结构系统可靠性分析需解决的首要问题便是：并联体系(失效模式)、串联体系(由主要失效模式串联模拟的结构系统)失效概率计算问题。由于模拟结构系统的串并联体系比较庞大，准确、高效计算其可靠度成为结构可靠性分析中难以逾越的阻碍^[1-2]。

对此，国内外专家学者开展了大量卓有成效的工作。从研究思路看，大体可分为两个方向：其一，通过随机抽样(或训练样本)模拟保证计算精度，再谋求效率提升。但因抽样(或样本)数量影响计算精度，其效率进一步提升也变得极为困难^[3-6]；其二，基于概率论建立降维算法保证计算效率，再谋求精度提升。可此类算法并未获得理想精度，甚至修正、改进后其精度仍难以满足需求^[7-13]。究其原因，主要是概率论理论公式及方法的应用离不开随机变量间相关性分析的支撑，而降维分析结构系统可靠性中恰恰会遇到“一个单元与多个单元失效事件间相关系数计算”问题。

针对该问题的研究，传统做法是利用其中一个功能函数或等效函数代替，显然缺少理论依据，相关系数计算并不合理^[14]。文献[15]提出利用高级统计学的复相关原理计算其相关系数，并与等效平面法结合证实了可行性和合理性，获得了精度的大幅提升。但从分析结果看，计算精度仍有较大提升空间，还未达到理论上的计算精度。主要是因为复相关理论针对的是统计数据，复相关系数描述的是一组与多组统计量间的相关程度。而降维思想分析结构系统可靠性时，面对的是一个单元与多个单元失效事件间的相关程度。因此，复相关系数具有理论依据和一定的合理性，但对于开展结构系统可靠性分析还不是最合理的表述。

综上，为进一步提升基于降维思想的结构系统可靠性分析精度，文章将从结构系统可靠性分析基本原理出发，通过单元失效事件与正态空间映射关系，研究多个单元失效与一个单元失效事件相关程度的精确表述方法。

1 单元状态在标准正态空间的映射

结构可靠性分析中，若基本随机变量为X，则结构单元的状态可通过单元功能函数准确描述，即

$\left\{ \!\!\!{\begin{array}{*{20}{c}}{Z(\mathit{\boldsymbol{X}}) > 0,}&{ \text{单元安全}}\\{Z(\mathit{\boldsymbol{X}}) \leqslant 0,}&{ \text{单元失效}}\end{array}} \right.$

基本随机变量通常服从正态分布，为非正态分布时，可通过等概率变换等方法化为正态分布；而非线性功能函数可根据改进一次二阶矩等方法对其线性化，再根据可靠性指标的几何定义，将功能函数写成线性函数形式，便于推导写为矢量表达式

$Z(\mathit{\boldsymbol{X}}) = {\mathit{\boldsymbol{a}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{X}} + \beta $

式中： $\mathit{\boldsymbol{a}}$ 为单位向量， $\beta $ 为可靠性指标。

将结构单元的状态进行量化处理，状态值

$\lambda = \mathit{\boldsymbol{a}} \cdot \mathit{\boldsymbol{X}}$

$\lambda $ 服从标准正态分布，结构单元的失效可通过状态值 $\lambda \leqslant - \beta $ 描述。

由概率论原理有

$P(\lambda \leqslant - \beta ) = \varPhi ( - \beta ) = 1 - \varPhi (\beta ) = P(\lambda \geqslant \beta )$

所以，可将结构单元失效描述为 $\lambda \geqslant \beta $ 。

设结构有m个单元组成，并存在矢量

${\mathit{\boldsymbol{M}}_i} = {\lambda _i}{\mathit{\boldsymbol{a}}_i}\;\;\;\;\left( {i = 1,2, \cdots ,m} \right)$

两矢量夹角余弦：

$\cos {\theta _{ij}} = \frac{{{\mathit{\boldsymbol{M}}_i} \cdot {\mathit{\boldsymbol{M}}_j}}}{{\left| {{\mathit{\boldsymbol{M}}_i}} \right|\left| {{\mathit{\boldsymbol{M}}_j}} \right|}} = {\mathit{\boldsymbol{a}}_i} \cdot {\mathit{\boldsymbol{a}}_j} = {\rho _{ij}}$

式中 ${\rho _{ij}}$ 为单元间相关系数。

将矢量绘制到X构成的多维空间，点O为X构成的多维坐标系原点，文中仅以三维空间为例绘制，如图1(a)，可知三维以上具有相同性质。

根据矢量性质：

$\left| {{\mathit{\boldsymbol{M}}_i}} \right| = {\lambda _i}$

所以，在图1(a)所示空间中，矢量 ${\mathit{\boldsymbol{M}}_i}$ 唯一对应着i单元工作状态，矢量大小表示单元的状态值，矢量方向表示单元工作状态变化规律，即i单元的状态值等于 ${\mathit{\boldsymbol{M}}_i}$ 的模，状态值大小只能沿矢量方向变化。

i单元失效事件对应失效域：

$\left\{ \begin{aligned}& \left| {{\mathit{\boldsymbol{M}}_i}} \right| \geqslant \left| {{\mathit{\boldsymbol{M}}_i}^{\rm{0}}} \right|\\& {\mathit{\boldsymbol{M}}_i}^{\rm{0}} = {\beta _i}{\mathit{\boldsymbol{a}}_i}\end{aligned} \right.$

式中： $\mathit{\boldsymbol{M}}$ 为单元状态矢量， ${\mathit{\boldsymbol{M}}^0}$ 为单元临界状态矢量。

从X构成多维空间中点的角度描述，i单元状态可行域为α_i轴上所有点的集合；失效域为α_i轴正向上至原点距离大于 ${\beta _i}$ 的点集合 ${\varOmega _i}^0$ 。单元状态矢量具有相同的自变量，且在同一坐标系下。当某一单元状态矢量为其可行域内指定值时，其余单元状态矢量必有一指定值与其对应，如图1(b)。这正揭示了单元间的相关程度，相关系数也正是描述该变化规律间相互关系的量。

如果将单元状态变化视为一动态过程，则一个单元失效可描述为：状态矢量由原点出发，沿其正向不断发展至某一值，若在此过程中超越临界状态则单元失效，状态矢量描述的正是该发展规律。因各单元状态矢量间相互关联，多个单元联合失效可描述为：任意单元的状态矢量由原点出发，沿自身正向不断发展至超越临界状态的任一点，而其余单元状态矢量与其同步沿正向发展至对应值(如：结构外载荷不断增大时，各单元内力同步变化)，若过程终止时，其余单元状态矢量均超越各自临界状态，则多个单元联合失效。多单元联合失效，一方面要求任意单元为主导都要满足；另一方面要求过程终止时必须全部超越临界状态。

因此，在事件的发展过程中，各单元的状态矢量必然符合某一比例关系，而且该比例关系必然由临界状态矢量间的比例决定。

如图2所示，事件发展过程中必须满足虚线 ${\xi _1}$ 关系，否则过程终止时无法全部超越临界状态，如虚线 ${\xi _2}$ 、 ${\xi _3}$ 。 ${\mathit{\boldsymbol{M}}_R}$ 正好准确描述了这一发展规律，称 ${\mathit{\boldsymbol{M}}_R}$ 为等效状态矢量。因 ${\mathit{\boldsymbol{M}}_R}$ 与状态矢量同在X坐标系下，所以一个单元与多个单元间的相关程度，可以通过该单元状态矢量与多个单元的等效状态矢量夹角余弦表示。

一般地，设存在等效状态矢量 ${\mathit{\boldsymbol{M}}_R}$ ，且对应的应的临界状态矢量满足

$\mathit{\boldsymbol{M}}_R^0 \cdot {\mathit{\boldsymbol{a}}_i} = \left| {\mathit{\boldsymbol{M}}_R^0} \right|\cos \, {\theta _{Ri}} = \left| {\mathit{\boldsymbol{M}}_i^0} \right| \,\left( {i = 1,2, \cdots, m} \right)$

当 $\left| {{\mathit{\boldsymbol{M}}_R}} \right| \geqslant \left| {\mathit{\boldsymbol{M}}_R^0} \right|$ 时，有

$\left| {\mathit{\boldsymbol{M}}_i^{}} \right|{\rm{ = }}\left| {{\mathit{\boldsymbol{M}}_R}} \right|\cos \, {\theta _{Ri}} \geqslant \left| {\mathit{\boldsymbol{M}}_R^0} \right|\cos \, {\theta _{Ri}} = \left| {\mathit{\boldsymbol{M}}_i^0} \right|\;\;\left( {i = 1,2, \cdots, m} \right)$

(1)

同理可证，当 $\left| {{\mathit{\boldsymbol{M}}_R}} \right| < \left| {\mathit{\boldsymbol{M}}_R^0} \right|$ 时

$\left| {\mathit{\boldsymbol{M}}_i^{}} \right| < \left| {\mathit{\boldsymbol{M}}_i^0} \right|\;\;\;\;\;\left( {i = 1,2, \cdots, m} \right)$

当 ${\mathit{\boldsymbol{M}}_R}$ 属于失效域时，多个单元均处于失效域，反之亦然。这样多个结构单元联合失效问题，就转化为等效状态矢量属于失效域的问题。需要注意的是，等效状态矢量属于失效域的概率，并不等于多个单元的联合失效概率。因为空间轴上的一点实际代表着一个平面(或超平面)。 ${\mathit{\boldsymbol{M}}_R}$ 属于失效域，代表着能使多个单元同时失效的空间点一定在这些面上，但每个面上的所有点未必都能导致多个单元同时失效。所以，等效状态矢量只是描述了各单元状态值同时属于失效域这一现象及内在规律，而与各单元状态值大于某一指定阈值的概率不存在必然联系。

虽然，不能通过等效状态矢量直接计算联合失效概率，但是等效状态矢量可以准确描述多个单元同时失效事件，而且等效状态矢量还可以遗传多个结构单元的相关性信息。

2 等效状态矢量建立

若想直接获得m个单元的等效状态矢量，相对比较繁琐不易分析。而且根据概率论原理，有

$\begin{aligned}& {P_f} = P\left( {{Z_1} \leqslant 0 \cap {Z_2} \leqslant 0 \cap \cdots } \right) = \\& P\left( {\left( {{Z_1} \leqslant 0 \cap {Z_2} \leqslant 0} \right) \cap {Z_3} \leqslant 0 \cap \cdots } \right)\\& \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \vdots \end{aligned}$

在结构系统可靠性分析中，只要每次获得2个单元与1个单元的准确相关性信息就可以进行精确计算了。每次建立的等效状态矢量都是对2个单元同时失效事件的精确描述，逐步等效并不会影响相关程度描述的准确性。所以文中仅讨论2个单元的等效状态矢量。

任意2个矢量可确定1个平面(或超平面)，为便于分析将其绘制至一平面上，并在其上讨论等效状态矢量的建立问题，不同条件下的等效状态矢量如图3。

由前文讨论可知，等效矢量建立与2个单元的临界状态矢量比例有关。因此，根据2个临界状态矢量不同关系，分3种情况讨论。

第1种情况：

$\frac{{\left| {\mathit{\boldsymbol{M}}_i^0} \right|}}{{\left| {\mathit{\boldsymbol{M}}_j^0} \right|}} = {\rho _{ij}}$

如图3(a)，此为一种简单的极限情况。易知，若任一样本点X′ $\in \varOmega _j^0$ ，则

$\left| {{\mathit{\boldsymbol{M}}_i}} \right| = {\mathit{\boldsymbol{M}}_j} \cdot {\mathit{\boldsymbol{a}}_i} = \left| {{\mathit{\boldsymbol{M}}_j}} \right|{\rho _{ij}} \geqslant \left| {\mathit{\boldsymbol{M}}_j^0} \right|{\rho _{ij}} = \left| {\mathit{\boldsymbol{M}}_i^0} \right|$

此时，j单元状态矢量即是等效状态矢量。

第2种情况：

${\rho _{ij}} < \frac{{\left| {\mathit{\boldsymbol{M}}_i^0} \right|}}{{\left| {\mathit{\boldsymbol{M}}_j^0} \right|}} < \frac{1}{{{\rho _{ij}}}}$

如图3(b)，此为一般情况。等效状态矢量可通过式(1)求解(具体求解方法在下节推导)。

第3种情况：

$\frac{{\left| {\mathit{\boldsymbol{M}}_i^0} \right|}}{{\left| {\mathit{\boldsymbol{M}}_j^0} \right|}} < {\rho _{ij}}\text{或}\frac{{\left| {\mathit{\boldsymbol{M}}_i^0} \right|}}{{\left| {\mathit{\boldsymbol{M}}_j^0} \right|}} > \frac{1}{{{\rho _{ij}}}}$

因为上下区间具有对称性，文中只讨论下区间，上区间类同。如图3(c)，此为特殊情况。此种情况下，虽然式(1)建立的方程组仍然有解，但却不是等效状态矢量，单元状态矢量无法同步达到临界状态。如图所示，处于样本点 ${{X}^\prime }$ 时，j单元未失效而i单元已经进入失效状态。

由单元状态矢量本身变化规律出发，可以发现，任意样本点X′ $ \in \varOmega _j^0$ ，则必有

$\left| {{\mathit{\boldsymbol{M}}_i}} \right| \geqslant \left| {\mathit{\boldsymbol{M}}_i^0} \right|$

出现该现象的主要原因是：单元间的相关性约束了各单元状态值的最大比例关系，当临界状态满足约束时，两单元状态值将以某合适比例关系，保证同时出现在失效区间，如第2种情况；当临界状态不满足该约束时，必然出现一个单元状态矢量向其正向发展过程中，还未达到临界状态前，另一单元已经进入失效区间。

对此，假设存在另一临界状态矢量：

$\left| {\mathit{\boldsymbol{M}}_*^0} \right| = {\rho _{ij}}\left| {\mathit{\boldsymbol{M}}_i^0} \right|$

如图3(d)，考虑 ${\mathit{\boldsymbol{M}}_*}$ 、 ${\mathit{\boldsymbol{M}}_i}$ 和 ${\mathit{\boldsymbol{M}}_j}$ 的同时失效问题，因 ${\mathit{\boldsymbol{M}}_*}$ 与 ${\mathit{\boldsymbol{M}}_j}$ 完全线性相关，根据可靠性理论及概率论相关原理， ${\mathit{\boldsymbol{M}}_i}$ 、 ${\mathit{\boldsymbol{M}}_j}$ 同时失效事件与 ${\mathit{\boldsymbol{M}}_*}$ 、 ${\mathit{\boldsymbol{M}}_i}$ 和 ${\mathit{\boldsymbol{M}}_j}$ 同时失效事件等价。由第一种情况的讨论得， ${\mathit{\boldsymbol{M}}_*}$ 、 ${\mathit{\boldsymbol{M}}_i}$ 同时失效的等效状态矢量为 ${\mathit{\boldsymbol{M}}_*}$ ，所以，可以通过 ${\mathit{\boldsymbol{M}}_*}$ 与 ${\mathit{\boldsymbol{M}}_j}$ 的同时失效解决该问题。

显然，此种情况最终对应的等效状态矢量也是 ${\mathit{\boldsymbol{M}}_*}$ 单元状态矢量。但需要注意的是，等效状态矢量与失效概率无关，所以计算 ${\mathit{\boldsymbol{M}}_*}$ 、 ${\mathit{\boldsymbol{M}}_j}$ 同时失效概率时， ${\mathit{\boldsymbol{M}}_*}$ 的失效概率应该是 ${\mathit{\boldsymbol{M}}_*}$ 、 ${\mathit{\boldsymbol{M}}_i}$ 的联合失效概率。

从以上分析过程中可知，第3种情况下结构似乎并不合理，但其在实际结构可靠性分析中却比较容易出现。

为说明此情况，假设一个结构，为简化过程只取其中2个单元讨论。根据结构力学理论，当结构形式确定，外荷载、单元尺寸及弹性模量为定值时，各单元的内力为s₁、s₂，且假设 ${s_1} > {s_2}$ 。根据极限状态设计原理，单元抗力应分别取R₁=s₁、R₂=s₂，此时，类似对应文中的第1种情况；但通常结构系统中都采用相同材料，较合理的选择是 $R = {s_1}$ 或略大于该值，这类似文中的第2种情况；而当选择的材料抗力R > s₁、R >> s₂，就可能出现文中第3种情况。虽然，从理论上分析，这种情况并不合理，但一个结构系统包含大量单元，这种情况发生几乎不可避免。

3 相关系数计算

不失一般性，以任意3个单元状态矢量 ${\mathit{\boldsymbol{M}}_1}$ 、 ${\mathit{\boldsymbol{M}}_2}$ 、 ${\mathit{\boldsymbol{M}}_3}$ 为例，讨论3单元与1、2单元间相关系数 $ \,{\rho _{3 \cdot 12}}$ 计算方法。设可靠性指标β₁、β₂、β₃，相关系数矩阵

$\mathit{\boldsymbol{\rho }} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&{{\rho _{12}}}&{{\rho _{13}}}\\{{\rho _{12}}}&1&{{\rho _{23}}}\\{{\rho _{13}}}&{{\rho _{23}}}&1\end{array}} \right]$

(2)

对于第1和第3种情况有

${\rho _{3 \cdot 12}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\rho _{13}},}&{{\beta _1} > {\beta _2}}\\{{\rho _{23}},}&{{\beta _1} < {\beta _2}}\end{array}} \right.$

对于第2种情况，状态矢量在空间中的相互位置仅由其相关系数(夹角余弦)确定，而且将要计算的系数也是矢量的夹角余弦。所以，可以在任意三维直角坐标系下讨论他们的关系。为更方便讨论，不妨设 ${\mathit{\boldsymbol{M}}_1}$ 处于直角坐标系的一个主轴上； ${\mathit{\boldsymbol{M}}_2}$ 在一主平面上，位置由 ${\rho _{12}}$ 唯一确定； ${\mathit{\boldsymbol{M}}_3}$ 在该直角系中的空间位置由 ${\rho _{13}}$ 、 ${\rho _{23}}$ 唯一确定。

设各状态矢量的单位矢量分别为

$\left\{ {\begin{aligned}& {{\mathit{\boldsymbol{a}}_1} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1& \, 0& \, 0\end{array}} \right]}\\& {{\mathit{\boldsymbol{a}}_2} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{b_1}}&{{b_2}}&0\end{array}} \right]}\\& {{\mathit{\boldsymbol{a}}_3} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{c_1}}&{{c_2}}&{{c_3}}\end{array}} \right]}\end{aligned}} \right.$

根据状态矢量间相关性有

$\left\{ \begin{aligned}& {\rho _{12}} = {\mathit{\boldsymbol{a}}_1} \cdot {\mathit{\boldsymbol{a}}_2} = {b_1}\\& {\rho _{13}} = {\mathit{\boldsymbol{a}}_1} \cdot {\mathit{\boldsymbol{a}}_3} = {c_1}\\& {\rho _{23}} = {\mathit{\boldsymbol{a}}_2} \cdot {\mathit{\boldsymbol{a}}_3} = {b_1}{c_1} + {b_2}{c_2}\end{aligned} \right.$

因为是单位矢量，所以

$\left\{ \begin{aligned}& b_1^2 + b_2^2 = 1\\& c_1^2 + c_2^2 + c_3^2 = 1\end{aligned} \right.$

联立求解，得单位矢量：

$\left\{ \begin{aligned}& {\mathit{\boldsymbol{a}}_2} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\rho _{12}}}&{\sqrt {1 - \rho _{12}^2} }&0\end{array}} \right]\\& {\mathit{\boldsymbol{a}}_3} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\rho _{13}}}&{\displaystyle\frac{{{\rho _{23}} - {\rho _{13}}{\rho _{12}}}}{{\sqrt {1 - \rho _{12}^2} }}}&{{c_3}}\end{array}} \right]\end{aligned} \right.$

等效状态矢量必然和 ${\mathit{\boldsymbol{M}}_1}$ 、 ${\mathit{\boldsymbol{M}}_2}$ 在同一平面(或超平面)， ${c_3}$ 对计算夹角余弦无影响，不需要求解。 ${c_3}$ 坐标的存在是为了保证当前直角坐标系下，状态矢量间夹角与原多维坐标系中相同。

设等效临界状态矢量：

$\mathit{\boldsymbol{M}}_R^0 = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{d_1}}&{{d_2}}&0\end{array}} \right]$

根据前文论证有

$\left\{ \begin{aligned}\mathit{\boldsymbol{M}}_R^0 \cdot {\mathit{\boldsymbol{a}}_1} = {\beta _1}\\\mathit{\boldsymbol{M}}_R^0 \cdot {\mathit{\boldsymbol{a}}_2} = {\beta _2}\end{aligned} \right.$

进而，有

$\left\{ \begin{aligned}& {d_1} = {\beta _1}\\& {d_2} = \frac{{{\beta _2} - {\beta _1}{\rho _{12}}}}{{\sqrt {1 - \rho _{12}^2} }}\end{aligned} \right.$

等效状态矢量与 ${\mathit{\boldsymbol{M}}_3}$ 的夹角余弦，即3单元与1、2单元间相关系数

$\begin{split}& {\rho _{3 \cdot 12}} = \frac{{\mathit{\boldsymbol{M}}_R^0 \cdot {\mathit{\boldsymbol{a}}_3}}}{{\left| {\mathit{\boldsymbol{M}}_R^0} \right|}} = \displaystyle\frac{{{\beta _1}{\rho _{13}} + \displaystyle\frac{{{\rho _{23}} - {\rho _{13}}{\rho _{12}}}}{{\sqrt {1 - \rho _{12}^2} }} \cdot \displaystyle\frac{{{\beta _2} - {\beta _1}{\rho _{12}}}}{{\sqrt {1 - \rho _{12}^2} }}}}{{\sqrt {\beta _1^2 + {{\left( {\displaystyle\frac{{{\beta _2} - {\beta _1}{\rho _{12}}}}{{\sqrt {1 - \rho _{12}^2} }}} \right)}^2}} }} = \\& \quad \quad \frac{{{\beta _1}{\rho _{13}}\left( {1 - \rho _{12}^2} \right) + \left( {{\rho _{23}} - {\rho _{13}}{\rho _{12}}} \right)\left( {{\beta _2} - {\beta _1}{\rho _{12}}} \right)}}{{\sqrt {{{\left[ {{\beta _1}\left( {1 - \rho _{12}^2} \right)} \right]}^2} + \left( {1 - \rho _{12}^2} \right){{\left( {{\beta _2} - {\beta _1}{\rho _{12}}} \right)}^2}} }}\end{split}$

(3)

式(3)在边界处是连续的，如 ${\beta _1} = {\beta _2}{\rho _{12}}$ 时，带入式(3)，有

$\frac{{{\beta _1}{\rho _{13}}\left( {1 - \rho _{12}^2} \right) + \left( {{\rho _{23}} - {\rho _{13}}{\rho _{12}}} \right)\left( {{\beta _2} - {\beta _1}{\rho _{12}}} \right)}}{{\sqrt {{{\left[ {{\beta _1}\left( {1 - \rho _{12}^2} \right)} \right]}^2} + \left( {1 - \rho _{12}^2} \right){{\left( {{\beta _2} - {\beta _1}{\rho _{12}}} \right)}^2}} }} = {\rho _{23}}$

所以，在结构可靠性分析中，对由m个单元并联组成的失效模式，计算流程简单归结如下：

1)判断是否满足条件 ${\rho _{12}} \leqslant {\beta _1}/{\beta _2} \leqslant 1/{\rho _{12}}$ 。

2)分别计算1、2单元与其余m-2个单元的相关系数，满足条件采用式(3)，1、2单元联合失效概率 ${P_r} = {\varPhi _2}\left( { - {\beta _1}, - {\beta _2};{\rho _{12}}} \right)$ ；若条件不满足，当 ${\beta _1} > {\beta _2}$ 时，相关系数取 ${\rho _{13}}$ ，失效概率

${P_r} = \min \left[ {{\varPhi _2}\left( { - {\beta _1}, - {\beta _2};{\rho _{12}}} \right),{\varPhi _2}\left( { - \frac{{{\beta _2}}}{{{\rho _{12}}}}, - {\beta _2};{\rho _{12}}} \right)} \right]$

当 ${\beta ^{}}_1 < {\beta ^{}}_2$ 时，相关系数取 ${\rho _{23}}$ ，失效概率

${P_r} = \min \left[ {{\varPhi _2}\left( { - {\beta _1}, - {\beta _2};{\rho _{12}}} \right),{\varPhi _2}\left( { - {\beta _1}, - \frac{{{\beta _1}}}{{{\rho _{12}}}};{\rho _{12}}} \right)} \right]$

基于以上计算，将其视为一个m−1的新并联系统，重复分析，直至计算出失效模式可靠性指标。

对于结构系统可靠性分析中，单元串联失效的形式，根据概率论原理

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

可通过2个单元的联合失效间接计算，上文方法依然适用，不再讨论。

4 精度分析及讨论

目前，除运用复相关原理能较合理解释一个单元与多个单元间的相关性外，还没有方法或理论可准确估计其相关性，自然无法直接对文章提出的相关系数计算方法进行验证。不过根据概率论原理，如果使用的相关系数越精确，通过对正态联合概率密度函数积分计算的并联体系失效概率就越接近精确值。因此，利用文中的相关系数逐步降维计算并联体系失效概率，通过与蒙特卡洛模拟10⁸次结果的相符程度，间接验证文章所提方法。为更好对比，同时给出利用复相关系数的计算结果。

算例1　并联体系n个功能函数：

${g_i} = \sqrt \rho {x_0} + {x_i} + {\beta _i}\;\;\;\;\;(i = 1,2, \cdots ,n)$

式中： ${x_0},{x_1}, \cdots ,{x_i}$ 为相互独立的标准正态随机变量，单元间的相关系数均为 $\rho $ 。

当n=3时，相关系数ρ=0～1.0，单元可靠性指标分别为β₁= β₂= β₃= 2.0。当β₁=2.0、β₂=2.5、β₃=3.5时，并联体系失效概率P_f计算结果见图4。

图4中，当可靠性指标相同时，3种方法计算结果基本相同，这是因为复相关理论计算的是最大线性组合的相关程度，在各单元间相关系数相等的前提下，就是1个状态矢量与另2个状态矢量所在面的夹角余弦。而可靠性指标也相同时，本文方法也是计算该夹角余弦。说明在此种情况下，复相关系数是合理的，实际上复相关系数仅在此情况下能准确描述，这正是其在结构系统可靠性分析中产生误差的主要原因。如图4中，当各单元可靠性指标不同时，基于复相关系数的计算结果开始出现一定误差(仅为3个单元，即一次降维所以误差较小)，而文中方法与蒙特卡洛模拟结果基本吻合。

当进行连续的降维计算时，即使初始各单元可靠性指标相同，随着降维的推进，每次计算二维正态联合分布时可靠性指标也不相同。此时，基于复相关系数的计算误差也随之增大。如n=10，单元可靠性指标为 ${\beta _1} = {\beta _2} =\cdots= {\beta _{10}} = 2.0$ 时，见图5。

因为随着相关系数变化，并联体系失效概率变化区间较大，甚至相差多个量级。为更清晰看出其误差，图5仅截取 $\rho = 0.4 \sim 0.8$ 一段进行放大，其他区段放大后有类似情形。可以认为本文算法非常接近精确解(蒙特卡洛模拟每次结果本身就有一定随机性，其曲线的锯齿状跳跃也说明了这点)，这间接证明文中提出的一个单元与多个单元相关系数计算方法具有合理性，且在结构可靠性分析中优于复相关理论。

进一步验证算法应对庞大体系的误差情况。取 $\rho = 0.4$ ，各单元可靠性指标均为 $\beta = 2.0$ ，单元数量n=3~25，此情况体系失效概率变化区间过大，其曲线已不易观察误差情况，故将其转化为对应的并联体系可靠性指标的形式，计算结果见图6。

由图可知，文中方法精度是比较高的，基本与模拟结果吻合。图中后期曲线吻合程度变差，存在如下因素需要考虑：一方面，随着并联体系增大，体系失效概率不断降低，因模拟次数均为10⁸次，模拟精度也在降低，特别是单元数量超过20后，体系失效概率进入10^-7量级；另一方面，数值积分仅是对总积分面积有限划分的计算结果，随体系失效概率的降低，总积分面积越小，数值积分误差影响也越显著。理论上数值积分会低估并联体系失效概率，即高估可靠性指标，后期可靠性指标大于蒙特卡洛模拟值也较符合这一点。

从文中分析可知，各单元间的相关系数及可靠性指标都会影响到一个单元与多个单元相关系数计算结果。由于影响因子过多和篇幅限制，无法进行全覆盖式的数值验证。

为验证本文方法在各单元可靠性指标及单元间相关系数均不同时的应用效果，仅以3个单元的并联系统为例，选择2种情况进行验算。

算例2　并联体系3个功能函数：

$\begin{aligned}{g_1} = & \sqrt {\displaystyle\frac{{{\rho _{12}}{\rho _{13}}}}{{{\rho _{23}}}}} {x_0} + \sqrt {1 - \frac{{{\rho _{12}}{\rho _{13}}}}{{{\rho _{23}}}}} {x_1} + {\beta _1}\\{g_2} = & \sqrt {\displaystyle\frac{{{\rho _{12}}{\rho _{23}}}}{{{\rho _{13}}}}} {x_0} + \sqrt {1 - \frac{{{\rho _{12}}{\rho _{23}}}}{{{\rho _{13}}}}} {x_2} + {\beta _2}\\{g_3} = & \sqrt {\displaystyle\frac{{{\rho _{13}}{\rho _{23}}}}{{{\rho _{12}}}}} {x_0} + \sqrt {1 - \frac{{{\rho _{13}}{\rho _{23}}}}{{{\rho _{12}}}}} {x_3} + {\beta _3}\end{aligned}$

式中：x₀、x₁、x₂、x₃为相互独立的标准正态随机变量，单元相关系数矩阵如式(2)。虚拟的功能函数限制了相关系数，仅在满足区间验算。

取β₁=2.1、β₂=1.8、β₃=2.5，ρ₁₂=0.3~0.65、ρ₁₃=0.4、ρ₂₃=0.6时，计算结果见图7。

取β₁=2.1、β₂=2.3、β₃=2.7，ρ₂₃=0.3~0.65，ρ₁₂=0.6、ρ₁₃=0.4时，计算结果见图8。

图7、8在可靠性指标和相关系数均不同的情况下，本文算法仍然具有良好计算精度。通过以上模拟各种情况的验算，说明本文算法合理有效，明显优于利用复相关理论的计算结果，显著提高了降维算法的计算精度，适合于结构系统可靠性分析。

5 结论

文章对结构可靠性分析中遇到的一个单元与多个单元相关性分析问题，提出了一种新的解决思路。从模拟验证来看，其对相关程度的描述是较精准的，能显著提高降维算法的计算精度；文中方法可与多种降维算法结合，用于解决涉及的相关性分析问题。

1）本文方法是在线性功能函数基础上建立的，虽然非线性功能函数可线性化处理，但要考虑线性化带来的误差，不代表一定能获得文中的计算精度。非线性函数可近似为多个线性函数，所以文中算法在功能函数线性化方面也能发挥作用。

2）文中分析过程中，相当于建立了一个状态矢量模型，状态矢量对结构系统失效描述较为直观，便于相关程度分析，值得作为一种新的结构系统可靠性分析模型开展深入研究。