自适应波束形成技术通过在干扰方向形成零陷，有效抑制干扰和噪声，提高输出信干噪比(signal to interference and noise ratio，SINR)，在移动通信，声呐和生物医学等领域得到广泛应用，已经成为阵列信号处理领域的研究热点^[1-3]。常用的波束形成器如最小方差无失真响应(minimum variance distortionless response, MVDR)波束形成器，缺乏对各种系统误差的稳健性，在阵列处于非理想应用环境时，抗干扰性能会急剧下降^[4-5]。

近年来出现了很多稳健的波束形成算法^[6-14]。协方差矩阵对角加载是一种最简单的方法，但是没有明确的方法来确定最优加载量，性能提升十分有限^[6]。Vorobyov等^[7]提出了基于最差情况性能最优的稳健波束形成方法，其设计准则是使波束形成器在最差情况下的输出性能最优，该算法的性能较对角加载方法有很大的提高，但这种方法的性能受不确定集参数设定的影响，而不确定集约束参数在实际中又很难准确得到。Khabbazibasmenj等^[8]提出的基于半正定松弛的波束形成算法，需要借助优化软件求解，运算量大，收敛时间长。Gu等^[9]提出的基于干扰加噪声协方差矩阵(interference plus noise, IPN)重构的波束形成算法，对期望信号导向矢量失配具有较好的稳健性，但是对于阵元位置误差，阵列互耦等引起的阵列流形向量误差非常敏感，抗干扰性能会急剧下降^[10-11]，且运算量也较大。

为提高自适应波束形成器在复杂应用环境下的稳健性，本文提出一种期望信号导向矢量双层估计的高效稳健波束形成算法。首先在期望信号的大致方位区间构建一个导向矢量相关矩阵，提取矩阵大特征值对应的特征向量，将期望信号导向矢量初步估计为这些特征向量的线性组合，再将初步估计结果利用不确定集约束方法进行优化校正。该方法在没有引入复杂计算量的情况下，显著的提高了波束形成器的稳健性，输出性能得到明显提升，在期望信号导向矢量失配以及各种阵列流形向量误差下的输出SINR优于目前的方法。

1 阵列信号模型

考虑一个N阵元间距为d的均匀直线阵(ULA)，期望信号为θ₀方向入射，P个干扰分别来自θ_k，K=1, 2, …, P方向，阵列接收数据X(t)为

$ \mathit{\boldsymbol{X}}\left( t \right) = \mathit{\boldsymbol{AS}}\left( t \right) + \mathit{\boldsymbol{N}}\left( t \right) $

(1)

式中：X(t)=[x₁(t)  x₂(t)  …  x_N(t)]^T为一个N×1维的阵列数据向量, S(t)=[s₀(t)  s₁(t)  …  s_P(t)]^T，s_k(t)为t时刻第k个信号的复包络，N(t)=[n₁(t)  n₂(t)  …  n_N(t)]^T为t时刻阵列接收的噪声向量，A表示阵列流形向量矩阵，A=[a(θ₀)  a(θ₁)  …  a(θ_P)]，对于ULA阵列， $\mathit{\boldsymbol{a}}({{\theta }_{p}})={{[1\ \ {{\rm{e}}^{-\rm{j}\frac{2\pi d}{\lambda }\rm{sin}{{\theta }_{p}}}}\ \ \ldots \ \ {{\rm{e}}^{-\rm{j}\frac{2\pi \left(N-1 \right)d}{\lambda }\rm{sin}{{\theta }_{p}}}}]}^{\rm{T}}}$ 。设各阵元都是全向理想阵元，信号与噪声统计无关，则阵列接收信号的协方差矩阵为

$ \mathit{\boldsymbol{R}} = {\rm{E}}\left\{ {\mathit{\boldsymbol{X}}\left( t \right){\mathit{\boldsymbol{X}}^{\rm{H}}}\left( t \right)} \right\} = \mathit{\boldsymbol{A}}{\mathit{\boldsymbol{R}}_s}\mathit{\boldsymbol{A}} + \sigma _n^2{\bf{I}} $

(2)

式中:R_s表示期望信号加干扰的协方差矩阵，σ_n²是噪声功率。

在实际计算中，阵列接收数据的协方差矩阵经常是用有限次的快拍数据估计值来代替，即

$ \mathit{\boldsymbol{\hat R}} = \frac{1}{K}\sum\limits_{t = 1}^K {\mathit{\boldsymbol{X}}\left( t \right){\mathit{\boldsymbol{X}}^{\rm{H}}}\left( t \right)} $

(3)

式中:K为快拍数。MVDR波束形成器通过约束阵列的输出功率最小，同时在期望信号方向形成恒定增益，达到在干扰方向形成零陷的目的，其自适应加权矢量w表示为

$ \mathit{\boldsymbol{w}} = \frac{{{{\mathit{\boldsymbol{\hat R}}}^{ - 1}}\mathit{\boldsymbol{\bar a}}\left( {{\theta _0}} \right)}}{{{{\mathit{\boldsymbol{\bar a}}}^{\rm{H}}}\left( {{\theta _0}} \right){{\mathit{\boldsymbol{\hat R}}}^{ - 1}}\mathit{\boldsymbol{\bar a}}\left( {{\theta _0}} \right)}} $

(4)

式中:a(θ₀)表示假设的期望信号导向矢量。

标准MVDR波束形成器在理想情况下能够有效的抑制干扰，具有很好的输出SINR，但当阵列处于非理想应用环境下，会导致估计的阵列流形向量与实际流形向量存在误差，此时MVDR波束形成器的抗干扰性能会急剧下降。

2 导向矢量双层估计算法

为提高波束形成器对期望信号导向矢量失配和阵列流形误差的稳健性，本文提出一种高效的稳健波束形成算法，该算法对期望信号导向矢量进行了双层估计，克服了波束形成器在期望信号导向矢量失配和阵列流形误差时输出SINR下降的难题，进一步提高了波束形成器的稳健性。

2.1 期望信号导向矢量的初步估计

设Θ为期望信号的大致方位区间，Θ内任一θ方向的导向矢量为a(θ)，将该区间导向矢量的相关矩阵进行积分，得到矩阵G为

$ \mathit{\boldsymbol{G}} = \int_\mathit{\Theta } {\mathit{\boldsymbol{\bar a}}\left( \theta \right){{\mathit{\boldsymbol{\bar a}}}^{\rm{H}}}\left( \theta \right){\rm{d}}\theta } $

(5)

实际计算中，通常是在Θ区间内插值多个离散点，将这些插值点的导向矢量相关矩阵相加得到G，对G进行特征分解，将特征向量按特征值的大小降序排列，提取出其中前M个大特征值所对应的特征向量，表示为υ₁, υ₂, …, υ_M，容易知道υ₁, υ₂, …, υ_M包含了Θ中的大部分能量。利用υ₁, υ₂, …, υ_M构成一个N×M维的正交矩阵U=[υ₁  υ₂  …  υ_M]，根据线性空间的相关知识，Θ区间内的任一方向的导向矢量都能够用U的列向量的进行线性表示^[12]。基于这一原理，可以将期望信号的导向矢量估计为υ₁, υ₂, …, υ_M的线性组合

$ \mathit{\boldsymbol{\hat a}}\left( {{\theta _0}} \right) = \mathit{\boldsymbol{Uy}} $

(6)

式中：y是一个M×1维的旋转向量，表示不同特征向量的系数。为求得旋转向量y，可以通过最大化期望信号的输出功率，为了避免出现模糊解，对y的模施加约束条件y^Hy=N，可以表示为

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\mathop {\min }\limits_y {\mathit{\boldsymbol{y}}^{\rm{H}}}{{\mathit{\boldsymbol{\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}} \over R} }}}_U}\mathit{\boldsymbol{y}}}\\ {{\rm{s}}.\;{\rm{t}}.\;\;{\mathit{\boldsymbol{y}}^{\rm{H}}}\mathit{\boldsymbol{y}} = N} \end{array} $

(7)

式中： ${{{\mathit{\boldsymbol{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{R}}}}}_{U}}={{\mathit{\boldsymbol{U}}}^{\rm{H}}}{{{\mathit{\boldsymbol{\hat{R}}}}}^{-1}}\mathit{\boldsymbol{U}}$ 。约束条件式(7)可以利用Lagrange乘子法进行求解，构造代价函数：

$ L\left( {\mathit{\boldsymbol{y}},\mathit{\boldsymbol{U}}} \right) = \frac{1}{2}{\mathit{\boldsymbol{y}}^{\rm{H}}}{{\mathit{\boldsymbol{\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}} \over R} }}}_U}\mathit{\boldsymbol{y}} + \mu \left( {N - {\mathit{\boldsymbol{y}}^{\rm{H}}}\mathit{\boldsymbol{y}}} \right) $

(8)

式中：μ是Lagrange乘数，L(y, U)对y求导并令其导数等于零，得到:

$ \frac{{\partial L\left( {\mathit{\boldsymbol{y}},\mathit{\boldsymbol{U}}} \right)}}{{\partial \mathit{\boldsymbol{y}}}} = {{\mathit{\boldsymbol{\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}} \over R} }}}_U}\mathit{\boldsymbol{y}} - \mu \mathit{\boldsymbol{y}} = 0 $

(9)

进一步整理可以得到:

$ {{\mathit{\boldsymbol{\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}} \over R} }}}_U}\mathit{\boldsymbol{y}} = \mu \mathit{\boldsymbol{y}} $

(10)

由式(10)，可知y可以看作是 ${{{\mathit{\boldsymbol{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{R}}}}}_{U}}$ 的最小特征值所对应的特征向量，设 ${{{\mathit{\boldsymbol{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{R}}}}}_{U}}$ 的最小特征值所对应的特征向量为y_U，y_U需要满足y_U^Hy_U=N，将所求得的y_U代入到式(6)中，得到初步估计的期望信号导向矢量为

$ \mathit{\boldsymbol{\hat a}}\left( {{\theta _0}} \right) = \frac{{\sqrt N }}{{\left\| {{\mathit{\boldsymbol{y}}_U}} \right\|}}\mathit{\boldsymbol{U}}{\mathit{\boldsymbol{y}}_U} $

(11)

需要指出的是 $\mathit{\boldsymbol{\hat{a}}}({{\theta }_{0}})$ )只是对期望信号导向矢量的初步估计，目的是提高波束形成器抗期望信号导向矢量失配的稳健性，由于 $\mathit{\boldsymbol{\hat{a}}}({{\theta }_{0}})$ 是Θ区间内的导向矢量的线性组合，易知当出现阵元位置误差，阵元之间互耦，幅相误差等引起阵列Θ内阵列流形向量出现失配时， $\mathit{\boldsymbol{\hat{a}}}({{\theta }_{0}})$ 的估计会出现较大的偏差，算法的性能会出现急剧恶化。

2.2 期望信号导向矢量的再次校正

为了进一步提高波束形成器在出现阵列流形向量误差时的稳健性，利用导向矢量不确定集约束对 $\mathit{\boldsymbol{\hat{a}}}({{\theta }_{0}})$ 进行再次的校正。导向矢量不确定集约束稳健波束形成方法(robust capon beamforming, RCB)最开始由Li等提出，通过将期望信号导向矢量约束在一个圆或椭圆集中^[13]，约束参数即为真实导向矢量与估计导向矢量的误差范数上界，然后在圆或椭圆集中迭代寻找最优解。这种方法的性能主要受约束参数的影响，而约束参数在实际情况中很难准确得到。为了避免这一问题，本文中将约束参数设定为 $\varepsilon =\left\| \mathit{\boldsymbol{\hat{a}}}({{\theta }_{0}})-\mathit{\boldsymbol{\bar{a}}}({{\theta }_{0}}) \right\|$ ，由于 $\mathit{\boldsymbol{\hat{a}}}({{\theta }_{0}})$ 和 $\mathit{\boldsymbol{\bar{a}}}({{\theta }_{0}})$ 都是已经估计得到的，从而避免了人为设定约束参数。

利用式(11)中估计得到的期望信号导向矢量 $\mathit{\boldsymbol{\bar{a}}}({{\theta }_{0}})$ ，构建球形不确定集约束的二次优化问题为

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\mathop {\min }\limits_{\mathit{\boldsymbol{\tilde a}}\left( {{\theta _0}} \right)} {{\mathit{\boldsymbol{\tilde a}}}^{\rm{H}}}\left( {{\theta _0}} \right){{\mathit{\boldsymbol{\hat R}}}^{ - 1}}\mathit{\boldsymbol{\tilde a}}\left( {{\theta _0}} \right)}\\ {{\rm{s}}.\;{\rm{t}}.\;\;\left\| {\mathit{\boldsymbol{\tilde a}}\left( {{\theta _0}} \right) - \mathit{\boldsymbol{\hat a}}\left( {{\theta _0}} \right)} \right\| \le \varepsilon } \end{array} $

(12)

式中： $\mathit{\boldsymbol{\tilde{a}}}({{\theta }_{0}})$ 表示校正后的期望信号导向矢量。为了减小计算量，可以利用Lagrange乘子法求解式(12)，具体求解过程见文献[13]，经过化简可以得到 $\mathit{\boldsymbol{\tilde{a}}}({{\theta }_{0}})$ 的表达式为

$ \mathit{\boldsymbol{\tilde a}}\left( {{\theta _0}} \right) = \mathit{\boldsymbol{\hat a}}\left( {{\theta _0}} \right) - {\left( {{\bf{I}} + \mathit{\boldsymbol{\tilde \lambda \hat R}}} \right)^{ - 1}}\mathit{\boldsymbol{\hat a}}\left( {{\theta _0}} \right) $

(13)

式中： ${\tilde{\lambda }}$ 为Lagrange乘子因子， ${\tilde{\lambda }}$ 可以通过求解如下约束方程获得，即

$ {\left\| {{{\left( {{\bf{I}} + \mathit{\boldsymbol{\tilde \lambda \hat R}}} \right)}^{ - 1}}\mathit{\boldsymbol{\hat a}}\left( {{\theta _0}} \right)} \right\|^2} = \varepsilon $

(14)

在求得 ${\tilde{\lambda }}$ 后，将 ${\tilde{\lambda }}$ 代入式(13)，即可得到校正后的期望信号导向矢量 $\mathit{\boldsymbol{\tilde{a}}}({{\theta }_{0}})$ ，利用校正后导向矢量即可求解自适应加权向量。

2.3 求解加权向量

利用校正后的期望信号矢量 $\mathit{\boldsymbol{\tilde{a}}}({{\theta }_{0}})$ )，根据式(4)，本文波束形成方法的自适应加权向量可以表示为

$ \mathit{\boldsymbol{\tilde w}} = \frac{{{{\mathit{\boldsymbol{\hat R}}}^{ - 1}}\mathit{\boldsymbol{\tilde a}}\left( {{\theta _0}} \right)}}{{{{\mathit{\boldsymbol{\tilde a}}}^{\rm{H}}}\left( {{\theta _0}} \right){{\mathit{\boldsymbol{\hat R}}}^{ - 1}}\mathit{\boldsymbol{\tilde a}}\left( {{\theta _0}} \right)}} $

(15)

综合以上分析，得到本文算法的求解步骤：

1) 利用式(5)，对Θ区间内导向矢量相关矩阵进行积分，得到G，对G特征分解，得到正交矩阵U；

2) 求解优化式(7)，得到旋转向量y_U，利用式(11)，得到初步估计的期望信号导向矢量 $\mathit{\boldsymbol{\hat{a}}}({{\theta }_{0}})$ ；

3) 利用 $\mathit{\boldsymbol{\hat{a}}}({{\theta }_{0}})$ ，构建不确定集约束下的二次优化式(12)，并根据式(13)和(14)，得到再次优化校正后的导向矢量 $\mathit{\boldsymbol{\tilde{a}}}({{\theta }_{0}})$ ；

4) 求解式(15)，得到最优加权矢量 ${\mathit{\boldsymbol{\tilde{w}}}}$ ，进行波束形成。

2.4 算法复杂度分析

本文的计算量主要在求解旋转向量y_U和期望信号导向矢量 $\mathit{\boldsymbol{\tilde{a}}}({{\theta }_{0}})$ 的校正，而y_U的求解需要特征分解，式(13)中 $\mathit{\boldsymbol{\tilde{a}}}({{\theta }_{0}})$ 的求解需要矩阵求逆，其计算复杂度都是O(N³)，所以本文的计算复杂度是O(N³)。最差情况性能最优化算法^[7]需要求解二阶锥优化问题，其计算复杂度是O(ρN³)，ρ是迭代次数，经验表明一般需10次左右。基于IPN矩阵重构的稳健波束形成算法^[9]其计算复杂度是O(SN²)，S是Θ的补集区间中的采样点数，S≫N。标准MVDR波束形成算法，文献[12]和文献[14]的计算复杂度都是O(N³)。可以看到本文算法的计算复杂度与MVDR算法在同一数量级上。

3 算法稳健性仿真实验与性能分析

考虑一个阵元数目为10的ULA阵，阵元间距为半波长。所加噪声为高斯白噪声，信号与干扰之间是统计无关的。如无特别说明，仿真试验中，期望信号的估计来波方向为3°, Θ设定为[-5°, 11°], Θ区间内每0.1°划分一个离散点用来计算矩阵G，Θ的补集Θ=[-90°, -5°)∪(11°, 90°]，本式(6)中U矩阵的特征向量个数M=2。将本文算法与对角加载算法，RCB方法，文献[8]算法，IPN矩阵重构算法，文献[12]算法以及文献[14]算法进行比较(由于文献[7]方法与RCB算法被证明是等效的，所以文献[7]方法不再列作比较)。其中对角加载算法的加载量是噪声功率的两倍, RCB算法的导向矢量误差范数按照文献中建议的设置设为0.3 N，文献[12]中的特征向量个数为5个。2个干扰分别位于-30°、50°方向，干噪比(interference to noise ratio，INR)为30dB，本文所有仿真结果数据均来自100次独立的蒙特卡罗实验。

3.1 无误差时的性能仿真与分析

仿真1：考察在期望信号导向矢量和阵列流形结构都准确已知，即所有估计的阵列流形向量都与实际一致时，本文算法的输出性能。图 1为几种算法在K=200时的输出SINR随输入信噪比(signal to noise ratio，SNR)变化曲线。

从图 1中可以看到，在不存在误差和失配时，IPN矩阵重构算法的输出SINR十分接近理论最优值，但是该算法计算量非常大；本文算法仅次于IPN矩阵重构算法，在低SNR时，与RCB方法、文献[12]、和文献[14]方法性能接近；但是在高SNR时，远优于这些算法。本文算法计算复杂度与文献[12]，文献[14]方法在同一水平，但输出性能最优。

为了更直观比较不同算法的计算复杂度，本文统计了各算法100次实验所需的计算时间，如表 1所示，仿真平台是Lenovo扬天M4 680 N计算机，4G内存。

从表 1中可以看到，文献[8]算法和IPN矩阵重构算法的所需的计算时间远超过其他算法，本文算法的计算时间与RCB算法、文献[12]算法以及文献[14]算法比较接近，略大于它们，但从图 1中可以看到，本文算法输出的SINR得到明显提升。

3.2 抗期望信号导向矢量DOA估计失配时的性能仿真与分析

仿真2：考察期望信号DOA估计出现随机误差时，本文算法的波束输出性能。设定期望信号DOA估计误差是在[-5°, 5°]的均匀分布，即真实来波方向是[-2°, 8°]上的均匀分布。图 2为几种算法在K=200时的输出SINR随输入SNR变化曲线，需要说明的是，DOA估计误差值在不同仿真实验时是变化的，但是每一次实验时是固定的，即不随快拍数变化。

从图 2中可以看出，当期望信号DOA估计出现失配时，对角加载算法的性能随SNR的增大急剧下降；RCB算法和文献[8]算法具有一定的稳健性，输出性能较对角加载算法有明显提升，但与理论最优值有很大的差距；文献[8]算法在信号功率与干扰功率接近时，会出现一个性能明显下降的过程，这是由于文献[8]算法约束条件较为松弛，在干扰与期望信号功率相同时，对信号与干扰的分辨能力下降造成的；IPN矩阵重构算法对期望信号导向矢量失配具有很好的稳健性，输出性能接近理论最优，这是由于其重构的IPN矩阵中不包含期望信号分量，因此受期望信号的影响较小；本文算法亦具有很好的输出SINR，尤其是在高SNR时，远优于RCB算法、文献[8]算法、文献[12]算法以及文献[14]算法，在整个SNR范围内有比较好的输出性能。

3.3 抗阵元位置误差性能仿真与分析

目前，多数稳健波束形成算法都是基于对阵列的流形向量准确已知的前提下建立的，在实际应用中，由于工艺水平及阵列所出的复杂环境等因素的影响都可能引起阵列误差(幅相误差、阵元间的互耦及阵元位置误差等)，导致实际阵列流形向量与理想阵列流形向量出现一定的偏差，此时阵列的输出性能也会出现明显下降。

本文利用不去确定集约束优化方法对初步估计的期望信号导向矢量进行了再次的校正，充分考虑了阵列流形向量误差的影响，因而，本文算法对阵元间的互耦及阵元位置误差等引起的阵列流形误差也具有较好的稳健性。

仿真3：考察在出现阵元位置误差时，本文算法的输出性能。假设由于阵元位置的扰动，而导致均匀直线阵的天线阵元位置误差出现偏差，设定每个阵元的真实位置偏离假想位置之间的误差值是[-0.075 λ, 0.075 λ]的一个随机值^[8]，λ表示信号波长，期望信号真实来波方向为5°，即出现2°偏差。图 3为几种算法在阵元位置误差下的输出性能比较。

从图 3(a)可以看到，存在阵元位置误差时，IPN矩阵重构算法在低SNR时性能出现明显下降，抗干扰性能急剧恶化，这是因为IPN矩阵重构算法在重构IPN矩阵时，需要准确的阵列流形信息，一旦出现阵元位置误差，阵列流形向量就会估计失配，导致重构的IPN矩阵出现较大的偏差；文献[12]算法也缺乏对阵元位置误差的稳健性，高SNR时性能下降较快；本文算法在整个SNR范围内都具有很好的输出SINR，低SNR时明显优于IPN矩阵重构算法，高SNR时，与IPN矩阵重构算法接近。在SNR=30 dB时，比文献[14]算法高出9.42 dB。从图 3(b)中可以看出，本文算法的输出SINR随快拍数的增大而增大，在快拍数较低时，输出SINR较低，这是因为此时对 ${{{\mathit{\boldsymbol{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{R}}}}}_{U}}$ 的特征分解不准确造成的。当K=150时，本文算法的SINR比IPN矩阵重构算法高出3.23 dB，比文献[14]算法高出1.24 dB。

3.4 抗阵列互耦的性能仿真与分析

仿真4：考察在阵列之间存在互耦的情况下，本文算法的抗干扰性能。考虑互耦因素时，阵列导向矢量需要修正表示为^[15]

$ \mathit{\boldsymbol{a}}\left( {{\theta _p}} \right) = \mathit{\boldsymbol{C\bar a}}\left( {{\theta _p}} \right),p = 0,1,2, \cdots ,P $

(16)

式中： $\mathit{\boldsymbol{\bar{a}}}({{\theta }_{p}})$ 表示估计的期望信号和干扰的导向矢量，矩阵C为互耦矩阵。易知，ULA阵的互耦矩阵具有的Toeplitz矩阵的特点，本文仅考虑相邻单元之间的互耦效应。因此，互耦矩阵C可以表示为：C=Toeplize{1, c₁, 0^1×8}，c₁表示相邻阵元之间的互耦系数，本文设定c₁=0.75e^-jπ/3。图 4为几种算法在阵元互耦效应下的输出性能比较。

从图 4(a)中可以看到，考虑阵元之间的互耦效应时，IPN矩阵重构算法在低SNR时性能下降十分明显，几乎没有对干扰的抑制能力；文献[8]算法也缺乏对阵元互耦效应的稳健性，在高SNR时性能下降较快；本文算法在整个SNR范围内都具有最高的输出SINR，表现出极强的抗互耦效应稳健性。从图 4(b)中可以看出，本文算法的输出SINR随快拍数的增大而增大，在快拍数较低时，输出SINR较低，这是由于此时对 ${{{\mathit{\boldsymbol{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{R}}}}}_{U}}$ 的特征分解不准确造成的，当K≥100时，输出SINR趋于稳定。在K=200时，本文算法的输出SINR比IPN矩阵重构算法高出1.01 dB，比文献[14]算法高出3.43 dB。

3.5 抗任意形式流形向量误差性能仿真与分析

仿真5：考察在出现任意形式流形向量误差时，本文算法的输出性能，这里阵列流形向量误差可以是DOA估计偏差，幅相误差或阵元互耦等引起的。此时，真实的阵列流形向量可以表示为^[16]

$ \mathit{\boldsymbol{a}}\left( {{\theta _p}} \right) = \mathit{\boldsymbol{\bar a}}\left( {{\theta _p}} \right) + \mathit{\boldsymbol{\hat e}},p = 0,1,2, \cdots ,P $

(17)

式中： ${\mathit{\boldsymbol{\hat{e}}}}$ 表示任意形式的导向矢量误差，是一个服从均值为0，方差为0.2的高斯分布的复随机向量。图 5为在任意形式流形向量误差下的输出性能比较。

从图 5(a)中可以看到，在出现任意形式流形向量误差时，IPN矩阵重构算法在低SNR时，性能较差；本文算法由于对期望信号导向矢量进行了双层优化估计，在出现任意形式流形向量误差时，也具有很好的输出SINR，且不需要借助优化软件，没有明显增加计算量，综合性能优于其他算法。从图 5(b)中可以看出，在SNR=20 dB时，本文算法性能随着快拍数增加，性能提高，在K≥100后，输出SINR趋于稳定，当K=300时，本文算法输出SINR比文献[14]算法高出0.97 dB，表现出很好的稳健性。

4 结论

1) 本文提出一种基于期望信号导向矢量双层估计的稳健波束形成方法，算法的基本思想是对期望信号导向矢量进行双层优化校正。仿真实验结果表明，经过双层校正后的算法对期望信号导向矢量失配、阵元位置误差以及阵元互耦等均具有极强的稳健性。

2) 从仿真结果中可以看到，文献[12]算法和IPN矩阵重构算法由于没有考虑阵列流形误差的影响，仅对期望信号导向矢量DOA估计失配有较好的稳健性；同时可以看到，导向矢量不确定集约束方法可以用来校正导向矢量的流形误差。

3) 本文算法用于抑制主瓣干扰和相干干扰的性能有待进一步考察，后续将开展相关研究。