随着人工智能的发展，以自动导引运输车(automated guided vehicle, AGV)为代表的移动机器人产品在生产和生活领域应用获得了前所未有的发展^[1-3]。Mecanum轮由于其多自由度的特点，被广泛应用于有全向移动需求的各类型移动机器人底盘上。

Mecanum轮是1973年由瑞士人Bengt Ilon设计的，由一个轮毂支撑架和若干沿一定角度排布安装在轮毂周围自由运动的辊子组成，辊子的外表面形状是曲面，轮毂周围的辊子的轮体的包络线形成一个完整的圆。

特殊的结构使Mecanum轮具有3个自由度，分别为绕轮子轴线转动、绕辊子与地面接触点的转动和沿辊子轴线垂直方向的平动。由于特殊的结构及其动力特性，使得采用Mecanum轮的底盘大多应用于较为平整的路面上，这也在一定程度上限制了该种车轮底盘的应用和推广。通过研究Mecanum轮底盘在复杂路况下的运动特性，可以在一定程度上扩展底盘及整机的应用范围^[4-5]。

1 Mecanum轮底盘运动学及动力学分析 1.1 Mecanum轮受力情况分析

Mecanum轮结构如图1所示，在平面运动时，轮毂外沿辊子的圆柱包络面与地面接触，且在任意时刻至少有一个辊子与地面接触^[6-7]。

底盘行驶过程中，电机的输出扭矩 $ {T_d} $ 经过离合器、减速机、传动轴、驱动桥传到车轮上，则驱动轮的扭矩 $ T $ 可表示为^[8]

$ T = i \cdot \eta \cdot {T_d} $

式中： $ i $ 为减速机的减速比， $ \eta $ 为传动效率。

图2为驱动轮滚动过程受力示意图。

如图2所示，驱动轮部位正压力为 $ {F_N} $ ，轮缘与地面接触部位为静摩擦，车轮对地面产生作用力 $ {F_o} $ ，路面给车轮的反作用摩擦力即为车轮前进的驱动力 $ {F_k} $ 。工程上通过试验可以测得车轮与地面的附着系数 $ \varphi $ ，当驱动力大于车轮对地面的附着力 $ {F_\varphi } $ 时会产生打滑，则车轮进行纯滚动的条件为^[7-8]

$ \left\{ {\begin{aligned} & {{F_k} = {F_o} = \frac{T}{R}} \\ & {{F_\varphi } = \varphi \times {F_N}} \\ & {F_k} \leqslant {F_\varphi } \end{aligned}} \right. $

图3为Mecanum轮辊子受力示意图。

如图3所示，斜线方向为底部辊子与地面接触时的方向，辊子的倾斜角度一般为45°。牵引力 $ {F_k} $ 是由沿辊子轴线方向上的静摩擦力 $ {F_1} $ 和垂直于辊子轴线方向的滚动摩擦力 $ {F_2} $ 两个力合成所得。

$ \left\{ {\begin{aligned} & {{F_1} = {\mu _1} \times {F_N}} \\ & {{F_2} = {\mu _2} \times {F_N}} \end{aligned}} \right. $

式中： $ {\mu _1} $ 为摩擦系数，由试验测得； $ {\mu _2} $ 为滚动摩擦系数，由试验测得。

由于辊子外侧采用具有弹性且摩擦系数较大的聚氨酯、橡胶等材料制成，而辊子转轴两侧安装有滚动顺畅的轴承，因此Mecanum轮辊子的静摩擦力 $ {F_1} $ 远大于滚动摩擦力 $ {F_2} $ ，一般在分析时取牵引力 $ {F_k} \approx {F_1} $ 。在图3所示的车轮坐标系下，牵引力 $ {F_k} $ 可分解为 $ {F_x} $ 及 $ {F_y} $ 共2个方向的分力，其中 $ {F_x} $ 作为车轮整体向前滚动的驱动力，根据与驱动扭矩的关系可以得到^[9]：

$ \left\{ {\begin{aligned} & {F_x} = {F_y} = \frac{T}{R} = \frac{{i \cdot \eta \cdot {T_d}}}{R}\\ & {{F_k} = \sqrt 2 \cdot {F_x} = \sqrt 2 \cdot \frac{{i \cdot \eta \cdot {T_d}}}{R}} \end{aligned}} \right. $

1.2 Mecanum轮底盘运动学分析

四轮Mecanum轮底盘是目前工业应用中最为常见的结构形式，四轮布置位置及方向在很大程度上会影响底盘整体的运动特性，综合多种运动特性分析，较为常用的一种结构布局如图4所示^[10]。

建立底盘广义坐标系 $ XOY $ (图4)和单轮局部坐标系 $ {x_i}{o_i}{y_i}(i = 1,2,3,4) $ 如图5，其中 $ R $ 为Mecanum轮半径， $ {I_1} $ 、 $ {I_2} $ 分别为底盘轮距、轴距的一半， $ \alpha $ 为 Mecanum轮辊子轴线与轮毂轴线的夹角，4个车轮均为45°。设4个轮的角速度分别为 $ {\omega _1} $ ~ $ {\omega _4} $ ，每个轮辊子滚动速度为 ${v_{g_1}}$ ~ ${v_{g_4}}$ ，底盘的纵向速度为 $ {v_x} $ ，横向速度为 $ {v_y} $ ，旋转速度为 $ {\omega _o} $ 。

将第1个Mecanum轮在局部坐标系和整车广义坐标系中分别进行运动参数分析，其运动学方程分别如下：

在局部坐标系 $ {x_1}{o_1}{y_1} $ 中有：

$ {v_{o_1}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} R&{\cos \alpha } \\ 0&{\sin \alpha } \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\omega _1}} \\ {{v_{g_1}}} \end{array}} \right] $

(1)

在广义坐标系 $ XOY $ 中有：

$ {v_{o_1}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&{{I_1}} \\ 0&1&{ - {I_2}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{v_x}} \\ {{v_y}} \\ {{\omega _o}} \end{array}} \right] $

(2)

式(1)和式(2)联立求得：

$ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} R&{\cos \alpha } \\ 0&{\sin \alpha } \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\omega _1}} \\ {{v_{g_1}}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&{{I_1}} \\ 0&1&{ - {I_2}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{v_x}} \\ {{v_y}} \\ {{\omega _o}} \end{array}} \right] $

对4个车轮进行相同的分析，则得到整车的逆运动学方程：

$ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\omega _1}} \\ {{\omega _2}} \\ {{\omega _3}} \\ {{\omega _4}} \end{array}} \right] = \frac{1}{R} \times \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&{ - {I_1} - {I_2}} \\ 1&{ - 1}&{{I_1} + {I_2}} \\ 1&{ - 1}&{ - {I_1} - {I_2}} \\ 1&1&{{I_1} + {I_2}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{v_x}} \\ {{v_y}} \\ {{\omega _o}} \end{array}} \right] $

对于运动协调平稳的底盘，4个车轮转速的线性关系为

$ {\omega _1} + {\omega _2} = {\omega _3} + {\omega _4} $

(3)

如式(3)不成立，则表明出现了底盘运动打滑现象，影响平台的正常运行。

根据底盘运动学方程可看出，通过分别控制4个车轮的转速，车轮旋转过程中辊子与地面接触，由此产生沿辊子自身轴线方向的摩擦力，4个车轮的摩擦力作为驱动力，通过不同组合实现底盘的各种运动模式。典型运动模式下车轮受力情况如图6。分别将4个车轮的驱动力在底盘质心上进行合成，即可得到底盘整体的驱动合力 $ {F_k} $ 及转矩 $ T $ ^[9-10]。

1.3 Mecanum轮底盘坡道静力学分析

车辆在坡道上行驶过程中，驱动轮产生驱动合力 $ {F_k} $ ,需要克服的各种阻力包括：摩擦阻力 $ {F_g} $ 、空气阻力 $ {F_w} $ 、坡道阻力 $ {F_t} $ 及加速阻力 $ {F_a} $ 。Mecanum轮底盘在坡道上稳定低速行驶时，加速阻力 $ {F_a} $ 为0，空气阻力 $ {F_w} $ 微小可忽略，运行中的滚动摩擦阻力 $ {F_g} $ 与由重力分量产生的坡道阻力 $ {F_t} $ 相比也较小可忽略，因此坡道行驶过程中底盘主要受坡道阻力 $ {F_t} $ 影响。

坡道阻力 $ {F_t} $ 为底盘在坡道行驶时重力沿坡道方向的分力，底盘在坡道行驶可分为直线行驶和斜向行驶2种状态。直线行驶时坡道阻力 $ {F_t} = G \cdot \sin \theta $ 。斜向行驶时，如图7所示，底盘纵向轴线与坡道纵向存在一定的偏向角 $ \delta $ 。

设底盘承受沿纵向轴线向下的纵向坡道阻力为 ${F_{t_x}}$ ，承受沿纵向轴线垂直方向侧方滑移的横向坡道阻力为 ${F_{t_y}}$ ^[11]，则

$ \left\{ {\begin{aligned} & {{F_{t_x}} = G \cdot \sin \theta \cdot \cos \delta } \\ & {{F_{t_y}} = G \cdot \sin \theta \cdot \sin \delta } \end{aligned}} \right. $

由于底盘运动过程的牵引力是以摩擦力表现出来的，如果摩擦力(牵引力)小于下滑分量就会出现打滑现象。综合以上分析，底盘满足坡道上稳定行驶的工作条件为^[12]

$ \left\{ {\begin{aligned} & {\sum\nolimits_{i = 1}^4 {\left( {\frac{{{T_i}}}{R}} \right)} \times \sin \alpha \geqslant G \cdot \sin \theta \cdot \cos \delta } \\ & {\frac{{{T_1} + {T_4} - {T_2} - {T_3}}}{R} \cdot \cos \alpha = G \cdot \sin \theta \cdot \sin \delta } \\ & {\frac{{{T_1} + {T_2}}}{R} \cdot \sqrt{{I_1^2 + I_2^2}} = \frac{{{T_3} + {T_4}}}{R} \cdot \sqrt{{I_1^2 + I_2^2}}} \\ & \sqrt 2 \frac{{{T_i}}}{R} \leqslant \varphi \cdot {F_{N_i}} \\ & \sum\nolimits_{i = 1}^4 {{F_{N_i}}} = G \times \sin \theta \end{aligned}} \right. $

式中 $ {T_i} $ 为第i个驱动轮扭矩，i = 1, 2, 3, 4。

1.4 Mecanum轮底盘动力学分析

图8为底盘坡道行驶过程中坐标转换示意图，采用运动学转化方法，在广义坐标系下，定义底盘沿 $ {X_G} $ 方向的位移分量 $ {S_X} $ ，沿 $ {Y_G} $ 方向的位移分量 $ {S_Y} $ ，回转角度 $ {\theta _O} $ 。

由Mecanum轮底盘约束方程可知，底盘整体速度 $ \stackrel{·}{{S}_{X}} $ 、 $ \stackrel{·}{{S}_{Y}} $ 、 $ \stackrel{·}{{\theta }_{O}} $ 与各个轮子间的速度存在不可解耦的特性，Mecanum轮底盘系统属于不完整约束方程类，根据不完整系统的劳斯方程结合底盘运动学分析，可以得到底盘的运动学方程^[13]：

$ \left\{ \begin{aligned} & {\left(m+2\frac{{J}_{\omega }+{J}_{m}}{{R}^{2}}\right)\ddot{{S}_{X}}=-mg\;{\mathrm{sin}}^{2}\;\theta\;\mathrm{cos}\;\delta +\frac{{T}_{1}-{T}_{2}-{T}_{3}+{T}_{4}}{R}} \\ & {\left(m+2\frac{{J}_{\omega }+{J}_{m}}{{R}^{2}}\right)\ddot{{S}_{Y}}=-mg\;{\mathrm{sin}}^{2}\;\theta \;\mathrm{sin}\;\delta +\frac{{T}_{1}-{T}_{2}-{T}_{3}+{T}_{4}}{R}} \\ & {\left(J-\frac{4{({I}_{1}+{I}_{2})}^{2}({J}_{\omega }+{J}_{m})}{{R}^{2}}\right)\ddot{{\theta }_{O}}=\frac{{I}_{1}+{I}_{2}}{R}(-{T}_{1}+{T}_{2}-{T}_{3}+{T}_{4})} \end{aligned} \right. $

式中： $ J $ 为底盘的转动惯量， $ {J_\omega } $ 为底盘驱动轮的转动惯量， $ {J_m} $ 为电机的转动惯量。根据静力学分析可知摩擦力在动态变化，因此需要动态控制各电机的驱动力矩，动力学分析可为底盘在斜路面上的运动平稳性控制研究提供理论依据。

1.5 坡道行驶特性分析

图9(a)为直线坡道行驶示意图，图9(b)为斜向坡道行驶示意图。在底盘上坡过程中，可分为3个阶段：阶段1为驶入阶段，该阶段4个车轮先后从平面驶上坡道；阶段2为全坡道阶段，该阶段4个车轮与坡道完全接触；阶段3为驶离阶段，该阶段4个车轮先后从驶离坡道。

直线坡道行驶较为简单，与水平路面直线行驶相似，只要驱动合力 $ {F_k} $ ≥ $ {F_t} $ 即可保证底盘顺利驶上坡道。

斜向坡道行驶较为复杂，在驶入阶段，由于偏向角 $ \alpha $ 的存在，4个车轮先后与坡道接触，造成两侧车轮的对地正压力不同，受力无对称性，由此产生的驱动合力 $ {F_k} $ 及转矩 $ T $ 会致使底盘出现横向滑移、方向转向等现象。驶离阶段和驶入阶段相似，而在全坡道阶段4个车轮与地面接触良好，受力情况相对简单，运动状态较为平稳。

Mecanum轮底盘的运动状态会受到整体结构、悬挂刚度、坡道坡度、偏移角度等诸多因素的影响，会随过程实时变化，因此无法通过简单的理论计算和分析获取准确的运行状态。本文通过对Mecanum轮底盘斜向坡道的理论分析和运动仿真分析，提出底盘设计的优化方案，从而减小爬坡过程中底盘的横向偏移量，提高运动稳定性和对窄坡道的通过性。

2 运动仿真分析 2.1 仿真模型及系统搭建

某型机器人及底盘结构示意图如图10所示，机器人采用四轮式Mecanum轮底盘，前后轮采用图示的单摆臂式悬挂减震系统。在Adams中对机器人整机进行运动学分析，仿真模型如图11所示，由车架、Mecanum轮、摆臂、减震器及配重等组成，定义机器人的总重为100 kg，轮距530 mm；轴距600 mm；轮半径100 mm。仿真模型对车架及悬挂部分进行了一定的简化，将配重分为前、后两块，用于模拟质心位置不同时对运动的影响；添加辊子绕自身轴的旋转副和Mecanum轮绕轮毂的旋转副；用Impact函数模拟辊子与地面的碰撞，采用Coulomb准则模拟辊子与地面的摩擦；在摆臂式悬挂端设置4组弹簧阻尼器，通过设置刚度系数模拟不同的弹簧减震器。

建立4种坡道仿真路面，分别为直线行驶上坡、斜向行驶上坡、直线行驶下坡和斜向行驶下坡。由于篇幅所限，本文仅结合相对复杂的斜向行驶上坡工况的仿真结果及其影响因素进行分析和论证。

2.2 减震弹簧刚度的影响分析

根据前文分析，斜向坡道行驶过程中车轮发生瞬时离地时会产生横向滑移，结合车体结构特点，悬挂减震的刚度系数会对离地幅度及离地时间产生影响，会直接影响运动过程的偏移量。

仿真工况为未加载配重质心居中的状态，坡道倾角为5°、10°和15°，底盘采用直线运动控制模式，4个车轮的转速均为460 °/s，驶入坡道时的偏向角为10°，仿真时间6 s。

图12为弹簧刚度系数k=800 N/mm时底盘在10°倾角坡道上的运动情况，从图中可以看出与1.5节中的分析一致，底盘在驶入及驶离坡道过程中个别车轮会出现瞬时离地现象，产生沿Y方向的横向驱动力及由于驱动力不平衡产生的车体扭转，由此造成在这2个阶段发生明显的横向滑移。在全坡道行驶阶段，由于4车车轮与地面接触良好，运行状态较为稳定，未发现明显的偏移。

图13为设置不同减震刚度后，底盘在3种倾角坡道上的偏移量曲线。

通过表1可以看出，当刚度参数相同时，随着坡道倾角的加大偏移量会随之增大。在倾角5°的坡道上，偏移量呈现随刚度线性变化的趋势，但在10°和15°坡道上却不存在该规律，偏移量较小的反而是刚度较大的两种状体。因此在较大倾角坡道上需要注意选择1个合适的刚度系数才有利于减小最大偏移量。

2.3 质心位置的影响

根据前文的分析，增加驱动轮部位的正压力可以有效提高车轮的附着力 $ {F_\varphi } $ ，减少车轮空转，提升底盘对牵引力的利用，从而提高运动的稳定性。因此通过调整质心位置，理论上可以减小坡道运行时的偏移量。

以2.2中3种坡道最大偏移状态为基线，保证整体重量不变，通过调整前、后配重的方式将质心位置前移、后移80 mm。图14为弹簧刚度系数为k=1000 N/mm，质心向后调整80 mm的底盘在10 °倾角坡道上的运动情况。

图15为底盘在3种倾角坡道上的偏移量曲线。

从表2中数据可以看出：质心前移后，在5°及10°倾角坡道上，均能减小一定的横向偏移，但在15°坡道时却出现较为严重的侧滑而无法完成爬坡动作。与之不同的是质心后移状态的底盘，侧向偏移量明显减低。因此对于本文分析中所采用的“O型布局”麦克纳姆轮底盘，质心后移更有利于提高坡道行驶过程中的运动稳定性，提升底盘的爬坡能力。

2.4 偏向角的影响分析

根据前文的分析，当偏向角增大时横向坡道阻力 $ {F_{ty}} $ 也相应增大，也会对运动过程中的横向偏移产生影响。以2.2节中3种坡道最大偏移状态为基线，将偏向角从10°增大至15°。横向偏移曲线如图16所示。

从表3中数据可以看出：偏向角增大后，横向偏移量也会随之增大，其中在2种工况下出现较为严重的侧滑，如图17所示，底盘无法爬坡。因此增大偏向角及选择不合适的减震器会影响底盘的爬坡能力。

3 实物验证试验

采用某型机器人实物进行了实际路况下的斜向坡道行驶测试，坡道角度约10°，分别进行偏向角为10°和45°两种情况进行试验，提取机器人差分GPS轨迹数据，并与前文仿真数据进行比对。图18、19为10°偏向角机器人样机试验图和采集的位置曲线图，样机爬坡过程中运行较为平稳，未出现明显的滑移，实物试验位置曲线与仿真分析的曲线基本吻合；图20、21为45°偏向角机器人样机试验图和采集的位置曲线图，样机在驶入坡道阶段发生了较为明显的侧向滑移，未能完成爬坡动作，与仿真分析的结果基本一致。由于条件所限现场坡道并非标准角度坡道，在坡度、偏向角、地面平整度等方面与仿真的标准坡道存在一定差异，但通过试验中实物的运行轨迹及变化规律可以看出，实物试验和仿真分析的情况相吻合，验证了前文理论分析的正确性。

4 结论

通过仿真分析和实物试验测试可以看出，Mecanum轮底盘在斜向坡道行驶中，尤其是大偏向角状态下确实存在滑移现象。在一定偏向角范围内，通过优化减震悬挂、调整质心位置等方式，能够使其较为平稳地进行斜向坡道行驶。后续进一步结合运动控制算法优化，例如通过加装IMU检测底盘方位状态并实时调整运动控制模式对运动偏移的趋势进行修正，相信将进一步提升Mecanum轮底盘对复杂路况下的适应能力。