2017, Vol. 38
2. 上海交通大学 机械与动力工程学院, 上海 200030
2. School of Mechanical And Power Engineering, Shanghai Jiaotong University, Shanghai 200030, China
多机器人协调操作系统的研究在机器人及自动控制领域吸引了很多学者，近些年来，柔索式多机器人协调操作系统成为该类系统一个新的研究热点。与一般的刚性支撑多机器人协调操作系统系统相比，柔索式多机器人协调操作系统具有以下优点：负载/重量比高、工作空间大、易拆装、可重构和模块化设计等[1-3]，但柔索对操作吊运目标只能提供单向的拉力约束，使该类系统模型的建立以及控制系统分析和设计成为了研究难点。
国内外对该类系统进行了一定的研究，并形成了较为完善的体系。日本学者Ming根据被吊运物的自由度数n和柔索数目m之间的关系将该类系统分为以下4类：1) 当m=n时，为不完全约束定位机构(IRPMs)；2) 当m=1+n时，为完全约束定位机构(CRPMs)；3) 当m>1+n时, 为冗余约束定位机构(RRPMs)；4) 当m < n时, 为欠约束定位机构(URPMs)[4]。B. ZI等对不完全约束和完全约束机构进行动力学、控制系统的研究，但将柔索的一端固定做成特定的运动机构，仅通过调整柔索长度以实现被吊运物的期望运动位姿[5-8]。Kumar等通过3架四旋翼直升机建立了6自由度协调吊运系统，建立了系统的静力学平衡方程，对其动力学和逆运动学进行了分析，主要是针对3架直升机的情况进行研究，并分析了吊运系统的静稳定性问题[9-11]。有学者应用运动旋量斜率[12]对多机器人吊运系统的运动稳定性进行了研究。赵志刚对该类系统的静态工作空间进行了分析，但系统参数对工作空间的影响情况以及工作空间的质量并没有讨论[13]。梁永红应用凸集理论和投影原理对该类系统的工作空间进行了较为深刻的研究，但计算量太大[14]。Barrette根据任一工作空间都可以由3根柔索动态实现的原理[15]，对系统动力学工作空间进行了研究，但该方法无法保证所有柔索拉力均大于零。
动力学工作空间对该类系统具有重要的意义，基于上述研究工作存在的不足，有必要进一步研究该类系统的动力学工作空间。不同的机器人类型、系统空间布局、柔索的预紧拉力和最大许可拉力以及作用在被吊运物上的外力旋量等因素都会对系统动力学工作空间产生不同程度的影响，因此，本文以6自由度3根柔索吊运系统(即3根柔索作用在被吊运物上，使其实现6个自由度运动的吊运系统)为例，结合凸集理论和多手指抓取之间的相似性讨论系统的动力学工作空间。首先建立系统的力旋量平衡方程，紧接着依据多指无摩擦抓取模型以及凸集理论，得到6自由度3根柔索吊运系统判断力旋量封闭的凸条件，然后对系统工作空间进行了分析，并采用结构矩阵的条件数来衡量工作空间的质量，最后通过蒙特卡洛算法对不同情况下的动力学工作空间进行了数值计算，并分析了系统各因素对工作空间的影响以及工作空间质量。
1 系统构型紧耦合柔索式多机器人协调吊运系统是由模块化的串联机器人、柔索和被吊运物组成的并联机器人系统，且三者之间存在很强的力学耦合性。吊运系统空间构型如图 1所示。
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图 1 吊运系统空间构型 Fig.1 Spacial configuration of towing system |
被吊运物通过柔索悬挂在各机器人下方，其中，{O}为全局坐标系, {P}为被吊运物体坐标系，bi为柔索与机器人末端的连接结点，且机器人末端具有3个自由度，可以在空间任意运动，pi为柔索与被吊运物之间的连接结点，Li为柔索位置矢量，
根据系统驱动配置情况可将系统分为以下3类：1) 定柔索长度：柔索长度确定，通过调节机器人末端位置来调整被吊运物的位姿；2) 变柔索长度：固定机器人末端位置，通过调节柔索长度来调整被吊运物的位姿；3) 变柔索长度，变机器人末端位置，实现被吊运物位姿的变化。本文主要讨论吊运系统的相关特性，对于单台机器人不在详细说明。
2 系统动力学建模以3台机器人组成的吊运系统为研究对象，此时要求被吊运物能实现6个自由度的运动控制。在忽略柔索弹性变形量和自身质量的情况下，由图 1可知，柔索长度Li可以表示为
| $\begin{array}{*{20}{c}} {{L_i} = \sqrt {{{\left( {{x_i} - {x_{pi}}} \right)}^2} + {{\left( {{y_i} - {y_{pi}}} \right)}^2} + {{\left( {{z_i} - {z_{pi}}} \right)}^2}} }\\ {\left( {i = 1,2,3} \right)} \end{array}$ | (1) |
式中：(xi, yi, zi)为各机器人末端bi在全局坐标系中的位置；(xpi, ypi, zpi)为柔索与被吊运物连接结点pi在全局坐标系中的位置，且存在如下关系：
| $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_{pi}}}\\ {{y_{pi}}}\\ {{z_{pi}}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y\\ z \end{array}} \right] + {}^o{\mathit{\boldsymbol{R}}_p}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{}^p{x_{pi}}}\\ {{}^p{y_{pi}}}\\ {{}^p{z_{pi}}} \end{array}} \right]$ | (2) |
式中：[pxpi pypi pzpi]T为pi在体坐标系{P}中的位置，[x y z]T为被吊运物的位置，oRp为旋转矩阵：
| $\begin{array}{*{20}{c}} {{}^o{\mathit{\boldsymbol{R}}_p} = {\mathit{\boldsymbol{R}}_z}\left( {{\varphi _3}} \right){\mathit{\boldsymbol{R}}_y}\left( {{\varphi _2}} \right){\mathit{\boldsymbol{R}}_x}\left( {{\varphi _1}} \right) = }\\ {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} \begin{array}{l} \cos {\varphi _3}\\ \sin {\varphi _3}\\ 0 \end{array}&\begin{array}{l} - \sin {\varphi _3}\\ \cos {\varphi _3}\\ 0 \end{array}&\begin{array}{l} 0\\ 0\\ 1 \end{array} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} \begin{array}{l} \cos {\varphi _2}\\ 0\\ - \sin {\varphi _2} \end{array}&\begin{array}{l} 0\\ 1\\ 0 \end{array}&{\begin{array}{*{20}{c}} {\sin {\varphi _2}}\\ 0\\ {\cos {\varphi _2}} \end{array}} \end{array}} \right]}\\ {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0\\ 0&{\cos {\varphi _1}}&{ - \sin {\varphi _1}}\\ 0&{\sin {\varphi _1}}&{\cos {\varphi _1}} \end{array}} \right]} \end{array}$ |
被吊运物是在3根柔索拉力的牵引下实现期望运动的，被吊运物的力旋量平衡方程可以表示为
| ${\mathit{\boldsymbol{J}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{T}} = \mathit{\boldsymbol{F}}$ | (3) |
式中：T>0为柔索拉力，且T=[t1 t2 t3]T，ti∈[tmin, tmax]，tmin为柔索预紧力，tmax为柔索最大许可拉力；F为被吊运物受到的外力旋量，由6个分量组成的列向量，J T=[J1 J2 J3]为一个旋量系，也是系统的结构矩阵，且：
| $\begin{array}{*{20}{c}} {{\mathit{\boldsymbol{J}}_i} = \left[ \begin{array}{l} {\mathit{\boldsymbol{e}}_i}\\ \left( {{}^o{\mathit{\boldsymbol{R}}_{\rm{P}}}{}^P\mathit{\boldsymbol{P}}} \right) \times {\mathit{\boldsymbol{e}}_i} \end{array} \right] = \frac{1}{{\left\| {{}^o{P_i} - {}^o{b_i}} \right\|}} \cdot }\\ {\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{}^o{P_i} - {}^o{b_i}}\\ {{}^o{\mathit{\boldsymbol{R}}_{\rm{P}}} \times \left( {{}^o{P_i} - {}^o{b_i}} \right)} \end{array}} \right|,\left( {i = 1,2,3} \right)} \end{array}$ | (4) |
联立式(3)、(4) 可得到系统的动力学模型。
3 动力学工作空间分析 3.1 力旋量封闭分析由矢量封闭原理[14]知，在n自由度柔索并联系统中，至少需要n+1根柔索才能满足矢量封闭原理。而且矢量封闭原理可以保证每根柔索的拉力为正，且对任意的外力旋量都有解。
6自由度3根柔索吊运系统为欠约束系统，为了满足力旋量封闭条件，将被吊运物的重力和惯性力均视为不同虚拟柔索的拉力，其单位向量分别为eg、ex、ey、ez，这样系统动力学方程可表示为
| ${\mathit{\boldsymbol{J}}_ + }{\mathit{\boldsymbol{T}}_ + } = 0$ | (5) |
其中，
| $\left\{ \begin{array}{l} {\mathit{\boldsymbol{J}}_ + } = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} \mathit{\boldsymbol{J}}&{{\mathit{\boldsymbol{J}}_w}} \end{array}} \right]\\ {\mathit{\boldsymbol{T}}_ + } = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{t_1}}&{{t_2}}&{{t_3}}&{Mg}&{M{a_x}}&{M{a_y}}&{M{a_z}} \end{array}} \right]^{\rm{T}}} \end{array} \right.$ | (6) |
式中：M为被吊运物的质量，ax、ay、az分别表示被吊运物在X、Y、Z轴方向上的平移加速度，Jw为重力和惯性力构成的旋量矩阵：
| ${\mathit{\boldsymbol{J}}_w} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\mathit{\boldsymbol{J}}_g}}&{{\mathit{\boldsymbol{J}}_x}}&{{\mathit{\boldsymbol{J}}_y}}&{{\mathit{\boldsymbol{J}}_z}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{e_g}}&{{e_x}}&{{e_y}}&{{e_z}}\\ 0&0&0&0 \end{array}} \right]$ | (7) |
式中：Jg、Jx、Jy和Jz分别为被吊运物在重力和X、Y、Z轴方向上的惯量矩阵。
通过以上处理，6自由度3根柔索吊运系统可以满足力旋量封闭的条件。
依据多指无摩擦抓取模型以及凸集理论，可以得到6自由度3根柔索吊运系统判断力旋量封闭的凸条件[14]：
1) 吊运力旋量封闭；
2)J+的列正张成Rn；
3){Ji}的凸包包含原点的邻域；
4) 不存在矢量μ∈Rn，μ≠0，满足所有的μJi≥0，i=1, 2，…，m。
以上4个描述都是等价的，在应用中第(4) 个条件在计算方面很有实际意义，矢量μ可以由J+的列向量得到：通过任选J+的2个列向量构成支撑平面，用μij表示其列向量Ji、Jj构成支撑平面的法向量。
3.2 动力学工作空间分析与求解系统的工作空间是指在满足系统约束条件时，系统执行器即被吊运物可达空间位姿的集合，可以用数学描述为
| $\begin{array}{l} W = \left\{ {\left( {x,y,z,{\varphi _1},{\varphi _2},{\varphi _3}} \right) \in {{\bf{R}}^6}\left| {} \right.} \right.\\ \;\;\;\;\;\;\;\left. {{g_0}\left( {x,y,z,{\varphi _1},{\varphi _2},{\varphi _3}} \right) \le 0} \right\} \end{array}$ | (8) |
式中：W为吊运系统的广义工作空间，R6为六维实数域。
而且被吊运物位置应满足条件：
| $\left\{ \begin{array}{l} \min \left( {{x_1},{x_2},{x_3}} \right) < x < \max \left( {{x_1},{x_2},{x_3}} \right)\\ \min \left( {{y_1},{y_2},{y_3}} \right) < y < \max \left( {{y_1},{y_2},{y_3}} \right)\\ \min \left( {{z_1},{z_2},{z_3}} \right) < z < \max \left( {{z_1},{z_2},{z_3}} \right) \end{array} \right.$ |
当被吊运物处于静力学平衡运动状态时，F=0，被吊运物能够到达的位置为静力学平衡工作空间；当被吊运物以一定的加速度运动时，F≠0，此时被吊运物能够到达的位置为动态平衡工作空间，简称动力学工作空间。
在求解动力学工作空间时，柔索拉力无法直接根据系统结构矩阵的零空间矩阵N(JT)解析表达[16]，此时将被吊运物的重力和惯性力看成一些虚拟柔索产生的拉力，重构系统结构矩阵J+，接着采用以下方法计算柔索拉力。
当F≠0，矩阵J+满秩的情况下，其柔索拉力可以表示为
| $\mathit{\boldsymbol{T}} = \left( {\mathit{\boldsymbol{J}}_ + ^{\rm{T}}} \right)\mathit{\boldsymbol{F}} + \mathit{\boldsymbol{h}}\lambda ,{t_{\min }} \le {t_i} \le {t_{\max }}$ | (9) |
式中：h ∈Rm，其列向量张成了零空间N(J+T)，若被吊运物位置X在系统动力学工作空间内，则得到
| $\mathop {\max }\limits_{1 \le i \le m} \frac{{{t_{\min }} - {t_{{\rm{eff}}}}\left( i \right)}}{{{h_i}}} \le \lambda \le \mathop {\min }\limits_{1 \le i \le m} \frac{{{t_{\max }} - {t_{{\rm{eff}}}}\left( i \right)}}{{{h_i}}}$ | (10) |
当J+T满秩时，定义Teff=(J+T)+F，表示动力学方程的最小范数解，teff(i)为Teff的一个分量; (J+T)+为结构矩阵J+T的Moore-Penrose广义逆，Tnul是零空间N(J+T)的一个分量，且Tnul=hλ，柔索拉力可表示为
| $\mathit{\boldsymbol{T}} = {\mathit{\boldsymbol{T}}_{{\rm{eff}}}} + {\mathit{\boldsymbol{T}}_{{\rm{nul}}}}$ | (11) |
且满足{min(T)≥tmin}∪{tmax≥max(T)}，则表明X在动力学工作空间内。
具体计算步骤如下：
1) 采用蒙特卡洛方法随机产生机器人末端位置和被吊运物位姿，通过式(4)、(6) 求解矩阵J+T；
2) 判断J+T是否满秩，若是，计算最小范数解Teff=(J+T)+F，否则，返回1)；
3) 计算
4) 计算拉力T=Teff+Tnul，并判断是否满足{min(T)≥tmin}∪{tmax≥max(T)}，若是，则记录该点位置，否则返回(1)；
5) 重复步骤1)~4) 直至结束。
3.3 动力学工作空间质量吊运系统的动力学工作空间质量是指在该工作空间内系统是否具有较好的运动性能，一般应用矩阵行列式的值来评价，但列式的值并不能很好地表示求解的精确性和稳定性；而矩阵条件数可以很好地衡量其精确性和稳定性，因此，用矩阵的条件数来衡量动力学工作空间质量具有明确的物理意义。条件数可计算为
| ${\rm{Cond}}\left( {\mathit{\boldsymbol{J}}_ + ^{\rm{T}}} \right) = {\sigma _{\max }}/{\sigma _{\min }}$ | (12) |
式中：σmax、σmin分别为结构矩阵的最大奇异值和最小奇异值，对结构矩阵进行奇异值分解：
| $\mathit{\boldsymbol{J}}_ + ^{\rm{T}} = \mathit{\boldsymbol{U \boldsymbol{\varSigma} V}}$ | (13) |
| $\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varSigma} }} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\sigma _{\max }}}&0& \cdots &0&0\\ 0&{{\sigma _2}}& \cdots &0&0\\ \vdots & \vdots &{}& \vdots & \vdots \\ 0&0&{}&{{\sigma _{\min }}}&0 \end{array}} \right]$ | (14) |
式中：U∈Rn×m，V∈Rn×n，U、V为正交矩阵，σi为结构矩阵的奇异值，且
| $0 \le {\sigma _{\min }} \le \cdots \le {\sigma _2} \le {\sigma _{\max }}$ |
条件数Cond(J+T)的取值范围为[1, ∞)，在设计时，应尽可能让条件数小，当条件数Cond(J+T)=1时，系统的运动传递性能最佳，表明工作空间质量较高；Cond(J+T) →∞时，系统完全处于特殊位形，运动性能极差，故应尽量避免这种情况的出现。
4 数值仿真分析以3台直角坐标机器人协调吊运同一重物为例，图 2为吊运系统中各机器人末端工作空间在XOY平面上的投影，在Z方向上各机器人末端可达位置范围为(1 m，1.4 m)。在变柔索长度情况时，将各机器人末端固定于其工作空间的几何中心，即各机器人末端位置坐标为b1(2.2, 0.45, 1.2)，b2(1.275, 2.027, 1.2)，b3(0.308, 0.405, 1.2)，假设被吊运物与柔索之间的连接结点成正三角形，且结点pi之间的距离l=0.1 m，被吊运物质量M=10 kg，转动惯量分别为Jx=0.54，Jy=0.26，Jz=0.28。由上述分析可知，被吊运物位置应在以机器人末端位置最大值和其投影所组成的三棱柱内。本文以变柔索长度为例进行仿真计算，计算循环30 000次。
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图 2 机器人末端工作空间在XY平面上的投影 Fig.2 Projection of robot-ends workspace onto the XOY plane |
图 3~8为吊运系统在不同工况下的动力学工作空间及其在不同平面的投影，其中图 3~6中，取被吊运物的姿态变化范围为(-1 rad，1 rad)。
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图 3 工况为az=0.5 m/s2, tmin=0, tmax=100 N的工作空间 Fig.3 Workspace for working condition az=0.5 m/s2, tmin=0, tmax=100 N |
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图 4 工况为az=0.8 m/s2, tmin=0, tmax=100 N的工作空间 Fig.4 Workspace for working condition az=0.8 m/s2, tmin=0, tmax=100 N |
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图 5 工况为az =0.5 m/s2, tmin=20 N, tmax=100 N的工作空间 Fig.5 Workspace for working condition az=0.5 m/s2, tmin=20 N, tmax=100 N |
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图 6 工况为az=0.5 m/s2, tmin=0, tmax=120 N的工作空间 Fig.6 Workspace for working condition az=0.5 m/s2, tmin=0, tmax=120 N |
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图 7 工况为 |
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图 8 工况为 |
图 3所示工况1：加速度ax=ay=0，az=0.5 m/s2，柔索预紧力tmin=0, 柔索许可最大拉力tmax=100 N时吊运系统的动力学工作空间，由工作空间的投影图 3(b)、(c)可知，动力学工作空间在以3台机器人末端及末端的投影点组成三棱柱内，并且在三棱柱的下半部分。
图 4所示工况2，将加速度增加到az=0.8 m/s2，其他参数和工况1相同时的工作空间，和图 3相比得出结论：增大被吊运物受到的外力旋量(即加速度)时，吊运系统动力学工作空间的体积减小。
图 5所示工况3：将柔索预紧力增加到tmin=20，其他参数和工况1相同时的动力学工作空间，和图 3相比较得出结论：增大柔索预紧力，吊运系统动力学工作空间体积减小，而且从工作空间的最下部开始逐步减小。
图 6所示工况4：将柔索许可最大拉力增大到tmax=120 N, 其他参数和工况1相同时的工作空间，和图 3相比较得出结论：增大柔索许可最大拉力，吊运系统动力学工作空间体积增大，而且从工作空间的最上部开始逐步增大。
图 7所示为工况5：被吊运物姿态为
图 8所示为工况6：被吊运物姿态为
在不同位置处的姿态空间如图 9所示，其参数和工况一相同，图 9(a)、9(b)、9(c)分别表示在(1.6, 0.6, 0.4)、(1.6, 0.6, 0.6)、(2.1, 0.5, 0.6) 处的可达姿态角的工作空间，由图可知在工作空间内被吊运物的高度越高，可达姿态角范围减小；越往工作空间边界处，可达姿态角范围会更小。
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图 9 不同位置的姿态空间 Fig.9 Pose workspace of different position |
表 1给出了不同工况下的动力学工作空间质量的衡量参数，由表 1可知在不同工况下该条件数的变化范围为1.327 2 < Cond(J+T) < 4.723 0，表明具有较好的运动性能，即系统动力学工作空间质量较高。
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表 1 不同工况下工作空间质量衡量参数 Tab.1 Evaluation parameters of dynamical workspace under different conditions |
本文针对柔索式多机器人协调吊运系统动力学工作空间进行分析，从计算和仿真结果可得出以下结论：
1) 针对该欠约束系统，采用虚拟柔索法，可以给出实现了力旋量封闭的处理方法，结合多指无摩擦抓取模型和凸集理论可以得到判断系统力旋量封闭的凸条件；
2) 对系统动力学工作空间进行分析，并给出了柔索拉力的优化计算方法，随后依据结构矩阵条件数给出了系统动力学工作空间质量的评价指标；
3) 采用蒙特·卡洛方法计算得到不同工况下的系统动力学工作空间，并得到了不同因素对系统动力学工作空间的影响规律；计算结果表明，吊运系统动力学工作空间质量较高，为进一步研究系统的轨迹规划和运动稳定性奠定了基础。
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