作物需水量是灌溉预报和灌溉决策的重要参数，可以通过田间测定和采用理论计算两种方法确定，作物系数法是最常用、最经典的理论计算方法^[1]。作物系数 (K_c) 被定义为作物潜在蒸散量与参考作物蒸散量之比，受土壤、气候、作物生长状况和管理方式等多种因素影响^[2-3]。作物系数的研究成果，无论试验方法还是对FAO推荐系数的检验、修正，主要集中于生育时段平均值的研究，且以冬小麦、夏玉米较多^[4-11]。左余宝等^[8]研究了鲁北地区夏玉米6个发育时段的作物系数，出苗期最小为0.77，抽雄—灌浆期最大为1.75，全生育期平均为1.34；彭世彰等^[9]在山西、河南、陕西、河北省各选择一个地区研究了夏玉米6—9月作物系数，最大值出现在8月，地区间差异较大；连彩云等^[10]得出河西绿洲灌区玉米平均作物系数为0.7，最大值为1.05；戴佳信等^[11]通过FAO-56推荐的双作物系数法研究得出河套灌区玉米作物系数，平均值为0.721，最大值为1.224。时段平均作物系数在蒸散量的计算模拟和灌溉制度制定等田间水分管理中发挥了重要作用^[12-14]，但在灌溉预报中求算逐日需水量时难以满足精度要求，需要建立作物系数日变化模拟方程。前人曾构建了以发育时间或热量指标为变量的作物系数随时间变化曲线。如Steele等^[15]以播后日数为变量，采用五次多项式进行回归，分析确定了玉米的作物系数曲线；Sammis等^[16]和Stegman^[17]用生长期积温作为变量构建了玉米和高粱作物系数曲线；孙景生等^[18]研究建立了春小麦作物系数与播后天数、生育期积温的函数曲线；张淑杰等^[19]基于涡度相关数据研究了春玉米逐日作物系数的计算方法，为作物需水量的逐日计算提供了依据。

就同一种作物而言，由于不同地区气候、环境条件的差异而使作物系数有所不同。因此，不同作物的作物系数应根据当地的灌溉试验成果确定。对于缺乏试验资料的作物和地区，可以利用FAO推荐的标准作物系数和修正公式，根据当地气候、土壤等进行修正^[1-2]。目前，内蒙古河套灌区春玉米作物系数方面的研究仅有发育时段平均值成果^{[5, 11]}，作物系数曲线的研究鲜见报道。文献[20]得出典型草原群落作物系数曲线，但因下垫面结构和群落生长进程的差异，不能应用于玉米农田。为此，通过田间试验和农业气象试验站观测资料，利用水分平衡方程，研究建立河套地区玉米作物系数变化方程，实现作物实际蒸散量的逐日滚动估算，同时与FAO推荐值进行比较，检验模型代表性，并提出作物系数叶面积修正方法，以正确估算水分胁迫下的土壤水分含量，为开展玉米灌溉预报提供依据。

试验于2013年4—9月在内蒙古巴彦淖尔市农业气象试验站 (40°45′N，107°25′E，海拔为1039.3 m) 进行，地点位于临河区。该地属中温带大陆性季风气候，干旱少雨，年平均气温为8.7℃，年降水量为151.0 mm，6—8月降水量占全年降水量的61.6%，雨热同季，年平均日照时间为3084.6 h，无霜期为162 d。农田土壤类型为灌淤土，pH值为7.5，质地为壤土，0~2 m土壤平均体积质量为1.38 g/cm³, 田间持水率为26.8%，0~60 cm土壤有机质质量分数为10.79 g/kg。地下水位平均深度为5.7 m。

利用大型活动遮雨棚及池栽对玉米 (郑单958) 进行全程水分控制，小区面积为4 m×6 m，四周有防渗漏设施，深度为2 m。在拔节—抽雄和抽雄—乳熟2个生育阶段，分别设置严重缺水、中度缺水、轻度缺水、水分适宜和偏湿5个水分处理 (相应的土壤水分下限值分别控制为田间持水率的40%，55%，65%，75%和85%)，非控水时段水分充分供给，共10个水分处理，其中包括整个生长季水分适宜和轻度偏旱2个处理，对照按常规灌溉，2次重复，共22个小区。播种后每隔5 d用中子仪测定土壤水分，表层 (0~30 cm) 采用土钻法，临近水分控制下限时进行加测，每隔10 cm为1层，测定深度为2 m。拔节前和拔节后灌水计划湿润层深度分别为0~50 cm和0~80 cm土层，当各阶段计划湿润层土壤含水率平均值达到控制下限时机井灌溉，水表计量水量。作物三叶期开始每5 d测量1次株高 (开花后停止) 和叶面积，在三叶、拔节、抽雄、抽雄后20 d、乳熟、成熟期测定地上部分各器官干物质量，成熟后测定产量。

区域代表性分析资料来自于内蒙古气象信息中心提供的研究区3个农业气象观测站1994—2013年玉米农田农业气象观测资料和气象资料。选择各旬土壤水分保持在70%以上，且产量较高的年份作为水分适宜供给年 (临河区3年：2000, 2001, 2009年；准格尔旗6年：1990, 1992, 1994, 1995, 1998, 2002年；土左旗3年：2002，2004，2008年)，计算不同产量水平下的作物系数。实例检验采用2014年分期播种资料。

作物系数 (K_c) 是作物潜在蒸散量或称需水量 (E_T，单位：mm) 与参考作物蒸散量 (E_T0，单位：mm) 的比值计算，即

(1)

式 (1) 中，参考作物蒸散量采用FAO推荐的Penman-Monteith方法^[2]计算。作物需水量通过田间试验条件下无水分胁迫发生地块的实测土壤水分和灌溉等资料，采用水量平衡法计算。

根区水量平衡基本方程为

(2)

式 (2) 中，ΔW为时段开始和结束时土壤含水量的差值，P和I分别是时段降水量和灌溉量，E_Ti为第i时段潜在蒸散量，G为地下水补给量，R_O为径流量，B为作物截留量，D为渗漏量；单位均为mm；i为时段序数。

对20个小区190~200 cm土层水分时间变化特征分析，得出该土层水分的变化幅度在0.74~3.9 mm之间，平均为1.9 mm，变异系数C_V平均为2.40%，变化范围为0.79%~5.96%，说明该处水分通量变化很小，G, D参数可以忽略。由于在人工控制下P, R_O和B基本不产生，也可以忽略不计，式 (2) 则可简化为

(3)

采用式 (3) 计算玉米生长季水分适宜条件下的逐旬需水量，以及相应时段的参考作物蒸散量，利用式 (1) 求算K_c。

由于在实际中可能出现土壤水分阶段性低于试验设计要求的情况, 根据Jensen提出的土壤水分修正系数公式对计算出的K_c结果进行了检查和订正, 以消除水分胁迫对K_c的影响^[21]。

为了检验作物系数变化方程模拟结果的代表性和科学性，采用分段单值平均系数法，分别计算了临河试验田、临河区、准格尔旗、土左旗玉米快速发育期、生育中期和后期的作物系数。

根据2012年和2013年分期播种试验叶面积指数 (I_LA) 和高度观测资料，参考FAO的划分标准，将作物系数的变化过程概化为4个阶段的3个值：①生长初期，从出苗到相对叶面积指数 (I_RLA) 在11%之前，作物系数为K_cini；②快速生长期，I_RLA从11%增加到90%，作物系数从K_cini提高到K_cmid；③生长中期，从I_RLA最大，充分覆盖到成熟期开始，I_RLA下降 (低于90%)，此阶段作物系数为K_cmid；④生长末期，I_RLA因叶片变黄而迅速下降至成熟，作物系数由K_cmid下降到K_cend。图 1为利用水分适宜和分期播种资料统计的叶面积指数随时间变化曲线，由于不同年份、不同地点的作物发育速率有所不同，而某一发育时段所需的积温相对固定，故以大于等于10℃积温表示时间变量。以图 1中标注点作为I_LA变化的拐点，划分出试验田玉米的生长阶段及株高。同理，利用农业气象观测资料确定出临河、准格尔旗和土左旗玉米的发育阶段，见表 1。

图 1

图 1. 水分适宜条件下ILA时间变化曲线 Fig 1. ILA time variation curve under water suitable conditions

表 1

表 1 4个发育阶段出现日期和平均株高 Table 1 The emergence date of 4 developmental stages and the average height of the plant 地区 气象观测 生长初期 快速生长期 生长中期 生长末期 临河试验田 时间段 05-06—05-31 06-01—05-07 07-06—08-20 08-21—09-15 平均株高/cm 18 110 260 250 临河区 时间段 05-10—06-04 06-05—07-10 07-11—08-25 08-26—09-20 平均株高/cm 110 275 270 准格尔旗 时间段 05-15—06-09 06-10—07-15 07-16—08-25 08-26—09-25 平均株高/cm 120 240 225 土左旗 时间段 05-08—06-02 06-03—07-08 07-09—08-20 08-21—09-15 平均株高/cm 100 266 260

表 1 4个发育阶段出现日期和平均株高 Table 1 The emergence date of 4 developmental stages and the average height of the plant

采用FAO推荐的式 (4) 对FAO-56给出的玉米生长中期和末期的作物系数进行气候调节和订正^[2]：

(4)

式 (4) 中, K_{cmid (tab)}为生长中期标准作物系数，由文献[2]中查出；u₂为该生育阶段内2 m高处的日平均风速；R_Hmin为该生育时段内日最低相对湿度的平均值；h为时段内作物的平均高度，单位：m。将式 (4) 中的K_{cmid (tab)}换成生长末期值K_{cend (tab)}就可计算出生长末期作物系数K_cend。

生长季任意时段作物系数可以利用式 (5) 计算，即

(5)

式 (5) 中, K_ci为第i时段的作物系数；K_cprev是前一时段的作物系数；K_cnext是后一时段的作物系数；L_prev为前一时段的生长日数；L_stage为当前生长时段持续的天数。

用0~100 cm根层土壤含水量 (单位：mm) 模拟值与实测值之间的平均相对误差和均方根误差评价拟合的吻合程度：

(6)

(7)

其中，A_RE为平均相对误差，R_MSE为均方根误差，θ_s为实测土壤含水量，θ_m为模拟土壤含水量，n为观测值数量。

利用式 (1)~(3) 分别计算不同站点水分适宜条件下玉米逐旬作物系数，时间变化规律见图 2。鉴于用热量指标为变量构建作物系数曲线可以减少地理因子对作物系数的影响^[22]，本研究构建了玉米从出苗到成熟期大于等于10℃积温为变量的作物系数曲线，以三项式拟合效果较好。为消除品种间和天气气候条件差异的影响，建立了相对积温模型，并计算得出各站点最大和平均作物系数 (表 2)。

图 2

图 2. 出苗后以旬 (a) 或积温 (b) 为变量的春玉米作物系数曲线 Fig 2. The crop coefficient curve of spring maize with the variable of ten days (a) or cumulative growing degree (b) after emergence

表 2

表 2 水分适宜条件下玉米生长期作物系数模拟方程及主要参数 (n=15) Table 2 Simulation equations and main parameters of crop coefficient of maize in growing season under water suitable conditions (n=15) 地区 表达式 R2 Kc 最大值 Kc 平均值 产量水平/ (kg·hm-2) 临河试验田 Kcb=-5.14Tx3+3.84Tx2+1.795Tx+0.1461 0.9332 1.48 0.919 13501.1 临河区 Kcb=-4.95Tx3+3.59Tx2+1.635Tx+0.2135 0.9208 1.43 0.900 12753.8 准格尔旗 Kcb=-6.91Tx3+7.18Tx2-0.123Tx+0.2912 0.9356 1.38 0.868 11105.2 土左旗 Kcb=-5.36Tx3+4.82Tx2+0.866Tx+0.2128 0.9478 1.30 0.831 10755.3 注：Kcb为水分适宜时的作物系数；Tx表示生长过程相对积温, 单位：℃·d，计算方法为出苗后逐旬积温与生长季总积温的比值。

表 2 水分适宜条件下玉米生长期作物系数模拟方程及主要参数 (n=15) Table 2 Simulation equations and main parameters of crop coefficient of maize in growing season under water suitable conditions (n=15)

由图 2可以看出，各地玉米作物系数随发育进程变化的模拟曲线有高度的一致性，幼苗期K_c随发育进程增加而缓慢增加，积温500℃·d左右 (6月上旬) 时迅速增大，1500℃·d (7月中旬) 时增速变慢，2000℃·d (8月上旬) 左右达到最大值，此时正值吐丝—灌浆初期，之后缓慢降低，2500℃·d后迅速下降。K_c地区间差异在生长中期，即孕穗期—灌浆中期体现的较为明显，临河试验田K_c最高，临河区次之，土左旗最小，最大值与平均值变化趋势一致 (表 2)。与样本年作物产量统计结果比较，产量越高作物系数越大 (产量与K_c平均值的相关系数为0.957)，与文献[18]“同一产量水平时，不同水文年份的作物系数是稳定的，但不同产量水平下同一种作物的K_c则有较大差异”的结论相吻合。

根据表 1发育阶段划分结果和各站点气候条件，利用式 (4) 得出订正后的作物系数，其中初期作物系数K_cini用多年实际计算结果的平均值代替，取值0.2(见表 3)。与文献[2]中给出的值比较，修正后的作物系数土左旗与推荐值十分接近，其他地区略高于推荐值1.7%~5.8%，说明时段划分合理，计算结果可信。

表 3

表 3 各发育阶段持续时间、出现时段和修正作物系数与FAO值的比较 Table 3 The duration and emergence date of development stages and the comparison between modified crop coefficient and FAO value 地区 生长期/d Kc 生长 初期 快速 生长期 生长 中期 生长 末期 生育期 生长 初期 快速 生长期 生长 中期 生长 末期 FAO推荐值[2] 30 40 50 30 150 0.15 0.15~1.2 1.2 1.2~0.6 临河试验田 25 35 45 25 130 0.2 0.2~1.27 1.27 1.27~0.69 临河区 25 35 45 25 130 0.2 0.2~1.25 1.25 1.25~0.65 准格尔旗 25 35 40 30 130 0.2 0.2~1.22 1.22 1.22~0.62 土左旗 25 35 42 25 127 0.2 0.2~1.19 1.19 1.19~0.60

表 3 各发育阶段持续时间、出现时段和修正作物系数与FAO值的比较 Table 3 The duration and emergence date of development stages and the comparison between modified crop coefficient and FAO value

根据式 (5) 计算出生长期各旬的作物系数，并与多项式模拟结果比较，结果显示二者有很好的一致性 (图 3和表 4)。生长中期模拟方程计算的K_cmid平均值普遍比FAO分段单值法计算结果高0.04~0.09，相对高出3.4%~7.2%，变化范围与FAO推荐值基本一致 (生长中期K_c变化范围为1.05~1.40，平均为1.2)；生长前期数值偏高。总体上两种方法得出的结果相近，说明表 1中的模拟方程有较好的代表性，既可动态计算逐日K_c值，也较分段单值法方便，故可用于计算水分适宜条件下任意时间的标准作物系数。

图 3

图 3. 不同地区2种Kc计算方法结果的比较 Fig 3. Comparison results of Kc calculated by 2 methods in different regions

表 4

表 4 不同生长时段多项式计算Kc结果的比较 Table 4 The comparison results of Kc calculated by polynomials of different development stages 地区 生长初期 快速生长期 生长中期 生长末期 平均值 区间 平均值 区间 平均值 区间 平均值 区间 FAO推荐值[2] 0.15 1.20 1.05~1.4 0.60 临河试验田 0.29 0.15~0.45 0.87 0.67~1.08 1.35 1.20~1.48 0.81 1.10~0.47 临河区 0.36 0.20~0.53 0.82 0.61~1.03 1.34 1.22~1.43 0.83 1.12~0.53 准格尔旗 0.40 0.30~0.51 0.84 0.65~1.03 1.27 1.15~1.38 0.89 1.18~0.59 土左旗 0.35 0.25~0.48 0.81 0.63~0.99 1.23 1.14~1.30 0.78 1.00~0.56

表 4 不同生长时段多项式计算Kc结果的比较 Table 4 The comparison results of Kc calculated by polynomials of different development stages

在作物生长过程中常常会受到干旱等环境胁迫的影响，表现为生产潜力或生物量的降低，从而影响到蒸散量和蒸散系数。因此，水分适宜条件下的作物系数在实际应用中存在局限性，需要修正。叶面积变化不仅代表了作物自身遗传特性，也能很好地反映作物生长环境的影响。作物系数的变化过程与生长季节中叶面积指数的变化过程十分接近^[22]。为反映环境胁迫的影响，可用相对叶面积指数修正作物系数，即实测叶面积 (I_SLA) 与相应时段标准叶面积指数 (I_BLA) 的比值，其中标准叶面积是适宜生长条件下作物生长良好的叶面积。通过分析相对叶面积指数与K_c的关系，得出二者用指数函数描述效果较好，即

(8)

n=328, R²=0.7163, 拟合率为70.2%。

式 (8) 中，K_cL为作物系数的叶面积修正系数，I_RLA为相对叶面积指数，I_BLA可通过式 (9) 计算。

非胁迫条件下的I_BLA时间变化趋势可用修正的Logistic方程拟合^[23]，本文利用水分适宜和正常播期的叶面积观测资料较好地拟合了I_BLA的变化规律 (图 1)，拟合方程为

(9)

n=22，R²=0.9981，R_MSE=0.0986。

式 (9) 中，I_BLA为标准叶面积指数，T_≥10为出苗后大于等于10℃的时段积温。

由此，实际生产条件下的作物系数 (K_cS) 可由下式计算：

(10)

利用临河区2014年分期播种 (Ⅰ期：播种日期为4月1日，Ⅱ期：播种日期为4月15日，Ⅲ期：播种日期为4月30日) 叶面积、灌溉等作物和气象资料，统计各发育期相对积温、E_T0, P, I，根据表 2中公式和式 (8)~式 (10) 计算作物系数K_cS，以播种时1 m土层的土壤水分为初始土壤水分，代入式 (3) 计算出各发育期土壤湿度，并与实测值比较，均方根误差为24.3 mm，平均相对误差为6.3%，相对误差范围为0.19%~23.9%，相对误差小于10%的占79.2%，不低于15%的占4.2%。误差较大的时期主要在抽雄—灌浆期 (图 4)。总体效果较好，可用于指导生产。

图 4

图 4. 土壤水分模拟相对误差比较 Fig 4. Comparison of relative error of soil moisture simulation

本文以田间水分试验资料为基础，结合历史常规观测资料，计算了玉米生长期逐旬作物系数，建立了时间变化方程，与修正后的FAO推荐值进行比较，并用实例进行检验，主要结论如下：

1) 用水量平衡法反求的玉米作物系数随发育进程呈三项式曲线变化，产量越高作物系数越大。以出苗后相对积温为变量建立的玉米作物系数模拟方程，决定系数在0.92以上，因考虑了地理位置和品种间差异的影响，增强了应用的普适性。

2) 模拟计算的作物系数最大值、平均值、典型值和区间值，与FAO分段直线法得到的结果基本一致，在生长中期模拟结果偏高3.4%~7.2%。

3) 利用作物系数与叶面积指数的关系，修正了环境胁迫下作物系数的计算方法，实现实际水分状况下玉米作物系数的估算。通过土壤水分模拟检验，与实测值的平均相对误差为6.3%，相对误差小于15%的占95.8%，表明文中提出的作物系数估算方法可以在河套地区应用。

本方法得出的时段作物系数普遍高于戴佳信等^[11]和杜斌等^[5]的研究结果，平均值和最大值均偏高0.14~0.17，其原因是后者在覆膜条件下得出的结果，很可能因土壤蒸发的减少而降低了作物系数，且试验区域和方法也不相同。实例检验表明：土壤水分拟合效果较好，但有随需水量增加误差变大的现象，主要原因是植株需水量增大，根系吸收深层水分多，模拟计算时未考虑1 m以下土层水分的补给，从而造成较大误差。若选择2 m深土层土壤水分作为初始土壤水分进行计算和比较，可能会提高模拟效果。同时反映出利用文中式 (3) 计算1 m土层水分平衡时不考虑下层水分补给会加大误差，需要今后探索下层水分补给的计算方法，以完善模型。由于河套地区玉米生长前期干旱少雨，地表湿润度变化小，多年实际计算结果比较稳定，且订正方法比较复杂，故未对推荐值进行土面湿润程度对蒸发影响的订正，使得FAO推荐作物系数在生长前期明显低于模拟值。但模拟值与杜斌等^[5]确定的0.244接近，认为有一定的客观性。本文提出的玉米作物系数动态模拟方法，为玉米蒸散量的计算和灌溉预报提供了方法和依据。