引言

背景误差协方差在资料同化中有非常重要的作用，不仅决定着观测资料在水平和垂直方向传播信息的能力，与观测误差一起决定观测和背景信息对分析增量贡献的大小，还包含变量之间信息传播及平衡关系，在四维变分中背景误差协方差随着模式积分还隐含着随天气形势的变化，在集合分析中背景误差协方差还涉及时间演变^[1-2]。背景误差协方差对分析很重要，但很难获得真实的背景误差协方差，这是因为大气的真实状态不可知，因而很难计算，一般可用近似的预报差别代替预报误差，或集合平均替代真实大气状态。另外，在针对大气的同化系统中，背景误差协方差是很难实施运算的超大矩阵，只能采用模型或减秩矩阵近似。

对于背景误差协方差的估计主要有4种方法。第1种为观测余差估计方法，该方法在假定预报误差和观测误差之间不相关、二者无偏且背景误差协方差不随时间变化的基础上，利用观测和预报场差别模拟背景误差协方差模型。Hollingsworth等^[3]、Lonnberg等^[4]利用观测余差方法对欧洲中期天气预报中心(ECMWF)全球同化系统的短期预报风场和高度场误差结构进行了统计。Franke^[5]对NOG- APS产品采用观测余差方法进行了三维背景误差协方差统计，采用二阶自回归函数近似背景误差协方差，得到水平垂直可分离的三维背景误差协方差近似。Xu等^[6]也利用观测余差方法对NOG-APS产品进行背景误差协方差的统计，主要应用贝塞尔函数对背景误差协方差及其谱密度进行研究。庄照荣等^[7]采用观测余差方法对T213预报产品进行了背景误差协方差结构统计分析。由于观测余差方法受到观测资料数量的限制，在观测资料缺乏地区很难得到背景误差信息，于是Parrish等^[8]提出了美国国家气象中心(NMC)方法，该方法将在同一时刻不同预报时效的模式预报间积分差额作为预报误差, 获得背景误差协方差结构，其优点是可以提供全球多变量相关。Dee等^[9]、Ingleby^[10]均采用这种方法研究水平相关尺度，并指出水平相关尺度在热带地区和平流层较大。Wu等^[11]用NMC方法估计了NCEP全球三维变分中随纬度变化的背景误差结构，对于水平相关尺度采用变量方差和他们的拉普拉斯算子计算获得。王金成等^[12]采用NMC方法估计了GRAPES全球模式的背景误差协方差的结构，也采用变量方差与其拉普拉斯算子计算水平相关尺度。王亚华等^[13]采用NMC方法在谱空间统计GRAPES全球模式的背景误差协方差，采用各变量的谱系数计算得到水平相关尺度。第3种为集合预报方法，采用集合样本间差异模拟背景误差协方差，如集合卡尔曼滤波^{[1, 14-16]}及集合转换卡尔曼滤波系统^[17-18]。第4种方法为采用一组时间滞后预报间差别模拟预报误差，Polavarapu等^[19]采用时间滞后的预报场估计了加拿大中期大气模式资料同化系统的误差协方差。

Bannister^[2]对背景误差协方差在分析中的统计应用、估计方法及物理特点进行了详细论述，其中提到大气运动基本满足地转调整过程，因而背景误差水平相关尺度在低纬度比高纬度更长，且在平流层比对流层更长；由于观测密度等影响，也造成背景误差水平相关尺度在陆地比海上特征尺度短，在北半球比南半球尺度短；同时Bannister^[20]回顾了在各国数值天气预报业务变分分析中背景误差协方差统计模型的构造，包括控制变量变换、多变量间的关系、单变量背景误差协方差的空间变换等。

目前在GRAPES_Meso有限区域中尺度数值预报模式中分析采用三维变分，其中的背景误差方差、变量间的相互关系以及背景误差垂直相关关系均采用NMC方法统计结构^[21]，背景误差水平相关采用高斯相关模型，通过递归滤波实现观测信息的水平传播，但水平相关尺度仍采用单一参数。本文为了改进三维变分的背景误差水平相关结构，通过NMC方法和高斯函数线性拟合方案，获得与区域模式相匹配的背景误差水平相关尺度，并将统计结果应用到GRAPES_Meso中进行数值预报试验。

1 三维变分、统计方案及数据 1.1 三维变分

GRAPES_Meso有限区域中尺度数值预报模式中采用三维变分分析(GRAPES-3DVar)，它是求控制变量的目标函数达到极小时的分析场^[22-23]，

(1)

式(1)中，w为控制变量，H是将大气状态投影到观测空间的线性观测算子，P是变量间不相关的分析变量(δψ，δχ_u，δπ_u，δq)到模式变量(δu_a，δv_a，δπ_a，δq)的平衡变换。d=H(x_b)-y为新息向量，x_b为背景场，y为观测。是由格点上均方根误差构成的对角矩阵，矩阵U是相关系数矩阵的平方根矩阵。

由于分析中涉及的变量场均为三维，直接处理三维变量场相关很困难，在GRAPES-3DVar中假定相关系数的水平和垂直相关可分离，则U=U_h⊗U_v，在水平方向采用高斯函数描述水平相关，并通过递归滤波实现；在垂直方向通过EOF分解实现，则有

(2)

(3)

式(2)和式(3)只是计算顺序的区别，当相关函数在水平与垂直方向严格可分离时，计算顺序并不影响结果。其中引入U_v与U_h间的一定依赖，式(2)中依赖于垂直模态，即背景误差的水平相关尺度可以随误差的垂直模态分布特征而变化。式(3)中垂直模态依赖于水平模态，即背景误差的不同水平模态可有不同的垂直尺度^[23]。在GRAPES-3DVar中，采用式(3)实现控制变量到分析变量的预处理，其中水平相关尺度方案为固定参数。

1.2 统计方案

在GRAEPS-3DVar中采用高斯相关模型描述背景误差水平相关关系，即

(4)

式(4)中，r为两点的水平距离，L为水平相关尺度，本文通过NMC方法和高斯函数线性拟合获得水平相关尺度。

在NMC方法中，采用24 h(x²⁴)和12 h(x¹²)预报差别代替预报误差^[12]，则估计的背景误差协方差为

(5)

式(5)中，δx=x²⁴-x¹²，因而任何两点的背景误差水平相关系数为

(6)

通过预报样本，由式(6)可以获得任何一点与全场其他点的水平相关系数ρ_i，j和水平距离r_i，j，假设水平相关系数ρ_i，j与距离r_i，j满足高斯相关关系(式(4))，通过线性回归算法可获得背景误差水平相关尺度。

1.3 统计资料

资料来自GRAPES_Meso有限区域中尺度数值预报模式产品，模式分辨率为10 km×10 km，垂直方向为49层，区域为5°~65°N，70°~145°E。使用2015年6月—2016年5月的预报样本，为了减少运算量、节约存储空间，每月只取上、中、下旬的前5 d，同时为了减弱日变化的影响，每日00：00(世界时，下同)与12：00各计算1个样本，因而共获得287个样本。

文中统计GRAPES-3DVar中控制变量流函数、非平衡势函数、非平衡Exner气压(Exner表示量纲为1)和比湿的背景误差和水平相关尺度，而模式预报变量为风场的纬向和经向分量(分别计为u，v)、Exner气压和比湿，通过松弛迭代逼近求解泊松方程获得流函数和势函数。但对于有限区域模式，采用差分方法求解在边界存在明显的偏差，朱宗申等^[24]采用扩展区域的改进算法一定程度减小了流函数和势函数的计算误差，但未完全消除边界的影响。文中流函数和势函数采用谱方法求解，即将区域值对称虚构为全球范围，然后采用谱方法计算，该方法显著提高了计算精度。再利用流函数、势函数和Exner气压的线性平衡关系获得平衡和非平衡部分的Exner气压。

2 背景误差与水平相关尺度 2.1 背景误差

文中利用1年的预报样本通过式(5)统计GRAPES-3DVar中控制变量的背景误差，对背景误差随纬度、高度以及季节变化进行研究。

由第10层背景误差水平分布(图 1)可以看到，流函数和非平衡势函数的背景误差随纬度变化明显，35°N以南背景误差增大，在40°~50°N背景误差最小。背景误差随经度变化没有随纬度变化明显，另外，在东西边界受预报边界条件影响，同一纬度流函数的背景误差在边界小于区域中心(图 1a、图 1b)。

由非平衡Exner气压背景误差分布(图 1c)可以看到，在西太平洋接近大陆地区的背景误差异常大，这是由于台风活动频繁处模式很难准确模拟台风的位置和强度。此外，受青藏高原复杂地形的影响，其动力和热力作用造成模式在平原地区的数值近似方案和物理参数化方案在该地区不一定适用, 同时青藏高原地区探测资料缺乏, 且分析中的动力学约束在该地区也很难描述, 因而在青藏高原地区难以取得良好预报效果^[25], 造成非平衡Exner气压预报误差比较大。陈耀登等^[26]利用WRF模式模拟研究结果也表明，青藏高原地区的背景误差比华东平原地区显著。

比湿最大背景误差出现在印度洋北部的阿拉伯海和孟加拉湾，靠近我国陆地的南海和东海误差也较大，在我国的中部和东部误差较均一，为0.6~0.8 g·kg^-1，在青藏高原和40°N以北地区背景误差较小，低于0.6 g·kg^-1(图 1d)。

比湿背景误差分布和东亚季风环流有关，处于热带季风区的南亚、南海与西太平洋一带冬季盛行东北季风，夏季盛行西南季风，冬夏季风干湿分明，夏季湿度大，雨量丰富；处于副热带季风区的东亚大陆，日本一带夏季盛行西南或东南季风，也可以从海上带来丰富的水汽，因而夏季湿度较大，雨量充沛。东亚副热带季风的气流均来自热带海洋上，含有丰富的水汽，当它们进入大陆后，受到夏季大陆的辐射加热和副热带高压脊下的下沉增温作用，在我国东部和南部易形成高温高湿。因此，在高湿地区其背景误差也较大。

综上所述，控制变量的背景误差都是非均匀的，其中，流函数和非平衡势函数背景误差随纬度变化明显，而非平衡Exner气压和比湿的背景误差局地性较强。

研究中将背景误差取纬向平均，其随高度和纬度分布如图 2所示。由图 2可以看到，控制变量的背景误差随高度和纬度变化明显，其中流函数和非平衡势函数的背景误差在低纬度对流层顶存在大值中心，在模式层顶误差非常大(图 2a、图 2b)。非平衡Exner气压的背景误差为1.2×10^-4~1.6×10^-4，相对其他变量较均一(图 2c)。比湿误差主要在低纬度对流层较大(图 2d)。

由图 1可以看到，误差分布和大气环流系统有关，不同季节也应有不同的表现。为了研究背景误差随季节变化，统计了夏季(2015年6—8月)、秋季(2015年9—11月)、冬季(2015年12月—2016年2月)和春季(2016年3—5月)背景误差分布。考虑到流函数、非平衡势函数以及非平衡Exner气压从模式变量转换过程中边界还存在一定计算误差，并且模式预报在边界误差也较大，仅对20°~50°N，90°~125°E范围背景误差进行全场平均统计(如图 3所示)。

由图 3可知，流函数和非平衡势函数背景误差随季节变化不明显，随高度呈明显增加趋势，在对流层顶附近达到最大(图 3a、图 3b)。非平衡Exner气压背景误差变化明显(图 3c)，冬季背景误差最大，对流层为1.4×10^-4~1.8×10^-4；而夏季最小，对流层为1×10^-4~1.4×10^-4，春、秋季误差介于冬、夏季之间。对于比湿(图 3d)，由于夏季温度高，对流天气系统活动频繁，空气湿度大，预报误差也大，比湿背景误差在对流层中低层为0.7~0.9 g·kg^-1；而冬季温度低，空气干冷，预报误差相对夏季小，比湿的背景误差约为0.3 g·kg^-1，春、秋季误差介于冬、夏季之间。

由此可见，非平衡Exner气压和比湿的背景误差随季节有明显的变化特征，非平衡Exner气压背景误差冬季大、夏季小；比湿背景误差夏季大、冬季小，在GRAPES-3DVar中为了提高分析质量有必要考虑背景误差随季节的变化。

为了考察高原与平原地区背景误差的差别，图 4给出沿35°N非平衡Exner气压的背景误差随季节变化。可以看到，不同季节青藏高原地区误差远大于平原地区，青藏高原地区冬季背景误差比夏季大很多，且背景误差分布和地形有极大相关性。青藏高原上冬季非平衡Exner气压背景误差大于夏季，是由于冬季大陆为冷源，青藏高原为亚洲高压控制，等压线密集，气压的变率大；而夏季该地区为亚洲低压控制，等压线稀疏。同时也可看到，在西太平洋夏季台风活动频率，背景误差也较大。

非平衡Exner气压预报误差在青藏高原冬季明显大于夏季，其他数值预报产品也是如此，央美等^[27]利用青藏高原及邻近地区资料比较了T213数值预报模式和欧洲中期天气预报中心(ECMWF)模式的500 hPa高度场，结果也表明两个模式的24 h与48 h预报均方根误差在冬季较大。

2.2 水平相关尺度

本文采用高斯函数线性拟合的方法统计水平相关尺度，为了滤除统计样本远距离较小相关噪音的影响，只统计相距2000 km以内的相关，并只拟合1000 km以内的样本。图 5为第10层25°~45°N，95°~120°E范围内统计样本的水平相关系数随距离变化情况及拟合的高斯函数。

由图 5可以看到，流函数、非平衡势函数拟合的高斯相关模型能代表样本的水平相关关系，其中流函数水平相关尺度为755 km(图 5a)，非平衡势函数水平相关尺度为975 km(图 5b)。由样本的相关系数分布可以看到，非平衡Exner气压相关系数随距离增大开始下降较快，而到超过600 km，相关系数随距离增加呈缓慢下降，统计的水平相关尺度为735 km，比较高斯相关函数和相关系数样本，近距离的相关系数明显被高估，而远距离的相关又明显被低估，因而不适宜采用高斯相关函数描述非平衡Exner气压的水平相关(图 5c)。比湿变量的局地性较强，水平相关尺度小于其他控制变量，统计的水平相关尺度为129 km，拟合的高斯相关函数与统计样本匹配较好(图 5d)。

图 6为水平相关尺度纬向平均后随高度与纬度分布，可以看到，控制变量的水平相关尺度随高度和纬度变化明显，其中流函数和非平衡势函数水平相关尺度在30层以下分别为600~1000 km和800~1400 km，而在高纬度对流层顶以上较大，大值中心可达2000 km以上(图 6a、图 6b)。低纬度对流层中层非平衡Exner气压的水平相关尺度较大，最大可达1500 km，中高纬度对流层为500~1000 km(图 6c)。比湿的水平相关尺度随纬度变化较小，对流层底层约为160 km，对流层中高层为120 km，随着高度增加，比湿水平相关尺度在对流层顶到平流层逐渐增大(图 6d)。

综上所述，流函数、非平衡势函数、比湿的水平相关尺度随高度变化更明显，对流层顶以上较大，非平衡Exner气压的水平相关尺度在低纬度对流层中层较大。

对20°~50°N，90°~125°E范围内的水平相关尺度按季节进行统计，结果如图 7所示。可以看到，在25层以下，流函数4个季节水平相关尺度为500~750 km，其中夏季最大，春季最小；25~45层冬季水平相关尺度最大，夏季最小，春、秋季在二者之间(图 7a)。对于非平衡势函数，27层以下，4个季节的水平相关尺度为600~900 km，冬、夏季略大，春季最小；27~40层的对流层顶冬季的水平相关尺度最大，夏季最小，春、秋季在二者之间(图 7b)。流函数、非平衡势函数在对流层顶附近有明显的季节变化特点，主要由于副热带西风急流在冬季强而稳定，在夏季西风急流较弱，因而其水平相关在冬季传播较远。

非平衡Exner气压的水平相关尺度随季节变化非常明显(图 7c)，冬季水平相关尺度最大，且在对流层中层较大；秋季水平相关尺度比冬季略小；夏季水平相关尺度最小，为500~650 km；在对流层中层，春季水平相关尺度略大于夏季。对于比湿(图 7d)，水平相关尺度也呈明显的季节变化，冬季水平相关尺度最大，夏季水平相关尺度最小，春、秋季水平相关尺度介于冬、夏季之间。夏季天气变化剧烈，当水汽环境变化快时，其水平相关尺度小。而冬季干冷的天气状态，比湿水平相关尺度较夏季偏大。

在GRAEPS-3DVar中，分析背景误差水平相关尺度随高度变化，结果如图 8所示。由图 8可以看到，比湿水平相关尺度约为200 km，在模式高层40层以上有所增加，可达400 km。非平衡Exner气压的水平相关尺度为500 km，在模式中层增长到约800 km。流函数水平相关尺度在25层以下为700~800 km，在25层以上随高度增加而增加，在高层可达1400 km；非平衡势函数水平相关尺度大于流函数，随高度增加而增加，在最高层可达2000 km。比较统计的水平相关尺度与GRAPE-3DVar中固定的水平相关尺度参数，二者相差较大，特别是非平衡Exner气压的对流层中低层和动力场的高层。

3 数值预报试验 3.1 试验设置

GRAPES_Meso有限区域中尺度数值预报系统在国家气象中心投入国家级业务化运行，经过多年的发展其运行稳定，分析预报性能逐年提高^[28-31]，其中的三维变分系统为全球和区域一体化的分析系统^[32-33]。采用GRAPES_Meso4.1.2.1版本进行数值预报试验，试验时段为2016年8月1—31日，每日00：00进行1次分析和48 h预报。试验区域为15°~65°N，70°~145°E。三维变分同化的观测资料包括探空风场、温度和相对湿度，地面报的气压和相对湿度，船舶报的气压、风场和相对湿度，飞机报的风场和温度，云导风以及GPS反演降水资料，同时通过云分析应用多普勒天气雷达反射率因子、风云二号静止气象卫星的总云量和亮温产品获得云初始场^[34]。控制试验中背景误差水平相关尺度为固定参数，流函数、非平衡势函数、非平衡Exner气压的水平相关尺度均为500 km，比湿水平相关尺度为200 km。改进试验采用随高度变化的背景误差水平相关尺度(图 8)，且试验中对统计的水平相关尺度进行调节，势函数、非平衡流函数、非平衡Exner气压及比湿的水平相关尺度都分别乘系数0.8，0.8，0.3，0.7。

3.2 要素场分析与预报检验

本文采用NCEP FNL分析资料作为检验场，通过比较GRAPES_Meso分析预报与NCEP FNL分析资料的全场月平均偏差和均方根误差考察水平相关尺度改进对分析预报的影响。

分析场与NCEP FNL月平均偏差及均方根误差如图 9所示。可以看到，改进试验高度分析在100 hPa以上均方根误差略大于控制试验，模式中层负偏差和100 hPa以上正偏差也大于控制试验(图 9a)，而改进的水平相关尺度对温度分析影响不大(图 9b)。

对于纬向风和经向风分析场(图 9c、图 9d)，改进试验对150 hPa以上的风场有明显正贡献，纬向风和经向风的均方根误差明显小于控制试验，同时100 hPa以上的分析偏差也明显比控制试验小。

水平相关尺度改进后，要素场6 h预报与NC-EP FNL均方根误差(图略)显示，6 h高度场预报在中低层偏差明显减小，全场平均均方根误差也明显减小；6 h温度场预报均方根误差在50 hPa以上略减小；对于纬向风和经向风在150 hPa以上的预报质量显著提高，均方根误差明显小于控制试验。

对于12 h预报(图 10)，水平相关尺度的改进对于高度场和温度场预报的影响很小，而对于纬向风、经向风在150 hPa以上预报有明显正贡献。对于18 h后的预报，水平相关尺度改进对要素场预报的影响已不显著(图略)。

水平相关尺度的改进对150 hPa以上的风场分析和预报有明显的正贡献，这与采用中高层较大的流函数和非平衡势函数水平相关尺度密切相关(图 8)，说明随高度变化的水平相关尺度更符合实际背景误差的分布特征。

3.3 降水预报检验

2016年8月1—31日控制试验和改进试验平均全国每6 h预报降水ETS评分如图 11所示。

由图 11可以看到，水平相关尺度改进试验的0~6 h降水预报ETS评分在各个降水量级均比控制试验显著提高；6~12 h降水预报ETS评分在小雨、中雨和特大暴雨明显高于控制试验。12~18 h和18~24 h降水预报ETS评分分别在暴雨和中雨有所降低，其他量级降水评分显著提高。

由不同时效降水预报偏差评分(图 12)可以看到，对于小雨、中雨和大雨量级降水，控制试验空报严重，而采用改进的水平相关尺度后，空报现象明显改善，降水偏差更接近于1。对于0~6 h和18~24 h降水预报，控制试验暴雨预报有空报，改进试验的暴雨空报改善明显；对于12~18 h和18~24 h的特大暴雨预报，控制试验漏报严重，改进试验能更准确预报特大暴雨的位置和量级。

4 结论和讨论

本文利用GRAPES_Meso有限区域中尺度数值预报模式的24 h与12 h预报场的差别，采用NMC方法统计了控制变量的背景误差，采用高斯函数线性拟合方法获得背景误差水平相关尺度，研究背景误差与水平相关尺度随空间和季节的变化特征。同时采用随高度变化的背景误差水平相关尺度统计结果替代GRAPES-3DVar中单一的水平相关尺度参数，进行分析预报数值试验，得到以下结论:

1) 控制变量的背景误差都是非均匀的，其中流函数和非平衡势函数背景误差随纬度变化明显，而非平衡Exner气压和比湿背景误差的局地性强，非平衡Exner气压误差在青藏高原地区较大，比湿误差在低纬度热带季风区较大。

2) 背景误差随季节有明显的变化特征，特别是非平衡Exner气压背景误差在冬季大、夏季小；比湿背景误差在夏季大、冬季小。

3) 流函数、非平衡势函数和比湿变量拟合的高斯相关模型与水平相关样本很贴近，非平衡Exner气压变量拟合的高斯相关函数在近距离有高估，在远距离有低估。

4) 流函数、非平衡势函数、比湿的水平相关尺度随高度变化明显，在对流层顶以上较大；非平衡Exner气压的水平相关尺度随纬度变化大，在低纬度对流层中层相关尺度较大。

5) 非平衡Exner气压的水平相关尺度随季节变化明显，冬季水平相关尺度最大，且在对流层中层较大，夏季水平相关尺度最小，春、秋季水平相关尺度介于冬、夏季之间。比湿的水平相关尺度也呈现明显的季节变化特征，冬季水平相关尺度最大，夏天的水平相关尺度最小，春、秋季的水平相关尺度介于冬、夏季之间。

6) 在GRAPES-3DVar中采用随高度变化的背景误差水平相关尺度，更能反映模式的实际背景误差相关结构的分布特征，分析预报试验表明：水平相关尺度的改进对于风场分析及其12 h内的预报有明显正贡献；对6 h高度场预报也有明显正贡献；对于不同量级降水24 h内的预报正贡献显著，也明显改善小雨、中雨和大雨24 h内预报的空报现象，明显改善12~24 h特大暴雨预报的漏报现象。

目前GRAPES-3DVar中背景误差为随高度和纬度变化的结构，对于流函数和势函数，能近似描述背景误差特征；但非平衡Exner气压和比湿受地形和环流影响，其局地性强，在分辨率提高的情况下，还需要考虑误差随经度变化。除此之外，背景误差随季节变化也非常明显，误差随季节的变化特征被忽略将极大影响分析质量。

GRAPES-3DVar中采用高斯相关函数描述背景误差水平相关特征，通过递归滤波实现观测信息在水平方向的传播，因而采用高斯函数直接拟合背景误差水平相关样本，流函数、非平衡势函数和比湿采用高斯函数拟合时，拟合函数和相关样本匹配较好。非平衡Exner气压采用高斯函数拟合时，在近距离相关系数被高估，在远距离相关系数被低估，说明非平衡Exner气压不适合采用高斯相关描述。由于Exner气压水平相关的不恰当描述，其分析质量也会受到影响。对于高分辨率分析，以后将尝试采用二阶自回归或其他的函数描述背景误差水平相关关系。由于不同季节的水平相关尺度也不相同，特别是非平衡Exner气压和比湿具有明显的季节变化特征，本文首先在分析中引入背景误差水平相关尺度随高度变化信息，为了使描述的背景误差协方差更接近实际模式误差变化，将尝试引入随纬度和季节变化的水平相关尺度。

致谢: 本文完成过程中，得到中国气象局数值预报中心邓莲堂、黄丽萍等在GRAPES_Meso区域模式和预报检验方面的帮助，中国气象科学研究院薛纪善研究员提供了变分系统的理论指导，在此谨向他们表示衷心感谢!