弹性薄板结构与有限声场的振声耦合问题一直是相关声学领域的重要研究课题。这是因为一方面这类由弹性薄板和封闭空间构成的耦合系统广泛存在于实际工程领域，如舰船舱室、飞机乘坐舱、变压器隔声罩等，另一方面由弹性结构传递的振动并由此形成的声辐射是舱室的主要噪声源之一。因而，对结构-声耦合模型及其耦合特性的研究是进行声学设计和减振降噪研究的核心问题。结构-声耦合系统的典型模型是一个由弹性薄板及其矩形背腔构成的振声耦合系统。长久以来，这一包含五个声学刚性壁面和一块弹性薄板的经典矩形板腔耦合系统已被广泛地研究^[1-10]，其目标是为了揭示结构-声耦合作用的物理机理，从而为系统设计和噪声控制提供有效的指导^[1]。Kim等^[4]对单板-矩形声腔耦合系统进行了理论和实验研究，采用阻抗导纳方法建立了单板-矩形声腔耦合模型。靳国永等^[5]采用模态叠加原理建立了结构-声系统耦合模型，提出了从反馈-前馈系统角度分析结构-声耦合机制的新方法，发现了板腔模态簇耦合的特性。利用耦合正交性条件，Tanaka等^[7]得到了顶面覆盖有矩形弹性板的刚性矩形声场的特征值和特征向量，指出板腔耦合系统中存在着驻波模态外还存在衰减模态。张晓排等^[8]采用模态展开法分析了矩形板腔耦合系统腔控模态频率的偏移。

当前，有关结构-声耦合领域的理论研究大多局限于简单几何形状的封闭声场与受到经典边界约束的弹性结构之间的相互作用问题。尽管Sum等^[11-14]采用不同的方法对复杂声场声学问题进行了研究，但由于非规则声场几何形状和边界条件的复杂性，有关弹性薄板结构-非规则封闭声场这一更贴近实际工程问题的理论研究仍不多见，仅有的少量研究文献对由梯形声场及其顶面水平薄板构成的耦合系统振声特性^[15]进行了分析，而对更复杂的倾斜薄板结构-梯形封闭声场耦合系统的研究尚未见报道。本文将针对弹性薄板结构非规则封闭声场耦合问题，对由带有倾斜面的矩形声场以及覆盖在倾斜面上的矩形板构成的结构-声耦合系统振声特性进行研究，建立弹性边界约束下倾斜薄板-梯形封闭声场耦合模型，分析结构边界条件和声场倾角的变化对耦合系统振声特性的影响。

1 理论模型与求解

带倾斜薄板的梯形声场示意图如图 1所示，带倾斜薄板的梯形声场系统由两个部分构成：梯形封闭声场及声场倾斜面上覆盖的矩形薄板。系统坐标及梯形声场空间几何尺寸如图 1。梯形声场在x、y、z方向的长度分别为L_x1+L_x2、L_z2和L_y，其中L_x1为倾斜面在x-y平面的投影长度。假设L_z1为声场左侧壁面高度，则声场倾斜面的倾斜角度可写为φ=(90°-α)=arctan[L_x1/(L_z2-L_z1)]。由于矩形薄板覆盖于倾斜面上，故有L_yp=L_y，L_xp=L_x1/sinα。对于受到弹性边界约束的矩形薄板而言，其边界上将受到横向剪力及弯矩两种外部边界约束。其中，横向剪力正比于薄板横向位移，而弯矩正比于薄板弯曲角度。因此，可以在矩形薄板边界分别设置两组弹性耦合系数，通过调节弹性耦合系数值来描述薄板受到的边界约束。

依据变分法原理，来建立此非规则腔-板耦合系统理论模型。该耦合系统包括两个子系统，即结构子系统和声场子系统。对于结构子系统而言，其拉格朗日泛函表达式可以写为

$ {L_{{\rm{panel}}}} = {U_p} - {T_p} $

(1)

式中：T_p为薄板振动的总动能，U_p为薄板作横向振动时的总势能，包括结构本身的应变能U_∂Ωp、储存在边界约束中的边界势能U_Γ及在耦合界面处声场声压对结构振动做的功U_ap。薄板振动的动能及应变能表达式为

$ {{T}_{p}}=\frac{1}{2}\iint\limits_{\partial {{\mathit{\Omega }}_{p}}}{{{\rho }_{p}}{{h}_{p}}}{{\left( \frac{\partial w}{\partial t} \right)}^{2}}\text{d}{{x}_{p}}\text{d}{{y}_{p}} $

(2)

$ \begin{align} &\ \ \ {{U}_{\partial \mathit{\Omega }}}_{p}=\frac{D}{2}\iint\limits_{\partial {{\mathit{\Omega }}_{p}}}{\left\{ \left( \frac{{{\partial }^{2}}w}{\partial x_{p}^{2}}+\frac{{{\partial }^{2}}w}{\partial y_{p}^{2}} \right) \right.}- \\ &\left. 2{{\left( 1-\nu \right)}^{2}}\left[ \frac{{{\partial }^{2}}w}{\partial x_{p}^{2}}\frac{{{\partial }^{2}}w}{\partial y_{p}^{2}}-({{\frac{{{\partial }^{2}}w}{\partial {{x}_{p}}\partial {{y}_{p}}}})^{2}} \right] \right\}\text{d}{{x}_{p}}\text{d}{{y}_{p}} \\ \end{align} $

(3)

式中：∂Ω_p为薄板面积，(x_p，y_p)为薄板局部坐标，ρ_p、h_p、D和ν分别为密度、厚度、弯曲刚度和泊松比。t为时间因子。

薄板的边界势能为

$ {{U}_{\mathit{\Gamma }}}=\frac{1}{2}\int\limits_{\mathit{\Gamma }}{\left[ {{c}_{0}}{{w}^{2}}+{{c}_{1}}{{\left( \frac{\partial w}{\partial n} \right)}^{2}} \right]}\text{d}l $

(4)

式中：Γ为薄板边界，c₀和c₁为弹性耦合系数，n为薄板边界的外法线方向。

在板腔耦合界面上，声场声压p对薄板做的功为

$ {{U}_{ap}}=\iint\limits_{\partial {{\mathit{\Omega }}_{p}}}{p\left( x, y, z \right)w({{x}_{p}}, {{y}_{p}})\text{d}\partial {{\mathit{\Omega }}_{p}}} $

(5)

需要注意的是，薄板结构的局部坐标系与声场坐标系不重合，因而在计算U_ap时需要对坐标进行相应的变换，统一积分坐标。将式(2)~(5)代入式(1)中，薄板的拉格朗日泛函表达式即可得到。

声场子系统的拉格朗日泛函可以写为

$ {{L}_{\text{cavity}}}={{U}_{a}}-{{T}_{a}} $

(6)

式中：T_a为声场的声动能；U_a为声场的总声势能，包括声场本身势能U_Ω、声场边界势能U_b以及薄板对声场做的功U_pa。为简单计，假设模型声场壁面为声学刚性壁面。由∂p/∂n=0可知, U_b=0。此外，由牛顿第三定律可知，U_pa=U_ap。声场的声动能及声势能表达式为

$ {{T}_{a}}=\frac{1}{2{{\rho }_{a}}{{\omega }^{2}}}\iiint\limits_{\mathit{\Omega }}{\left[ {{\left( \frac{\partial p}{\partial x} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{\partial p}{\partial y} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{\partial p}{\partial z} \right)}^{2}} \right]}\text{d}x\text{d}y\text{d}z $

(7)

$ {{U}_{\mathit{\Omega }}}=\frac{1}{2{{\rho }_{a}}c_{a}^{2}}\iiint\limits_{\mathit{\Omega }}{{{p}^{2}}\text{d}x\text{d}y\text{d}z} $

(8)

式中：ρ_a为声场介质密度，C_a为声速，Ω为声场的几何区域。将方程(5)、(7)、(8)代入方程(6)中即可得到声场拉格朗日泛函的具体表达式。

按照利兹方法，通过选择合适的试函数可对得到的系统拉格朗日泛函进行求解。这里将结构位移函数和声场声压函数分别展开为场变量坐标与容许函数的乘积形式：

$ w({{\mathit{\boldsymbol{r}}}_{p}})={{\mathit{\boldsymbol{W}}}_{p}}{{\mathit{\boldsymbol{ }}\!\!\mathit{\Psi}\!\!\text{ }}_{p}}({{\mathit{\boldsymbol{r}}}_{p}}) $

(9)

$ p({{\mathit{\boldsymbol{r}}}_{a}})={{\mathit{\boldsymbol{P}}}_{a}}{{\mathit{\boldsymbol{ }}\!\!\mathit{\Psi}\!\!\text{ }}_{a}}({{\mathit{\boldsymbol{r}}}_{a}}) $

(10)

式中：W_p、Ψ_p及P_a、Ψ_a分别为位移函数和声压的场变量系数向量和容许函数向量，r_p和r_a为薄板和声场的局部坐标。由于第一类Chebyshev多项式的完备性与正交性，本文将采用其展开级数作为容许函数描述结构位移和声场声压。对于结构子系统和声场子系统，其结构位移和声场声压可分别在其局部坐标系内表述为

$ w({{x}_{p}}, {{y}_{p}})=\sum\limits_{{{m}_{p}}}^{\infty }{\sum\limits_{{{n}_{p}}}^{\infty }{{{{\bar{W}}}_{{{m}_{p}}{{n}_{p}}}}}}{{T}_{{{m}_{p}}}}({{x}_{p}}){{T}_{{{n}_{p}}}}({{y}_{p}}) $

(11)

$ p\left( x, y, z \right)=\sum\limits_{{{l}_{a}}}^{\infty }{\sum\limits_{{{m}_{a}}}^{\infty }{\sum\limits_{{{n}_{a}}}^{\infty }{{{{\bar{P}}}_{{{l}_{a}}m}}_{_{a}{{n}_{a}}}}}}{{T}_{{{l}_{a}}}}\left( x \right){{T}_{{{m}_{a}}}}\left( y \right){{T}_{{{n}_{a}}}}\left( z \right) $

(12)

式中T_m(n)表示第m阶Chebyshev多项式。需要说明的是，尽管在式(11)、(12)中包含无穷多项展开项，但在计算时将仅采用其前有限项。此外，由于Chebyshev多项式定义在区间[-1, 1]，故在对位移和声压展开式进行计算时需要进行相应的坐标变换。将位移表达式和声压表达式代入拉格朗日泛函中，并令拉格朗日泛函对场变量系数的导数等于零，可以得到带倾斜薄板的梯形声场耦合系统特性方程：

$ \left( {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\mathit{\boldsymbol{K}}_p}}&{{\mathit{\boldsymbol{K}}_{pa}}}\\ \mathit{\boldsymbol{0}}&{{\mathit{\boldsymbol{K}}_a}} \end{array}} \right] - {\omega ^2}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\mathit{\boldsymbol{M}}_p}}&\mathit{\boldsymbol{0}}\\ {{\mathit{\boldsymbol{M}}_{ap}}}&{{\mathit{\boldsymbol{M}}_a}} \end{array}} \right]} \right)\left[ \begin{array}{l} {\mathit{\boldsymbol{W}}_p}\\ {\mathit{\boldsymbol{P}}_a} \end{array} \right] = \mathit{\boldsymbol{0}} $

(13)

式中第一个矩阵和第二个矩阵分别为系统的刚度矩阵和质量矩阵。通过求解系数行列式得到的根为固有圆频率的平方。对应于每一特征值的特征向量为位移和声压表达式的场变量坐标。将特征值反代入特性方程可以求得相关的位移和声压场变量坐标向量。将得到的场变量坐标代入位移和声压表达式中即可得到对应于特征值的耦合系统模态形状。

2 数值结果与分析 2.1 正确性与收敛性分析

考虑一个梯形声场，在其倾斜面上覆盖着弹性薄板，如图 1所示。假设声场介质为空气，其密度为ρ_a=1.21 kg/m³, 声场中声速c_a=340 m/s。弹性薄板的密度为ρ_p=7 800 kg/m³, 厚度为h_p=0.003 m, 杨氏模量E_p=2.16 GPa, 泊松比为ν=0.3。梯形声场的几何参数为：L_x1=L_x2=1 m, L_z1=1.5 m, L_z2=3 m, L_y=1 m。由以上信息可知，此梯形声场的倾斜角φ=56.31°，薄板长约L_xp=1.8 m，宽L_yp=1 m。若薄板的四条边为固支边，则取薄板边界弹性耦合系数为c₀=c₁=10¹²。在计算过程中，为保证求解效率，将对薄板位移函数和声场声压函数保留不同的展开项数。

表 1给出了当薄板受到固支边界约束时板腔耦合系统的前15阶固有频率。作为对比结果，由有限元软件ANSYS计算得到的结果也在表中给出。需要说明的是，在有限元模型中，其单元网格长度为0.1 m。有限元结果是收敛的且网格密度足够高，这保证了其作为参考结果的可靠性。其中算例1、2、3分别表示位移表达式和声压表达式的截断级数为6和4、6和6、12和6。由表可知，随着位移函数和声压函数展开项数的增加，本文结果快速收敛。当位移表达式和声压表达式的截断级数分别取12和6时，本文结果与有限元结果相互匹配，说明了本方法和计算结果的正确性。

图 2给出了由本文计算结果得到的声场声压模态与有限元结果的对比。可以看到，本文结果与有限元结果吻合良好。模态结果显示，梯形板腔耦合系统的低阶模态为板控模态，倾斜面的存在使得梯形声场模态相对于矩形声场变得更为复杂。

2.2 倾斜角度对系统特性的影响

为分析声场倾斜角的变化对梯形板腔耦合系统固有频率的影响，考虑以下模型：L_x1=0.5 m，L_x2=1.0 m, L_z1=1.5 m, L_y=0.7 m。声场和结构的其他参数与上例相同。假设薄板四边简支，声压表达式和位移表达式截断级数分别为5和10。取L_z2分别为1.517 5、1.535 0、1.552 6、1.570 3、1.588 2、1.682 0、1.788 7、1.919 5、2.095 9和2.366 0, 则其对应的倾斜角分别为2°、4°、6°、8°、10°、20°、30°、40°、50°和60°。

表 2给出了具有不同倾斜角时耦合系统的前5阶固有频率。整体来看，耦合系统频率主要分为板控频率和腔控频率两大类。以小倾角耦合系统为例，其第1、2、5阶为板控频率，其第3、4阶为腔控频率。板控频率较单纯薄板对应频率降低，腔控频率较单纯声场对应频率升高。这说明板腔耦合作用的存在对结构而言，相当于增加了结构的“质量”，对声场而言，相当于增加了声场的“刚度”。当倾斜角逐渐增大时，耦合系统板控频率依次递减。这是由于倾角的增大导致薄板边长增加，使得结构频率降低，最后引起耦合系统板控频率的减小。表 2显示，随着倾斜角的增大，耦合系统腔控频率出现了与板控频率不同的变化趋势。容易知道耦合系统第三阶频率与矩形声场的(0，0，1)阶频率接近，耦合系统第四阶频率与矩形声场的(1，0，0)阶频率(113.33 Hz)接近。倾角的增大使得耦合系统的高度(L_z2)增加，则对应的矩形声场(0，0，1)阶频率逐渐减小，故耦合系统第三阶频率呈现减小趋势。另外，倾角的增大使得倾斜面对声场(1，0，0)阶模态影响变大，故耦合系统第四阶频率逐渐增大。综上可知，倾斜角的变大增强了声场的不规则程度，使得板腔间的耦合变得复杂。

2.3 板的边界条件对系统特性的影响

本节沿用方法验证部分的模型参数。表 3给出了四种不同薄板边界条件下耦合系统的前6阶固有频率。其中，“C”代表固支边界条件，“F”代表自由边界条件，“CCFC”分别表示x_p=0边固支、y_p=L_yp边固支、x_p=L_xp边自由、y_p=0边固支。取结构位移函数和声场声压函数的展开项数分别为10和5。表中也给出了有限元结果作为参考结果。

表 3算例中，本文结果与有限元结果均匹配良好, 这说明了本文计算结果的正确性，且本方法适用于求解结构受到复杂边界约束时梯形板腔耦合系统的振声问题。表 1为薄板四边固支时的耦合系统固有频率。对比表 1和表 3数据可知，x_p为0和L_xp边界约束的释放会导致系统固有频率小幅降低，但倾斜边上约束的释放却会使得系统的各阶固有频率显著减小，这说明结构边界条件的变化会导致系统固有频率的显著变化。

3 结论

1) 板腔耦合作用的存在对结构而言，相当于增加了结构的“质量”，对声场而言，相当于增加了声场的“刚度”。倾斜角的变大增强了声场的不规则程度，使得板腔之间的耦合变得复杂。

2) 板倾斜边界约束的释放会使得系统的各阶固有频率显著减小。

3) 本方法预测结果具有良好的收敛特性和计算精度，适用于带倾斜薄板梯形声场振声特性预测与分析。