折纸艺术与变胞机构结合，用同一薄片材料制成的、可在制造平面之外运动的一种新的柔性机构类型，被HOWELL定义为平板折展机构(Lamina emergent mechanisms, LEMs)^[1]。它既可以实现如四杆机构、滑块机构等简单的运动，还能实现如球面四杆机构、Sarrus机构等复杂的运动^[2]。柔性铰链是保证LEMs功能实现的最关键因素，因此它的设计是非常重要的。

柔性铰链具有结构简单、运动平稳、无需润滑、无回退空程、无摩擦、无间隙、无噪声、无磨损、空间尺寸小、高精度等优点^[3]，而作为柔性铰链的一个重要分支，平板折展柔性铰链(Lamina emergent joint, LEJ)还同时具备了基于单层平面材料制造的特点。目前对平板折展扭转柔性铰链(Lamina emergent torsional, LET)的研究已做了大量工作，文献[4-5]中提出了LET、内LET和外LET，建立了它们的等效刚度模型，推导了铰链的扭转等效刚度和拉压等效刚度，并进行了有限元验证；文献[6]中提出了当下较为常用的几种柔性铰链机构设计分析方法，并进行了对比总结；文献[7-8]中提出了梳齿形柔性铰链、S形柔性铰链，这些铰链有更加良好的弯曲性能，作用较小的弯矩就可得到较大的转角；文献[9]将文献[8]中的S形铰链与外LET结合，设计了一种S-LET复合型柔性铰链，改善了铰链的扭转性能；文献[10]综合了椭圆柔性铰链与LET的优势，提出了一种能实现平面内及平面外转动的二自由度柔性铰链；文献[11]中提出了LOOP形柔性铰链，并将其应用于LEMs升降机构中；文献[12]串联了三个外LET后设计了基于串联式的Triple-LET，进一步增强了铰链的弯曲能力；文献[13]在外LET柔性铰链中增加了拉伸片段，设计出了抗拉柔性铰链；文献[14-15]中提出的I-LEJ、T-LEJ和IT-LEJ增大了柔性铰链的抗拉压载荷承受能力，虽然弯曲性能略有降低，但是其拉压载荷承受能力却得到了很好的改善，并给出了三种柔性铰链的扭转等效刚度计算公式等。

目前关于具有提升功能的柔性铰链设计以及其拉伸等效刚度研究的文献相对较少，文献[16]提出了一种为福斯公司的气动阀门控制器设计的具有提升功能的柔性平面正交弹簧；文献[17]将四个单层线性弹簧串联起来，设计出了具有四倍提升位移的多层线性弹簧；文献[18]中在设计卡片微型注射器时提到了柔性提升弹簧设计理念，但是上述文献中均未提及如何计算它们的拉伸等效刚度。因此，本文结合文献[4]中提出的LET的拉压刚度以及文献[19]中的伪刚体模型，设计一种可用于提升平台的新型提升平板折展柔性铰链(L-LEJ)，推导其拉压等效刚度的计算公式，并利用有限元仿真软件对该L-LEJ进行仿真分析，将理论计算值和仿真分析值进行对比。

1 L-LEJ柔性铰链的等效刚度分析 1.1 结构设计

柔性铰链主要是通过柔性片段的变形实现其功能，单个柔顺片段大变形具有局限性，易产生较大的应力，也易出现塑性变形或疲劳断裂等现象。因此设计的L-LEJ的变形将通过多个柔顺片段的变形累积来实现。如图 1所示，根据铰链变形中各片段所发挥的不同作用，对铰链进行划分，主要包括弯曲片段和连接片段两种，设计该铰链为正方形，边长为L，厚度为t。图 2为L-LEJ的尺寸示意图。其中连接片段和弯曲片段的宽度相同，均为d₁，连接片段的长度均为l，弯曲片段长度的关系满足：L₁=L-2(d₁+l)，L₂、L₃、L₄、L₅、满足L_i=L_i-1-2d₁，将连接片段视为刚性片段。

1.2 等效弹簧模型

铰链受到图 1所示P力作用时，根据文献[4]将L-LEJ的弯曲片段等效成弯曲弹簧，此结构是关于x轴对称的，根据对称性，每两个对称的弯曲片段具有相同的等效弹簧刚度，图 3为铰链的等效弹簧模型。

根据弹簧的串并联关系，其拉伸等效刚度为

$ {k_{{\rm{ec}},{\rm{stretch}}}} = 2 \times \frac{1}{{\frac{1}{{{k_1}}} + \frac{1}{{{k_2}}} + \cdots \frac{1}{{{k_i}}}}}\;\;\;\;i = 1,2,3,4,5 $

(1)

式中k_i为单个弯曲片段的拉伸等效刚度。

1.3 拉伸等效刚度计算公式推导

柔性铰链在受到拉力时，根据胡克定律，每一段铰链的受力与位移之间的关系为

$ P = {k_i}d $

(2)

式中：P为施加在柔性铰链上的拉力，d为铰链的拉伸距离。

如图 1所示，在铰链上作用力P，以k₁片段为例，在计算时需要将力P平移至图 1中的A点，根据力的等效原理，片段受到P力和弯曲力矩的共同作用。根据文献[20]，该片段可被视为末端受载荷的柔性固定-导向梁，如图 4(a)所示，它的一端被“固定”，另一端被“导向”，末端的角度是保持不变的，且变形关于中心线反对称，在点c处，片段的变形角最大，曲率为0，力矩为0。k₁片段可看作由两个反对称的半段柔性悬臂梁组成，其自由体图解如图 4(b)所示。

根据悬臂梁的伪刚体模型假设，在悬臂梁的末端作用力P，可分解为平行于伪刚体杆，沿末端路径法线方向的力P_n和与伪刚体杆垂直、与末端路径相切的力P_t，P_t在特征铰链处产生一个扭矩，使该杆发生变形，如图 5所示。

载荷的切向分量为

$ {P_t} = P\cos \mathit{\Theta } $

(3)

此载荷可以无量纲化为无量纲的横向载荷指标(α²)_t，即

$ {\left( {{\alpha ^2}} \right)_t} = \frac{{{P_t}L_1^2}}{{4EI}} $

(4)

式中：E为弹性模量，MPa；I为弯曲片段的惯性矩，mm⁴；L₁为弯曲片段k₁的长度，mm。力与变形的关系可以表示为

$ {\left( {{\alpha ^2}} \right)_t} = {K_\mathit{\Theta }}\mathit{\Theta } $

(5)

且有

$ T = {k_{fg}}\mathit{\Theta } = {P_t}\gamma \frac{{{L_1}}}{2} $

(6)

式中：K_Θ为刚度系数；γ为特征半径系数，近似取值分别为2.65和0.85。联立式(4)~(6)可得该悬臂梁的扭簧常数方程为

$ {k_{fg}} = 2\gamma {K_\mathit{\Theta }}\frac{{EI}}{{{L_1}}} $

(7)

且联立式(3)、(6)、(7)得

$ \frac{\mathit{\Theta }}{{\cos \mathit{\Theta }}} = \frac{{\gamma {L_1}P}}{{2{k_{fg}}}} = k $

(8)

由于Θ比较小，可以认为Θ≈sinΘ，则

$ \frac{\mathit{\Theta }}{{\cos \mathit{\Theta }}} = \frac{{\sin \mathit{\Theta }}}{{\cos \mathit{\Theta }}} = \frac{{\gamma {L_1}P}}{{2{k_{fg}}}} = k $

(9)

因此

$ \sin \mathit{\Theta } = \frac{k}{{\sqrt {1 + {k^2}} }} $

(10)

k₁片段的提升位移为

$ d = \gamma {L_1}\sin \mathit{\Theta } $

(11)

把式(9)、(10)代入式(11)，得

$ \begin{array}{*{20}{c}} {d = \gamma {L_1}\sin \mathit{\Theta } = \gamma {L_1}\frac{k}{{\sqrt {1 + {k^2}} }} = }\\ {\frac{{{\gamma ^2}L_1^3P}}{{\sqrt {16{\gamma ^2}k_\theta ^2{E^2}{I^2} + {\gamma ^2}L_1^2{P^2}} }}} \end{array} $

(12)

由于在实际中E²≫γ²L₁²P²，因此在进行计算时，可以将γ²L₁²P²忽略掉，则式(12)变成

$ d = \gamma {L_1}\sin \mathit{\Theta } = \frac{{\gamma L_1^3P}}{{4{K_\theta }EI}} $

(13)

将式(13)代入式(2)中得到单个弯曲片段的拉伸等效刚度为

$ {k_1} = \frac{P}{d} = \frac{{4{K_\theta }EI}}{{\gamma L_1^3}} $

(14)

同理，根据式(14)可以求出片段k₂、k₃、k₄、k₅的拉伸等效刚度，将其代入式(1)即可求得此L-LEJ的拉伸等效刚度为

$ {k_{{\rm{ec}},{\rm{stretch}}}} = \frac{{8{K_\mathit{\Theta }}EI}}{{\gamma \left( {L_1^3 + L_2^3 + L_3^3 + L_4^3 + L_5^3} \right)}} $

(15)

2 实例计算与仿真分析 2.1 尺寸设计与拉伸等效刚度计算

选取铍青铜作为L-LEJ的材料，其弹性模量E=1.28×10⁵ MPa，泊松比σ=0.29，屈服强度为s_y=1.17×10³ MPa。设计铰链尺寸为60 mm×60 mm，厚度t=0.5 mm，d₁=2 mm，l= 1 mm，弯曲片段数量为10，计算得出所有弯曲片段的长度为L₁=54 mm，L₂=50 mm，L₃=46 mm，L₄=42 mm，L₅=38 mm，代入式(15)中即可以求出L-LEJ柔性铰链的拉伸等效刚度k_ec.stretch=130.729 N/m。

2.2 有限元仿真及验证

为验证理论计算的正确性，在Abaqus软件中建立设计实例的有限元仿真模型，在P=6 N时，铰链的变形云图如图 6、7所示。由图 6可得，在6 N力的作用下，该铰链的最大应力为1.09×10³ MPa，小于铍青铜的屈服强度1.17×10³ MPa，不会发生塑形变形，根据图 7铰链在z方向的提升位移为46.94 mm，如表 1所示。

分别对铰链施加不同的力P，可以得出多组该铰链的提升位移数据，如表 1所示，根据表 1得到铰链的仿真刚度为127.5 N/m。

铰链的仿真刚度与理论刚度之间的相对误差为

$ \delta = \frac{{\left| {{k_{{\rm{ec}},{\rm{stretch}}}} - {k_{\rm{s}}}} \right|}}{{{k_{\rm{s}}}}} \times 100\% $

(19)

式中：k_ec.stretch为理论刚度，k_s为仿真刚度。代入数据计算得出，此铰链的理论刚度和仿真刚度的误差为2.532%。

为了验证公式的通用性，分别选取d₁=l、d₁=2l、d₁=3l，材料其余参数同前，分别进行L-LEJ柔性铰链的拉伸等效刚度的理论计算和仿真分析，得到理论计算值k_ec.stretch、仿真值k_s、相对误差值δ，如表 2所示。由表 2可得，误差均在5%以内，验证了公式的正确性和设计的可行性。

为了进一步验证公式的通用性，令l=0.5 mm，弯曲片段数目为12，分别选取d₁=l、d₁=2l、d₁=3l、d₁=4l、d₁=5l、d₁=6l，材料其余参数同前，分别进行L-LEJ的拉伸等效刚度的理论计算和仿真分析，得到理论计算值k_ec.stretch、仿真值k_s、相对误差值δ，如表 3所示。由表 2可得，误差均在5%以内，再次验证了公式的正确性和设计的可行性。

理论计算刚度与仿真刚度之间存在误差可能是由于下列原因造成的：1)在进行理论计算时，没有考虑连接片段的变形，而在实际仿真中，它们也会产生微小的变形，这些微小的变形被累加后形成误差，并且弯曲片段的长度越长误差越大；2)仿真时划分的网格大小也会造成误差。

3 结论

1) 设计了一种具有提升功能的新型平板折展柔性铰链(L-LEJ)并给出了其三维结构和等效弹簧模型，推导出了该铰链的拉伸等效刚度计算公式。

2) 通过设计实例拉伸等效刚度的理论计算和有限元仿真分析，得到结果基本一致，其相对误差在5%以内，验证了L-LEJ柔性铰链拉伸等效刚度理论公式的正确性；

3) 通过对9组设计实例拉伸等效的刚度理论计算以及有限元仿真分析，得到了基本一致的拉伸刚度理论计算值和仿真值，误差均在5%以内，进一步验证了该拉伸等效刚度理论公式的有效性。