自上世纪60年代美国建筑师Fuller提出张拉整体的概念至今，凭借其优越的结构特性，已经成为研究热点之一。Geiger在张拉整体概念的基础上发展出了索穹顶结构体系，在建筑领域得到广泛应用^[1-5]；国内学者如袁行飞等提出的环形张拉整体结构^[6]以及罗尧治等构建的平板型张拉整体结构^[7]等，在张拉整体基本单元基础上进行的拓扑研究取得了一些进展。

国内外张拉整体结构的研究主要集中于结构的构型拓扑上，而对于结构力学性能方面的研究较少。三杆张拉整体结构作为张拉整体结构体系中最为常见、最为基础的基本单元，大部分的张拉整体结构研究都是在其基础上发展起来。所以三杆张拉整体结构的力学性能，也将决定着以其为基础所构建更为复杂的张拉整体结构的力学性能。本文将研究在轴向外载和扭转力矩的作用下，预紧力、弹性模量，构件截面尺寸对三杆张拉整体结构的轴向变形、径向变形和扭转变形的影响，从而获得提高张拉整体结构刚度的措施，为张拉整体的研究与应用提供一定的理论支持。

1 张拉整体结构的数学模型

如图 1所示的三杆张拉整体结构，其中3根粗线表示杆构件，6个小圆圈表示节点，节点1、2、3之间的细线表示下端面水平索构件，节点4、5、6之间的细线表示上端面水平索构件，上下端面节点之间的细线表示斜索构件，h表示结构高度，R表示上下端面的外接圆半径，φ表示上端面与下端面的相位角。分析该结构的刚度时，需要各构件向量，因此，本文将从节点矩阵和连接矩阵入手，建立此三杆张拉整体结构数学模型。

1.1 节点矩阵

对于三杆张拉整体结构，其下端面的三个节点坐标通式可以表示为

$ {\mathit{\boldsymbol{n}}_i} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {R\cos \left( {\frac{{2{\rm{ \mathit{ π} }} \cdot \left( {i - 1} \right)}}{3}} \right)}\\ {R\sin \left( {\frac{{2{\rm{ \mathit{ π} }} \cdot \left( {i - 1} \right)}}{3}} \right)}\\ 0 \end{array}} \right] $

(1)

式中i=1，2，3。

上端面的三个节点坐标通式可以表示为

$ {\mathit{\boldsymbol{n}}_j} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {R\cos \left( {\frac{{2{\rm{ \mathit{ π} }} \cdot \left( {j - n - 1} \right)}}{3} + \frac{{\rm{ \mathit{ π} }}}{2} + \frac{{\rm{ \mathit{ π} }}}{3}} \right)}\\ {R\sin \left( {\frac{{2{\rm{ \mathit{ π} }} \cdot \left( {j - n - 1} \right)}}{3} + \frac{{\rm{ \mathit{ π} }}}{2} + \frac{{\rm{ \mathit{ π} }}}{3}} \right)}\\ h \end{array}} \right] $

(2)

式中j=4，5，6

因此，三杆张拉整体结构的节点矩阵可以表示为

$ \mathit{\boldsymbol{N}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{n_1}}&{{n_2}}&{{n_3}}&{{n_4}}&{{n_5}}&{{n_6}} \end{array}} \right] $

(3)

1.2 构件连接矩阵

在三杆张拉整体结构的数学模型中，无论是杆还是索，都是以一个节点为构件起点，另一个节点为构件终点，由此可以列出各个构件与节点之间的关系，这个关系可以用矩阵表示，并将该矩阵称为连接矩阵。在连接矩阵中，构件起点对应元素为“-1”，构件终点对应元素为“1”。

如图 1所示的三杆张拉整体结构，杆构件及其两端节点具体连接情况如表 1所示。

根据杆构件及其两端节点的情况，可以推导出杆构件的连接矩阵，用C_B^T表示：

$ \mathit{\boldsymbol{C}}_B^{\rm{T}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&0&0\\ 0&{ - 1}&0\\ 0&0&{ - 1}\\ 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{array}} \right] $

(4)

而索构件及其两端节点情况和索构件的连接矩阵分析方法与杆构件相同，此处就不再赘述。

1.3 构件矢量矩阵

利用节点矩阵和连接矩阵就可以获得相应构件向量。所有杆构件组成结构的杆向量矩阵，其表达形式为

$ \mathit{\boldsymbol{B}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\mathit{\boldsymbol{b}}_1}}&{{\mathit{\boldsymbol{b}}_2}}&{{\mathit{\boldsymbol{b}}_3}} \end{array}} \right] = \mathit{\boldsymbol{NC}}_B^{\rm{T}} $

(5)

式中b_i(i=1，2，3) 表示第i根杆向量。

同理，此三杆张拉整体结构的9根索构件向量组成结构的索向量矩阵，其表达形式为

$ \mathit{\boldsymbol{S}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\mathit{\boldsymbol{s}}_1}}&{{\mathit{\boldsymbol{s}}_2}}& \cdots &{{\mathit{\boldsymbol{s}}_9}} \end{array}} \right] = \mathit{\boldsymbol{NC}}_S^{\rm{T}} $

(6)

式中：s_i(i=1，0，2，…，9) 表示第i根索向量，前6列表示水平索向量，后3列表示斜索向量。

2 张拉整体的结构刚度分析 2.1 结构刚度矩阵

张拉整体结构的结构刚度是反映结构中节点受力与位移的关系，因此在对它进行刚度分析时，其整体的受力变形关系可以表示为

$ \mathit{\boldsymbol{F}} = \mathit{\boldsymbol{K}}\delta $

(7)

式中：F为结构节点所受的外载向量，K为结构的刚度矩阵，δ为结构的节点位移向量。

对于任意张拉整体结构，除了构件材料的力学性能对结构刚度有所贡献外，构件内部用于维持结构自平衡的初始预紧力对结构刚度也起着重要影响。因此张拉整体的结构刚度矩阵K由两部分组成，即

$ \mathit{\boldsymbol{K = }}{\mathit{\boldsymbol{K}}_e} + {\mathit{\boldsymbol{K}}_g} $

(8)

式中：K_e为构件材料的力学性能对结构刚度的贡献，称为弹性刚度矩阵，K_g为预紧力对结构刚度的贡献，称为几何刚度矩阵。

2.2 弹性刚度矩阵

弹性刚度矩阵是反应构件抵抗轴向变形的能力，其主要参数有弹性模量，构件尺寸等，本文采用有限元法，首先从构建构件单元的弹性刚度矩阵出发。

对于图 2所示以i、j为两端节点的构件单元，其受力变形关系如下：

$ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{F_{ix}}}\\ {{F_{iy}}}\\ {{F_{iz}}}\\ {{F_{jx}}}\\ {{F_{jy}}}\\ {{F_{jz}}} \end{array}} \right] = \mathit{\boldsymbol{K}}_e^{ij} \cdot \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\delta _{ix}}}\\ {{\delta _{iy}}}\\ {{\delta _{iz}}}\\ {{\delta _{jx}}}\\ {{\delta _{jy}}}\\ {{\delta _{jz}}} \end{array}} \right] $

(9)

$ \mathit{\boldsymbol{K}}_e^{ij} = \frac{{EA}}{{{l_{ij}}}} \cdot \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} \mathit{\boldsymbol{X}}&{ - \mathit{\boldsymbol{X}}}\\ { - \mathit{\boldsymbol{X}}}&\mathit{\boldsymbol{X}} \end{array}} \right] $

(10)

$ \mathit{\boldsymbol{X}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\cos }^2}\alpha }&{\cos \alpha \cdot \cos \beta }&{\cos \alpha \cdot \cos \gamma }\\ {\cos \alpha \cdot \cos \beta }&{{{\cos }^2}\beta }&{\cos \beta \cdot \cos \gamma }\\ {\cos \alpha \cdot \cos \gamma }&{\cos \beta \cdot \cos \gamma }&{{{\cos }^2}\gamma } \end{array}} \right] $

(11)

式中：K_e^ij即为构件单元弹性刚度矩阵，E为构件单元弹性模量，A为构件单元横截面积，l_ij为单元长度，α、β以及γ分别为构件单元与局部坐标系x轴、y轴以及z轴的夹角。

由于每个构件单元的弹性刚度矩阵是基于不同局部坐标系下建立起来的，因此在求取结构弹性刚度矩阵时，必须引入相应的协调矩阵进行坐标转换，坐标转换方法如下^[8-11]：

$ \mathit{\boldsymbol{K}}_{em}^A = {\mathit{\boldsymbol{T}}^{\rm{T}}} \cdot \mathit{\boldsymbol{K}}_e^{ij} \cdot \mathit{\boldsymbol{T}} $

(12)

式中：K_em^A为整体坐标系下的构件单元弹性刚度矩阵，T为协调矩阵。

将所有坐标系转换后的构件单元弹性刚度矩阵求和，K_e即为所求结构弹性刚度矩阵：

$ {\mathit{\boldsymbol{K}}_e} = \sum\limits_{m = 1}^{4n} {\mathit{\boldsymbol{K}}_{em}^A} $

(13)

式中n为张拉整体结构的杆数目。

2.3 几何刚度矩阵

张拉整体结构几何刚度反映了构件抵抗内力方向发生改变的能力^[12]，决定它的重要参数是构件内部的初始预紧力，而获取初始预紧力的首要步骤是建立结构的力平衡方程。本文通过结构中各节点的受力分析，得到结构的力平衡方程，即

$ \mathit{\boldsymbol{AT}} = \mathit{\boldsymbol{W}} $

(14)

式中：A为结构平衡矩阵^[13]，T为结构的构件预紧力向量，W为结构的节点外载荷向量。

当结构所受外载为0时，结构将处于自稳定状态，这时的构件内力即为其初始预紧力。通过求解外载为0时的平衡方程，即可获得各构件的初始预紧力。

实际上，平衡矩阵A存在着N阶酉阵、半正定的N×M阶对角矩阵以及M阶酉阵^[14]：

$ {\mathit{\boldsymbol{A}}_{N \times M}} = {\mathit{\boldsymbol{U}}_{N \times N}} \cdot {\mathit{\boldsymbol{S}}_{N \times M}} \cdot {\mathit{\boldsymbol{V}}_{M \times M}} $

(15)

式中：N代表结构自由度；M代表构件数目，矩阵S的对角线元素就是AA^*及A^*A的奇异值，个数与平衡矩阵的秩相等，U和V的列组成了平衡矩阵正交的基向量，分别张拉整体结构的位移模态向量和自应力模态向量。

当此结构的自应力模态数为s(矩阵A的列数M与其秩的差值)时，V的右侧s列向量组成了此平衡方程的零空间正交基V_M×S^Null，即：

$ \mathit{\boldsymbol{V}}_{M \times S}^{{\rm{Null}}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\mathit{\boldsymbol{v}}_1}}&{{\mathit{\boldsymbol{v}}_2}}& \cdots &{{\mathit{\boldsymbol{v}}_s}} \end{array}} \right\} $

(16)

根据上式，那么初始预紧力密度T可以如下表示

$ \mathit{\boldsymbol{T = V}}_{M \times S}^{{\rm{Null}}} \cdot \mathit{\boldsymbol{\lambda }} $

(17)

$ \mathit{\boldsymbol{\lambda }} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\lambda _1}}&{{\lambda _2}}& \cdots &{{\lambda _s}} \end{array}} \right]^{\rm{T}}} $

(18)

式中：λ为零空间正交基底的组合系数向量，其元素可以为任意实数。

通过上述方法即可计算获得一组初始预紧力向量：

$ \mathit{\boldsymbol{T}} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{t_1}}&{{t_2}}& \cdots &{{t_{4n}}} \end{array}} \right]^{\rm{T}}} $

(19)

由计算结果发现，由于张拉整体结构的对称性，所以同类构件的预紧力相同，T中1~2n行为水平索预紧力，2n~3n行为斜索预紧力，3n~4n行为杆预紧力。其中，n为杆数目。

在获得构件初始预紧力密度后，则可以进行构件单元几何刚度矩阵的构建。与构建弹性刚度矩阵时的受力位移分析相同，构件的预紧力与位移之间的关系可以表示为

$ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{T_{ix}}}\\ {{T_{iy}}}\\ {{T_{iz}}}\\ {{T_{jx}}}\\ {{T_{jy}}}\\ {{T_{jz}}} \end{array}} \right] = \mathit{\boldsymbol{K}}_g^{ij} \cdot \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\delta _{ix}}}\\ {{\delta _{iy}}}\\ {{\delta _{iz}}}\\ {{\delta _{jx}}}\\ {{\delta _{jy}}}\\ {{\delta _{jz}}} \end{array}} \right] $

(20)

$ \mathit{\boldsymbol{K}}_g^{ij} = {t_m} \cdot \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} E&{ - E}\\ { - E}&E \end{array}} \right] $

(21)

式中：K_g^ij为构件单元的几何刚度矩阵，E为三阶单元矩阵，t_m为构件单元对应的预紧力，m=1，2，…，n。

同样，求取结构几何刚度矩阵需要引入协调矩阵，且与弹性刚度矩阵所引入的协调矩阵一致，则整体坐标系下的构件单元几何刚度矩阵K_gm^A：

$ \mathit{\boldsymbol{K}}_{gm}^A = {\mathit{\boldsymbol{T}}^{\rm{T}}} \cdot \mathit{\boldsymbol{K}}_g^{ij} \cdot \mathit{\boldsymbol{T}} $

(22)

将所有坐标系转换后的构件单元弹性刚度矩阵求和，K_g即为所求结构弹性刚度矩阵：

$ {\mathit{\boldsymbol{K}}_g} = \sum\limits_{m = 1}^{4n} {\mathit{\boldsymbol{K}}_{gm}^A} $

(23)

式中n为张拉整体结构的构件数目。

3 受载仿真计算分析

本文选用的三杆张拉整体结构数学模型的具体结构参数如表 2所示，而力学参数可以根据三杆张拉整体的构件自应力平衡关系，按照2.3节中的方法求得。初始杆力为10 N，水平索力为4.260 N，斜索力为6.093 N。

对此张拉整体结构分别施加轴向外载与扭转力矩，研究预紧力、构件弹性模量、构件尺寸等对结构的变形影响，而弹性模量在计算过程中与横截面积是乘积关系，因此本文只作横截面积的参数分析。此张拉整体结构在外力的作用下，将发生轴向变形、端面外接圆直径的变化、上下端面扭转三种主要变形。下面将对此结构施加轴向力和扭转力矩，通过Matlab软件编程分析，获得上述三种变形数据，研究各参数对结构刚度的影响。

首先以上端面三个节点为施力点，并沿结构轴线向下的方向施加载荷为20 N，所获得的分析结果如表 3以及图 3所示。由表可知，在轴向载荷下，随着预紧力的增加，轴向位移、径向位移以及扭转角的变化量都减小。而且在预紧力增加的初期，各变形量减小趋势显著。

在进一步增大预紧力的情况下，通过计算获取的位移变形数据如表 4以及图 4所示，以轴向位移为例，当预紧力由6倍初始预紧力增加到7倍初始预紧力，位移变化量仅仅为0.366，因此当预紧力达到6倍初始预紧力时，若继续增加预紧力，那么三类变形的变化敏感度明显下降。即当所有构件的预紧力都超过外载时，利用预紧力的增加来减小结构各方面变形的效果就不显著了。

同类构件截面变化对结构变形的影响如表 5所示。在轴向载荷下，改变同类构件的横截面积，结构的轴向位移、径向位移以及扭转角都整体维持在一个恒定值。因此，在构件的弹性变形范围内，三杆张拉整体结构的构件截面尺寸的改变对结构的各方面的刚度影响都很小。在此类载荷的作用下，构件的弹性模量对结构的各方面刚度的影响也很小。

按照上面的分析方法，将上端面三个节点作为施力点，对结构施加扭转载荷为3 N·m。通过分析可知，在扭转载荷作用下，随着预紧力的增加，此结构各方向的位移急剧下降，而后下降趋势逐渐趋于平稳，最后保持定值。这与轴向载荷作用下的预紧力对结构刚度的影响类似，此外，在结构位移变化趋于定值时，也必然存在预紧力与结构外载之间的数量关系，而通过力与力矩的对比显然无法直观的反应两者之间的关系，因此采取将力矩分解为等效节点力的措施，即上端面每个节点承受外力约为6.7 N，总外力为20 N。将扭矩等效为水平节点力后，再通过增加预紧力获得的数据如表 6以及图 5所示，当预紧力增加到6倍左右时，三类位移受预紧力增大的影响明显下降，而此时各构件的预紧力恰好都大于总外力，因此可以得到与轴向载荷情况下同样的结论，即只有当所有构件预紧力都大于外载荷时，结构的三类位移趋于定值。

在扭转载荷下，构件的横截面积对此结构的轴向位移、径向位移以及扭转角的影响与在轴向载荷下的情况也类似，三类变形几乎恒定不变。同理，在此类载荷作用下，构件弹性模量对三类变形的影响也可以忽略。

通过上面计算结果分析可知，预紧力对三杆张拉整体结构的各方面变形都有显著影响，构件的截面尺寸和弹性模量对结构各方面的变形的影响却很小。但是随着预紧力逐渐增大，结构各方面变形的变化量也逐渐减小，即预紧力达到一定程度时，预紧力对结构刚度的影响逐渐减小，结构刚度几乎趋于不变，这是由于当预紧力无限增大，结构的刚化不断加强，使得整个结构更趋近于一个刚性结构，对于一般的刚性结构而言，弹性刚度为结构的唯一刚度，而要显著改变“刚性”张拉整体结构的刚度势必要使预紧力发生与弹性刚度相同数量级的改变，显然这是不明智的，且索的抗拉强度、杆的抗压强度也面临着挑战。

4 结论

1) 预紧力对张拉整体结构的结构刚度影响很大。随着预紧力的增加，结构刚度将增加，其各方面变形将减小。但随着预紧力逐渐增加，结构刚度改善的有效性降低。

2) 构件的弹性模量和横截面积对结构刚度贡献不明显，即两者的变化对此结构各方面变形影响很小。

3) 在实际工程应用中，可以通过增加预紧力提升张拉整体结构的刚度；同时，在不影响张拉整体结构刚度的情况下，可以适当减小构件横截面积来达到减小结构整体质量的目的。