引言

气候噪声是由气候系统内部因素相互作用影响造成的.由于每日天气波动非常激烈, 通常会在时间平均和总量值中产生相当的统计误差, 显示虚假的气候变化, 因此正确估计气候噪声, 检测由于外部和边界条件引起的气候变化信号是气候诊断、模拟和预测成功与否的关键问题.迄今为止, 仍无一种可靠的估计方法, 其统计处理常遇到许多困难, 如样本资料的独立性、稳定性以及样本容量大小限制等.许多国内外气象学家们的研究也都处于一种探讨阶段. Leith ^[1]指出:许多气象变量可以用马尔柯夫过程近似, 噪声的大小与大气的持续性有关. Madden^[2]在马尔柯夫过程的假定下估计了北半球月平均海平面气压的气候噪声. Trenberth ^{[3] [4]}讨论月平均值的气候噪声估计时, 考虑了样本的独立性.他假定噪声引起的方差等于月内方差除以一个月的有效独立样本数, 并用多年气候资料序列方差平均代替月内方差. Yamamoto^[5]在研究日本Hokkaito地区19个测站月平均温度的气候噪声时, 用历年最小月平均温度异常的方差估计月平均温度的气候噪声, 但在用样本值估计月内方差时没有考虑样本的不独立性.根据Yamamoto等的思想, 马开玉和董谢琼^[6]估计了我国年降水量的气候噪声.吴洪宝^[7]讨论了气候信号与气候噪声的关系, 并估计了青海省月平均温度的气候噪声.目前, 国内还没有人对月降水量气候噪声的估计进行过分析和研究.由于降水量的变化比温度、气压等复杂, 这给降水量气候噪声的估计带来较大的困难.本文在前人工作的基础上, 探讨和估计了月降水量气候噪声的估计方法, 试图为我国月降水量的可预报性研究提供一个比较客观科学的估计气候噪声的方法.

1 估计方法 1.1 Madden法 (简称M法)

Madden^[8] (1982) 利用马尔柯夫链估计降水量的气候噪声, 其理论基础为一特殊的概率模式, 即把逐日降水过程看成是两状态的马尔柯夫链.用{(J_t, X_t): t=1, 2, …, n}表示.其中J_t为降水发生过程, 湿日有降水出现时, J_t=1;干日无降水出现时, J_t=0, X_t为降水量, n为过程日数, 又设湿日总数为N (0≤N≤n).由于J_t代表逐日天气, 是随机变量, 则有N=J_t (0≤N≤n), 也是一随机变量.此外假定P=P_r[J_t=1], P_{i, j}=P_r[J_t+1=j/J_t=i] (i, j=0, 1), 这里“/”表示条件概率符号 (同下面公式 (2), (3)), P为湿日出现的无条件概率, P_{i, j}为转换概率.令Y_k (k=1, 2, …, N) 表示发生在第k天的降水量.假定Y_k是独立同分布的随机变量, 其总体平均为_=E (Y_k), 方差为e²=var (Y_k).n天总降水量可以表示为:

(1)

式 (1) 的数学期望及方差的表达式为:

(2)

(3)

以上公式可作进一步的简化, 即

(4)

(5)

而

(6)

由于J_t只取两个值1和0, 且其取1的概率为P, 取0的概率为1-P, 因此:

(7)

假定湿日没有持续性, var (N)=nP (1-P), 为考虑湿日存在的持续性, 引进一参数d, 因此:

(8)

这里d=P₁₁-P₀₁代表马尔柯夫链的持续性参数, 如果d=0, 表示两状态转移的可能性均等, 即无持续性.根据式 (7)、(8) 则,

(9)

(10)

Madden (1982) 在估计月平均降水量的气候噪声时, 使用的公式为:

(11)

这里n=30, X=S_n/n为平均降水量值.需要说明的是国内有些学者将式 (11) 中_²理解为有雨日的降水量方差, 将e²理解为包括没有降水的逐日降水量方差^{[9, 10]}.

1.2 Trenberth法 (简称T法)

Trenberth (1984) 指出:由于样本资料缺少独立性、样本容量有限以及季节和其他不规则循环的影响、信号与噪声的不可分、资料的不稳定性, 给噪声的研究带来很大的困难, 为此必然要作些假定来处理这些问题.

令X_{i, j} (i=1, …, n; j=1, …, L) 表示气候要素第j年第i日的观测值.考虑样本资料的独立性, 则长度为n的时段内平均值的方差为

(12)

这里即为有效独立样本观测值之间的特征时间, 其中R (f) 为后延间隔是f的自相关系数, N_eff表示有效独立样本数, e²为总体方差, 其无偏估计为:

(13)

实际计算时有多年平均的方差代替S_j², 即

(14)

Trenberth把式 (14) 右边的平方根称为n时段内平均值的气候噪声.这一方法主要用于平均气压场、高度场和温度场气候噪声的研究, 用于月降水量噪声研究时, 需要进行适当的改造, 即

(15)

1.3 Yamamoto法 (简称Y法)

Yamamoto (1985) 在研究日本Hokkaito地区19个测站平均温度的气候噪声时, 提出了3点假设: ①逐日天气异常可以表示为由于内部动力学与边界条件引起的异常之和; ②月内方差等于在确定的边界条件和 (或) 外部强迫下气候内部动力学引起的方差与由于外部和 (或) 边界条件引起的方差之和; ③当时间序列超过30年, 且月内方差最小时, 信号对噪声的影响可以忽略; 同时根据资料分析, 信号对自相关系数没有明显的影响.

假定某一气象要素时间序列第j年第i日的观测值为:

(16)

其中a_i表示与年际变化无关的气候值, S_{i, j}是由于外部和 (或) 边界条件变化引起与气候信号有关的气候值, n_{i, j}表示在确定的外部和 (或) 边界条件下气候系统内部动力学引起的变化, 虽然它是月、年的函数, 但它的统计学特征可以假定是与年无关的, e_{i, j}是观测误差和局地不规则变化, 具有总体均值:

(17)

其中E ( ) 表示期望值.

在实际资料处理中, 信号和噪声的分离是比较困难的, 由于观测资料中存在年变化, 故先对资料进行处理.因此:

(18)

其中, X_{i, j}^*可以认为是资料消除了年变化的第j年第i日观测值对多年平均的离差, 即异常, 且X_{i, j}^*、n_{i, j}^*、S_{i, j}^*都可以假定是平稳时间序列, 因此n时段内平均值异常记为:

(19)

如果X_{i, j}^*是相互独立的, 则X_{ii, j}^*的方差为:

(20)

上式中e_{Xii, j}²、e_{Sii, j}²、e_{nii, j}²分别为X_{i, j}^*、S_{i, j}^*、n_{i, j}^* (i=1, 2, …, n) 的总体方差, 且假定S_{i, j}^*和n_{i, j}^*是独立无关的, 这里n表示样本容量, T₀是有效独立样本值之间的特征时间, 同Trenberth法.等式右边T₀e²_{nii, j}/n的平方根称为平均值的气候噪声, 由于e_{nii, j}²应不随j而变化 (或变化很小) 因此, 可令:

(21)

式 (20) 变为

(22)

可见, 各年e_{Xii, j}²的不同仅由e_{Sii, j}²的变化产生, 若e_{Sii, j}²=0, 则第j年的e_{Xii, j}²应当最小, 因此如果样本资料年代足够长 (一般大于30), 就可以用最小e_{Xii, j}²作为e_n²的估计值, 即:

(23)

Yamamoto等在设计这一方法时, 认为主要用于研究日本Hokkaito地区19个测站月平均温度的气候噪声, 也可以用于降水, 因此我们对它进行类似的改造.则月降水量异常X_j^*应有:

(24)

因此

(25)

结合式 (15), 由于min{e_{Xii, j}²} < S²和n/(n-T₀) > 1, 因此

所以用改进的Yamamoto法估计的气候噪声比改进的Trenberth法得到的估计值小.

2 结果与分析 2.1 不同方法的结果比较

表 1是根据1961~1991年降水资料用上述3种方法估计的北京等15个测站1月和7月的降水量气候噪声.从表中可以看出, M法计算的噪声值最大, 一般是Y法估计的气候噪声的95%~98%, 是T法的85%~65%.T法和Y法计算的结果很接近, 这主要是因为降水的持续性较小, 计算的T₀值一般在1.0~1.5天之间, 因而两种方法估计的气候噪声差别不大.

2.2 我国月降水量的气候噪声

图 1为M法、T法和Y法估计的1月份降水量气候噪声分布图, 可以看到3种方法估计的噪声分布形势基本一致, 即:东南沿海地区气候噪声值相对较大, 西北内陆地区噪声值较小, 等值线大致呈西南—东北走向, 沈阳—赤峰—北京—太原—汉中—昌都一线的西北侧, 噪声值最小, 不足5.0 mm, 其东南侧噪声随着纬度减小而增加, 长江以南、南岭以北有一个大值中心, M法中心最大值为35.0 mm, Y法较小为25.0 mm, 且大值中心位置偏向东南沿海地区; 天山以北地区噪声值在5.0 mm以上.冬季, 全国都受西北大陆气团控制, 气候寒冷干燥, 无论东部和西部1月降水量都比较小, 且东西差异不大.由于降水量普遍少, 全国大部分地区1月降水量的日际变化都比较小, 因而噪声值也不大.造成我国江南冬季噪声较大的原因, 主要与江南冬季多雨、且降水量的日际变化较大有关.

我国4月份降水量的气候噪声 (图略) 分布与1月份基本相似, 但全国大部分地区的气候噪声值较1月份大, 东南沿海地区等值线较为密集.由于4月份全国绝大部分地区降水量普遍增加, 降水量日际变化较1月份大, 因而噪声值也较1月份大, 最大值Y法达75.0 mm, M法达85.0 mm.两个大值中心分别在鄱阳湖和湘、黔、桂交界地区.东北、华北大部分地区噪声值Y法在15.0 mm以上, M法在25.0 mm以上.江南许多地区噪声值在55.0 mm以上, 这主要是因为东南季风推进时首先到达长江中下游及其以南地区、春季气旋活动频繁、降水日际变化大所致.天山地区4月份噪声值与1月份比较增加不很明显, 噪声值为5.0~15.0 mm.图 2是M法, T法和Y法估计的我国7月份降水量的气候噪声分布图.7月份, 夏季风鼎盛, 西南季风和东南季风把大量水汽带入我国, 使夏季成为我国降水量最多的季节, 全国大部分地区气候噪声值较1月份显著增强, 且分布形势较1月份发生了明显变化.M法估计的降水量气候噪声大值中心出现在福建武夷山、广西南部以及黄海沿岸地区, 其值可达100.0 mm以上, 而长江流域地区噪声值相对较小, 这与该地区阴雨较多、降水相对稳定的事实相符.东南沿海、黄海沿岸及北方大部分地区噪声值增大.T法不同于M法, 在长江以北有一个西南—东北走向的高值区, 最大值为85.0 mm, 鄱阳湖东南的广大地区, 噪声值在65.0 mm以下.Y法估计的噪声值较T法偏小, 西南—东北走向的高值区大致在长江流域, 最大值为75.0 mm, 东南沿海地区为一低值区, 噪声值小于45.0 mm.此外, 3种方法估计的噪声值在天山地区相差不大, 都在10.0 mm以上.10月份, 夏季风已经南撤, 冬季风开始盛行, 全国大部分地区处在极地大陆气团的控制下 (四川和西南地区除外), 各地降水量普遍减少.从M法、T法、Y法估计的我国10月份降水量气候噪声分布 (图略) 看:各地噪声相应较小.天山以北地区, 噪声值在5.0 mm以上, 大兴安岭西南地区有一低值区, 噪声最小为5.0 mm.华南沿海地区, 噪声值最大55.0 mm (M法), 45.0 mm (T法), 45.0 mm (Y法), 这主要是由于10月份这一地区天气系统的不稳定造成的.秋季, 极地大陆南下的冷空气与衰减的热带海洋气团对我国的影响逐步退到东南沿海, 使这一地区降水量的日际变化较大, 因而表现为噪声值也较大.

3 小结与讨论

(1) 降水量和降水量变化大的地区, 气候噪声也大.我国月降水量的气候噪声具有明显的季节变化, 一般夏季月份的噪声显著大于冬季月份, 秋季月份稍高于春季月份; 从空间分布看, 不论春、夏、秋、冬全国绝大部分地区的气候噪声由南向北、由沿海向内陆明显减小.

(2) 根据上面的讨论与分析可以看出, 改进的Trenberth和Yamamo to法估计月降水量的气候噪声比较接近, Yamamoto法得到的估计值比Trenberth法估计值略小, Madden法得到的估计值比Trenberth和Yamamo等人的估计值大10%~35%.

(3) 本文在估计气候噪声时, 对Y法作了3个假设: ①观测误差的方差同噪声的方差相比可以忽略不计; ②S_{i, j}的总体均值E (S_{i, j}) 可能很小, 可以假定为0; ③信号与噪声相互独立.假设①和②是可以接受的, 假设③就值得研究.我们知道外因通过内因起作用, 因此信号和噪声的分离相当困难, 用独立假定使其分离可能产生一定的误差; 另一方面, 如果信号和噪声不独立, 由于信号引起了噪声的变化, 这依然应归结于信号的变化.因此, 两种方法都有一定的局限性, 但Y法用最小月方差来估计气候噪声, 可以使气候信号对噪声的影响减小到最低程度.M法有两点假设: ①理论认为降水发生过程是一阶马尔可夫链; ②日降水量在连续湿日是相关的.Chin (1977) 认为假设①的过程实际上更适合高阶马尔可夫链.