干旱研究一般将干旱分为气象干旱、水文干旱、农业干旱和社会经济干旱，气象干旱是其他各类干旱发生的主要原因^[1]。对气象干旱指标的研制，国内外开展了一系列研究工作^[2-14]，利用不同干旱指标针对不同地区的干旱及分布特征进行了分析^[15-19]。在科研和业务中，往往要对某一站点在某一时段内的气象干旱程度进行整体评价。本文基于逐日气象干旱指数 (multi-scale standardized precipitation index, I_MSP)^[19]，通过Boltzmann函数, 来求解某一站点在某一时间尺度下各个等级气象旱涝状态的平均发生概率的累计概率分布，构建了可以反映某一站点在某一时段内气象旱涝强度的标准化的阶段气象旱涝强度指数 (staged meteorological drought intensity index, I_SD) 及表征气象旱涝时间分布状态的、标准化的阶段气象旱涝时间分布差异指数 (staged meteorological drought discrepancy index, I_SDD)。对于不同时间尺度下的任一站点，两个指数可以在日尺度到年尺度乃至更大的时间尺度上进行计算。本文通过Boltzmann函数来构建I_SD和I_SDD的方法具有很好的拓展应用性，其他气象干旱指数也可以采用该方法来构建标准化的阶段旱涝指数。

本文所用资料为中国气象局公布的我国2415个站1981年1月—2011年6月的逐日降水资料，选取其中缺测值少于300个 (年平均为10 d) 的2211个站资料。对缺测记录进行了简单插补，即用该站缺测日的多年平均值代替缺测记录^[20]。

对于某一站点在某一时间尺度下的气象干旱指数而言，涉及该站点在该时段内各日所处的不同气象旱涝等级 (旱涝事件总体影响强度的大小)、该站点在该时段内发生不同等级气象旱涝事件的日数 (旱涝事件总体影响时间的长短) 和该站点在该时段内不同等级气象旱涝的发生频次 (各等级气象旱涝各自影响时间的长短)3个基本特征。本文基于逐日气象干旱指数I_MSP，采用某一站点在某一时间尺度下各等级气象旱涝状态的平均发生概率, 来构建阶段气象旱涝指数，各等级对产生影响的气象旱涝事件的强度进行了定义，平均发生概率则同时包含了不同等级气象旱涝的发生频次及其总体影响时长的信息，所以各等级气象旱涝状态的平均发生概率实际上包含了各个等级的气象旱涝事件各自影响强度、影响时长及影响次数的综合信息。干旱是一个缓慢的累积过程，某时刻旱涝程度不仅与当前降水量有关，而且与前期降水的累积效应等因素有关^[21]，I_MSP多尺度迭加思想^[19]也较好地体现了这一累积过程。因此，本文在构建阶段气象旱涝指数时按文献[19]中的方法计算得到单站的逐日气象干旱指数。

以构建昆明站月尺度 (m=30) 的阶段气象旱涝指数为例来说明阶段气象旱涝指数的构建方法。首先，基于某一站点的逐日气象干旱指数，由式 (1) 首先计算得到该站点在该时段内各等级气象旱涝状态的平均发生概率，再由式 (2) 得到平均发生概率的累计概率分布p(r)。式 (1) ~(2) 中的r代表不同的气象旱涝等级，1~9分别代表了特别湿、严重湿、中等湿、轻微湿、正常、轻微干、中等干、严重干和特别干；n(r) 为某时段内气象旱涝等级为r的日数; m为某一时段逐日气象干旱指数的数据长度，代表了时间尺度。

(1)

(2)

2008年7月昆明站降水量比常年同期偏多36.4%, 2009年7月降水量比常年同期偏少80.8%。如图 1所示，昆明站2008年7月处于正常等级及湿等级的平均发生概率高于2009年7月，但2009年7月处于干等级的平均发生概率要大于2008年7月，可以认为昆明站在2009年7月主要受不同程度气象干旱事件的影响，2008年7月主要受不同程度气象洪涝事件的影响。基于昆明站2008年7月与2009年7月的I_MSP，由式 (1) 和式 (2) 得到月尺度下各个等级气象旱涝平均发生概率的累计概率分布。如图 2所示，2008年7月与2009年7月昆明站不同等级气象旱涝平均发生概率累计概率分布的图型呈S型 (图 2中实心点线)，由于2008年7月处于湿等级的日数较多而2009年7月处于干等级的日数较多，导致2008年7月的累计概率分布曲线出现了整体上移的现象。

图 1

图 1. 2009年7月与2008年7月昆明站各等级气象旱涝日数平均发生概率分布 Fig 1. The average probability distribution of the number of days for different drought and flood degrees in July 2009 and July 2008 at Kunming Station

图 2

图 2. 2009年7月与2008年7月昆明站不同等级气象旱涝日数平均发生概率的累计概率分布 Fig 2. The average accumulative probability distribution of the number of days for different drought and flood degrees in July 2009 and July 2008 at Kunming Station

月内不同等级气象旱涝平均发生概率的累计概率分布曲线包含了不同强度气象旱涝事件的整体影响时间和各自影响时长的综合信息，如果可以用一个特征量来对这一累计概率分布曲线加以描述，那么该特征量也就可以用来表达不同强度气象旱涝事件各自影响的综合信息，因此可以认为该特征量就是本文需要构建的阶段气象旱涝指数。应用Boltzmann函数来求解某一时段内不同等级气象旱涝站均发生概率的累计概率分布曲线。函数曲线在形式上与该曲线的形状相似，避免了多项式的拐点现象，也具有明确的物理意义，式 (3) 给出了Boltzmann函数的表达式,

(3)

式 (3) 中，a₁, a₂, x₀和dx为4个常数，a₁和a₂分别为最终值和初始值，x₀为S曲线中点 (y为波高的一半) 处的x值，dx描述的是曲线坡度。函数有正确的渐近行为，即

(4)

当x→-∞时，y(x)→a₁，即a₁为S形曲线的下平台值；当x→a₂时，y(x)→a₂，即a₂为S形曲线的上平台值^[22-23]。dx表示随着气象旱涝等级的变化，某一站点在某一时段中从发生概率较低等级转换到发生概率较高等级的平均转换速率，可以认为dx是阶段气象旱涝时间分布的差异指数，dx值越小，某一时段中越多的日数集中于越少的气象旱涝等级中，该时段内出现过的不同旱涝等级数越少；dx值越大，某一时段中的气象旱涝状态就越分散，该时段内出现过的不同旱涝等级数就越多。x₀是S形曲线上、下平台区间50%所对应的位置，如果该时段内发生气象干旱事件尤其是高等级干事件的日数越多，则S形曲线的上升部分越集中于干等级范围，S形曲线的上半部分越向下凹陷，x₀越大；若发生洪涝事件尤其是高等级涝事件的日数越多，则S形曲线的上升部分越集中于湿等级范围，S形曲线的下半部分越向上凸起，则x₀越小。所以对于某一时段内不同等级气象旱涝平均发生概率的累计概率分布曲线，是一个可以用来描述其整体行为凹陷 (偏旱) 或凸起 (偏涝) 的特征量，x₀越大，该时段越干旱，x₀越小，该时段越湿润。

在实际使用Boltzmann函数来求解某一时段内各个等级气象旱涝日数的平均百分比累计概率分布曲线时，对于一个累计概率分布曲线而言，其值域范围永远位于0~1之间，所以其上平台值也就是累计概率分布所能达到的最大值，即a₂=1；其下平台值也就是累计概率分布所能达到的最小值，即a₁=0。Boltzmann函数是一个非线性函数，本文采用高斯-牛顿迭代法进行求解^[24]。设非线性回归的一般模型为

(5)

其中，x=(x₁，x₂，…，x_n)^T为自变量，θ=(θ₁, θ₂, …, θ_n)^T是回归参数，ε是误差，它们的计算步骤如下：① 给出初值θ⁰; ② 计算矩阵

(6)

③ 计算迭代值θ^*代替θ⁰作为新的迭代初值，不断重复上述步骤，直至θ^*前后两项的迭代值小于预先给定的精度。

图 2中空心点线给出了应用Boltzmann函数来求解某一时段内不同等级气象旱涝平均发生概率的累计概率分布曲线得到的结果。Boltzmann函数适合于不同等级气象旱涝平均发生概率的累计概率与气象旱涝等级关系曲线的模拟，同时也符合95%置信度下相关性要求。根据分析结果，昆明站2008年7月的阶段气象旱涝强度指数x₀=3.96，2009年7月的x₀=5.78，后者比前者偏旱，这与图 1的分析结果相一致。对于阶段气象旱涝时间分布差异指数，2008年7月的dx=0.12，而2009年7月dx=0.1，2008年7月气象旱涝状态的时间分布更分散。由图 1可以看出，2008年7月昆明站经历了轻微湿、正常和轻微干3种不同等级的旱涝事件；2009年7月只发生过轻微干和中等干两种不同等级旱涝事件，因此2009年7月出现过的不同旱涝等级数更少，气象旱涝状态的时间分布也更加集中，这与图 2的结论一致，说明了阶段气象旱涝时间分布差异指数dx适用于描述某一站点在某一时间尺度下气象旱涝状态时间分布差异性。

采用第2章的方法可以得到某一站点在某一时间尺度下的阶段气象旱涝指数，但这一指数不适用于不同站点的对比分析，因此有必要对阶段气象旱涝指数进行标准化以解决这一问题。本文使用各站点1981—2010年不同时间尺度的阶段气象旱涝平均指数对阶段气象旱涝指数进行标准化。阶段气象旱涝平均指数的构建采用第2章的方法，基于某一站点在某一时段内的I_MSP，计算得到该站点在该时段内不同等级气象旱涝的日数百分比，根据式 (7) 将30年来该时段内不同等级气象旱涝的日数百分比进行累加求和，并进行算术平均得到该站点30年来在该时间尺度下不同等级气象旱涝平均发生概率，再由式 (2) 计算得到30年来的平均发生概率的累计概率分布p_c(r)。

(7)

式 (7) 中，n_i(r) 为某年该站点在该时段内气象旱涝等级为r的日数。用Boltzmann函数对p_c(r) 曲线进行求解，此时得到的x₀=x_c0即为该站点30年来在某一时间尺度下的阶段气象旱涝平均强度指数，同样dx=dx_c为该站点30年来某一时间尺度下的阶段气象旱涝时间分布平均差异指数，根据式 (8) 对该站点在同一时间尺度下的阶段气象旱涝强度指数和阶段气象旱涝时间分布差异指数进行标准化，得到该站点某一时间尺度下的阶段气象旱涝标准强度指数I_SD和阶段气象旱涝时间分布标准差异指数I_SDD:

(8)

式 (8) 中, x_c0为该站点30年来某一站点在某一时间尺度下的阶段气象旱涝平均强度指数，dx_c为该站点30年来同一时间尺度下的阶段气象旱涝时间分布平均差异指数，x₀为该站点同一时间尺度下任一时段的阶段气象旱涝强度指数，同样dx_c为该站点同一时间尺度下任一时段的阶段气象旱涝时间分布差异指数。某一站点在某一时间尺度下的I_SD为正，说明此时的累计概率分布p(r) 曲线较之于p_c(r) 曲线更加向下凹陷，在该时间尺度下该站点较之于气候平均态而言偏干，且I_SD越大则越旱；若I_SD为负，说明此时p(r) 曲线较之于p_c(r) 曲线更加向上凸起，在该时间尺度下该站点较之于气候平均态而言偏湿，且I_SD越小越湿润。

如果某一时间尺度下的I_SDD>0，说明此时该站点的旱涝时间分布状态发生了明显异常，其均一性已经超出了气候平均态；反之若某一时间尺度下的I_SDD＜0，说明此时该站点的旱涝时间分布状态没有发生明显异常，其均一性未超过气候平均态。某一站点在某一时间尺度下的I_SDD越大，说明此时概率分布p(r) 曲线的上升趋势越平缓，在该时间尺度下该站点的旱涝时间分布越分散，该站点出现过的不同旱涝等级数相对就越多；I_SDD越小，说明此时p(r) 曲线的上升趋势更加陡峭，该站点出现过的不同旱涝等级数相对越少。

由图 3可以看出，Boltzmann函数依然很好地模拟了各等级气象旱涝日数的平均百分比累计概率与气象旱涝等级关系曲线。由Boltzmann函数的分析结果可知，昆明站7月的阶段气象旱涝平均强度指数x_c0=4.62，阶段气象旱涝时间分布平均差异指数dx_c=1.07。标准化后昆明站2008年7月的阶段气象旱涝标准强度指数I_SD=-0.14，2009年7月I_SD=0.25，说明昆明站在2008年7月整体偏湿而2009年7月整体偏旱。同1981—2010年7月的平均类型数相比较，2008年7月和2009年7月出现过的不同旱涝等级数少于气候态值，气象旱涝时间分布的差异性小于气候平均态，且前者的空间差异大于后者。而经过标准化之后的2008年7月的阶段气象旱涝时间分布标准差异指数I_SDD=-0.88，2009年7月I_SDD=-0.90，表明前者气象旱涝的时间分布差异稍大于后者，且二者的气象旱涝时间分布较之于气候平均态而言相对更均一。标准化后，由I_SD和I_SDD得到的结果与前面的分析结果一致，说明标准化过程的有效性，且阶段气象旱涝强度指数和阶段气象旱涝时间分布差异指数经标准化后，不同站点的气象旱涝之间也具有可比性。

图 3

图 3. 1981—2010年7月昆明站不同等级气象旱涝日数平均发生概率的累计概率分布 Fig 3. The average accumulative probability distribution of the number of days for different drought and flood degrees in July from 1981 to 2010 at Kunming Station

由于降水时间分布的不均匀性特征，当时间尺度较小时 (旬或月)，此时单次降水过程的降水量对该时间尺度下该时段内的总降水量也有相当贡献，而且当发生在该时段末期的降水并未对该时段内的旱涝状态产生影响，但在计算整个时段的降水距平百分率或标准降水指数 (stadardized precipitation index, I_SP) 时则将这一降水过程考虑在内，从而该时段内气象旱涝强度的判断中含有虚假信息；同时某一时段的旱涝程度不仅与该时段的降水量有关，而且与前期降水的影响有关；干旱尤其是持续时间较长的干旱并不会因为有降水出现而立即缓解，通常需要一个持续的降水过程才能满足缓解干旱的要求，因此某一站点在某一时段内的气象旱涝强度特征应是对该时段内各个时刻的旱涝状态加以综合考虑而得到的。由于I_MSP较好地考虑了降水对干旱的影响是一个累积过程，所以基于I_MSP得到的I_SD及I_SDD也包含了同期及前期降水影响的信息。

由表 1可以看出，昆明站2006年8月和9月的月降水量较气候态均明显偏少，两个月的降水距平百分率分别为-42.2%和-49.7%；8月和9月的I_SP分别为-1.14和-1.25，显示这两个月均偏旱。而I_SD同降水距平百分率及I_SP相比却有较大差别，8月I_SD=-0.15，而9月I_SD=0.32，表明昆明站在9月偏干而8月则偏向于湿润。使用I_SD得到8月旱涝状态同使用降水距平百分率及I_SP得到的结论完全相反，其主要原因就在于计算整月降水距平百分率及I_SP时未考虑月内降水时间分布及前期降水的影响。

表 1

表 1 昆明站4个时段降水距平百分率、ISD，ISDD和ISP对比 Table 1 The contrast of precipitation anomaly percentage, ISD, ISDD and ISP in four periods at Kunming Station 时间 降水距平百分率/% ISD ISDD ISP 2006-08 -42.2 -0.15 -0.87 -1.14 2006-09 -49.7 0.32 -0.40 -1.25 2010-03 38.4 0.67 -0.48 0.78 2010-04 22.6 -0.02 -0.87 0.67

表 1 昆明站4个时段降水距平百分率、ISD，ISDD和ISP对比 Table 1 The contrast of precipitation anomaly percentage, ISD, ISDD and ISP in four periods at Kunming Station

对于I_MSP, 值越大，表明降水越偏多，越湿润；反之，值越小，表明降水越偏少，越干燥。如图 4a所示，虽然2006年8月降水量偏少，但8月降水时间分布较9月更加均匀，加之前期降水偏多，所以不利于气象干旱的发生。图 5a也显示2006年8月I_MSP逐渐由湿变干，但由于上中旬不断有较多的降水发生，上中旬基本都处于偏湿状态，在中旬末出现的变干由于下旬初的降水而缓和，之后整个下旬基本处于正常状态，只在下旬末气象干旱再度出现，整个8月绝大部分时刻都处于偏湿的状态。由图 4b可以看出，9月降水主要出现在上旬末和中旬初，其中上旬的降水量和降水日数均较小；中旬的降水量和降水日数虽然较大，但降水量中绝大部分只集中于某一天，下旬则无降水，由于前期降水偏少，从而有利于气象干旱的发生、发展；9月I_MSP同样总体呈下降趋势，气象干旱一直持续发展，虽然中旬末的降水对气象干旱在一定程度上起到了缓解作用，但由于下旬持续无降水，气象干旱又再度发展，整个9月基本都处于偏旱状态 (图 5b)。由于上述原因，出现了两个月的降水距平百分率同为负值且差异很小，但各月的整体气象旱涝强度却完全不同的情况。

图 4

图 4. 昆明站4个时段的逐日降水量演变 (a)2006年7—8月，(b)2006年8—9月，(c)2010年2—3月，(d)2010年3—4月 Fig 4. The daily variation of precipitation in four periods at Kunming Station (a) from July to August in 2006, (b) from August to September in 2006, (c) from February to March in 2010, (d) from March to April in 2010

2010年3月和4月的降水量与气候态相比明显偏多, 3月和4月I_SP分别为0.78和0.67，显示这两个月都偏向于湿润。而3月I_SD=0.67，而4月I_SD=-0.02，表明昆明站在3月偏干而4月偏于正常。由图 4c可以看出，2010年3月降水偏多，但由于发生在月内的最后两天，因而对3月整个时段内气象旱涝强度的贡献非常有限，同时2010年2月整月无降水，有利于气象干旱的持续发展。图 5c显示，2010年3月I_MSP在下旬末之前一直处于干旱状态，下旬末的降水使得干旱缓解，但整个3月绝大部分时刻都处于偏旱的状态。2010年3月末的强降水对4月尤其是4月初气象旱涝强度具有较大影响，同时4月中下旬降水的时间分布较均匀 (图 4d)，不利于气象干旱的发生；2010年4月I_MSP在下旬初之前一直处于正常状态，仅中旬有发生气象干旱的趋势，但下旬的较多降水消除了这一趋势，整个4月处于正常略偏湿的状态 (图 5d)。总体来看，2010年3月和4月的降水距平百分率均偏多且3月偏多更加显著，但月内气象旱涝强度截然相反的原因也同样在于月内降水时间分布及前期降水的差异。

图 5

图 5. 昆明站4个月份IMSP演变 (a)2006年8月，(b)2006年9月，(c)2010年3月，(d)2010年4月 Fig 5. The daily variation of IMSP in four months at Kunming Station (a) August 2006, (b) September 2006, (c) March 2010, (d) April 2010

本文提出的阶段气象旱涝强度指数I_SD，是基于某时段内各时刻的气象旱涝指数得到，I_SD充分利用了逐日气象旱涝指数所包含的前期及同期降水信息来综合得到某一时段内的整体旱涝特征，从而体现了某一时刻的降水只对该时刻之后的旱涝状态产生作用, 但对该时刻之前的旱涝状态则无任何影响的思想，从而避免了虚假信息的使用。

对于I_SDD，如表 1所示，昆明站2006年9月最大，2010年3月次之，2006年8与2010年4月最小，将表 1结果与图 6对比可以看出，在I_SDD较小的月份中，更多的日数集中于更少的气象旱涝等级中，该月不同气象旱涝状态的时间分布越集中；而在I_SDD较大的月份中，更少的日数集中于更多的气象旱涝等级中，不同气象旱涝状态的时间分布越分散，这一结论也从另一方面说明了I_SDD的有效性。

图 6

图 6. 昆明站4个月份各个等级气象旱涝日数的平均发生概率及其累计概率分布 (a)2006年8月，(b)2006年9月，(c)2010年3月，(d)2010年4月 Fig 6. The probability distribution of the number of days for different drought and flood degrees at Kunming Station (a) August 2006, (b) September 2006, (c) March 2010, (d) April 2010

本文基于逐日气象旱涝指数I_MSP，通过参数具有明确物理意义的Boltzmann函数构建了可以反映某一阶段气象旱涝强度的标准化阶段气象旱涝强度指数 (I_SD)，及表征某一阶段气象旱涝空间分布状态的标准化阶段气象旱涝时间分布差异指数 (I_SDD)。以构建昆明站月尺度的I_SD和I_SDD为例说明了阶段气象旱涝指数的构建方法及其有效性。主要结论如下：

1) I_SD充分利用了逐日气象旱涝指数所包含的前期降水信息来综合得到某一时段内的旱涝特征，某一站点在某一时间尺度下的I_SD越大 (越小), 则越偏旱 (偏涝)；I_SDD对旱涝时间分布特征也具有较好的表征作用，在某一时间尺度下的I_SDD越大 (越小)，旱涝时间分布越分散 (集中)。

2) 本文以构建月尺度的I_SD和I_SDD为例说明了阶段气象旱涝指数的构建，但对于任一站点，两个指数可以在不同时间尺度上进行计算；在实际应用中其他气象干旱指数也可以采用本文方法来构建时段旱涝指数，但计算I_SD和I_SDD指数的最小时间尺度需与各气象旱涝指数的最小时间尺度相一致。

本文的算法理论上可以用于任一时间尺度干旱强度的判断，但在旬、月和季节尺度适用性最好。当时间尺度较大时，如对年际或年代际尺度下某一时段内区域旱涝状态的判断，单次降水过程相对于该时间尺度下的总降水量所占的百分比非常小，此时本文提出的方法以及降水距平百分率、I_SP等均可以使用。

由于干旱定义的不同，不可能设计统一的干旱指数。同时由于干旱的特点及其对经济部门的广泛影响，干旱影响的定量化非常困难。鉴于干旱的复杂性，没有单一指数能够充分表述干旱的强度和危害以及对不同人群的潜在影响，所以干旱指数研究仍然处在不断探索和完善中。