在对微分方程初值问题的数值计算中, 当采用前向或后向差分格式时有两个时间层次, 而当用中央差分格式时则有3个时间层次.由于把预报问题提为初值问题, 因此只有一个初始场的信息被利用.本文从扩展信息源的角度出发, 对微分方程的时间积分提出了一种新格式——回溯时间积分格式, 并对在大气、海洋、水文等常用的平流方程进行了实例计算.

制约动力系统的微分方程可以写为:

(1)

其中, u为状态变量, F为除局地变化项外的所有项, 称为源函数, 设时间间隔为△t, 式 (1) 的时间中央差格式为:

(2)

其中a₁=1, a₂=0, b₁=0, b₂=2△t, 式 (2) 从计算流体力学来看是很自然的, 但从信息论来看, 系数a₂、b₁取为0是很可惜的, 等于抛弃了u (t) 和F (u, t-△t) 中对预报有用的信息.所以, 我们将时间层次p′推广到p′=p+1=3以上, 即有回溯时间积分格式

(3)

式中p为回溯阶, 系数a_i、b_i可以半理论半经验确定, 也可用观测数据藉最小二乘、遗传算法等确定.

平流方程为:

(4)

其中s表示空间坐标, C为常定平流速度.

其回溯格式为

(5)

式中T_-p, T_i, θ_i和为待定系数, 其中θ_i和与参数_=-C△t/△s有关, m表示取u_jⁿ⁺ⁱ和u_jⁿ⁺ⁱ⁺¹之间的中值.

当对系数取随回溯时次 (t-i△t) 呈指数衰减形式时, 运用经典的von Neumann方法, 我们从数学上证明了当取p=2时回溯格式的稳定性, 其稳定域比蛙跃格式要大.

数值计算是对由正弦和余弦组成的理想场进行的.结果表明, 回溯格式比蛙跃格式其精度要高2~5倍.回溯阶p取3~5为宜.

理想气流场由

(6)

计算得出, 式中

其中m为波数, c为波速.

取△t=1 h, 先用式 (6) 计算48 h作为样本场, 即取样本量N=48.用最小二乘法求出系数T_i, θ_i和, 然后对N+1, N+2……分别用蛙跃格式和回溯格式进行积分计算, 共积分了600 d, 回溯阶p=2, 3, 4, 5, 6, 7.由图 1显见, 回溯格式的均方根误差 (RMSE) 远比蛙跃格式小.其中以p=5的RMSE最小, 其积分流场与理想流场的相关系数在0.9142附近摆动, 而蛙跃格式的相关系数则在-0.265至0.654之间摆动.由此可见, 回溯格式远比蛙跃格式好.