我国暴雨灾害频发，其中地形是影响暴雨系统发生发展的重要因子之一。各种地形，如大尺度的落基山脉与青藏高原、中尺度的大巴山脉和太行山脉、小尺度的南方山丘可对大气运动产生动力和热力效应^[1-5]。不同尺度地形对降水和风场的影响作用有不同的性质和方式，地形可像大气扰动一样在大范围起伏上叠加水平尺度较小的次级起伏以及更小的山峦沟壑，因此对大气运动和降水的影响也是多尺度的。许多研究表明：即使起伏较平缓的中小尺度地形对低层大气要素场的分布也有显著影响^[6-12]，从而影响降水的分布。

四川省位于青藏高原和长江中下游平原的过渡带，东部为四川盆地及盆缘山地，西部为川西高原及西南山地，地表起伏悬殊。四川地貌以山地为主，山地的海拔高度、坡地的坡向和坡度、地形起伏程度等都影响这些地区的风状况、温度状况以及水汽的再分配等。因此，四川显著的地形起伏以及多山地的特点必然对其周围大气流场产生影响，进而影响降水的具体分布^[13-17]。

尽管地形对降水的发生发展有重要作用，但其影响机制却未得到很好的揭示。如地形不变，有时降水增幅明显，有时却不显著，或者最大降水中心距离山脉的水平位置存在差异，这是地形降水业务预报中的难点。许多学者对地形和大气的相互作用开展研究，并提出了不同的理论观点^[18-22]，然而这些理论大多针对理想地形，不能真实反映复杂地形实际特征。Pielke等^[23]指出，地形特征可以在频谱空间中得到准确表达，且地形谱能够准确反映地形对大气的动力强迫作用。Young等^[24-25]进一步论证在处理二维地形高度场时，通过将地形高度场分成若干剖面，对其逐次进行频谱处理，可代替二维频谱分析。尽管一维频谱算法并不能真实刻画实际地形，但由于便于计算，还是得到了广泛应用^[24-27]。为了更加接近真实地形同时兼顾计算效率，王宛亭等^[28]提出了一维加权平均的谱分析方法，尽管未能定量讨论地形扰动对降水分布的具体影响，但揭示了青藏高原下游地区地形扰动对冬季和夏季西风强迫的物理机制。之后，舒守娟等^[29]利用该方法同时引进相对地形高程概念，简单分析了西藏高原南部地区地形强迫对该区降水分布的影响机制, 其研究侧重于夏季降水，并未对降水大值区域进行详细讨论。

由于四川地区地形的复杂性，从定量角度分析实际地形特征以及地形对降水分布影响的研究目前很少。本文利用一维加权平均的谱分析方法定量分析四川地区地形强迫对该地区四季降水分布的影响，不仅研究四川地区经向和纬向地形的动力强迫特征，还通过分析不同季节地形谱、降水谱的特征尺度以及谱能分布，研究动力强迫与降水场在谱空间的响应关系，揭示四川复杂地形对不同季节和不同尺度降水系统影响。另外，还重点研究了四川夏季最大降水中心——雅安地区的地形动力强迫特征以及该强迫与强降水之间的可能关系。

本文研究区域(27 °~35 °N，98 °~108 °E)如图 1所示，东西跨度平均为951.5 km，南北跨度为890.5 km。由于川西地区地面自动气象站较少，降水资料选用中国区域逐小时、0.1°×0.1°分辨率的降水融合产品，该产品基于全国自动气象站观测降水量和CMORPH(CPC MORPHing technique)卫星反演降水资料，采用PDF(probability density function)和OI(optimal interpolation)两步融合方法生成^[30]。降水产品为2008年1月1日01：00(北京时，下同)到2017年12月31日23：00，其中春季(3—5月)、夏季(6—8月)、秋季(9—11月)和冬季(12月—次年2月)的多年平均降水量用于频谱分析，以研究不同季节降水与地形之间的关系。地形资料选用美国国家地理数据中心的全球陆地1 km基层标高数据集，该资料经过格点化及质量控制，整体质量较好(https://www.ngdc.noaa.gov/mgg/fliers/globedem.html#opennewwindow)。研究区域地形和各季节多年平均降水量见图 1。

图1

图1 研究区域地形(填色)和年平均降水量(等值线，单位：mm) Fig.1 Distribution of topography(the shaded) and the climatological seasonal precipitation(the contour, unit:mm)

谱分析方法已被广泛使用^[31-33]，傅里叶变换是使用频率最高的谱分析技术，大多定义在时间域上，应用于时间序列数据分析^[34]。本文针对地形和降水资料的谱分析定义在空间域上。考虑到地形和降水资料的空间离散性，对连续傅里叶变换进行变形，使之不但具有连续傅里叶变换的基本性质，而且适用于有限空间的离散场分析。

对地形高度场函数h(x)进行抽样，抽样间隔Δx为地形资料分辨率。在关注的区域内，D_x为地形高度场的横向或纵向范围，若一个周期内包含N个样本点，则N=D_x/Δx+1。记h(x)的离散化形式为，对进行傅里叶变换，抽样后得到，λ为波长，记k=1/λ，h(x)的离散傅里叶变换关系式为

(1)

式(1)中，k₀为基波，k₀=1/D_x，k=0, k₀, 2k₀, 3k₀, …。其逆变换为

(2)

按照谱分析的一般方法，定义地形谱能密度函数S(k)为

(3)

经向平均的纬向地形剖面以及纬向平均的经向地形剖面计算方法详见文献[28]。利用最小二乘法计算地形剖面的线性趋势，得到纬向和经向地形扰动的高度序列，经过离散傅里叶变换处理，便得到波数(k)空间或者波长(λ=1/k)空间的加权平均意义下的地形扰动谱。降水谱的处理过程和地形谱的一致。

局地地形往往直接或间接激发局地环流^[35]，从而导致灾害性天气，如局地暴雨的触发、加强和持续，进而影响局地气候场分布规律。地形谱能够定量反映地形扰动对大气的动力强迫作用。谱能越大，地形的动力强迫作用越强，反之则较弱^[36]。因此，如果四川地区的地形作用很显著，那么它必然反映在降水的谱空间上。由降水的季节分布(图 1)可知，四川降水主要发生在夏季，大值区分布在地形起伏相对较大的区域，最大降水中心位于盆地西南部的雅安地区，该地区呈现喇叭口地形，西部地势高且复杂多样，东部低洼平坦，地形对水汽的聚集和抬升起到非常重要的作用。

由纬向地形谱和夏季降水谱(图 2)可见，降水扰动谱最强峰的波长尺度和地形谱最强峰存在着明显的地形-降水耦合关系。地形谱最强峰对应的波长尺度叫做地形的特征尺度，其与最明显的地形起伏对应，表征最大的地形动力强迫作用。当波长小于特征尺度时，地形动力强迫随着波长的减小而减弱，表明地形作用随着地形扰动起伏趋于平缓而减小。夏季地形的特征尺度为475.8 km(图 2)，降水的特征尺度(降水谱最大值对应的波长尺度)为317.2 km，地形谱和降水谱的峰值并不锁相在同一特征尺度上，且降水的特征尺度比地形的特征尺度小，说明在地形特征尺度和降水特征尺度之间的区域(简称漂移区)，地形对降水的作用随着地形尺度的减小反而增大。在移位锁相意义下，纬向降水谱峰向小尺度漂移。地形强迫与降水特征尺度的差异表明，降水与地形强迫的相互作用偏离了共振锁相，地形性降水的基本态受到破坏，这说明影响夏季降水分布的因子除了地形外，还有其他因子。夏季四川地区主要盛行来自孟加拉湾的西南气流，南海和西太平洋的东南气流以及较平直的西风气流，地形对降水的影响程度取决于地面坡向、气流方向以及地表高程的变化等。此外，各类降水发生的大尺度环流背景之间存在明显差异，不同环流背景下，环流系统之间的配置使降水落区不同。夏季降水是各种不同尺度系统之间相互作用的结果，其过程非常复杂，地形仅是其中的重要因素之一。王宛亭等^[28]提出一种计算非地形因素对降水谱峰值阻尼作用的线性方法。由于地形特征尺度L_t=475.8 km，降水特征尺度L_p=317.2 km，因此, 这里设定非地形因素对于降水谱峰的阻尼作用发生在特征尺度L_f=158.6 km处，满足L_p=(L_t+L_f)/2=317.2 km。尽管利用线性方法获得的非地形特征尺度并不精确，但其数值小于地形特征尺度却是可信的，说明非地形因素的阻尼作用使降水谱峰朝小尺度漂移，这种量级上的估计有助于大气与地形相互作用的动力学研究。

图2

图2 纬向地形谱和降水谱分布(图中数字表示谱峰的特征尺度，单位：km) Fig.2 Terrain spectra and precipitation spectra in zonal direction (numbers denote characteristic scales of peaks, unit:km)

此外，在漂移区(317.2 km < λ < 475.8 km)，地形谱能的减小对应于降水谱能的增大，即两者呈负相关变化关系，其相关系数为-0.99。其余区域(简称共振区，即λ>475.8 km和λ < 317.2 km)，地形谱能和降水谱能是同增同减的共振关系，它们之间的相关系数分别为0.99和0.91。显然，共振区(漂移区)反映在物理空间上，表现为地形高度与降水两者的剖面一致(不一致)性。从加权平均的纬向地形和夏季降水的分布(图 3)可见，P₁和P₃是降水的两个峰值处，分别对应101°E和105.8°E；P₂是雨谷处，位于104.2°E。P₃以东地区降水总体呈下降趋势，地形高度也是逐渐降低，说明该区域内地形高度和降水具有较好的剖面一致性。从P₂到P₃，地形和降水呈现明显的负相关；从P₁到P₂，降水从最大雨峰值逐渐减小到雨谷，地形高度和降水的趋势呈正相关。P₁以西地区，地形高度大于3000 m，地形高度和降水呈现剖面的不一致性。许多研究^[37-39]曾讨论降水-地形剖面的一致性问题，指出存在最大降水高度，在最大降水高度以下，地形与降水基本呈正相关, 在最大降水高度以上，降水量随着地形的增高而减小。因此，P₁对应的地形高度可看作纬向夏季降水的最大降水高度。

图3

图3 经向加权平均(27°~35°N)的纬向地形高度剖面(填色)和降水剖面(等值线)分布 (P1，P3，P4代表雨峰位置，P2，P5代表雨谷位置) Fig.3 Profile of topography(the shaded) and precipitation(the contour) in zonal direction by meridional weighted average(27°-35°N) (P1, P3 and P4 denote the location of precipitation peaks; P2 and P5 denote the location of precipitation valleys)

冬季地形扰动谱最强峰值和降水谱最强峰值的波长同为475.8 km(图 2)，说明地形谱能峰值和降水谱能峰值锁相在同一波长。这表明，降水系统受到连续周期性地形的强迫作用，当地形外强迫的频率等于或者接近降水系统或者背景场的振动频率时，产生共振形成降水。且地形谱和降水谱在所有波长尺度均呈现较高的正相关性，即λ>475.8 km和λ < 475.8 km的区域均为共振区，对应的相关系数分别为0.99和0.85(相关系数略低，说明λ < 475.8 km的区域内，局部存在地形高度和降水的剖面不一致性)。图 2中，冬季降水的第2谱能峰值较为明显，对应的波长次特征尺度为237.9 km，但地形的次特征尺度并不明显，表明非地形因素对降水的作用。降水的第2谱峰值明显小于最强谱峰值，说明地形在冬季降水的形成中起主导作用。图 3加权平均的纬向地形和冬季降水的分布中可见，P₄和P₅分别为雨峰和雨谷处，分别对应的位置为99°E和100.5°E。P₄以西地区，地形起伏不明显，自西向东对应于降水的陡升，从P₄到P₅，地形的升高对应于降水的陡降，由于冬季盛行西风气流^[40]，P₄对应的地形高度可看作纬向冬季降水的最大降水高度。P₅以东地区，降水逐渐增加，地形高度和降水呈负相关关系。

纬向地形与春、秋季降水耦合关系与夏季类似，也表现为降水谱峰向小尺度漂移(图 2)。地形特征尺度为475.8 km，降水特征尺度均为317.2 km，地形谱峰和降水谱峰不在同一特征尺度上，降水的特征尺度比地形的特征尺度小，说明在漂移区地形对降水的作用随着地形尺度的减小而增大。与夏季类似，春、秋季降水分布也受到地形因素和非地形因素共同作用。另外，由加权平均的纬向地形和春、秋季降水分布(图 3)可见，春季降水和秋季降水降水量和落区比较接近，它们与地形大体上呈负相关关系，均表现为剖面的不一致性。

经向地形和降水的谱分布特征(图 4)与纬向方向略有不同，4个季节的降水最强峰对应的特征尺度均为445.3 km，地形特征尺度则为296.8 km，它们不在同一波长，降水的特征尺度比地形的特征尺度大，说明非地形因素的特征尺度比地形的大，其作用是使降水的谱峰朝大尺度方向漂移，这与纬向上春夏秋季降水朝小尺度漂移不同。尽管这4个季节的降水最大特征尺度相同，均为445.3 km，但它们的次特征尺度存在明显差异，如夏季降水的次特征尺度为222.7 km，而冬季降水则为89.1 km；春季降水的次特征尺度不明显，秋季降水次谱峰对应的波长尺度则为111.3 km。由于地形的次特征尺度为148.4 km，因而这4个季节降水的次特征尺度与地形也呈现漂移现象，地形和降水的次特征尺度的不匹配也说明非地形因素的重要性。由加权平均的经向地形与四季降水分布(图 5)可以看到，夏季和冬季的降水较为接近，但在量级上差异较大，夏季降水比冬季降水几乎大两个数量级。它们与地形整体上呈现负相关，两者表现为剖面的不一致性。春、秋季降水较为接近，从27°N到32°N，地形基本呈一致性增大，对应于春、秋季降水的增加；从32°N到34°N，降水与地形呈负相关关系；从34°N到35°N，春、秋季降水和地形表现为剖面的一致性。

图4

图4 同图 2，但为经向方向 Fig.4 The same as in Fig. 2, but for meridional direction

图5

图5 纬向加权平均(98°~108°E)的经向地形高度剖面(填色)和降水剖面(等值线) Fig.5 Profile of topography(the shaded) and precipitation(the contour) in meridional direction by zonal weighted average(98°-108°E)

以上分析表明：纬向上地形与冬季降水呈现共振耦合关系，其他季节降水表现为向小尺度漂移；经向上4个季节降水表现为向大尺度漂移。王宛亭等^[28]指出，青藏高原下游地区西风在冬季达到最大，从冬季至夏季，平均西风环流逐渐减弱，并在夏季达到最小，平均经向环流则逐渐增强，并在夏季达到最大。地形与不同季节降水之间的相位变动很可能与纬向和经向上的这种环流变化有关。冬季四川地区经向环流明显弱于其他季节，纬向环流占主导地位，当纬向气流经过起伏的地形时，纬向地形表现出显著的强迫作用，地形触发的大气波动对于冬季降水的影响作用较大，地形-降水呈现出典型的共振耦合关系。随着季节演变，纬向环流的逐渐减弱，纬向地形的强迫作用也相应减弱，同时经向环流的增强增加了地形触发的纬向风速扰动的阻尼。夏季四川地区主要盛行的气流方向不同，各类降水发生的大尺度环流背景之间存在明显差异，主要环流系统之间的配置使各类降水落区不同，地形仅仅是其中的重要因素之一，因而地形与降水的锁相关系产生漂移。

对比地形谱能的经向(图 4)和纬向(图 2)分布发现，纬向谱能峰值比经向大一个数量级，分别为2.0×10⁷ m²·km和2.3×10⁶ m²·km，表明地形对其上空大气的动力强迫作用，在纬向方向上明显强于经向方向，这说明四川地形对纬向移动系统的影响作用较大，对经向移动系统作用则相对较小，即同一地形对不同移动方向系统的强迫作用不同。四川经向和纬向上的地形特征尺度分别为296.8 km和475.8 km，说明影响东西向移动系统的地形尺度较大(475.8 km)，影响南北向移动系统的地形尺度较小(296.8 km)。地形特征尺度反映的地形强迫的中尺度特性，这与四川地区频发的中尺度系统在尺度上一致。对比纬向夏季降水谱峰和其他季节的降水谱峰，夏季降水谱峰(7.0×10⁵ m²·km)在数值上比冬季(4.0×10³ m²·km)大2个数量级，比春、秋季(6.0×10⁴ m²·km)大1个数量级，夏季降水系统的纬向特征尺度比冬季的小约150 km，这说明夏季在纬向地形强迫下，降水系统尺度减小的同时，其强度反而大大增加，这是该地区中尺度对流性降水在夏季远大于其他季节的原因之一。

此外，不同波数对应的地形谱能存在一定的波动，地形强迫整体上随着波长的减小而减弱，这种下降趋势近似于指数形式。利用最小二乘法并用幂指数关系S=aλ^b拟合地形谱能S和波长λ之间的关系，系数a表示地形强迫的强度，指数b反映地形的光滑程度^[24]。指数b越小，较长波长对应的地形谱能越小，即该地形起伏不明显，较短波长对应的地形谱能越大，小尺度地形扰动显著；指数b越大，则说明大尺度地形扰动越明显。相关研究表明，地形谱的拟合指数b大多在1.4~2.0之间^{[23-27, 41-42]}。如Bretherton^[41]在研究重力波的动量输送时，计算了英国威尔士北部的地形高度变化谱，指出当波长小于30 km时，指数b的大小为1.5。Pielke等^[23]在分析美国弗吉尼亚州中西部地区时指出在短波区域，地形高度变化谱以λ²的比例快速增加。Ramanathan等^[27]指出在克什米尔峡谷地区，地形高度以指数b=1.75成比例变化。对数空间中，幂指数关系S=aλ^b(即S=ak^-b)转化成lgS=-blgk+lga。图 6中地形谱能下降趋势的拟合斜率即为-b, 经计算得到纬向地形谱a=230.4，b=1.68；经向地形谱a=133.0，b=1.41，即纬向的地形扰动及强迫更明显。

图6

图6 对数坐标下四川地区的纬向和经向地形谱能 Fig.6 Distribution of zonal terrain spectra and meridional terrain spectra in Sichuan in log-log coordinate

由于雅安地区独特的地理位置，这里夏季降水远大于四川其他地区(图 1)，因此下面详细分析雅安地形强迫和降水特征。选取29°~30°N, 102.3°~103.3°E作为研究区域，对雅安地区的经纬向地形进行分析。在对数空间(图 7)，纬向地形谱a=125，b=1.9；经向地形谱a=136.3，b=2.2，雅安地区的纬向以及经向指数b比四川整体地形的大，说明该地区较大尺度的地形扰动更明显，地形对其上大气的动力强迫作用更大，因而产生的降水也更大。此外，经向的地形谱能及其拟合指数均大于纬向，说明雅安地区经向地形强迫占主导作用, 且拟合指数大于世界绝大多数地区，说明雅安经向地形具明显独特性。由地形谱和夏季降水谱分布(图 8)可以看到，夏季降水扰动谱最强峰的波长尺度和经向地形谱存在着明显的共振耦合关系，最强峰值锁相在同一波长(37.1 km)，降水系统在经向地形强迫下产生共振形成降水。纬向地形谱和降水谱的峰值不在同一特征尺度上，表现为降水谱峰向小尺度漂移。因此，经向地形强迫在造成雅安地区夏季强降水的过程中起到关键作用。雅安地区的喇叭口地形及经向屏障作用，对水汽的聚集和大气的抬升起到非常重要的作用。

图7

图7 对数坐标下雅安地区的纬向和经向地形谱能 Fig.7 Distribution of zonal terrain spectra and meridional terrain spectra at Ya'an in log-log coordinate

图8

图8 雅安地区地形谱和夏季降水谱分布(图中数字表示谱峰的特征尺度，单位：km) Fig.8 Distribution of terrain spectra and summer precipitation spectra at Ya'an (numbers denote characteristic scales of peaks, unit:km)

鉴于四川地区显著的地形起伏及多山地的特点，同时地形特征能够在频谱空间中得到准确表达，本文利用中国区域2008—2017年逐小时、0.1°×0.1°分辨率的降水融合产品和美国国家地理数据中心提供的全球陆地1 km基层标高地形资料，采用一维加权平均的谱分析方法，对地形高度和四季的多年平均降水量进行频谱分析，定量研究四川地区经向和纬向的地形动力强迫特征以及其对不同季节降水分布的影响。主要结论如下：

1) 纬向地形谱峰与冬季降水谱峰共振耦合，其他季节降水表现为向小尺度漂移；经向地形谱峰与四季降水谱峰都表现为向大尺度漂移，地形与不同季节降水之间的相位变动很可能与经向和纬向上环流变化有关。此外，地形特征尺度和降水特征尺度的不一致反映在物理空间上表现为地形高度与降水两者的剖面不一致性，纬向冬、夏季降水存在最大降水高度。

2) 纬向地形谱峰比经向大1个数量级，说明纬向地形强迫比经向强。地形特征尺度反映了地形强迫的中尺度特性，夏季降水谱能远大于其他季节，而降水特征尺度比冬季小，说明夏季在纬向地形强迫下，降水特征尺度减小的同时，其强度明显增强，这在一定程度上可以解释中尺度对流性降水在夏季远大于其他季节，体现了地形对夏季大气动力强迫的重要性。

3) 四川夏季最大降水中心位于盆地西南部的雅安地区，对该地区地形进行频谱分析发现，经向和纬向拟合指数b大于四川整体地形，说明该地区的地形扰动更明显，对应于更大的降水量。此外，经向地形谱能及其拟合指数均大于纬向，说明经向地形强迫占主导作用。夏季降水扰动谱最强峰的波长尺度和经向地形谱有明显的共振耦合关系，地形在雅安地区夏季强降水的形成过程中起到关键作用，且以经向强迫为主。

本文只分析了地形与降水的谱能特征，未涉及风场，下一步将采用动力学方法来研究地形、风场以及降水三者之间的联系和机制。另一方面，一维加权平均的频谱分析方法虽然在经、纬向地形扰动特征以及地形与降水的分布关系上得到了一些结论，但一维谱分析方法属于线性近似，不能反映实际的二维分布特征，今后考虑使用二维谱分析方法开展相应研究。