbol{D}}\rm{d}S = \sum {{q_0}} $

(4)

$ {\mathit{\boldsymbol{B}}{\rm{d}}S} = 0$

(5)

$ {F_{{\rm{mag}}}} = \frac{{{\rm{d}}W\left( {s,i} \right)}}{{{\rm{d}}\sigma }} $

(6)

式中：H为磁场强度，J为传导电流密度，D为电通量密度，t为时间，E为电场强度，B为磁感应强度，ρ为电荷体密度，F_mag为电磁力，W(s, i)为磁场伴随储能，σ为工作气隙。

3) 机械运动子系统

由牛顿运动学定律，电磁阀的机械运动方程为

$ m\frac{{{{\rm{d}}^2}x}}{{{\rm{d}}{t^2}}} = {F_{{\rm{mag}}}} - \lambda \frac{{{\rm{d}}x}}{{{\rm{d}}t}} - kx - {F_0} $

(7)

式中：m为运动件质量，包括阀杆、衔铁和小弹簧等零件；x为衔铁位移；λ为阻尼系数；k为弹簧刚度；F₀为弹簧预紧力。

联立上述各子系统控制方程进而得到高速电磁阀完整数学模型。本文采用专业电磁有限元仿真软件Ansys maxwell进行求解，并进行相应简化处理：

1) 电磁阀控制阀杆、衔铁复位弹簧、弹簧座、外壳等为非软磁性材料，建模时可忽略，只考虑阀芯、衔铁以及线圈等部件。

2) 电磁阀阀芯在建模时根据实际尺寸建立为一整块，将其属性设置为叠片，并定义其叠压系数和叠压方向。

3) 励磁线圈在建模时等效为圆环，设置为形式为绞线型，并定义线圈匝数。

4) 衔铁在建模时，根据实际形状和尺寸画出，将其材料设置为DT4电工纯铁。

5) 创建包裹所有模型的求解域，并设定其为空气环境。

经以上简化后，考虑到高速电磁阀为轴对称结构，为减小计算量，采用了1/2结构进行三维建模分析，得到电磁阀全数值仿真模型如图 2(a)所示。模型建立后，采用自适应网格剖分方法进行求解，其初始网格划分情况如图 2(b)所示。

1.3 仿真模型验证

高速电磁阀动态响应特性的测量在电控单体泵喷油系统油泵试验台上完成，测量装置是通过在电控单体泵堵头上开安装孔把电涡流升程传感器安装在合适的位置(图 3所示)，该升程传感器将衔铁位移变化转化为电压信号输出，并同时测量电磁阀线圈驱动电流变化情况。通过测量衔铁位移与驱动电流即可得到高速电磁阀动态响应特性情况。

图 4为典型工况下的仿真模型计算数据与试验测得的衔铁位移和驱动电流数据的对比曲线，通过对比可知电磁阀吸合响应时间最大误差为1%，开启响应时间最大误差为3%，因此仿真模型的精确度能够满足实际需要，利用该模型能够准确预测高速电磁阀的动态响应特性。

2 试验设计及近似模型 2.1 试验设计

试验设计^[14-15]是指以数理统计、概率论和线性代数为理论基础，科学的安排试验方案，正确的分析试验结果，以尽快地获得最优方案的一种方法。拉丁超立方试验设计^[16]中的每个因素的设计空间均匀地分布在N行N列的方阵，然后在方阵内随机地生成不在同行和同列的N个样本点。本文采用均匀拉丁方试验设计，它是在拉丁试验设计的基础上，运用一定的算法使样本点加均匀的分散在设计空间中，用尽可能少的试验设计点代表尽可能多的信息，其均衡性、填充性具有明显优势^[16-17]。它跟拉丁方试验设计最大的区别是多了一个均匀性判据，并且使均匀性判据达到最大，其产生的N个试验采样点更均匀地分布在设计变量的整个空间内。为了构建精度较高的Kriging模型，必须提供良好的试验样本点。

为探索线圈匝数、主磁极半径、衔铁厚度、残余气隙以及弹簧预紧力5个参数(表 1为各参数取值范围)的合理搭配对于电磁阀性能的影响，首先将这5个参数作为试验设计的输入变量，以吸合时间、释放时间以及电磁力作为输出响应，采用最优拉丁超立方试验设计采取了20组样本点，并通过高速电磁阀数值仿真模型计算出响应值，将此作为Kriging模型的初始样本数据。

2.2 Kriging近似模型的构建

对电控燃油系统的高速电磁阀进行多学科优化，设计空间较复杂，利用三维有限元模型计算周期较长，而优化过程采用近似模型技术是一种有效的手段。Kriging模型是一种由参数化模型与非参数化随机过程联合组成的半参数化近似模型。它不仅比单个参数化模型具有更强的预测能力，而且克服了非参数化模型的局限性，容易得到理想的拟合效果^[18]。

Kriging近似模型由多项式和随机分布两部分构成^[18]，其表达式为

$ y\left( x \right) = {f^T}\left( x \right)\beta + z\left( x \right) $

(8)

式中：β为回归系数；f(x)为多项式，是设计空间的全局近似，即y(x)的数学期望；Z(x)为全局模型的局部偏差的近似，即y(x)的局部变化。

可通过样本点插值获得Z(x)的协方差矩阵表示其局部偏离的程度，其协方差矩阵形式为

$ {\mathop{\rm cov}} \left[ {Z\left( {{x_i}} \right),Z\left( {{x_j}} \right)} \right] = {\delta ^2}\mathit{\boldsymbol{R}}\left[ {\mathit{\boldsymbol{R}}\left( {{x_i},{x_j}} \right)} \right] $

(9)

$ \mathit{\boldsymbol{R}}\left( {{x_i},{x_j}} \right) = \prod\limits_{k = 1}^n {\exp \left( { - {\theta _k}{{\left| {x_k^i - x_k^j} \right|}^2}} \right)} $

(10)

式中：R表示相关矩阵，为n阶正定对角阵，R(x_i, x_j)是任意两个样本点x_i和x_j的空间相关函数，该公式表示的相关函数类型为高斯函数；θ_k为拟合模型的相关参数。相关函数R(x_i, x_j)确定之后，就可以建立y(x)的近似响应$\hat y$关于观察点x的表达式了，形式如下

$ \hat y = \hat \beta + {\mathit{\boldsymbol{r}}^{\rm{T}}}\left( x \right){\mathit{\boldsymbol{R}}^{ - 1}}\left( {y - f\hat \beta } \right) $

(11)

式中：r^T(x)表示n个样本点与未知点x组成的相关矢量，表达式为

$ \mathit{\boldsymbol{r}}\left( x \right) = \left[ {\mathit{\boldsymbol{R}}\left( {x,{x_1}} \right),\mathit{\boldsymbol{R}}\left( {x,{x_2}} \right), \cdots ,\mathit{\boldsymbol{R}}\left( {x,{x_n}} \right)} \right] $

(12)

β通过式(13)估计：

$ \beta = {\left( {{f^T}{\mathit{\boldsymbol{R}}^{ - 1}}f} \right)^{ - 1}}{f^T}{\mathit{\boldsymbol{R}}^{ - 1}}y $

(13)

方差δ²通过式(14)估计：

$ {{\hat \delta }^2} = \frac{{{{\left( {y - f\hat \beta } \right)}^T}{\mathit{\boldsymbol{R}}^{ - 1}}\left( {y - f\hat \beta } \right)}}{n} $

(14)

模型的系数$\hat \beta $和方差估计值δ²都与相关函数的参数θ_k有关，因此先要在试验数据中得到该参数的优化值，等价于在以下式(15)的函数φ取得最大值处获得

$ \varphi = - \frac{{n\ln \left( {{\delta ^2}} \right) + \ln \left| \mathit{\boldsymbol{R}} \right|}}{2} $

(15)

在数据点一定的情况下，数值$\hat \beta $和R^-1(y-f$\hat \beta $)的值固定，因此只求出r(x)就可以求出最优的Kriging近似模型。

3 高速电磁阀的多目标优化 3.1 多目标优化数学模型

高速电磁阀吸合响应时间T_a与释放响应时间T_b如图 5所示。为了提高高速电磁阀动态响应速度，以最小化其吸合响应时间和释放响应时间为目标，同时为了保证多目标优化结果的有效性，除了对5个关键优化参数进行约束外，还需要对吸合响应时间以及释放响应时间函数与维持电磁力函数进行如下约束：

$ \left\{ \begin{array}{l} \min \;\;\;T_a^ * \left( {X_1^ * , \cdots ,X_5^ * } \right)\\ \min \;\;\;T_b^ * \left( {X_1^ * , \cdots ,X_5^ * } \right)\\ {\rm{s}}.\;{\rm{t}}.\;\;\;\;T_a^ * \left( {X_1^ * , \cdots ,X_5^ * } \right) \le {T_a}\left( {{X_1}, \cdots ,{X_5}} \right)\\ \;\;\;\;\;\;\;\;T_b^ * \left( {X_1^ * , \cdots ,X_5^ * } \right) \le {T_b}\left( {{X_1}, \cdots ,{X_5}} \right)\\ \;\;\;\;\;\;\;\;{F^ * }\left( {X_1^ * , \cdots ,X_5^ * } \right) \ge F\left( {{X_1}, \cdots ,{X_5}} \right)\\ \;\;\;\;\;\;\;\;X_i^{\rm{m}} \le {X_i} \le X_i^{\rm{n}}\;\;\;i = 1,2 \cdots ,5 \end{array} \right. $

(16)

式中：T_a^*(X₁^*, X₂^*, …, X₅^*)为优化后的吸合响应时间，X₁^*, …, X₅^*为多目标优化后参数取值；T_b^*(X₁^*, X₂^*, …, X₅^*)为多目标优化后的吸合响应时间；T_a(X₁, X₂, …, X₅)为多目标优化前的吸合时间，F^*(X₁^*, X₂^*, …, X₅^*)为多目标优化后维持阶段的电磁力最小值；F(X₁, X₂, …, X₅)为优化前维持阶段电磁力最小值；X₁, X₂, …, X₅为优化前的参数取值；X_i为设计变量，X_i^m为第i个设计变量的下限值，X_iⁿ为第i个设计变量的上限值。

3.2 优化算法

遗传算法^[19](genetic algorithm, GA)依靠生物进化与遗传机理的思想，即遗传进化中不断保持种群的先进性，追求比当下群体具有更好的个体能力。本文采用第二代的NSGA-Ⅱ遗传算法^[19-20]，该算法采用快速非支配排序过程等操作算子，是基于Pareto最优概念遗传算法上的改进的多目标遗传算法。在寻优过程中由于多个目标之间往往存在竞争关系，要改善其中一个目标时通常要牺牲另外一个目标作为代价，因此往往不能得到唯一的最优解，而是一组解集，称之为Pareto前沿，而且该算法在快速找到Pareto前沿和保持种群多样性方面都有显著的效果。NSGA-Ⅱ的快速非支配排序方法是根据种群个体之间的支配与非支配关系进行排序以决定个体之间的优劣，其寻优的基本过程^[21]可以表示为：

1) 产生按照一定编码方式随机产生种群为N的初始化种群P_n；

2) 初始种群P_n通过遗传算子(交叉、变异等)产生子代种群Q_n。

3) 将父代P_n与子代种群Q_n合并产生规模为2N的种群R_n，同时进行快速非支配排序, 并对每个个体进行拥挤度计算，得到下一代种群，选取合适个体组成新的父代种群P_n+1；

4) 通过遗传算法(交叉、变异等)的基本操作产生新的子代种群Q_n+1，然后新的父代种群P_n+1与Q_n+1合并组成新的种群R_n+1，并判断n是否大于最大进化代数MaxGen；若是，则该算法结束；否则继续进化。

具体流程如图 6所示。

3.3 优化结果

将最优拉丁试验设计所得到的试验样本点导入到高速电磁阀数值仿真模型中，经过仿真计算得到吸合响应时间、释放响应时间以及维持阶段的电磁力的计算矩阵。然后将该矩阵其集成到多学科优化分析平台modeFrontier软件环境中，建立了基于试验设计的Kriging近似模型和多目标优化数学模型，并利用遗传算法计算得到满足所有约束条件的Pareto解集。

本文所优化的目标为吸合响应时间T_a(X₁, X₂, …, X₅)和释放响应时间T_b(X₁, X₂, …, X₅)，综合考虑由二者构成的二维Pareto解集中目标值越小越好，因此构造函数来筛选参数组合：

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{T^ * }\left( {{X_1},{X_2}, \cdots ,{X_5}} \right) = \frac{{T_a^ * \left( {{X_1},{X_2}, \cdots ,{X_5}} \right)}}{{{T_a}\left( {{X_1},{X_2}, \cdots ,{X_5}} \right)}} + }\\ {\frac{{T_b^ * \left( {{X_1},{X_2}, \cdots ,{X_5}} \right)}}{{{T_b}\left( {{X_1},{X_2}, \cdots ,{X_5}} \right)}}} \end{array} $

(17)

令T^*(X₁, X₂, …, X₅)最小，即可得到高速电磁阀动态特性多目标优化参数组合的最优解。

图 7所示为满足所有约束条件的解集和Pareto前沿，其中A点是优化前的解，B点是通过优化函数筛选出的全局最优解。可看出，优化前后电磁阀的吸合与释放响应时间均有所缩短，且Pareto前沿近似一条直线，这说明了吸合响应时间与释放响应时间两个目标之间存在相互制约的关系，优化其中一个目标时必然会牺牲另外一个目标，且维持阶段的电磁力在Pareto最优解集中呈现随着吸合响应时间的增加而增大的趋势，这是因为维持阶段的电磁力越大，与弹簧预紧力的作用合力越小，导致衔铁复位减缓。

根据以上优化函数筛选出满足要求的参数组合，然后将该参数组合重新导入到高速电磁阀数值仿真模型中，计算得到高速电磁阀的吸合响应时间、释放响应时间以及维持阶段的电磁力的响应值。表 2、3所示为优化前后的对比。

由表 2、3可看出，高速电磁阀的吸合响应时间由0.691 ms减小至0.621 ms，降低程度为10.1%；其释放响应时间由0.546 ms减小至0.489 ms，降低程度为10.4%，总体响应时间加快了10.3%，高速电磁阀的动态响应特性得到一定改善；同时维持阶段最小电磁力得到提升，电磁阀开启更加稳定。

4 结论

1) Ansys Maxwell环境下建立了高速电磁阀瞬态数值仿真模型，通过试验对比验证了该仿真模型的正确性，为高速电磁阀动态响应特性的研究提供了有效平台。

2) 结合最优拉丁方试验设计，建立了线圈匝数、主磁极半径、衔铁厚度、残余气隙以及弹簧预紧力5个关键优化参数与吸合响应时间、释放响应时间及电磁力之间的Kriging近似模型；同时基于Kriging近似模型构建了电磁阀动态响应多目标优化数学模型。

3) 采用NSGA-Ⅱ遗传算法得到了Pareto解集，通过构建筛选函数确定了最终解。结果表明：优化后电磁阀的吸合响应时间减小了10.1%，释放响应时间减小了10.4%，总体响应时间加快了10.3%，高速电磁阀的动态响应性能得到改善，为其优化设计提供了理论指导。