共轨喷油器是高压共轨系统关键部件，直接影响喷油量波动、喷嘴内燃油的气液两相流动特性、缸内燃油雾化特性和油气混合质量。高速电磁阀是共轨喷油器的核心控制部件，高动态响应特性的高速电磁阀有利于提高共轨系统对循环喷油量、喷油定时和喷油规律的控制精度。

电磁力特性和运动件的质量共同决定高速电磁阀动态响应特性，电磁力特性比运动件的质量对高速电磁阀动态响应的影响更为显著，因此大量文献报道了高速电磁阀静态电磁力的研究。Liu、Sun等^[1-2]采用三维有限元方法，以电控单体泵上的高速电磁阀为研究对象，开展高速电磁阀结构参数对静态电磁力影响规律的研究。Cheng、Miller等^[3-4]采用有限元法进行高速电磁阀静态电磁力优化研究，获得了最优的电磁阀结构参数。在采用三维有限元法进行高速电磁阀设计优化时，其较长的求解时间使得设计工作效率下降。更为重要的是，共轨喷油器内高速电磁阀的工作过程涉及电磁、机械和液力的非线性瞬变耦合，电磁三维有限元法很难实现高速电磁阀的多物理场瞬变耦合计算。在研究电控高压共轨系统时，许多学者采用的是一维静态电磁力子模型与机械子模型、液力子模型耦合的研究方法开展相关科研工作^[5-8]。高速电磁阀一维静态电磁力数学模型的重要性不仅体现在电磁阀电磁转化特性研究，更体现在电磁阀多物理场耦合的动态响应特性研究。Topcu等^[9-11]在建立电磁阀一维数学模型时，认为电磁阀软磁材料的磁阻和气隙磁阻相比较小，在建模时可忽略电磁阀软磁材料的磁阻，即不考虑电磁力的饱和现象。Sefkat等^[12]在建立电磁数学模型时假设磁场是单调变化的，即磁场是不存在磁场饱和现象。然而，大量的研究结果表明，在共轨喷油器工作过程中，高速电磁阀必然产生电磁力饱和，尤其是在高驱动电流条件下。

综合以上，在高速电磁阀静态电磁力数学模型建立时，是需要考虑最大电磁力饱和这一现象，磁饱和现象不需要被考虑的这一不适当的假设条件会严重降低电磁阀在电磁转化预测方面的预测准确性。因此，本文根据高速电磁阀电磁瞬变耦合原理，以磁性材料的瞬态磁导率为桥梁，建立了考虑最大电磁力饱和的高速电磁阀静态电磁力数学模型。

1 高速电磁阀电磁力数学模型 1.1 高速电磁阀电路-磁路模型

图 1所示为高速电磁阀的结构示意图，高速电磁阀主要由铁芯、线圈和衔铁组成，为实现高速电磁阀大的电磁力，铁芯和衔铁通常是采用饱和磁感应强度大、剩磁小的软磁材料制造。

在高速电磁阀中，电磁阀总磁通和磁路总磁阻之间的关系为

$ \mathit{\Phi } = \frac{{NI}}{{{R_{{\rm{total}}}}}} $

(1)

式中：Φ为总的磁通量，N为线圈匝数，I为电流，R_total为电磁阀总磁阻。

为实现高速电磁阀电磁数学模型可以正确描述非线性磁化过程和磁饱和现象，电磁阀数学模型必须考虑电磁阀铁芯和衔铁等软磁材料的磁阻。此外，通常情况下，电磁阀的主副磁极对应的等效横截面积是不同的，为了使数学模型能够描述这种现象，把主副磁极对应的气隙磁阻分为用R_gap1和R_gap2表示。在电磁阀的计算过程中，忽略高速电磁阀气隙处的边缘效应和电磁阀的漏磁。图 2所示为高速电磁阀的等效磁路示意图。

根据图 2所示，高速电磁阀的总磁阻R_total计算公式为

$ {R_{{\rm{total}}}} = {R_{{\rm{gap1}}}} + {R_{{\rm{gap2}}}} + {R_{{\rm{arm}}}} + {R_{{\rm{iron}}}} $

(2)

式中：R_gap1为主磁极对应的气隙磁阻, R_gap2为副磁极对应的磁阻，R_arm为衔铁的磁阻，R_iron为铁芯的磁阻。相应地，各部分的磁阻计算公式如下

$ \begin{array}{l} {R_{{\rm{gap1}}}} = \frac{h}{{{\mu _0}{S_{{\rm{in}}}}}}, {R_{{\rm{gap2}}}} = \frac{h}{{{\mu _0}{S_{{\rm{out}}}}}}\\ {R_{{\rm{arm}}}} = \frac{{{r_8}}}{{2\mu {S_{{\rm{in}}}}}} + \frac{{{r_8}}}{{2\mu {S_{{\rm{out}}}}}} + \frac{{{l_d}}}{{\mu S''}}\\ {R_{{\rm{iron}}}} = \frac{{{l_b}}}{{\mu {S_{{\rm{in}}}}}} + \frac{{{l_b}}}{{\mu {S_{{\rm{out}}}}}} + \frac{{{l_a}}}{{\mu S'}} \end{array} $

(3)

式中：S_in为主磁极横等效截面积；S_out为电磁阀副磁极等效横截面积；h为电磁阀气隙宽度；l_b为电磁阀铁芯内部垂直方向的磁路等效长度；l_a为电磁阀铁芯内部水平方向的磁路等效长度；l_d为衔铁内部水平方向的磁路等效长度；μ为电磁阀软磁材料磁导率，由电磁阀的B-H基本磁化曲线确定；S″为衔铁内部对应l_d的磁路等效横截面积；S′为衔铁内部对应l_a的磁路等效横截面积。各部分磁路对应的平均磁路长度如下

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{l_{\rm{b}}} = \frac{{{r_1} + {r_2}}}{2}, {l_{\rm{a}}} = \frac{{{r_5} + {r_6} - {r_3} - {r_4}}}{4}, {l_{\rm{d}}} = {l_{\rm{b}}}}\\ {S' = {\rm{ \mathit{ π} }}\left( {{r_1} - {r_2}} \right)\frac{{{r_5} + {r_6} + {r_3} + {r_4}}}{4}}\\ {S'' = {\rm{ \mathit{ π} }}{r_8}\frac{{{r_5} + {r_6} + {r_3} + {r_4}}}{4}}\\ {{S_{{\rm{in}}}} = \frac{{\rm{ \mathit{ π} }}}{4}\left( {r_4^2 - r_3^2} \right), {S_{{\rm{out}}}} = \frac{{\rm{ \mathit{ π} }}}{4}\left( {r_6^2 - r_5^2} \right)} \end{array} $

(4)

最终，高速电磁阀电磁力的计算公式为

$ {F_{{\rm{mag}}}} = \frac{1}{2}\frac{{{\varphi ^2}}}{{{\mu _0}{S_{{\rm{in}}}}}} + \frac{1}{2}\frac{{{\varphi ^2}}}{{{\mu _0}{S_{{\rm{out}}}}}} $

(5)

1.2 B-H基本磁化曲线拟合公式

在高速电磁阀电磁力数学模型中，软磁材料磁导率μ一方面体现软磁材料磁阻对电磁阀电磁转化的影响，另一方面体现电磁阀驱动电流对磁阻的影响，上述所建立的电磁阀电磁力数学模型正是通过软磁材料磁导率实现高速电磁阀电-磁的瞬变耦合。磁性材料的B-H基本磁化曲线决定材料的瞬变磁导率，因此，B-H曲线拟合公式的准确性直接影响电磁阀电磁数学模型的预测准确性。

Jiles等^[13]提出了描述磁化现象和磁滞现象的Jiles-Atherton模型(简称J-A模型)，J-A模型广泛应用在电磁电机仿真计算等领域，但是在使用J-A模型进行计算时，需要对模型中的五个关键系数进行确定，而这五个系数通常是采用较复杂的数学方法并基于试验数据进行拟合确定的。Leite等^[14]采用遗传算法进行J-A模型系数的确定，并通过试验值和仿真值的最小均方差进行校核。Monia等^[15]研究了J-A模型中五个系数对磁性材料磁化过程的影响，发现五个系数中的每一个均明显影响磁化和磁滞数学模型预测的准确度。在使用J-A模型进行磁性材料磁化过程和磁滞过程描述时，模型中五个系数的精确确定给J-A模型在工程上的应用带来一定的困难。因此，急需寻找一种工程上应用简单且计算精度高的软磁材料B-H磁化曲线拟合公式，该拟合公式可正确描述磁性材料的非线性磁化特性和磁饱和现象。

Chan等^[16]假设磁性材料的磁滞回线是以B-H基本磁化曲线为对称轴分布的，由此得到计算软磁材料基本磁化曲线的数学模型：

$ \begin{array}{*{20}{c}} {B = \frac{1}{2}\left( {{B_s}\frac{{H + {H_c}}}{{\left| {H + {H_c}} \right| + {H_c}\left( {\frac{{{B_s}}}{{{B_r}}} - 1} \right)}} + } \right.}\\ {\left. {{B_s}\frac{{H - {H_c}}}{{\left| {H - {H_c}} \right| + {H_c}\left( {\frac{{{B_s}}}{{{B_r}}} - 1} \right)}}} \right)} \end{array} $

(5)

从图 3看出，Chan提出的公式仅能保证在初始磁化阶段和磁饱和阶段预测值和试验值具有较好的吻合性，而无法正确预测从初始磁化到接近磁饱和的变化过程。

一维商业软件AMESim^[17]在进行电磁过程计算时，采用式(6)进行电磁执行器电磁转化过程中磁性材料B-H磁化曲线的描述，式(6)中的待定系数A由式(7)确定:

$ B = {\mu _0}\left[{H + {M_s}\tanh \left( {\frac{H}{A}} \right)} \right] $

(6)

(7)

式中：M_s为饱和磁化强度，M_r为剩余磁化强度，B_s为饱和磁感应强度，H_s为饱和磁化强度对应的磁场强度，H_c为矫顽力，μ₀为真空磁导率。

从图 4看到，当采用AMESim软件提供的B-H曲线拟合式(6)和(7)时，预测值已经不能正确描述磁性材料真实的磁化过程。当采用式(6)时，式中的待定系数A不通过式(7)确定，而是根据试验的B-H磁化曲线调整，那么当A=5 000时，AMESim提供的拟合公式可以比较正确的描述磁性材料的磁化过程，但同式(6)存在的问题一样，该拟合公式仍无法准确地描述软磁性材料从初始磁化向磁饱和的过渡阶段。

从图 5所示的磁性材料(包括硬磁材料和软磁材料)B-H基本磁化曲线示意图上看到，随H的增加，B开始会迅速增大，但当H较大后，B不会随着H的增加而无限增大，而是逐渐接近最大磁饱和强度B_s，因此，所选择的拟合公式也应可以正确描述图 5中所示的B随H的变化规律。

在众多的函数形式中，对数函数log(x)所反映的曲线变化规律接近于图 5所示B-H基本磁化曲线的变化规律。选择对数函数的另一个重要的原因是，对数函数形式可以保证即使当H无限大时，随H的增加，B仍可以保持很小程度的增加，因为只有在H的整个变化区间内B一直在增大，磁导率μ(μ=ΔB/ΔH)才能保证不为零，这样式(5)、(6)才具有物理意义。此外，为减少B-H曲线拟合公式中系数的数量，确定以e为底的自然对数ln(x)的形式作为B-H曲线拟合公式的基本形式。对于每一种磁性材料，其基本磁化曲线均是从原点开始，即当H=0时B一定为零，而ln(x)对数是不存x=0点，因此把ln(x)对数转化成ln(x+1)的形式，这保证了ln(x+1)的拟合公式满足磁性材料B-H磁化曲线通过原点(0, 0)的物理意义，综合上述因素，确定了B-H曲线拟合公式的基本形式为

$ B = \ln \left( {H + 1} \right) $

(8)

每一种磁性材料具有不同的磁饱和强度B_s和最大磁导率μ_max，B_s值决定磁性材料磁饱和特性，μ_max决定磁化曲线的非线性磁化过程，为了实现B-H曲线拟合公式适用于任意的磁性材料的磁化曲线的拟合，需要在拟合公式中引入两个系数p₁和p₂，利用系数p₁调节拟合曲线所能达到的磁饱和强度B_s，利用系数p₂调节磁化曲线从初始磁化向临界磁饱和的转化过程。式(9)为在式(8)基础上引入系数p₁的拟合公式。从图 6可以看到，随着系数p₁的增加，拟合曲线的最大磁感应强度逐渐增大，特别是当p₁=0.2时，式(9)得到的拟合曲线在描述磁饱和强度方面和试验数据有着较好的吻合性，同时注意到，无论系数p₁取值多少，在初始磁化阶段，计算值和试验数据均存在着较大误差，已无法准确描述磁性材料在初始磁化阶段的非线性磁化过程。

$ B = {p_1}\ln \left( {H + 1} \right) $

(9)

式(10)为在式(8)基础上引入系数p₂的B-H曲线拟合公式。从图 7可以看到，随着系数p₂的增加，在初始磁化阶段，拟合曲线和试验数据的吻合性越来越好，特别是当p₂=0.000 9时，式(10)比较准确的描述了磁性材料的初始磁化过程，但注意到，由于没有在拟合曲线中引入系数p₁来限制最大磁感应强度，所以看到式(10)计算的最大磁感应强度随系数p₂的增加而增大。

$ B = \ln \left( {{p_2}H + 1} \right) $

(10)

从上面的分析可以看出，在拟合公式中需要引入系数p₁和p₂，以实现拟合公式对任何软磁材料具有普遍的适用性。式(11)为综合引入p₁、p₂系数后的B-H曲线拟合公式，式中系数p₁和p₂可通过在试验B-H基本磁化曲线上选择的两个数据点(H₁, B₁)和(H₂, B₂)来确定，点(H₁, B₁)推荐选在B_s/2处，如图 5所示，而点(H₂, B₂)推荐选在接近B_s处：

$ \begin{array}{*{20}{c}} {B = {p_1}\ln \left( {{p_2}H + 1} \right)}\\ {{p_1} = \frac{{{B_1}}}{{\ln \left( {{p_2}H + 1} \right)}}, {p_2} = \frac{1}{{{H_2} - {H_1}}}{{\rm{e}}^{\frac{{{B_2}}}{{{B_1}}}}}} \end{array} $

(11)

从图 8看到，拟合公式(11)给出的计算值和试验B-H曲线相差极大，分析产生这种现象的原因是p₁和p₂两个系数的同时引入会成倍增大拟合公式计算得到的最大磁感应强度。通过对式(11)分析发现，p₁的引入会骤然增大拟合公式的斜率，然而缺少p₁又会导致拟合公式无法实现描述磁饱和的现象的，因此，在式(11)的基础上，经过大量的计算分析确定：

$ \begin{array}{l} B = {p_1}\sqrt {\ln \left( {{p_2}H + 1} \right)} \\ {p_1} = \frac{{{B_1}}}{{\sqrt {\ln \left( {{p_2}H + 1} \right)} }}, {p_2} = \frac{1}{{{H_2} - {H_1}}}{{\rm{e}}^{\frac{{B_2^2}}{{B_1^2}}}} \end{array} $

(12)

从图 9所示的对比结果看到，式(12)所示的B-H曲线拟合公式预测的结果和试验值在整个磁化过程中具有非常好的吻合性，计算值和试验值最大误差不超过5%，该拟合公式不仅可以描述磁性材料的磁饱和现象(即磁饱强度)，而且还可以描述磁性材料的非线性磁化过程(从初始磁化向临界磁饱和发展)。

2 高速电磁阀静态电磁力数学模型验证

为验证所建立的高速电磁阀静态电磁力数学模型的正确性，采用图 10所示的电磁阀静态电磁力试验装置进行不同驱动电流下电磁阀静态电磁力的试验验证。表 1给出了该电磁阀静态电磁力试验装置主要仪器的测量精度。

表 2所示为所研究的高速电磁阀的详细结构参数。0.10 mm和0.12 mm的气隙是目前MAN公司和WARTSILA公司船用共轨喷油器高速电磁阀的气隙宽度，因此选用上述两种气隙下的电磁力试验数据进行上述电磁阀静态电磁力数学模型的验证。从图 11和12看到，在两种工作气隙下，在驱动电流1~18 A范围内，高速电磁阀静态电磁力数学模型计算结果和试验数据具有非常好的一致性，证明了所建立数学模型预测结果的准确性。

3 结论

1) 提出了具有普适性的B-H曲线拟合公式，计算值和试验值的对比表明了所提出的磁化曲线拟合公式可正确描述软磁材料的非线性磁化过程和磁饱和现象。

2) 在高速电磁阀静态电磁力数学模型中，通过磁性材料磁导率把磁性材料对电磁转化影响的因素引入到电磁阀数学模型中，基于电磁耦合原理，建立了考虑最大电磁力饱和的高速电磁阀静态电磁力数学模型，利用试验数据验证了该模型的正确性。

3) 基于上述建立的高速电磁阀静态电磁力数学模型，可开展结构参数对电磁阀电磁力的优化研究，为后期高速电磁阀的设计提供技术支撑。