2018, Vol. 39
2. 北京机电工程研究所, 北京 100074
2. Beijing Electro-mechanical Engineering Institute, Beijing 100074, China
自适应波束形成技术通过调整加权矢量, 能够在干扰方向形成零陷, 抑制干扰和噪声, 被广泛应用于雷达、声呐、射电天文学、移动通信等领域[1-3]。当干扰快速运动或者天线平台振动时, 自适应加权矢量的训练数据与应用数据可能会失配, 导致干扰移出零陷位置, 造成自适应波束形成器的性能严重下降, 在干扰方向附近形成具有一定宽度的零陷是解决该问题的一种有效方法[4-5]。
协方差矩阵锐化(covariance matrix taper, CMT)[6-8]是一种经典的零陷展宽方法, 其计算复杂度很低, 但是零陷深度较浅。武思军等[9]提出了干扰方向无关的自适应零陷展宽技术, 仍属于CMT方法。对预定区域幅度响应进行二次约束(quadratic constraint sector suppressed, QCSS)[10-11]也能够展宽零陷, QCSS方法与CMT方法相比, 能够获得更深的零陷, 但是二次约束的求解过程较为复杂。Amar等[12]在QCSS方法的基础上, 提出了线性约束零陷展宽(linear constraint sector suppressed, LCSS)方法, 将非线性的二次约束转化为线性约束, 简化了求解过程。李文兴等[13-14]提出了基于投影变换和对角加载的零陷展宽(projection and diagonal loading null broadening beamforming, PDNBB)方法, 用投影矩阵修正采样协方差矩阵。PDNBB和LCSS方法都通过构造导向矢量相关矩阵提高了零陷展宽性能, 因此性能都十分依赖于正确的阵列流型。
阵列天线在实际应用中, 很可能会存在阵元位置误差、阵元互耦等非理想因素, 导致假想的阵列流型与实际出现阵列流型误差。在这种情况下, 现有零陷展宽方法的性能会严重下降, 甚至完全失效。针对这一问题, 本文提出一种抗阵列流型误差的波束形成零陷展宽(null broadening beamforming against array calibration errors, NBACE)方法, NBACE方法先利用不确定集优化方法对预定区域内的干扰导向矢量进行校正, 再结合CMT方法构造一个零陷展宽投影矩阵, 并对采样协方差矩阵做投影处理, 最后用投影处理后的协方差矩阵进行波束形成, 仿真结果验证了方法的有效性。
1 现有波束形成零陷展宽方法 1.1 阵列信号模型考虑远场情况下的非相干窄带信号, 天线为N元均匀直线阵, 阵元间距为半波长, 阵列天线接收数据X(t)为
| $ \mathit{\boldsymbol{X}}\left( t \right) = \mathit{\boldsymbol{AS}}\left( t \right) + \mathit{\boldsymbol{N}}\left( t \right) $ | (1) |
式中：A=[a1(θ), a2(θ), …, aL(θ)]为阵列导向矢量矩阵, L为信源数, S(t)为信号复包络, N(t)为自适应天线的噪声。
阵列天线接收数据的协方差矩阵为
| $ \mathit{\boldsymbol{R}} = {\rm{E}}\left\{ {\mathit{\boldsymbol{X}}\left( t \right){\mathit{\boldsymbol{X}}^{\rm{H}}}\left( t \right)} \right\} = \mathit{\boldsymbol{A}}{\mathit{\boldsymbol{R}}_{\rm{s}}}{\mathit{\boldsymbol{A}}^{\rm{H}}} + \sigma _{\rm{n}}^2\mathit{\boldsymbol{I}} $ | (2) |
式中：Rs表示信号协方差矩阵, σn2是噪声功率。
实际计算中, 阵列天线接收数据的协方差矩阵常用有限次快拍数据估计值代替, 即
| $ \mathit{\boldsymbol{\dot R}} = \frac{1}{K}\sum\limits_{k = 1}^K {\mathit{\boldsymbol{X}}\left( k \right){\mathit{\boldsymbol{X}}^{\rm{H}}}\left( \mathit{\boldsymbol{k}} \right)} $ | (3) |
式中K为快拍数。标准MVDR波束形成器的自适应权矢量为
| $ {\mathit{\boldsymbol{W}}_{{\rm{opt}}}} = \frac{{{{\mathit{\boldsymbol{\hat R}}}^{ - 1}}\mathit{\boldsymbol{a}}\left( {{\theta _{\rm{d}}}} \right)}}{{{\mathit{\boldsymbol{a}}^{\rm{H}}}\left( {{\theta _{\rm{d}}}} \right){{\mathit{\boldsymbol{\hat R}}}^{ - 1}}\mathit{\boldsymbol{a}}\left( {{\theta _{\rm{d}}}} \right)}} $ | (4) |
式中a(θd)为期望信号导向矢量。
对阵列天线波束形成器输出性能的衡量指标采用输出信干噪比(signal to interference plus noise ratio, SINR), 即阵列天线输出的期望信号功率与输出的干扰加噪声功率和的比值：
| $ {\rm{SINR}} = \frac{{\sigma _{\rm{s}}^2{{\left| {{\mathit{\boldsymbol{W}}^{\rm{H}}}\mathit{\boldsymbol{a}}\left( {{\theta _{\rm{d}}}} \right)} \right|}^2}}}{{{\mathit{\boldsymbol{W}}^{\rm{H}}}{\mathit{\boldsymbol{R}}_{{\rm{i}} + {\rm{n}}}}\mathit{\boldsymbol{W}}}} $ | (5) |
式中：σs2表示期望信号输入功率, Ri+n表示干扰加噪声协方差矩阵。为了进一步提高波束形成器的输出性能, 可以采用对角加载技术, 以下方法均默认采用对角加载技术进行优化。
1.2 CMT方法CMT方法[6]的基本思想是用一束非相关的虚拟干扰源替代原有单个干扰源, 用以在干扰信号方位附近形成具有一定宽度的零陷, 具体实现方法是通过一个矩阵Tmn锐化采样协方差矩阵$\mathit{\boldsymbol{\hat R}}$, 即
| $ {\mathit{\boldsymbol{R}}_{{\rm{CMT}}}} = {{\mathit{\boldsymbol{\hat R}}}^ \circ }{\mathit{\boldsymbol{T}}_{{\rm{CMT}}}} $ | (6) |
式中：RCMT表示锐化后的协方差矩阵, TCMT第m行n列的元素为
| $ {T_{mn}} = \frac{{\sin \left( {\left( {m - n} \right)\Delta } \right)}}{{\left( {m - n} \right)\Delta }} = \sin c\left( {\left( {m - n} \right)\Delta /{\rm{ \mathsf{ π} }}} \right) $ | (7) |
式中：sin c(x)=sin(πx)/πx, Δ决定了零陷的宽度。
CMT方法能够自适应的在干扰方向附近形成具有一定宽度的零陷, 但由于CMT方法用一束虚拟干扰替代原有单个干扰, 使得每个虚拟干扰的功率变小, 导致零陷深度变浅, 旁瓣上升。
1.3 LCSS方法在零陷展宽的区域Θ内形成具有一定深度的零陷, 即区域Θ的平均输出功率小于预设值η, 可表示为
| $ {\mathit{\boldsymbol{W}}^{\rm{H}}}\mathit{\boldsymbol{QW}} \le \eta $ | (8) |
式中：W为权矢量, Q为导向矢量相关矩阵, 即
| $ \mathit{\boldsymbol{Q}} = \int_\mathit{\Theta } {\mathit{\boldsymbol{a}}\left( \theta \right){\mathit{\boldsymbol{a}}^{\rm{H}}}\left( \theta \right){\rm{d}}\theta } $ | (9) |
对Θ区域平均输出功率抑制的最理想情况就是输出功率为0, 即WHQW=0。Q可以被分解为Q=UΣUH, 其中U是Q的特征向量矩阵, Σ是Q特征值按降序排列组成的对角阵。假设Q的秩为r, Ur=[u1, u2, …, ur]是r个大特征值对应的特征向量组成的矩阵, 可知当WHUr=0时, WHQW=0也能实现, 即通过线性约束实现零陷展宽, 最优权求解的问题转化为
| $ \left\{ \begin{array}{l} \mathop {\min }\limits_W {\mathit{\boldsymbol{W}}^{\rm{H}}}\mathit{\boldsymbol{\hat RW}}\\ {\rm{s}}.\;{\rm{t}}.\;\;\;{\mathit{\boldsymbol{W}}^{\rm{H}}}\mathit{\boldsymbol{C}} = \mathit{\boldsymbol{e}}_1^{\rm{T}} \end{array} \right. $ | (10) |
式中：C=[a(θd), Ur], e1=[1, 0T]T。
再由拉格朗日乘子法可知, 式(10) 的解为
| $ {\mathit{\boldsymbol{W}}_{{\rm{LCSS}}}}\left( r \right) = {{\mathit{\boldsymbol{\hat R}}}^{ - 1}}\mathit{\boldsymbol{C}}{\left( {{\mathit{\boldsymbol{C}}^{\rm{H}}}{{\mathit{\boldsymbol{\hat R}}}^{ - 1}}\mathit{\boldsymbol{C}}} \right)^{ - 1}}{\mathit{\boldsymbol{e}}_1} $ | (11) |
式中r为Θ区域输出功率最小时的线性约束数。
1.4 PDNBB方法PDNBB方法[13]是一种先进的零陷展宽方法, 该方法先由式(9) 构建导向矢量相关矩阵Q, 对其特征分解, 提取出较大特征值对应的特征向量矩阵Ur, 将其作为投影子空间, 构造投影矩阵T, 再通过投影矩阵修正采样协方差矩阵, 即
| $ {\mathit{\boldsymbol{R}}_{\rm{T}}} = \mathit{\boldsymbol{T\hat R}}{\mathit{\boldsymbol{T}}^{\rm{H}}} $ | (12) |
最后用RT进行波束形成。PDNBB方法构建导向矢量相关矩阵Q, 以及提取特征子空间Ur的过程与LCSS方法一致；但LCSS方法利用特征子空间构造线性约束实现零陷展宽, 而PDNBB方法利用特征子空间进行投影变换实现零陷展宽。由此可知, 在理想情况下, PDNBB方法和LCSS方法的性能接近；而且两种方法都构造了导向矢量相关矩阵, 因此性能都十分依赖于正确的阵列流型信息。
2 抗阵列流型误差的零陷展宽方法 2.1 NBACE方法为了提高零陷展宽方法在阵列流型误差情况下的性能, 本文在CMT和PDNBB方法的基础上, 结合不确定集优化方法[15], 提出了NBACE方法。
首先在零陷展宽区域Θ内任意取一个点, 得到理想情况下的干扰导向矢量$\mathit{\boldsymbol{\hat a}}$(θ0), 利用不确定集优化方法对其进行校正, 即
| $ \left\{ \begin{array}{l} \mathop {\min }\limits_{\mathit{\boldsymbol{\bar a}}\left( {{\theta _0}} \right)} {{\mathit{\boldsymbol{\bar a}}}^{\rm{H}}}\left( {{\theta _0}} \right){{\mathit{\boldsymbol{\hat R}}}^{ - 1}}\mathit{\boldsymbol{\bar a}}\left( {{\theta _0}} \right)\\ {\rm{s}}.\;{\rm{t}}\;\left\| {\mathit{\boldsymbol{\bar a}}\left( {{\theta _0}} \right) - \mathit{\boldsymbol{\hat a}}\left( {{\theta _0}} \right)} \right\| \le \bar \varepsilon \end{array} \right. $ | (13) |
式中：a(θ0)表示校正后的导向矢量, ε表示约束参数。为减小计算量, 可由Lagrange乘子法得到
| $ \mathit{\boldsymbol{\bar a}}\left( {{\theta _0}} \right) = \mathit{\boldsymbol{\hat a}}\left( {{\theta _0}} \right) - {\left( {\mathit{\boldsymbol{I}} + \bar \lambda \mathit{\boldsymbol{\hat R}}} \right)^{ - 1}}\mathit{\boldsymbol{\hat a}}\left( {{\theta _0}} \right) $ | (14) |
式中：λ为Largrange乘子因子, λ可通过求解约束方程得到, 即
| $ {\left\| {{{\left( {\mathit{\boldsymbol{I}} + \bar \lambda \mathit{\boldsymbol{\hat R}}} \right)}^{ - 1}}\mathit{\boldsymbol{\hat a}}\left( {{\theta _0}} \right)} \right\|^2} = \bar \varepsilon $ | (15) |
由此得到校正后的a(θ0), 并利用a(θ0)构造导向矢量相关矩阵:
| $ \mathit{\boldsymbol{\bar C}} = \mathit{\boldsymbol{\bar a}}\left( {{\theta _0}} \right){{\mathit{\boldsymbol{\bar a}}}^{\rm{H}}}\left( {{\theta _0}} \right) $ | (16) |
然后结合CMT方法, 用协方差锐化矩阵对C进行锐化, 即
| $ {{\mathit{\boldsymbol{\bar C}}}_{{\rm{CMT}}}} = {{\mathit{\boldsymbol{\bar C}}}^ \circ }{\mathit{\boldsymbol{T}}_{{\rm{CMT}}}} $ | (17) |
将CCMT特征分解, 得到
| $ {{\mathit{\boldsymbol{\bar C}}}_{{\rm{CMT}}}} = \sum\limits_{k = 1}^N {{\lambda _{{\theta _k}}}{{\mathit{\boldsymbol{\bar \upsilon }}}_{{\theta _k}}}\mathit{\boldsymbol{\bar \upsilon }}_{{\theta _k}}^{\rm{H}}} ,{\lambda _{{\theta _1}}} \ge {\lambda _{{\theta _2}}} \ge \cdots \ge {\lambda _{{\theta _N}}} $ | (18) |
式中：λθk表示特征值, υθk表示与特征值对应的特征向量。在CCMT中选取M个大特征值, 提取出大特征值对应的特征向量, 构成一个投影子空间P为
| $ \mathit{\boldsymbol{\bar P}} = {\rm{span}}\left\{ {{{\mathit{\boldsymbol{\bar \upsilon }}}_{{\theta _1}}},{{\mathit{\boldsymbol{\bar \upsilon }}}_{{\theta _2}}}, \cdots ,{{\mathit{\boldsymbol{\bar \upsilon }}}_{{\theta _M}}}} \right\} $ | (19) |
再由投影子空间得到零陷展宽投影矩阵T, 即
| $ \mathit{\boldsymbol{\bar T}} = \sum\limits_{k = 1}^M {{{\mathit{\boldsymbol{\bar \upsilon }}}_{{\theta _k}}}\mathit{\boldsymbol{\bar \upsilon }}_{{\theta _k}}^H} $ | (20) |
用零陷展宽投影矩阵T修正采样协方差矩阵, 得到投影变换后的协方差矩阵为
| $ \mathit{\boldsymbol{\bar R}} = \mathit{\boldsymbol{\bar T\hat R}}{{\mathit{\boldsymbol{\bar T}}}^{\rm{H}}} $ | (21) |
最后, 用R进行波束形成。值得注意的是:式(16) 对应于一个零陷展宽区域的情况, 增加零陷展宽区域需要增加取点数, 每个零陷展宽区域只需取一个点即可；因此, NBACE方法与PDNBB方法以及LCSS方法相比, 不需要在零陷展宽区域内取出J(J≫N)个间隔相等的采样点构建导向矢量相关矩阵, 运算量大幅度减小。
2.2 计算复杂度分析NBACE方法中不确定集优化的计算复杂度为O(N3), 特征分解的计算复杂度为O(N3), 协方差矩阵求逆的计算复杂度为O(N3), 因此NBACE方法的计算复杂度为O(N3)；CMT方法的计算复杂度也为O(N3)；LCSS方法和PDNBB方法的计算复杂度相等, 其中构造导向矢量相关矩阵的计算复杂度为O(JN2), 特征分解的计算复杂度为O(N3), 协方差矩阵求逆的计算复杂度为O(N3), 因此, LCSS方法和PDNBB方法的计算复杂度都是O(JN2)。由此可知, NBACE方法的计算复杂度与CMT方法相当, 远低于LCSS方法和PDNBB方法。
3 仿真实验与性能分析考虑远场情况下的非相干窄带信号, 一个阵元数N为10的均匀直线阵, 阵元间距为半波长, 干扰噪声比(interferences to noise ratio, INR)为30 dB, 噪声为高斯白噪声, 期望信号来波方向为3°, 干扰位于-30°、40°方向, 零陷宽度设为10°, 快拍数为100, 约束参数为2。下面通过四个例子将NBACE方法与CMT方法[6]、LCSS方法[12]以及PDNBB方法[13]进行比较, 验证其零陷展宽效果和输出性能。
3.1 理想情况考察理想情况下, NBACE方法的性能。图 1为四种方法在输入信噪比(signal to noise ratio, SNR)为0dB时的波束图；图 2为四种方法SINR随输入SNR的变化曲线。
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图 1 理想情况下四种方法的波束图 Fig.1 Beam patterns of the four methods in the case without array calibration error |
由图 1可知, 在理想情况下, 四种方法都能够展宽零陷, 其中LCSS方法和PDNBB方法的零陷展宽效果相近, 都能得到很深的零陷；NBACE方法和CMT方法的零陷展宽效果相近, 且NBACE方法的零陷略深于CMT方法。由图 2可知, 在理想情况下, PDNBB方法和LCSS方法的输出SINR都接近最优；当SNR低于0 dB时, NBACE方法和CMT方法的输出SINR接近最优, 当SNR高于0 dB时, NBACE方法的输出SINR高于CMT方法。由此可知, 在理想情况下, 四种零陷展宽方法都能有效展宽零陷, 其中PDNBB方法和LCSS方法性能最好, NBACE方法性能优于CMT方法。
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图 2 理想情况下四种方法输出SINR随输入SNR变化曲线 Fig.2 Output SINR versus input SNR of the four methods in the case without array calibration error |
考察出现阵元位置误差时, NBACE方法的性能。假设真实阵元位置与理想阵元位置的误差服从[-0.075 λ, 0.075 λ]上的随机分布, 其中λ为信号波长。图 3为四种方法在SNR为0 dB时的波束图；图 4为四种方法SINR随输入SNR的变化曲线。
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图 3 阵元位置误差情况下四种方法的波束图 Fig.3 Beam patterns of the four methods in the case without array location error |
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图 4 阵元位置误差情况下四种方法输出SINR随输入SNR变化曲线 Fig.4 Output SINR versus input SNR of the four methods in the case of array location error |
由图 3可知, 存在阵元位置误差的情况下, LCSS方法和PDNBB方法都已经不能展宽零陷, 因为LCSS方法和PDNBB方法都构造了导向矢量相关矩阵, 所以性能十分依赖于正确的阵列流型信息；NBACE方法和CMT方法仍能展宽零陷, NBACE方法的零陷略深于CMT方法, 且旁瓣低于CMT方法。由图 4可知, 存在阵元位置误差的情况下, PDNBB方法和LCSS方法的输出性能很差, NBACE方法的输出性能最好。由此可知, 存在阵元位置误差的情况下, NBACE方法能够有效展宽零陷, 且其零陷展宽效果和输出性能都优于其他方法。
3.3 阵元互耦情况考察阵元互耦时, NBACE方法的性能。假设仅相邻阵元间存在互耦, 且相邻阵元间的互耦系数为0.75e-jπ/3。图 5为四种方法在在SNR为0 dB时的波束图；图 6为四种方法SINR随输入SNR的变化曲线。
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图 5 阵元互耦情况下四种方法的波束图 Fig.5 Beam patterns of the four methods in the case of mutual coupling |
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图 6 阵元互耦情况下四种方法输出SINR随输入SNR变化曲线 Fig.6 Output SINR versus input SNR of the four methods in the case of mutual coupling |
由图 5可知, 存在阵元互耦的情况下, PDNBB方法和LCSS方法已经不能展宽零陷；NBACE方法和CMT方法仍能展宽零陷, 其中NBACE方法的零陷深于CMT方法, 且旁瓣低于CMT方法, NBACE方法的零陷展宽效果最好。由图 6可知, 存在阵元互耦的情况下, PDNBB方法和LCSS方法的输出性能很差, CMT方法在SNR高于0 dB后输出性能下降, NBACE方法的输出性能始终最好。由此可知, 存在阵元互耦的情况下, NBACE方法能够展宽零陷, 且其零陷展宽效果和输出性能都优于其他方法。
3.4 运动干扰情况考察存在阵元位置误差时, NBACE方法抗运动干扰的性能。设定一个干扰信号从-40°向0°方向运动, 运动速度为0.05°/快拍, 其余仿真条件同3.2。图 7为四种方法在SNR为0 dB时的波束图；图 8为四种方法输出SINR随输入SNR的变化曲线。
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图 7 运动干扰情况下四种方法的波束图 Fig.7 Beam patterns of the four methods in the case of jamman motion |
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图 8 运动干扰情况下四种方法输出SINR随输入SNR变化曲线 Fig.8 Output SINR versus input SNR of the four methods in the case of jammer motion |
由图 7可知, 同时存在阵元位置误差和运动干扰的情况下, LCSS方法和PDNBB方法都不能展宽零陷；NBACE方法和CMT方法能够展宽零陷, 其中NBACE方法的零陷深于CMT方法, 旁瓣低于CMT方法, NBACE方法的零陷展宽效果最好。由图 8可知, 同时存在阵元位置误差和运动干扰的情况下, PDNBB方法和LCSS方法的输出性能很差, NBACE方法的输出性能最好。由此可知, 同时存在阵元位置误差和运动干扰的情况下, NBACE方法的零陷展宽效果和输出性能都优于其他方法, NBACE方法能够有效的抑制运动干扰。
4 结论1) 不考虑阵列流型误差的情况下, NBACE方法的波束形成零陷展宽效果和输出性能优于CMT方法。
2) 存在阵列流型误差和运动的干扰情况下, NBACE方法与现有的波束形成零陷展宽方法相比, 具有更好的零陷展宽效果和输出性能, 稳健性明显提高。
3) 通过计算复杂度分析可知, NBACE方法的计算复杂度与CMT方法相当, 远低于LCSS和PDNBB方法。
本文考虑到天线阵在应用中很可能存在阵列流型误差这一实际问题, 提出了NBACE方法, 提高了波束形成零陷展宽方法在实际应用中的稳健性。在以后的研究中, 可以考虑导向矢量失配对NBACE方法的影响, 进一步提高该方法的稳定性。
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