在海洋资源和空间利用过程中，波浪荷载是海上浮式建筑物所受的主要荷载之一^[1]。由于波漂移力等波浪载荷的作用，海上浮式建筑物经常需要进行锚泊定位，波漂移力等波浪荷载直接影响着锚链等系缆的安全性和经济性^[2]。目前人们主要关注：通过改变海上浮式建筑物的水动力特性，提高结构强度和安全系数等方式来确保建筑物的安全。但是，建筑物仍置于恶劣海洋环境中这一事实并没有改变。本文基于一种全新的理念，通过在海上浮式建筑物周围布设一种海洋工程装备——浮体群(防护衣)，利用浮体群之间的群遮效应，从根本上降低波浪对海上浮式建筑物的作用。

cloaking的相关研究是近年非常新颖的国际前沿研究。cloaking最早是由Pendry等^[3]在电磁波研究领域发现。cloaking是指没有散射波向外辐射传播的现象。随后，这种现象被应用到其他领域中，Zigoneanu等在实验的基础上分别研究了声波和地震波的cloaking现象^[4-5]。水波领域cloaking现象的研究正处于初步发展阶段，Alam通过在浮体外围的水底安装Ripples，将表面重力波激发为内波，从而实现了对水面浮体的保护^[6]。Porter理论上验证了改变海底地形，实现单圆柱浮体cloaking现象的可能性^[7]。Newman通过在单圆柱浮体周围布设一定数量的圆柱浮体研究了群遮效应下的cloaking现象^[8]。计算结果表明:通过优化外围圆柱的尺寸参数, 中心圆柱的散射波能量可以减小到几乎为0。

波浪交互理论最先由Ohkusu^[9]应用于水波计算问题中，随后Kagemoto等^[10-11]进一步拓展了波浪交互理论在多浮体水动力计算中的应用。

本文中浮体群的布置方式与Newman^[8]的相同。为了提高计算精度，基于Kashiwagi^[12]的高阶边界元方法进行开发和模拟。浮体波漂移力采用Maruo^[13]的远场方法计算得到。基于波浪交互理论和高阶边界元法，本文计算了在不同外围浮体数时的群遮效应下，中心浮体、外围浮体以及整个浮体群的波漂移力。计算结果表明，群遮效应不仅可以降低中心浮体的波漂移力，而且可以降低整个浮体群的波漂移力。

1 数学模型及数值方法 1.1 速度势

数值模型以拉普拉斯方程为基本控制方程。假设流体不可压缩并且无粘、无旋，这样流场可以用速度势表达。速度势Φ(x, y, z; t)满足线性边界条件。

根据线性叠加定理，速度势可以表达为

$ \mathit{\Phi }\left( {x,y,z;t} \right) = {\mathop{\rm Re}\nolimits} \left[ {\frac{{g{\zeta _I}}}{{i\omega }}\varphi \left( P \right){{\rm{e}}^{{\rm{i}}\omega t}}} \right] $

其中

$ \varphi \left( P \right) = {\varphi _I}\left( P \right) + \psi \left( P \right) $

式中：ζ_I和ω表示入射波波幅和圆频率，P(x, y, z)表示流场中的点，φ(P)为入射势φ_I(P)与扰动势ψ(P)之和。

入射势可以在柱坐标系中表示为

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{\varphi _I}\left( P \right) = \frac{{\cosh \left( {{k_0}\left( {z - h} \right)} \right)}}{{\cosh \left( {{k_0}h} \right)}}{{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}{k_0}\left( {x\cos \beta + y\sin \beta } \right)}} = }\\ {\sum\limits_{m = - \infty }^\infty {{\alpha _m}{Z_0}\left( z \right){{\rm{J}}_m}\left( {{k_0}r} \right){{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}m\theta }}} } \end{array} $

(1)

其中

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{\alpha _m} = {{\rm{e}}^{{\rm{i}}m\left( {\beta - \frac{\pi }{2}} \right)}},{Z_0}\left( z \right) = \frac{{\cosh \left( {{k_0}\left( {z - h} \right)} \right)}}{{\cosh \left( {{k_0}h} \right)}},}\\ {\frac{{{\omega ^2}}}{g} = {k_0}\tanh \left( {{k_0}h} \right)} \end{array} $

式中：β表示入射波与x轴的夹角，h表示有限水深。

Kagemoto等^[10]详细地介绍了波浪交互理论。这一理论，可充分考虑浮体群之间的波浪相互干涉作用。当外围浮体数为N时，ψ(P)可以表示为

$ \begin{array}{l} \psi \left( P \right) = \sum\limits_{n = 1}^{N + 1} {{\psi ^n}\left( P \right)} \approx \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\sum\limits_{m = - \infty }^\infty {{A_m}{Z_0}\left( z \right){\rm{H}}_m^{\left( 2 \right)}\left( {{k_0}r} \right){{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}m\theta }}} \end{array} $

式中H_m⁽²⁾表示m阶的第二类汉克尔函数。

$ {A_m} = \sum\limits_{n = 1}^{N + 1} {\sum\limits_{l = - \infty }^\infty {A_l^n{{\rm{J}}_{l - m}}\left( {{k_0}{L_{no}}} \right){{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}\left( {l - m} \right){\alpha _{no}}}}} } $

由Maruo^[13]的远场方法可知，浮体群外一定距离处速度势的远场表达式为

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\varphi \left( P \right) = {\varphi _I}\left( P \right) + \psi \left( P \right) = }\\ {\sum\limits_{m = - \infty }^\infty {\left[ {{\alpha _m}{J_m}\left( {{k_0}r} \right) + {A_m}{\rm{H}}_m^{\left( 2 \right)}\left( {{k_0}r} \right)} \right]{Z_0}\left( z \right){{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}m\theta }}} } \end{array} $

为进一步得到第n个浮体的速度势，在第n个浮体上引入局部柱坐标系。此时第n个浮体的入射势由式(1)给出的全局入射势和其他浮体产生的扰动势两部分组成，因此总的速度势可表示为

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{\varphi ^n}\left( p \right) = \psi _I^{\left( n \right)}\left( p \right) + {\psi ^n}\left( p \right) = }\\ {\left( {\varphi _I^{\left( n \right)}\left( p \right) + \sum\limits_{k = 1,k \ne n}^{N + 1} {{\psi ^{kn}}\left( p \right)} } \right) + {\psi ^n}\left( p \right) = }\\ {\sum\limits_{m = - \infty }^\infty {\left[ {\left( {\alpha _m^n + \sum\limits_{k = 1,k \ne n}^{N + 1} {A_m^{kn}} } \right){{\rm{J}}_m}\left( {{k_0}{r_n}} \right) + A_m^n{\rm{H}}_m^{\left( 2 \right)}\left( {{k_0}{r_n}} \right)} \right]} \times }\\ {{Z_0}\left( z \right){{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}m{\theta _n}}}} \end{array} $

(2)

其中

$ \begin{array}{*{20}{c}} {A_m^{kn} = \sum\limits_{l = - \infty }^\infty {A_l^k{\rm{H}}_{l - m}^{\left( 2 \right)}\left( {{k_0}{L_{kn}}} \right){{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}\left( {l - m} \right)}}{\alpha _{no}}} }\\ {\alpha _m^n = {\alpha _m}{{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}{k_0}\left( {{x_{on}}\cos \beta + {y_{on}}\sin \beta } \right)}}} \end{array} $

1.2 波漂移力

Kashiwagi等采用朗斯基矩阵推导出了波漂移力的表达式^[14]。本文采用同样的方法，利用式(2)可以得到第n个浮体的波漂移力：

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{F_x^n - iF_y^n}}{{\rho g\zeta _I^2d/2}} = }\\ {\frac{i}{{{C_0}Kd}}\sum\limits_{m = - \infty }^\infty {\left\{ {2A_m^nA_{m + 1}^{n * } + \left( {\alpha _{m + 1}^{n * } + \sum\limits_{k = 1,k \ne n}^{N + 1} {A_{m + 1}^{kn * }} } \right)A_m^n + } \right.} }\\ {\left. {\left( {\alpha _m^n + \sum\limits_{k = 1,k \ne n}^{N + 1} {A_m^{kn}} } \right)A_{m + 1}^{n * }} \right\}} \end{array} $

(3)

2 波漂移力数值模拟结果与分析

为了准确计及浮体间相互作用情况下的二阶漂移力，本文采用了两种坐标系，如图 1所示。一种是放置在中心浮体上的全局坐标系o-xyz，一种是放置在第n个浮体上的局部坐标系o_n-x_ny_nz_n。除了笛卡尔坐标系外，本文还采用了柱坐标系；z轴竖直向上，每一个坐标系的原点位于未扰动的自由表面(z=0)。

2.1 浮体群模型

Newman^[8]研究了入射波数为K=1.0时，多浮体群遮效应下的散射波能量。

计算结果表明：通过优化外围浮体的吃水、直径以及外围浮体与中心浮体的距离等参数，可以使浮体群的散射波能量减小到几乎为0，即cloaking现象产生。对应的外围浮体尺寸参数与散射波能量，如表 1所示。

本文采用同Newman^[8]相同的布置方式，入射波方向为x轴负方向，如图 2所示。多个圆柱(N=4, 8, 16)规律地环绕在中心圆柱的周围，并构成一个同心圆。外围圆柱尺寸相同且等间距分布，中心圆柱的半径r=0.5，吃水d=1.0，如图 3所示。本文中波漂移力进行了无量纲化处理:F=2F_x/ρgζ_I²d，其中F_x为x方向的波漂移力，ρ为流体密度，g为重力加速度，ζ_I为入射波波幅，d为浮体吃水。表 1中同时给出了本文关于所需保护浮体波漂移力的计算结果。

图 4为表 1中衰减系数与外围浮体数N的关系。从图 4可以看出，随着外围浮体数的增多，散射波能量逐渐较小并趋近于0。本文针对需保护浮体的波漂移力计算结果(图中F/F₀)与散射波能量(图中E/E₀)的变化趋势相同，验证了群遮效应对波漂移力的低减作用。需要指出的是：在外围浮体数N>8后，群遮效应对波漂移力的低减效果增加并不明显，建议工程应用时，外围浮体数不大于8即可。

2.2 波漂移力与波数的关系

本节采用表 1中的外围浮体尺寸参数，计算了波漂移力与入射波数K之间的关系。图 5给出了不同外围浮体数(N=4, 8, 16)的中心浮体、浮体群以及外围浮体的漂移力(合力)。

在图 5中可以看出孤立圆柱(N=0)的波漂移力随着波数的增加而增加。图 5(a)是中心圆柱的波漂移力，可以发现在外围布设圆柱浮体后，中心圆柱的波漂移力相比于单个圆柱发生了明显的变化，这是因为多浮体之间产生了复杂的波浪相互干涉。在波数K=1.0时，中心圆柱的波漂移力相对于单个圆柱浮体的波漂移力明显较小，显示了群遮效应对波漂移力的低减作用；与Newman^[8]关于散射波能量的研究结论一致，并且外围浮体的数量越多，群遮效果越明显。图 5(b)、(c)分别给出了对应的浮体群和外围浮体的漂移力。可以看到，波漂移力在波数K=1.0时，几乎同样减小到0，这表明群遮效应不仅可以降低中心海上建筑物的波漂移力，也可以降低整个浮体群的波漂移力。

图 6给出了每个外围浮体的波漂移力，由于浮体布设的对称性，只需给出其中一半浮体结果即可(浮体编号如图 2所示)。从图 6(a)中可以看出，两圆柱的波漂移力在K=1.0时，方向相反、大小近似；图 5(b)中1号圆柱与4号圆柱的的波漂移力方向相反、大小近似，2号和3号圆柱的波漂移力几乎为0；图 5(c)中1号圆柱与8号圆柱、2号圆柱与7号圆柱、3号圆柱与6号圆柱的波漂移力在K=1.0时方向相反、大小近似，而4号圆柱与5号圆柱的波漂移力几乎为0。这表明正是由于结构关于y轴的对称性，才使得在群遮效应发生时整个浮体群的漂移力合力也减小到几乎为0。还需要指出的是，迎浪侧圆柱的波漂移力绝对值变化较大，特别是1号圆柱的变化最大；并且，由于波浪复杂相互干涉作用，在某些波数范围内迎浪侧的圆柱波漂移力变为负值(与入射波方向相反)。

2.3 波漂移力与外围浮体数N的关系

本文中的外围圆柱浮体的尺寸参数采用的是Newman^[8]在波数K=1.0时以散射波能量为目标函数的优化结果，如表 1所示。本节在计算波数K=1.0情况下不同外围浮体数(N=4, 8, 16)的波漂移力之外，采用同样的外围圆柱尺寸还给出了其他波数(K=0.1, 0.5, 1.5, 2.0)下的波漂移力，计算结果如图 7所示。

从图 7中可以看出，在波数K=1.0时，中心圆柱的波漂移力与浮体群的波漂移力合力都随着外围浮体数的增加而减小，而在其他波数则不存在这样的规律。说明针对不同的入射波频率，特别是大波数情况，需要分别优化外围浮体的尺寸参数才能实现多浮体的群遮效应。

2.4 本文方法与Fang等提出的方法的对比

对于多浮体波漂移力的计算，Fang等^[15]提出了一种忽略浮体间相互干涉效应的简便计算方法。针对中心浮体波漂移力，本节给出了本文方法与Fang等^[15]方法的对比结果，如图 8所示。

图 8(a)为孤立圆柱时的波漂移力，本文计算结果与Fang等^[15]计算结果一致。图 8(b)、(c)中两种方法的计算结果出现了差异，特别是在波数K=1.0附近。群遮效应是由于波浪复杂相互干涉作用即产生的，Fang等^[15]的方法因忽略了波浪的相互干涉，而在波数K=1.0(即群遮效应最显著点)，计算结果误差较大。此外，在小波数(长波)范围内，Fang等^[15]的方法与本方法的计算结果吻合较好，这是因为小波数情况下，波浪的相互干涉作用并不明显，可以忽略。但是在大波数情况下，浮体间的波浪干涉作用更加复杂，此时不可以忽略波浪干涉对浮体波漂移力的影响。

3 结论

1) 群遮效应不仅可以降低中心海上建筑物的波漂移力，也可以降低整个浮体群的波漂移力。

2) 在目标波数下(K=1.0)，中心浮体的波漂移力随着外围浮体数的增多而单调递减并逐渐趋于0。

3) 不同入射波频率，发生群遮效应所对应的外围浮体尺寸不同。

4) 本文建立的数值模型计及了浮体间的波浪相互干涉作用，对群遮效应的预报更加准确。