由撞击作用形成的撞击坑是月球表面重要的地貌单元，它们占据了月球表面的大部分面积。据统计，月球表面的撞击坑数量在33000个以上，尤其在月球高地分布比较密集(欧阳自远，2005)。Salamunic'car et al.(2012)利用LOLA激光高度计数据对撞击坑进行自动识别，提取出60645个月球撞击坑，并建立了具有地理坐标、直径、深径比等属性信息的LU60645GT撞击坑数据库。目前，其团队建立了最新的月球撞击坑数据库LU78287GT(Salamunic′car et al., 2014)，该数据库是在LU60645GT数据库的基础上建立的，共包含了78287个撞击坑。数据库中撞击坑的直径、深度等信息可以为研究月球撞击历史和演化过程提供重要的线索。

月球表面上广泛分布的撞击坑，直径差别很大，小的只有几微米，大的可达数百千米。一般情况下，将直径大于300km且具有多环结构和中央峰的撞击坑统称为撞击盆地，直径小于300km的撞击坑可以划分为简单撞击坑和复杂撞击坑(Heiken et al., 1991; 欧阳自远，2005; Stöffler et al., 2006)。这些大小不同的撞击坑形成于不同的地质年代，并且每个地质年代撞击坑的产率也不相同。距今40亿年以前，撞击坑的产率比现在高100~1000倍，大约到了距今30亿年前，撞击坑的产率急剧下降，达到现在的水平(Wilhelms et al., 1987)。Hartmann et al.(1981)和Neukum et al.(2001)都对撞击坑的产率做了研究，得出了统计月球撞击坑大小-频率分布(SFD)的两种方法，即哈特曼产率函数(HPF)和诺伊康产率函数(NPF)，这两种方法在计算月表相对年龄时得到了广泛应用。

对月球表面数量众多的撞击坑，不但可定性研究，也可定量分析。Neukum et al.(1975)从月表撞击坑数量的方面，研究了月表撞击坑的数量与月球地质年龄的关系，结果证明月表撞击坑的数量与月球的地质年龄呈正比，即撞击坑数量越多，月表年龄就越老。Pike(1974)运用统计学的方法，分析了撞击坑直径与撞击坑深度之间的关系，得出撞击坑直径越小，其深径比越大。周增坡等(2012)从撞击坑的空间分布特征方面，研究了月球正面撞击坑的集聚类型，并使用空间聚类分析方法将其分成大坑包围大坑(HH)、小坑包围大坑(HL)、大坑包围小坑(LH)3类。孟庆凯(2013)利用正态分布分级方法，从月球撞击坑的几何特征方面，对撞击坑直径、深度、圆度、坑唇、边缘清晰度、坑内复杂度六个方面进行了量化分级，揭示了撞击坑的空间分布规律和撞击坑的几何特征。尽管前人从不同方面、不同层次对月表撞击坑进行了分析与研究，但在撞击坑的定量分级方面却缺乏研究。因此，本文尝试利用最优分割分级法对月球表面上直径大小不等的撞击坑进行量化分级，并根据分级结果研究分析不同级别中不同地质年代形成撞击坑的数量以及各个级别中每个地质年代的撞击坑形态特征及其演化历史，为月球撞击坑的定量研究提供一种新途径。

最优分割分级法(Fisher，1958; 何宗宜，2004; 刘克琳等，2007)是指在有序样本不被破坏的前提下，使其分割的级内离差平方和最小而级间离差平方和最大的一种分级方法。例如，对n个数据按大小顺序排列后，形成n-1个“空隙”，若要将其分成k级，则需k-1个分级界限。根据排列组合公式，将这n个数据分成k级有C_n-1^k-1种可能分法。按误差函数公式计算各分级方法中每一级的分级误差，误差总和最小时的分级方法为最优分级方法。

以撞击坑直径为样本数据，最优分割分级法的计算步骤如下所示：

(1)将n个数据按由小到大的顺序排列。

(2)计算级直径。用级直径来表示级内部样本之间的差异程度，直径越小则差异越小。设任一分割中某一级为{x_i，x_i+1，…，x_j}，其中j>i，用级直径D(i，j)表示样本离差平方和，则

(3)定义目标函数E(n，k)。用各级内数据的离差平方和之和表示目标函数E(n，k)。目标函数误差越小，说明同一级内的样本差异越小，而不同级内的样本差异越大。则目标函数为：

(4)确定分级数。作目标函数E(n，k)随分级数k的变化曲线，以此曲线开始变得平缓的那一点所对应的k为最优分级数目。在确定最合适的分级数时，有时需要根据专业知识来调整数学上所得的最优分级数目。因为在实际中有可能出现分割结果在数学上是最优，但它明显不符合实际情况时，这时就需要对分割的结果进行适当修改。

(5)确定分级界限。当k较大时，直接求最优分割的计算量很大，而通常使用误差函数递推公式(4)来求最优分割。递推公式为：

为了提高对撞击坑按不同地质年代形成频率及大小分级的准确性，利用目前国际公认的月面历史划分(表 1)和月球与行星科学研究所(LPI)在2011年公布的最新月球撞击坑数据库(Lunar_Impact_Crater_Database(2011))对撞击坑进行分级。LPI公布的撞击坑数据库共统计了8713个撞击坑，每个撞击坑具有直径、深度、坑唇宽度、坑底直径、年代等属性。在这些撞击坑中具有年代信息的仅有1644个，其中前酒海纪撞击坑438个，酒海纪撞击坑734个，早雨海世撞击坑117个，晚雨海世撞击坑168个，爱拉托逊纪撞击坑120个，哥白尼纪撞击坑67个，各个年代撞击坑的空间分布如图 1所示。由于撞击盆地的直径都很大，所以在对撞击坑进行量化分级时，会出现局部极值的现象。为了避免这种情况出现，在本文研究中，剔除了直径大于300km的撞击盆地，只对直径小于300km的1602个标有地质年代的撞击坑进行了分级统计。并且，在分级统计时，将早雨海世撞击坑和晚雨海世撞击坑合并为雨海纪撞击坑进行了统计分析。

表 1

Table 1

表 1(Table 1)

表 1 现用的月球年代划分表(据 Wilhelms et al., 1987) Table 1 The presently used lunar chronology subdivisions (after Wilhelms et al., 1987) 地质年代单元 年龄界限(Ga) 哥白尼纪 0～0.8 爱拉托逊纪 0.8～3.16 雨海纪 晚雨海世 3.16～3.80 早雨海世 3.80～3.85 酒海纪 3.85～3.92 前酒海纪 3.92～4.52

表 1 现用的月球年代划分表(据Wilhelms et al., 1987) Table 1 The presently used lunar chronology subdivisions (after Wilhelms et al., 1987)

图 1

Fig. 1

图 1 月球撞击坑形成年代分布图Fig. 1 The distribution of craters in different ages on the moon

利用前文所述的最优分割分级法对1602个月球撞击坑的直径进行分级，其目标函数E(n，k)随分级数k的变化曲线如图 2所示。

图 2

Fig. 2

图 2 E(n,k)随分级数k的变化曲线Fig. 2 The curve of E(n,k) changing with the grading number k

从图 2中可以看出，E(n，k)在k=8处曲线开始变得平缓，且在k>10时基本保持不变。为了保持数据的原貌和图解效果，本文在分级数量上采用10个量化等级。在确定最优分割分级界限时，根据月球撞击坑直径的分布特征，对其进行适当调整，以便于对比分析。1602个月球撞击坑直径的最优分割分级界限如表 2所示。

表 2

Table 2

表 2(Table 2)

表 2 撞击坑直径最优分割分级结果 Table 2 Optimum partition and grading results of crater diameter 撞击坑定量分级级别 1级 2级 3级 4级 5级 6级 7级 8级 9级 10级 撞击坑直径分级区间(km) 1~20 20~30 30~35 35~45 45~60 60~80 80~110 110~150 150~210 210~300

表 2 撞击坑直径最优分割分级结果 Table 2 Optimum partition and grading results of crater diameter

为了直观显示月球撞击坑在各级别内分布的数量，按最优分割分级界限对撞击坑进行直方图统计，统计结果如图 3所示。

图 3

Fig. 3

图 3 月球撞击坑分级统计直方图Fig. 3 The histogram of lunar craters’ grading

从图 3可以看出，撞击坑直径总体上呈现近似正态分布。从撞击坑分级的结果来看，撞击坑直径主要分布在3~8级，即撞击坑直径主要分布在30~150km的范围内，此范围内撞击坑的数量占全部撞击坑总数的87.9%，其余区间内撞击坑数量较少，1~2级内撞击坑数量占全部的8.4%，9~10级内撞击坑数量占全部的3.7%。这说明研究数据中，月球的撞击坑主要以中小型撞击坑为主。 在分级结果的基础上，为了研究分析各个级别内不同地质年代形成撞击坑的数量，对月球撞击坑按级别和地质年代分别进行统计，其统计结果如图 4所示。

图 4

Fig. 4

图 4 各级内不同地质年代撞击坑出现的频率分布图Fig. 4 Frequency distribution of different ages’ craters in each grade

从图 4可以看出，基本上每个级别内都有各地质年代形成的撞击坑，其中雨海纪、酒海纪和前酒海纪时期分布的撞击坑数量最多，直径较大，可以推测出月球表面在这三个时期发生了大规模的撞击事件，形成了月球表面上广泛分布的撞击坑。因此，这三个时期形成的撞击坑在各个级别内基本都有分布，并且直径较大的撞击坑主要分布在高级别内。哥白尼纪和爱拉托逊纪的撞击坑数量随着撞击坑直径增大而减少，这可能是因为在雨海撞击事件后，太阳系的演化基本达到了有序的状态，绝大多数小天体被大的星体所捕获，形成了固定的运行轨迹，只有少部分的小天体撞击到月球的表面上(Strom et al., 2015)，所以哥白尼纪和爱拉托逊纪这两个时期内形成的撞击坑直径较小，主要分布在低级别内，而级别越高，在这两个时期内形成的撞击坑越少。

撞击坑是月球表面最主要的地貌特征，对其进行深入研究可以揭示月球表面的演化过程。前人从多个方面、不同层次对撞击坑进行了研究分析，并通过对撞击坑的研究，进一步推测出月表的相对年龄。从撞击坑的分类上来看，对撞击坑形态进行最完整的分类是Wood and Anderson(1978)的分类，它依据“月球轨道探测器”IV的地形资料，辨认出18个不同的撞击坑类型。另一种被广泛认可的分类方案是Stöffler et al.(2006)提出的，它从撞击坑的边界侵蚀度、形态和规模等角度将撞击坑分为简单撞击坑、复杂撞击坑和撞击盆地三大类。从撞击坑的几何形态特征来看，可以从撞击坑的直径、深度、体积、坑底直径、坑唇宽度、中央峰高度等几何形态参数的测量来进行定量分析。LPI公布的撞击坑数据库中就统计了包括位置、大小、深度等多个属性指标。王心源等(2012)依据“嫦娥一号”影像图和全月球数字高程模型数据，提取了撞击坑的坑唇等效半径、坑底等效半径、撞击坑深度三个参数，并对其进行了统计分析和聚类分析。

利用全月球“克莱门汀”多光谱数据和“月球轨道探测器”伽玛谱数据，Jolliff et al.(2000)将月球表面划分为风暴洋克里普岩质地体(月海地区)、高地斜长岩地体(高地地区)、南极艾肯地体(南极-艾肯盆地地区)三大化学地体。考虑到撞击坑可能受到地体背景差异的影响而形成不同的地貌特征，因此选取同一地体下，相同级别、不同年代、大小相近的撞击坑进行形貌差异探讨(赵金锦，2013)。本文利用LROC影像数据，在最优分割分级的基础上对相同级别不同年代的撞击坑形貌特征进行了研究分析(表 3)。

表 3

Table 3

表 3(Table 3)

表 3 不同年代同一级别内撞击坑的形态特征 Table 3 Morphological characteristics of same grade crater in different ages 级别 哥白尼纪 爱拉托逊纪 雨海纪 酒海纪 前酒海纪 1级 2级 3级 4级 5级 6级 7级 8级 9级 10级

表 3 不同年代同一级别内撞击坑的形态特征 Table 3 Morphological characteristics of same grade crater in different ages

从表 3可以看出，对于相同地质年代的撞击坑，随着分级级别的提高，其几何形态特征由简单逐渐变为复杂，坑物质也逐渐变得复杂，并且坑底中出现了中央峰。而对于相同级别的撞击坑，与古老撞击坑相比，年轻撞击坑的几何形态特征保存更好，受到后期撞击及侵蚀的影响较小。为了详细对比相同级别、不同年代、大小相近撞击坑的形态特征及其特点，将表 3内撞击坑的直径、深度、深径比进行参数统计，其结果如表 4所示。

表 4

Table 4

表 4(Table 4)

表 4 不同年代同一级别内撞击坑参数信息统计表 Table 4 Parameter statistics of same grade craters in different ages 级别 哥白尼纪 爱拉托逊纪 雨海纪 酒海纪 前酒海纪 直径(km) 深度(km) 深径比 直径(km) 深度(km) 深径比 直径(km) 深度(km) 深径比 直径(km) 深度(km) 深径比 直径(km) 深度(km) 深径比 1级 9 1.3626 0.1514 9 1.6965 0.1885 8 0.9032 0.1129 8 0.3600 0.0450 - - - 2级 28 3.8640 0.1380 30 2.7240 0.0908 30 2.5740 0.0858 30 1.9830 0.0661 30 1.8780 0.0626 3级 33 2.9403 0.0891 33 4.3824 0.1328 33 1.5840 0.0480 33 2.5641 0.0777 33 2.4585 0.0745 4级 36 3.5244 0.0979 36 3.6072 0.1002 37 2.5900 0.0700 37 2.4383 0.0659 41 2.6527 0.0647 5级 49 3.7583 0.0767 49 3.5917 0.0733 49 3.4006 0.0694 49 1.4994 0.0306 47 2.9234 0.0622 6级 71 4.0470 0.0570 70 3.9270 0.0561 73 3.9931 0.0547 71 3.5997 0.0507 71 2.6696 0.0376 7级 85 4.4965 0.0529 85 3.8420 0.0452 85 3.7400 0.0440 85 3.8420 0.0452 85 2.7540 0.0324 8级 - - - 127 3.6830 0.0290 115 4.4160 0.0384 126 4.0950 0.0325 126 3.2508 0.0258 9级 - - - 167 5.2104 0.0312 162 2.2842 0.0141 169 4.7827 0.0283 165 0.9240 0.0056 10级 - - - - - - - - - 245 3.8220 0.0156 237 1.3035 0.0055 注：-表示本级别内无此年代的撞击坑；直径与深度数值取自LU60645GT数据库，深径比分辨率为1/512° LOLA

表 4 不同年代同一级别内撞击坑参数信息统计表 Table 4 Parameter statistics of same grade craters in different ages

从表 4可以看出，各地质年代撞击坑的深径比与其直径基本上成反比，即随着撞击坑直径的增大，其深径比逐渐减小，这与Pike(1974)利用统计学方法得出撞击坑直径越小，其深径比越大的结论一致。值得注意的是：哥白尼纪的撞击坑直径越大，撞击坑深度越大；爱拉托逊纪的撞击坑中，部分撞击坑深度并不随着直径的增大而增大；雨海纪、酒海纪和前酒海纪的撞击坑直径越大，其深度有减小的趋势。究其原因，可能是由于雨海纪、酒海纪和前酒海纪时期，月球表面遭受了强烈的撞击作用，先形成的撞击坑在后期的撞击与侵蚀作用下其形态特征遭到了破坏，坑内覆盖大量溅射物或坑壁坍塌使深度减小，而哥白尼纪的撞击坑形成年代最晚，其撞击坑的形态特征保存完好，基本保持了其形成初期的形态特征。

从上述分析可以得出，不同年代撞击坑形态特征的差异是显而易见的，造成其差异的主要原因是由于形成于不同年代的撞击坑演化至今，经历了不同的退化程度，从而撞击坑的形态特征及直径、深度、深径比等形态参数也发生了较大的变化。

从月球撞击坑的最优分割分级结果可以看出，月球上直径大小不同的撞击坑并非形成于同一地质年代，即使是直径相同的撞击坑也有可能形成于不同的时期，并且在各个时期形成的撞击坑数量也不相同。对各个级别内的撞击坑研究分析可以看出，撞击坑在不同的地质年代内具有不同的形态特征及地形特征。前酒海纪形成的撞击坑直径较大，数量较多，这主要是因为前酒海纪是月球遭受撞击最密集的一个地质时代，在这期间形成了大量的撞击坑，但由于后期的撞击与侵蚀，直径小于20km的撞击坑很少能够非常确定的识别出来(Heiken et al., 1991; Strom et al., 2015)；而对于直径大于20km的撞击坑，虽然经过长期的撞击与侵蚀，其精细结构已经退化，但这些撞击坑还保留了初始时的总体形状，所以，其主要的撞击坑环形坑壁还可以被识别出(Wilhelms et al., 1987)。与前酒海纪形成的撞击坑相比，酒海纪形成的直径大于20km的撞击坑数量多，且撞击坑的坑底更深，坑壁的原始地形也比较粗糙，内部常见有中央峰。另外，酒海纪可识别的直径小于20km的撞击坑也要比前酒海纪同样大小的撞击坑数量多。雨海纪形成的撞击坑多数分布在雨海盆地的溅射物之上并且被月海玄武岩所填充，此时期内形成的撞击坑大部分被侵蚀，根据其侵蚀形态可以判断出撞击坑被侵蚀的状态。爱拉托逊纪形成的撞击坑都比较年轻，具有清晰的形貌，但辐射纹已经退化。哥白尼纪的撞击坑在形态和性质上都与爱拉托逊纪的撞击坑很相似，但有明亮的特征的辐射纹(陈建平等，2014)。

本文利用最优分割分级法对撞击坑直径进行了定量分级，在分级的结果上分析了撞击坑形态特征与直径及地质年代的关系，主要得出以下三方面的结论：

(1)利用最优分割分级法对撞击坑进行定量分级，提高了自动分级的准确性，减少了人为因素对撞击坑分级的影响。从分级结果来看，月球撞击坑的直径主要集中在3~8级，说明研究数据中直径大于150km的撞击可和直径小于30km的撞击坑较少。但由于具有确定地质年龄的撞击坑数据较少，所以这个结论具有一定的局限性，这需要在以后的研究中，对全月的撞击坑进行准确定年后，重新对全月的撞击坑进行定量分级，以验证此分级方法的普适性。

(2)月球上直径较大的撞击坑主要形成于雨海纪、酒海纪和前酒海纪，即古老地质年代地层累积的较大型撞击坑的数量较多。而时间越晚，月球表面上形成的撞击坑直径就逐渐变小。这是因为雨海撞击事件后，月球表面上主要遭受一些小规模的撞击，中等规模的撞击事件仅偶尔发生。

(3)不同地质年代的撞击坑具有不同的形态特征。撞击坑从形成到演化至今，经历了不同的退化程度，在形态特征上具有不同程度的改造。较老的撞击坑，由于受到后期的侵蚀，其精细形态结构逐渐退化，只保留大体几何形态，而年轻撞击坑的形态特征保存较完整。