为了满足客户需求，复杂的生产系统及批量生产方式被广泛应用于企业生产过程中。其中，复杂的生产系统的应用大大增加了系统维护成本^[1-2]，而批量生产方式为维护工作提供契机。因此，如何充分利用生产过程中的维护机会，制定合理的维护计划将是减小系统生产成本的关键途径。

许多学者致力于系统维护策略方面的研究。针对单机系统，Wang等^[3]在假设机器的衰退情况服从威布尔分布前提下，就预防性维护和生产调度问题提出一种分支定界算法。Chen^[4]对单机调度问题进行研究，认为维护周期是柔性的，随计划周期的变化而变化。Costa等^[5-6]提出，除了成本之外，决策者还可考虑其他的调度目标。Pham等^[7-8]已经研究了不完全维护下的维护调度，因为预防性维护工作并不能使设备修复如新。对于多机情况，Lu等^[9]针对具有中间缓冲的多设备串联生产系统进行建模优化。Zhou等^[10]通过最小化系统成本，对串行系统提出了基于机会维护下的预防性维护算法。Tan等^[11]考虑并行设备的调度问题，旨在最小化完工总时间。Xia等^[12-14]提出了多特征值模型，在同时考虑成本及可用度两个目标函数前提下，决策设备最优的预防性维护周期。通过设定维护时间窗，动态地利用混联系统中的维护机会，从而实现缩减系统成本的目的，并且提出联合生产计划以及预防性维护的调度问题，通过机会维护方式，降低了系统维护成本。

上述文献大都假设批次间需进行换模工作，且预防性维护周期远大于批次生产周期，未考虑实际生产过程中，因批次间的相关性造成的不同的换模工作情况及在单次大批量生产过程中开展多次预防性维护的需要。本文以多机系统为研究对象，结合批量生产模式的特点和生产设备的相关性，实施双导向的机会维护策略，充分利用生产过程中的维护机会，以最小化系统生产成本为目标，制定合理的维护计划。

1 混联系统维护问题描述

本文研究的混联系统示意图如图 1所示。

为进一步描述研究问题域，作如下假设：1)在t=0时刻，设备不需进行换模工作，且不需调整设备预防性维护计划；2)设备进行换模工作的时间相较设备生产周期相当短，因此在进行目标函数分析时，换模工作产生的时间和成本忽略不计；3)在生产过程中只考虑两种维护方式：预防性维护、小修。其中，PM修复非新；小修只发生在设备加工过程中，且只能使设备的运行状况恢复至失效前状态；4)设备故障后无需等待，直接开展维修工作，且能在规定的有效时间内完成修复；5)根据加工批量、设备损坏情况等信息，制定设备加工该批次过程中的维护计划；6)设备的衰退情况是相互独立的，不存在相关性；系统中不考虑缓冲区的设置，即：若串联单元发生故障失效，则整个系统停机失效。

为方便描述，现定义符号如下：M为加工设备集合; i为第i个PM周期，i∈{1, 2, …，I}；j为第j架设备M_j, j∈{1, 2, …，J}；u为第u批待加工产品B_u, u∈{1, 2, …, U}；N_u为第u批产品的批量大小；n_u为第u批产品的作业极限值；Int_u^k为第u批产品所属作业族k，k=1, 2, 3；s_u+1为换模时间，U[1, 21]min；q_u+1为参数调整时间，U[30, 40]min；c_cj为设备M_j换模过程单位成本；c_qj为设备M_j参数调整单位成本；c_dj为设备M_j意外停机单位成本；C_rj为设备M_j一次小修成本；C_pj为设备M_j一次PM成本；λ_ij(t)为设备j在第i个维护周期前的衰退率；l为设备PM总次数；K为设备MR总次数；T_u为产品的生产周期，U[4 000, 8 000]h；tb_u为加工第u批产品后的换模时间点；t_ij为PM时间点；T_pj为第j台设备上PM的执行时间；T_rj为第j台设备上小修的执行时间；T_aij为可用度模型中PM间隔；T_cij为经济模型中PM间隔；T_oij为MAM模型中PM间隔；T_w为PM时间点允许的变化值；ω_t, ω_c为决策权重，ω_t+ω_c=1, ω_t, ω_c∈[0, 1]；A_ij为可用度模型最大可用度；c_ij为成本模型最小成本；V_ij为多特征值模型目标函数。

2 维护策略数学模型构建 2.1 设备衰退函数

本文中设备的衰退情况服从威布尔分布：

$ {\lambda _{1j}} = \left( {{m_j}/{\eta _j}} \right){\left( {t/{\eta _j}} \right)^{{m_j} - 1}} $

(1)

考虑到PM的不完美维护，将修复效果以修复因子形式对衰退函数进行修正：

$ {\lambda _{\left( {i + 1} \right)j}}\left( t \right) = {b_{ij}}{\lambda _{ij}}\left( {t + {a_{ij}}{T_{ij}}} \right),t \in \left( {0,{T_{\left( {i + 1} \right)j}}} \right) $

(2)

式中：a、b表示维修因子，T_ij表示PM间隔时间。

2.2 PM最优间隔时间

引入多特征值模型，计算同时考虑成本及可用度两个目标函数下最优的PM间隔时间。

设备的可用度模型表达式：

$ {A_{ij}} = \frac{{{T_{aij}}}}{{{T_{aij}} + \left( {{T_{pj}} + {T_{rj}}\int_0^{{T_{aij}}} {{\lambda _{ij}}\left( t \right){\rm{d}}t} } \right)}} $

(3)

设备维护成本模型的表达式：

$ {c_{ij}} = \frac{{\left. {{C_{pj}} + {C_{rj}}\int_0^{{T_{cij}}} {{\lambda _{ij}}\left( t \right){\rm{d}}t} } \right)}}{{{T_{cij}} + \left( {{T_{pj}} + {T_{rj}}\int_0^{{T_{cij}}} {{\lambda _{ij}}\left( t \right){\rm{d}}t} } \right)}} $

(4)

设备维护的多特征值模型的表达式：

$ {V_{ij}} = - {\omega _t}\frac{{{A_{ij}}}}{{A_{ij}^ * }} + {\omega _c}\frac{{{c_{ij}}}}{{c_{ij}^ * }} $

(5)

dV_ij/dT_oij|_T=0, 可求得MAM中PM最优间隔：T_oij^*(min(T_aij^*, T_cij^*)≤T_oij^*≤max(T_aij^*, T_cij^*))。

2.3 换模过程停机成本分析

为了保障产品质量，要求设备在连续加工了一定数量的不属于某一作业族的产品后，在下一时刻加工该作业族时必须先进行一次参数调整。故换模过程有以下三种情况：1)不进行换模；2)仅进行换模；3)进行换模与参数调整。因此，换模过程的停机成本可表述为

$ {c_{sj\left( {u + 1} \right)}} = \left\{ \begin{array}{l} {c_{dj}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{s_{u + 1}} = 0,{q_{u + 1}} = 0\\ \frac{{{c_{cj}}{s_{u + 1}} + {c_{qj}}{q_{u + 1}}}}{{{s_{u + 1}} + {q_{u + 1}}}}\;\;\;\;{s_{u + 1}} \ne 0,{q_{u + 1}} = 0\\ {c_{cj}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{s_{u + 1}} \ne 0,{q_{u + 1}} = 0 \end{array} \right. $

(6)

2.4 单机设备优化策略

批次之间的换模过程意味着整个生产系统的停机，这为系统内所有的设备提供了维护机会。

ADP(advance-do nothing-postpone)策略通过利用换模机会对单机设备的维护计划进行优化。针对单机设备j处理完第u批产品后，于第(u+1)批产品换模时间点tb_u进行分析，如图 2。

2.4.1 维护初始计划PM_original

根据最优PM间隔T_oij^*，可对设备于第(u+1)批产品的加工过程中的第一次PM时间点进行确定，即：t_1j^u+1=t_lj^u+T_oij(u)^*；其中，t_lj^u为设备j在加工批量u过程中进行的最后一次PM。依次类推，可求得设备于第(u+1)批产品的加工过程中的维护初始计划PM_original：

$ t_{lj}^{u + 1} = \sum\limits_{i = 1}^{l - 1} {T_{oij\left( {u + 1} \right)}^ * } + t_{lj}^u + T_{oij\left( u \right)}^ * < t{b_u} + T{B_{u + 1}} $

(7)

$ t_{\left( {l + 1} \right)j}^{u + 1} = \sum\limits_{i = 1}^l {T_{oij\left( {u + 1} \right)}^ * } + t_{lj}^u + T_{oij\left( u \right)}^ * \ge t{b_u} + T{B_{u + 1}} $

(8)

故PM_original的维护工作中，PM总次数为l_oj^u+1，MR总次数为

$ K_{orj}^{u + 1} = \int_0^{T_{oij\left( u \right)}^ * } {{\lambda _{lj}}\left( t \right){\rm{d}}t} + \sum\limits_{i = 1}^{l_{oj}^{u + 1} - 1} {\left( {\int_0^{T_{oij\left( {u + 1} \right)}^ * } {{\lambda _{ij}}\left( t \right){\rm{d}}t} } \right)} $

(9)

2.4.2 维护提前计划PM_advance

若设备j在加工第u批产品时最后一次PM发生在加工第(u+1)批产品的换模时间点，即：t_lj^u=tb_u；或在设备j加工第(u+1)批产品的初始PM计划中，第一次PM时间点即为换模时间点，即：t_1j^u+1=tb_u，则表明第(u+1)批产品换模时间点已被利用，不需进行维护提前计划；否则，将初始维护计划中的第一次PM时间点提前至换模时间点，即：t_1j^u+1=tb_u，根据式(9)、(10)可得到设备j的维护提前计划PM_advance。

$ t_{lj}^u = \sum\limits_{i = 1}^{l - 1} {T_{oij\left( {u + 1} \right)}^ * } < T{B_{u + 1}} $

(10)

$ t_{\left( {l + 1} \right)j}^{u + 1} = \sum\limits_{i = 1}^l {T_{oij\left( {u + 1} \right)}^ * } \ge T{B_{u + 1}} $

(11)

故PM_advance的维护工作中，PM总次数为l_aj^u+1，MR总次数

$ K_{arj}^{u + 1} = \int_0^{T_{oij}^ * - \left( {t_{o1j}^{u + 1} - t{b_u}} \right)} {{\lambda _{lj}}\left( t \right){\rm{d}}t} + \sum\limits_{i = 1}^{l_{aj}^{u + 1} - 1} {\left( {\int_0^{T_{oij\left( {u + 1} \right)}^ * } {{\lambda _{ij}}\left( t \right){\rm{d}}t} } \right)} $

(12)

2.4.3 维护推迟计划PM_postpone

若PM_original中将设备j的最后一次PM时间点安排至换模时间点，则不需进行维护推迟计划。在维护推迟计划中，将PM_original中最后一次PM时间点推迟至下一批次换模时间点，即令：t_lj^u+1=tb_u+1，并计算：Dis=tb_u+1-t_olj^u+1，则针对原计划PM_original：t_ij^u+1=t_ij^u+1+Dis(i=1, 2, 3…)。

推迟计划中，若Dis＜T_w，则不需增加一次PM；若Dis＞T_w，设备在加工初期可能因维护推迟发生意外停机，则需在设备加工初期增加一次PM工作。考虑到MAM模型的最优PM间隔，令增加的首次PM的时间点为维护初始计划中的：t_1j^u+1，将更新后的维护推迟计划记作：PM_postpone。故PM_advance的维护工作中，PM总次数为l_pj^u+1，MR总次数为

$ K_{prj}^{u + 1} = \left\{ \begin{array}{l} \int_0^{T_{oij\left( u \right)}^ * + {\rm{Dis}}} {{\lambda _{lj}}\left( t \right){\rm{d}}t} + \\ \;\;\;\;\sum\limits_{i = 2}^{l_{pj}^{u + 1} - 1} {\left( {\int_0^{T_{oij\left( {u + 1} \right)}^ * } {{\lambda _{ij}}\left( t \right){\rm{d}}t} } \right)} \;\;\;\;\;\;不调整\;{\rm{PM}}\;计划\\ \int_0^{T_{oij\left( u \right)}^ * } {{\lambda _{lj}}\left( t \right){\rm{d}}t} + \int_0^{{\rm{Dis}}} {{\lambda _{1j}}\left( t \right){\rm{d}}t} + \\ \;\;\;\;\sum\limits_{i = 2}^{l_{pj}^{u + 1} - 1} {\left( {\int_0^{T_{oij\left( {u + 1} \right)}^ * } {{\lambda _{ij}}\left( t \right){\rm{d}}t} } \right)} \;\;\;\;\;\;增加一次\;{\rm{PM}} \end{array} \right. $

(13)

2.4.4 ADP决策

考虑系统经济性及可用度，以成本为主、时间为辅的目标函数对三种维护计划进行比较，选择最优的维护计划作为设备最终的维护计划PM_f。

1) 维护提前计划总的节约成本和时间：

$ {\rm{SC}}{{\rm{A}}_{j\left( {u + 1} \right)}} = {\rm{SCA}}_{j\left( {u + 1} \right)}^d + {\rm{SCA}}_{j\left( {u + 1} \right)}^r + {\rm{SCA}}_{j\left( {u + 1} \right)}^p $

$ {\rm{ST}}{{\rm{A}}_{j\left( {u + 1} \right)}} = {\rm{STA}}_{j\left( {u + 1} \right)}^d + {\rm{STA}}_{j\left( {u + 1} \right)}^r + {\rm{STA}}_{j\left( {u + 1} \right)}^p $

其中：

停机成本与停机时间：

$ {\rm{SCA}}_{j\left( {u + 1} \right)}^d = {c_{dj}}l_{oj}^{u + 1}{T_{pj}} - \left( {{c_{sj}}{T_{pj}} + {c_{dj}}\left( {l_{aj}^{u + 1} - 1} \right){T_{pj}}} \right) $

$ {\rm{STA}}_{j\left( {u + 1} \right)}^d = \left( {l_{oj}^{u + 1} - l_{aj}^{u + 1}} \right) - {T_{pj}} $

小修节约的成本及时间：

$ {\rm{SCA}}_{j\left( {u + 1} \right)}^r = {C_{rj}} \cdot \left( {K_{orj}^{u + 1} - K_{arj}^{u + 1}} \right) $

$ {\rm{STA}}_{j\left( {u + 1} \right)}^r = \left( {K_{orj}^{u + 1} - K_{arj}^{u + 1}} \right) \cdot {T_{rj}} $

预防性维护节约的成本及时间：

$ {\rm{SCA}}_{j\left( {u + 1} \right)}^p = \left( {l_{oj}^{u + 1} - l_{aj}^{u + 1}} \right) \cdot {C_{pj}} $

$ {\rm{STA}}_{j\left( {u + 1} \right)}^p = \left( {l_{oj}^{u + 1} - l_{aj}^{u + 1}} \right) \cdot {T_{pj}} $

2) 维护推迟计划总的节约成本和时间：

$ {\rm{SC}}{{\rm{P}}_{j\left( {u + 1} \right)}} = {\rm{SCP}}_{j\left( {u + 1} \right)}^d + {\rm{SCP}}_{j\left( {u + 1} \right)}^r + {\rm{SCP}}_{j\left( {u + 1} \right)}^p $

$ {\rm{ST}}{{\rm{P}}_{j\left( {u + 1} \right)}} = {\rm{STP}}_{j\left( {u + 1} \right)}^d + {\rm{STP}}_{j\left( {u + 1} \right)}^r + {\rm{STP}}_{j\left( {u + 1} \right)}^p $

其中：

停机成本与停机时间：

$ {\rm{SCP}}_{j\left( {u + 1} \right)}^d = {c_{dj}}l_{oj}^{u + 1}{T_{pj}} - \left( {{c_{sj}}{T_{pj}} + {c_{dj}}\left( {l_{pj}^{u + 1} - 1} \right){T_{pj}}} \right) $

$ {\rm{STP}}_{j\left( {u + 1} \right)}^d = \left( {l_{oj}^{u + 1} - l_{pj}^{u + 1}} \right){T_{pj}} $

小修节约的成本及时间：

$ {\rm{SCP}}_{j\left( {u + 1} \right)}^r = {C_{rj}} \cdot \left( {K_{orj}^{u + 1} - K_{prj}^{u + 1}} \right) $

$ {\rm{STP}}_{j\left( {u + 1} \right)}^r = \left( {K_{orj}^{u + 1} - K_{prj}^{u + 1}} \right) \cdot {T_{rj}} $

PM节约的成本及时间：

$ {\rm{SCP}}_{j\left( {u + 1} \right)}^p = {C_{pj}} \cdot \left( {l_{oj}^{u + 1} - l_{pj}^{u + 1}} \right) $

$ {\rm{STP}}_{j\left( {u + 1} \right)}^p = \left( {l_{oj}^{u + 1} - l_{pj}^{u + 1}} \right) \cdot {T_{rj}} $

对于加工第(u+1)批产品前对设备M_j的维护计划的选择，定义：ADP_j(u+1)作为决策变量，计算式为

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{\rm{AD}}{{\rm{P}}_{j\left( {u + 1} \right)}} = }\\ {{\omega _c}\left( {\frac{{{\rm{SC}}{{\rm{A}}_{j\left( {u + 1} \right)}} - {\rm{SC}}{{\rm{P}}_{j\left( {u + 1} \right)}}}}{{\left| {{\rm{SC}}{{\rm{A}}_{j\left( {u + 1} \right)}}} \right|}}} \right) + {\omega _t}\left( {\frac{{{\rm{ST}}{{\rm{A}}_{j\left( {u + 1} \right)}} - {\rm{ST}}{{\rm{P}}_{j\left( {u + 1} \right)}}}}{{\left| {{\rm{ST}}{{\rm{A}}_{j\left( {u + 1} \right)}}} \right|}}} \right)} \end{array} $

若SCA_j(u+1)、SCP_j(u+1)均小于0时，表示PM_advance及PM_postpone均未能实现优化目的，故PM_f=PM_original；若ADP_j(u+1)≥0, PM_f=PM_advance；若ADP_j(u+1)＜0, PM_f=PM_postpone。

2.5 多机系统机会维护模型

基于单机问题，着眼多机系统，考虑不同设备间结构上的相关性，提出以维护行为为导向的维护策略(maintenance-driven opportunistic maintenance strategy, MODM)。

由于单机设备的维护计划PM_f是独立计划的，因此针对多机系统，需对全部设备的维护时间点及换模时间点进行更新：

$ t_{ij}^{u + 1} = t_{ij}^{u + 1} + \left( {i - 1} \right){T_{pj}},i = 2,3, \cdots ,l $

$ {\rm{T}}{{\rm{B}}_{\left( {u + 1} \right)j}} = {\rm{T}}{{\rm{B}}_{\left( {u + 1} \right)j}} + \left( {{l_j} - 1} \right) \cdot {T_{pj}} $

定义一个生产子系统S₁，包含j个设备，l_j为设备j的PM计划次数，j=1, 2, …, N。定义k表示并行系统中的PM周期数。

2.5.1 并行系统——维护分离

若并行子系统S₁内的设备同时处于停机状态，会导致整个系统停机并造成其他设备发生不必要的停机，从而增加系统的生产成本。因此，在多机系统的并行子系统中，需对设备的PM工作进行分离处理。

1) 将经ADP策略优化后的并行系统S₁中的所有设备的PM计划输入模型中，包括PM时间点以及PM次数，即PM_j=PM_fj，l_j=l_fj，其中j=1, 2, …, N；

2) 将全部设备的PM时间点输入模型中，即：t_ij=PM_ij，其中：j=1, 2, …, N, i=1, 2, 3, …, l_j，令k=1, i=1。

3) 判断：∃l_j=0；若假设成立，表示在设备j上不需进行PM，即该系统不会因设备同时停机而造成系统停机，则结束算法；否则，若k=1，继续4)；否则，转到5)。

4) 判断：∀t_1j=tb_u。若假设成立，表明S₁中所有设备的第一次PM均发生于换模时间点，则不需对设备的PM进行分离，令：i=i+1, k=k+1, l_j=l_j-1，其中：j=1, 2, 3, …, N，返回3)；若假设不成立，继续5)；

5) 确认所有设备中最先开展PM的设备，将其记作：m₁, 即：t_km1=min{t_ij}，其中，j=1, 2, 3, …, N, i=1, 2, …, l_j，继续6)；

6) 判断S₁中的其余设备是否存在同时停机情况，即：t_kj≤t_km1+T_pj，其中：j=1, 2, …, N且j≠m₁。若∀t_kj≤t_km1+T_pm1，则表示系统S₁存在停机风险，继续7)；若∃t_kj≥t_km1+T_pm1，则表示系统S₁不存在停机风险，转到8)；

7) 确认单机设备优化过程中ADP值最小的设备，记作：m₂，这表明该设备维护计划时间点的变动对设备节约的成本与时间最小，故：ADP_m2=min{ADP_j}。为了避免并行系统S₁发生停机，需将设备m₂的PM时间点分离。令：t_im2=t_km1+T_pm1，将设备m₂的维护时间点推迟至设备m₁结束维护时间点，从而达到分离PM的目的，规避系统停机的风险。若t_im2＞TB_(u+1)m2，则表明设备m₂调整后的PM时间点超出设备加工周期，故令t_im2=TB_(u+1)m2：由于设备m₂的PM计划发生变化，因此需对其进行更新，即：PM_im2=t_im2；转到9)；

8) 系统不存在停机风险，因此寻找第k个周期中最迟开展PM的设备m₂，即：t_km2=max{t_ij}，继续9)；

9) 更新所需循环数据：保留设备m₂的PM时间点进入第(k+1)轮PM分析，即：t_(i+1)m2=t_im2，i=l_m2, …, k+2, k+1, k。继续10)；

10)i=i+1, k=k+1, l_j=l_j-1其中j≠m₂。返回3)。

2.5.2 串行系统——维护联合

串行子系统S₁中，任意单元因故障停机就会造成系统停机，产生巨大的成本浪费。因此，在串行子系统中，应尽量让更多的设备在同一时间进行维护工作，从而减少系统的停机时间，节约成本。

1) 将ADP策略优化后的串行系统S₁中的所有设备的PM计划输入模型中，包括PM开展的时间点以及PM次数，即PM_j=PM_fj，l_j=l_fj，其中：j=1, 2, 3, …, N；若l_j=0，则表明设备j上不需进行PM工作，令PM_f1j=inf。

2) 将全部设备的PM时间点输入模型中，即：t_ij=PM_ij，其中：j=1, 2, …, N, i=1, 2, …, l_j；令k=1, i=1。

3) 判断：∀l_j=0；若假设成立，表示串行系统所有设备上都不需进行PM工作，结束算法；否则，继续4)；

4) 确认该系统中全部单机设备中最先进行PM工作的设备，记作：m₁，即：t_km1=min{t_ij}，j=1, 2, …, N, i=1, 2, …, l_j；继续5)；

5) 判断：∀l_j=0(j≠m₁)；若假设成立，表示系统中除设备m₁外的其他设备均不需再进行PM工作，则k=k+l_m1，记录总的PM循环轮数，结束算法；否则，继续6)；

6) 判断：t_ij＜t_km1+T_w；若成立，则表示设备j可与设备m₁在时间点t_km1进行联合维护，记：Θ(j, t_km1)=1，继续7)；否则，表示设备j不可与设备m₁在时间点t_km1进行联合维护，即Θ(j, t_km1)=0，继续8)；

7) 更新设备j第i次PM时间点，t_ij=t_km1，PM_ij=t_ij，l_j=l_j-1，继续8)；

8) 判断：l_j=0；若假设成立，则设备不需进行PM工作，令：t_(i+1)j=inf。继续9)。

9) 未进行联合维护的设备的该次PM时间点需进入下个维护周期进行分析，令：t_(i+1)j=t_ij，i=k, k+1, … l_j，继续10)；

10)i=i+1, k=k+1，返回3)。

2.5.3 混联系统

根据ADP策略，决策单机设备维护计划；

1) 并行子系统——维护分离：根据系统结构特点，对并行子系统中进行维护分离，经维护分离后，该并行子系统等效为一个单机设备，并且只可能在批次之间的换模时间点发生停机。故将该维护计划记作：PM_sub={(tb_u), (TB_u+1)};

2) 串行系统——维护联合：整个混联系统可等效为一个串行系统，因此，针对各单机设备的PM计划，对全系统进行维护联合；

3) 成本计算：经维护分离及维护联合工作后，各单机设备均完成了PM计划的优化，对系统的总成本进行计算。设备j在进行第k次PM工作时的停机成本为

$ {\rm{TD}}{{\rm{C}}_{jk}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} \begin{array}{l} {c_{dj}} \cdot {T_{pu\max }}\\ {c_{dj}} \cdot \left( {{T_{pu\max }} + \xi \left( j \right)\delta {{\left( j \right)}_k} \cdot {T_{pj}}} \right) \end{array}&\begin{array}{l} {\rm{\Theta }} = 1\\ {\rm{\Theta }} = 0 \end{array} \end{array}} \right. $

式中：T_pumax表示经维护联合后该次PM的最长维护时间；ξ(j)表示设备所属子系统变量，若设备j属于并行子系统，则ξ(j)=1；若设备j属于串行系统，则ξ(j)=0；δ(j)_k表示设备PM工作变量，若设备j在进行第k个PM周期时需要进行一次PM，则δ(j)_k=1；若设备j在进行第k个PM周期时不需要进行PM，则δ(j)_k=0。故系统总成本为

$ \begin{array}{l} {\rm{TSC}} = \sum\limits_{u = 0}^{U - 1} {\sum\limits_{j = 1}^N {\left( {{C_{pj}} \cdot {l_j} + \sum\limits_{i = 1}^k {{\rm{TD}}{{\rm{C}}_{jk}}} } \right)} } + \\ \sum\limits_{u = 0}^{U - 1} {\sum\limits_{j = 1}^N {\left( {\int_0^{{T_{o1j}}} {{\lambda _{lj}}\left( t \right){\rm{d}}t} + \sum\limits_{i = 2}^{{l_j}} {\int_0^{{T_{oij}}} {{\lambda _{ij}}\left( t \right){\rm{d}}t} } } \right)} } \end{array} $

(14)

3 多策略数值实验对比分析

设备参数的设置见表 1。且：T_w=1 000 h, c_qj=c_cj=10 h。以图 1混联系统为例，针对3作业族10批次问题进行双导向机会维护策略(记作：Bi-OM)实验仿真，并与同条件下的维护初始计划(Original)、仅ADP策略、仅MODM策略等三种维护策略的系统总成本进行比较。

根据实验结果，可以得到以下结论：

1) 在四种维护策略下，PM_original将产生高额的系统成本；经过ADP优化后的维护计划，将有助于降低系统的生产成本，但降低效果不够显著；而依据MODM策略下得到的生产系统的生产成本相较PM_original有了大幅度的降低。而本文提出的双导向机会维护策略下的维护计划，大大削减了生产系统的生产成本，接近10%。

2) 相较ADP策略及MODM策略的仿真结果，将两者结合的双导向机会维护策略(Bi-OM)并没有实现简单的节约累加效应，这表明经ADP策略优化后的单机设备，经过MODM策略优化之后，两者之间存在优化重叠，导致无法实现优化结果的累加。

3) 不同的T_w会对系统的生产成本及停机成本产生不同的影响。当T_w取值范围落在[800, 3 400]时，都能实现系统生产成本及停机成本的节约效益，原因在于当T_w较小时，进行联合维护的设备较少，则设备的PM间隔时间不会因为联合维护而发生变化，因此减少了小修的成本。结论2)中表明，在双导向机会维护策略(Bi-OM)下，其对生产系统的优化结果并未实现两种机会维护策略(ADP及MODM)的叠加，这说明同时将两种策略作用于系统存在优化重叠, 小修及PM成本在双导向机会维护策略中还有优化空间，因此调整选取合适的T_w值将有助于优化该问题；当T_w取值较大时，系统生产过程中进行的联合维护情况增多，降低了系统的停机成本；但是由于联合维护开展的增多，导致设备PM周期增大，造成了维护成本的增高，由图 5中[2 200, 3 400]取值范围内的系统成本与生产成本的节约百分比之间的明显差值，可得出此结论。当T_w选取较为极端的状态时，如T_w=0，T_w=20 000，其产生的系统成本及停机成本都远高于其他较为合理的T_w取值范围。当T_w为零时，设备未进行联合维护工作，因此系统运行过程中的停机成本大大增加；当T_w=20 000，系统内各设备的维护计划都发生了联合，导致维护成本升高，造成系统生产成本增加。综上所述，选取一个合理的T_w值将有利于同时从维护成本及停机成本两方面优化系统，达到一个更优的系统成本。

4 结论

仿真实验表明，相较传统的定期维护与单导向维护策略，双导向维护策略在能更好地利用生产过程中的维护机会，合理的开展维护工作，减少系统停机成本，降低系统总成本方面卓有成效，有效优化成本。同时，本文所选取的研究系统为目前制造业中普遍适用的混联生产系统，因此具有一定的实际意义。

但是，通过实验数据的分析，可以发现，双导向机会维护优化策略在优化过程中存在明显的效益重叠，即相较独立的维护策略，将二者结合的双导向维护策略并不能实现经济效益的直接叠加，这也表明，系统的维护成本仍然存在优化空间。因此，之后的研究工作还可针对两方面展开：1)减少ADP策略与MODM策略的效益重叠；2)保证降低系统生产成本的同时减少系统的维护成本。