土木工程的快速发展对混凝土材料提出了更高的要求，尤其是在复杂环境条件下运行的核电站、高拱坝和海上钻井平台等混凝土结构的出现，使得人们迫切需要深入了解混凝土结构的性能和破坏机理。研究表明：大量混凝土结构性能的衰退直至最终退出工作，都与早期混凝土乃至非常早期混凝土的开裂有着重大的关系。由于混凝土材料抗拉强度很低，构件在浇筑后至完全硬化前，其性能变化剧烈且远没有达到设计的性能要求，尤其是在终凝之前没有充分压实或者养护的情况下，混凝土构件极易产生表面缺陷或裂纹。这些裂纹可能会充分扩展到更深的部位，甚至会贯穿整个混凝土板，严重影响结构构件的承载能力、耐久性和持续工作寿命。因此，研究非常早期混凝土裂纹的扩展机理就显得尤为重要。

本文非常早期混凝土主要针对是龄期2~14 h的混凝土结构。目前，关于非常早期混凝土裂纹扩展和影响因素的文献非常少^[1-3]。以往的研究主要偏重于材料的性能方面，或者是从温度特性、水化放热和收缩等方面进行研究。比如Shen D等从温度应力的角度对早期混凝土板的裂纹进行研究^[4-5]。但这些都没有很好地解释早期混凝土板裂纹的扩展机理。文献[6]是关于非常早期混凝土裂纹扩展和影响因素课题的较新论文，该文提出将断裂力学的Bueckner原理应用到非常早期混凝土裂纹扩展的分析中，并考虑混凝土中孔隙水吸力(pore moisture suction)与孔隙水压力(pore moisture pressure)的影响。但文献[6]所得的Ⅰ型应力强度因子(stress intensity factor, SIF)K_I公式并不全面，还存在一定的不足。

本文借助于Morris等提出的在早期混凝土板中存在幂函数分布吸力荷载的理论^[16-17]，研究深度150、300、1 200 mm为代表的有限深度板和半无限深板。考虑混凝土的孔隙水吸力与孔隙水压力的作用，求得非常早期混凝土板的应力强度因子解析式，并绘出应力强度因子—裂纹深度曲线，探讨裂纹的失稳扩展；进一步界定了裂纹经历稳定扩展、扩展、再次失稳扩展并贯穿整个混凝土板的深度范围。

1 分析模型和受孔隙水吸(压)力作用裂纹面的应力

本文只考虑Ⅰ型断裂，即张开型裂纹破坏；裂纹从混凝土板的表面竖直向下扩展，并不与其它裂纹相交，同时，忽略裂纹扩展的动态特性。如图 1所示，图中a为裂纹深度，b为混凝土板的深度，D为干裂深度，即干燥层的范围。

运用Bueckner原理与线弹性断裂力学模型把外部载荷映射为裂纹面的拉伸应力，Morris进一步提出Bueckner原理适用于非常早期混凝土的裂纹研究，需要满足的条件是：裂纹没有显著影响混凝土的孔隙水吸(压)力分布^[16]。

1.1 混凝土板表面下任意深度处的吸力ψ_y

裂纹表面的吸力形状(suction profiles)的形成，主要归因于最初的饱和混凝土因大气环境引起的水分流失而干裂，在其干裂深度D范围内形成幂函数形式的分布吸力。混凝土板表面下任一深度处的吸力ψ_y公式如下所示^[6]：

$ {\psi _y} = {\psi _0}{\left( {1 - \frac{x}{D}} \right)^g},x \in \left[ {0,D} \right] $

(1)

$ {\psi _y} = - {\gamma _w}\left( {x - D} \right),x \in \left[ {D,b} \right] $

(2)

式中：ψ₀为混凝土板表面处的吸力，kPa；x为混凝土板表面下的深度，m；D为干裂深度，m；γ_w为孔隙水容重，kN/m³；g为裂纹面所受幂函数吸力的指数，取值范围从零至无穷大，本文只考虑0≤g≤4，分别代表了均布、线性、二次、三次和四次幂函数分布吸力；干裂深度D范围内的吸力形状如图 2所示。

1.2 混凝土板中裂纹面的应力σ_y

考虑混凝土弹性模量E、混凝土受孔隙水吸(压)力作用时弹性模量H和混凝土孔隙水吸(压)力μ_w，可得混凝土板中裂纹面的水平应变为

$ {\varepsilon _y} = \frac{{{\sigma _y}}}{E} - \frac{\nu }{E}\left( {{\sigma _x} + {\sigma _z}} \right) - \frac{{{\mu _w}}}{H} $

(3)

式中：ε_y为垂直于裂纹面的应变；E为混凝土弹性模量，kPa；ν为混凝土泊松比；H为混凝土考虑孔隙水作用时弹性模量，kPa；μ_w为混凝土孔隙水压力，kPa；-μ_w为混凝土孔隙水吸力，kPa。

如果混凝土建立在相同方式的正应力与必要的各向同性的孔隙水吸(压)力的情况下，引入混凝土的泊松比ν，两种弹性模量可满足以下关系：

$ \frac{E}{H} = 1 - 2\nu $

(4)

令σ_y=σ_z≠σ_x，ε_y=ε_z=0，联合式(3)、(4)可得混凝土板中裂纹面的应力σ_y：

$ {\sigma _y} = \left( {\frac{\nu }{{1 - \nu }}} \right){\sigma _x} + \left( {\frac{{1 - 2\nu }}{{1 - \nu }}} \right){\mu _w} $

(5)

当裂纹深度a小于干裂深度D时，孔隙水吸力-μ_w等于总吸力ψ_y即-μ_w=ψ_y, σ_x=γ_dx，将式(1)代入式(5)可得在裂纹深度a小于干裂深度D时，混凝土板中裂纹面的应力σ_y：

$ {\sigma _y} = \left( {\frac{\nu }{{1 - \nu }}} \right){\gamma _d}x - \left( {\frac{{1 - 2\nu }}{{1 - \nu }}} \right){\psi _0}{\left( {1 - \frac{x}{D}} \right)^g} $

(6)

式中γ_d为干燥混凝土容重，kN/m³。

当裂纹深度a大于干裂深度D时，孔隙水压力μ_w等于总吸力ψ_y即μ_w=ψ_y，σ_x=γ_dD+γ_s(x-D)，将式(2)代入式(5)可得裂纹深度a大于干裂深度D时，混凝土板中裂纹面的应力σ_y为

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{\sigma _y} = \left( {\frac{\nu }{{1 - \nu }}} \right)\left[ {{\gamma _d}D + {\gamma _s}\left( {x - D} \right)} \right] - }\\ {\left( {\frac{{1 - 2\nu }}{{1 - \nu }}} \right){\gamma _w}\left( {x - D} \right)} \end{array} $

(7)

式中γ_w为孔隙水容重，kN/m³。

2 应力强度因子的解析表达式

文献[6]推导的应力强度因子公式有3处不足：1)g=1对应的应力σ_y推导不准确；2)给出的应力强度因子公式也不全面，缺少g=2和3时的应力强度因子公式；3)缺少半无限深板裂纹深度大于干裂深度、有限深度板裂纹深度小于干裂深度、有限深度板裂纹深度大于干裂深度时的应力强度因子公式。以上不足将在本文中论述。

2.1 应力强度因子公式的重新推导和补充 2.1.1 半无限深板裂纹深度小于干裂深度时的应力强度因子解析表达式

半无限深板内有一条深度为a的边缘裂纹，裂纹面受幂函数形式的分布压力σ_y如式(6)所示，应力强度因子手册^[16]给出了应力强度因子K_I的计算公式为

$ {K_I} = F{\sigma _y}\sqrt {{\rm{ \mathsf{ π} }}a} $

(8)

$ F = \frac{{{2^{g + \frac{1}{2}}}n!}}{{\rm{ \mathsf{ π} }}}\left[ {\sum\limits_{i = 1}^5 {{\beta _i}\prod\limits_{k = 0}^n {\frac{1}{{2i + 2k - 1}}} } } \right] $

式中：K_I为Ⅰ型裂纹应力强度因子，kPa·m^1/2；β₁=2.0，β₂=0.978 8，β₃=1.110 1，β₄=-0.319 4，β₅=-0.101 7。

分别令g=0、1、2、3和4得到受线性幂函数分布吸力作用时裂纹的应力σ_y，将其代入上述应力强度因子公式，得到半无限深板裂纹深度小于干裂深度(a＜D)时，应力强度因子的显式表达式如下所示，其误差为0.2%：

1) 当g=0时

$ {\sigma _y} = \left( {\frac{\nu }{{1 - \nu }}} \right){\gamma _d}x - \left( {\frac{{1 - 2\nu }}{{1 - \nu }}} \right){\psi _0} $

$ {K_I} = 1.9878\left( {\frac{{1 - 2\nu }}{{1 - \nu }}} \right){\psi _0}{a^{0.5}} - 1.2088\left( {\frac{\nu }{{1 - \nu }}} \right){\gamma _d}{a^{1.5}} $

(9)

2) 当g=1时

$ {\sigma _y} = \left( {\frac{\nu }{{1 - \nu }}} \right){\gamma _d}x - \left( {\frac{{1 - 2\nu }}{{1 - \nu }}} \right){\psi _0}\left( {1 - \frac{x}{D}} \right) $

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{K_I} = 1.9878\left( {\frac{{1 - 2\nu }}{{1 - \nu }}} \right){\psi _0}{a^{0.5}} - 1.2088 \cdot }\\ {\left[ {\left( {\frac{{1 - 2\nu }}{{1 - \nu }}} \right)\frac{{{\psi _0}}}{D} + \left( {\frac{\nu }{{1 - \nu }}} \right){\gamma _d}} \right]{a^{2.5}}} \end{array} $

(10)

3) 当g=2时

$ {\sigma _y} = \left( {\frac{\nu }{{1 - \nu }}} \right){\gamma _d}x - \left( {\frac{{1 - 2\nu }}{{1 - \nu }}} \right){\psi _0}\left( {1 + \frac{{{x^2}}}{{{D^2}}} - \frac{{2x}}{D}} \right) $

$ \begin{array}{l} {K_I} = 1.9878\left( {\frac{\nu }{{1 - \nu }}} \right){\psi _0}{a^{0.5}} - 1.2088 \cdot \\ \;\;\;\;\;\;\;\left[ {\left( {\frac{{1 - 2\nu }}{{1 - \nu }}} \right)\frac{{2{\psi _0}}}{D} + \left( {\frac{\nu }{{1 - \nu }}} \right){\gamma _d}} \right]{a^{1.5}} + \\ \;\;\;\;\;\;\;0.5255\sqrt {\rm{ \mathsf{ π} }} \left( {\frac{{1 - 2\nu }}{{1 - \nu }}} \right)\frac{{{\psi _0}}}{{{D^2}}}{a^{2.5}} \end{array} $

(11)

4) 当g=3时

$ {\sigma _y} = \left( {\frac{\nu }{{1 - \nu }}} \right){\gamma _d}x - \left( {\frac{{1 - 2\nu }}{{1 - \nu }}} \right){\psi _0}\left( {1 - \frac{{3x}}{D} + \frac{{3{x^2}}}{{{D^2}}} - \frac{{{x^3}}}{{{D^3}}}} \right) $

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{K_I} = 1.9878\left( {\frac{{1 - 2\nu }}{{1 - \nu }}} \right){\psi _0}{a^{0.5}} - 1.2088\left[ {\left( {\frac{{1 - 2\nu }}{{1 - \nu }}} \right)\frac{{3{\psi _0}}}{D} + } \right.}\\ {\left. {\left( {\frac{\nu }{{1 - \nu }}} \right){\gamma _d}} \right]{a^{1.5}} + 0.5255\sqrt \pi \left( {\frac{{1 - 2\nu }}{{1 - \nu }}} \right)\frac{{3{\psi _0}}}{{{D^2}}}{a^{2.5}} - }\\ {0.441\sqrt \pi \left( {\frac{{1 - 2\nu }}{{1 - \nu }}} \right)\frac{{{\psi _0}}}{{{D^3}}}{a^{3.5}}} \end{array} $

(12)

5) 当g=4时

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{\sigma _y} = \left( {\frac{\nu }{{1 - \nu }}} \right){\gamma _d}x - \left( {\frac{{1 - 2\nu }}{{1 - \nu }}} \right){\psi _0}\left( {1 - } \right.}\\ {\left. {\frac{{4x}}{D} + \frac{{6{x^2}}}{{{D^2}}} - \frac{{4{x^3}}}{{{D^3}}} + \frac{{{x^4}}}{{{D^4}}}} \right)} \end{array} $

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{K_I} = 1.9878\left( {\frac{{1 - 2\nu }}{{1 - \nu }}} \right){\psi _0}{a^{0.5}} - 1.2088\left[ {\left( {\frac{{1 - 2\nu }}{{1 - \nu }}} \right)\frac{{4{\psi _0}}}{D} + } \right.}\\ {\left. {\left( {\frac{\nu }{{1 - \nu }}} \right){\gamma _d}} \right]{a^{1.5}} + 5.5778\left( {\frac{{1 - 2\nu }}{{1 - \nu }}} \right)\frac{{{\psi _0}}}{{{D^2}}}{a^{2.5}} - }\\ {3.1195\left( {\frac{{1 - 2\nu }}{{1 - \nu }}} \right)\frac{{{\psi _0}}}{{{D^3}}}{a^{3.5}} + 0.684\;0\left( {\frac{{1 - 2\nu }}{{1 - \nu }}} \right)\frac{{{\psi _0}}}{{{D^4}}}{a^{4.5}}} \end{array} $

(13)

2.1.2 半无限深板裂纹深度大于干裂深度时的应力强度因子解析表达式

半无限深板内有一条深度为a的边缘裂纹，裂纹面受幂函数形式的分布压力σ_y，如式(5)所示，应力强度因子手册^[16]给出了集中力作用于裂纹任意点处时，裂尖的应力强度因子K_I计算公式为

$ {K_I} = \frac{{2{\sigma _y}}}{{\sqrt {{\rm{ \mathsf{ π} }}a} }}\frac{{F\left( {\frac{c}{a}} \right)}}{{\sqrt {1 - {{\left( {\frac{c}{a}} \right)}^2}} }} $

(14)

其中，

$ F\left( {\frac{a}{c}} \right) = 1.3 - 0.3{\left( {\frac{a}{c}} \right)^{\frac{5}{4}}} $

式中：c∈[0，a]，a∈[D，∞)。

得到整个裂纹面受不均匀应力作用时，裂尖应力强度因子积分公式，数值积分后，与半无限深板裂纹深度小于干裂深度应力强度因子相加。最后得出半无限深板裂纹深度大于干裂深度时的应力强度因子公式。对于半无限深板裂纹深度大于干裂深度、有限深度板裂纹深度小于干裂深度与裂纹深度大于干裂深度时，其应力强度因子公式同式(13)，参照文献[[16]。

2.2 非常早期混凝土的断裂韧度

混凝土材料的平面应变断裂韧度K_IC是应力强度因子K_I的临界值，是混凝土材料抵抗裂纹失稳扩展能力的一种度量。其表达式为

$ {K_{IC}} = \sqrt {\frac{{2E{G_F}}}{{1 - {\nu ^2}}}} $

(15)

式中：弹性模量E、泊松比ν和断裂能G_F的取值分别为70 MPa^[18]、0.3^[19-20]和16 J/m^2[21]，因此可得K_IC≈50 kPa·m^1/2。通常成熟混凝土的断裂韧度处于50~100 kPa·m^1/2内^[22]，因此上述K_IC取值合理。

由非常早期混凝土干燥状态的实验数据显示，其容重γ_d=23 kN/m³，甚至对于饱和与非饱和的混凝土，γ_d的取值也为23 kN/m³，孔隙水的容重γ_w取9.81 kN/m³。

2.3 非常早期混凝土板的应力强度因子-裂纹深度曲线

通过推导有限深度板和半无限深板的应力强度因子公式，当混凝土板完全饱和时，则干裂深度D=0，表面吸力ψ_o非常小，其值为0.5 MPa，裂纹面受均布吸力，代入裂纹深度a得到图 3。当混凝土板出现干燥层后，根据控制变量法，干裂深度D=6 mm，表面吸力ψ_o=5 MPa，分别令g=1、2、3和4，代入裂纹深度a可得到图 4~5，以研究不同幂函数分布吸力载荷对非常早期混凝土板裂纹扩展的影响。

同时，为研究混凝土板中孔隙水表面蒸发率对非常早期混凝土板裂纹扩展的影响，根据控制变量法，假定裂纹面受四次幂函数分布吸力载荷，表面吸力ψ_o=5 MPa，干裂深度D分别取2、6和10 mm，代入裂纹深度a画出图 4~5。

结合K-a曲线图 3~5，以K_IC=50 kPa·m^1/2画一条虚线，可以很直观地发现，虚线右方表示应力强度因子K_I大于断裂韧度K_IC，由断裂准则可知，对应的裂纹将会扩展；虚线左方表示K_I＜K_IC，对应的裂纹将保持稳定。

3 非常早期混凝土板裂纹失稳扩展的影响因素 3.1 裂纹面受不同幂函数分布吸力时裂纹扩展分析 3.1.1 裂纹面受均布吸力载荷时裂纹扩展分析

图 3表示在板整个深度范围内作用0.5 MPa均布吸力时对应的应力强度因子K_I，如前所述，该图代表了低坍落度混凝土板，对于所有不同深度的混凝土板而言，由图可知，应力强度因子会单调地随裂纹深度的增大而增大。

由图 3可以明显地观察到，当混凝土板表面缺陷和裂纹深度小于8 mm时，对应的应力强度因子小于断裂韧度K_IC，板中的边缘裂纹会保持稳定。而当混凝土板的表面缺陷和裂纹深度大于8 mm时，裂纹将失稳扩展并贯穿板的整个深度。

3.1.2 裂纹面分别受线性、二次、三次和四次幂函数分布吸力载荷时裂纹扩展分析

图 4表示干裂深度D为6 mm情况下，表面吸力为5 MPa且裂纹面分别受线性、二次、三次和四次幂函数分布吸力载荷时，不同裂纹深度a的应力强度因子。裂纹面所受孔隙水吸(压)力越复杂，表示幂函数分布吸力指数g越大。

以300 mm深度混凝土板为研究对象进行阐述，当表面缺陷或裂纹深度为2 mm时，其应力强度因子K_I＜K_IC，裂纹扩展并贯穿整个混凝土板。受二次幂函数分布吸力载荷，当裂纹深度a处于37~60 mm时，其应力强度因子K_I＜K_IC，裂纹停止扩展；当超过60 mm时，其应力强度因子K_I＞K_IC，裂纹将会继续扩展甚至贯穿整个混凝土板。

3.2 混凝土板中孔隙水的表面蒸发率对裂纹扩展的影响分析

图 4(d)、图 5(a)、(b)表示干裂深度D分别为6、2和10 mm，表面吸力为5 MPa且裂纹面受四次幂函数分布吸力载荷时，不同裂纹深度a其裂尖的应力强度因子。通过比较这三张图，可以发现混凝土板中孔隙水的表面蒸发率越高，则干裂深度D就越大，初始裂纹越容易失稳扩展。

在图 4(d)、图 5中，对于150 mm深度的混凝土板，5 mm深度的表面缺陷或裂纹在干裂深度为2 mm的条件下是稳定的(如图 5(a))；但是在干裂深度D为6 mm时，裂纹会扩展到10 mm深度(如图 4(d))。当混凝土板孔隙水的表面蒸发率更高时，从而使干裂深度D达到10 mm时，任何微小的表面缺陷或裂纹都将会失稳扩展，并贯穿整个混凝土板(如图 5(b))。图 5(a)表示在干裂深度D=2 mm情况下，当表面缺陷或裂纹深度为2 mm时，其应力强度因子的值K_I＞K_IC, 因此，当表面缺陷或裂纹深度超过该值时将会扩展。但是，对于所有不同深度的混凝土板，当裂纹深度a＞5 mm时，其应力强度因子的值K_I＜K_IC，裂纹扩展将会止于该深度，除非表面吸力和干裂深度增大。图 5(b)表面缺陷或裂纹都会引起裂纹失稳扩展，从而导致裂纹贯穿整个混凝土板而产生破坏，使板丧失承载能力。

4 结论

1) 利用混凝土断裂力学，并考虑孔隙水吸力与孔隙水压力的作用，为研究非常早期混凝土板的裂纹扩展机理提出了一种更为准确与简便的方法。利用得到的应力强度因子-裂纹深度曲线，可以发现裂纹面受不同幂函数分布吸力作用时，初始裂纹会在哪个范围扩展，之后是停止扩展还是失稳扩展并贯穿整个混凝土板。为工程中处理非常早期混凝土板裂纹提供了参考依据。

2) 处于非常早期的混凝土板，裂纹面所受幂函数分布吸力指数越大，初始裂纹越容易抑制扩展。

3) 非常早期混凝土板中孔隙水的表面蒸发率越高，即形成的干燥层越深，初始裂纹越容易失稳扩展。