1、引　言

天绘一号卫星是中国第一颗传输型光学遥感测绘卫星，承担着获取全球范围内立体、多光谱和高分辨率影像信息，测制全球地区1∶5万比例尺地图，修测1∶2.5万比例尺地图的任务(王蓉 等，2014)。天绘一号目前有三颗卫星在轨运行。作为光学遥感卫星，天绘一号的摄影效果与地面目标云量情况有很大的关系。对于云量值长期较大的区域，提高卫星对该区域的重访次数可以提高获取有效景象的概率。除了常规的摄影之外，天绘一号卫星还需要执行一些应急任务，对某些重点区域进行持续关注，掌握和优化卫星对该区域的覆盖特性，有助于更好地完成任务。

卫星地面覆盖分析最常见的方法为网格点法。该方法将区域划分为若干网格点，通过对网格点的覆盖情况计算对整个区域的覆盖情况(Morrison，1973；张玉锟和戴金海，2001)。该方法的优点是适用于形状不规则区域(沈夏炯 等，2016)，可避免重合覆盖区域的多次统计，可考虑各种摄动力影响(林西强和张育林，2001)，并且算法上易于实现。网格点分析法的主要缺点是计算效率低，随着区域面积的增大和算法精度的提高，计算内存和时间会急剧上升(李洪亮 等，2016)。当前很多关于卫星覆盖的研究主要用于提高网格点覆盖方法的效率(林西强和张育林，2001；李洪亮 等，2016；徐敏 等，2000；韩潮 等，2005)，以及应用先进的优化算法来提高优化计算的速率(陈琪锋 等，2004；王瑞 等，2002)。此外，为了提高覆盖计算的效率，还出现了一些完全不同于网格点覆盖法的计算方法，如经度条带法(宋志明 等，2014)，基于星下点轨迹解析法(曾德林，2014)，基于多边形布尔运算法(汪荣峰，2016)等，这些方法在效率上有了很大的提高。然而，对于天绘一号这类光学遥感测绘卫星而言，以上覆盖分析和优化方法并不完全适用，在计算效率上还可以进一步提高。

天绘一号卫星为太阳同步准回归圆轨道，标称轨道高度为500 km左右，降交点地方时为13:30，回归周期D天，回归圈数R圈。

根据标称轨道的星下点轨迹和卫星摄影幅宽，将地球表面划分为R个条带。作为全球测绘卫星，为了实现全球无缝均匀覆盖，运行过程中通过轨道维持保证卫星星下点轨迹运行在标称轨迹网上，对标称轨迹对应的R个条带进行巡察(冯宁 等，2012)。

天绘一号卫星的标称轨道限定了3颗卫星的轨道形状和空间位置，卫星之间的相位差只能通过3颗卫星星下点所处条带号之差来调整。由于实际轨道维持过程中，还允许卫星的降交点地方时有小量偏移，因此3颗卫星之间的相位关系的调整自由度也有所增加，使得通过调整卫星相位关系来优化3颗卫星的覆盖性能变为可能。

除此之外，天绘一号卫星测绘相机的成像模式为线阵推扫式成像，其覆盖性能的计算因此可以得到简化。

本文根据天绘一号测绘卫星的特点，提出了一种基于条带—纬度覆盖图的分析方法，并通过调整各个卫星的当前条带号和降交点地方时来优化对目标区域的重访间隔。该方法可用于分析和优化天绘一号卫星星座的长期覆盖性能，计算效率高，易于直观理解分析，并可推广至其他同类型卫星。

2、基本概念与模型     (2.1) 基本概念

本节阐述本文中用到的一些概念的定义。

定义1：卫星摄影条带。回归圈数为N的卫星在一个回归周期中的光照条件下的所有标称星下点轨迹将地球表面南北纬80°以内的区域分为N份。定义以标称星下点轨迹为中心线，以与相邻轨迹在东西方向的距离为东西宽度的N个条带为卫星摄影条带。以穿越赤道经度为L₀的标称轨迹所处的摄影条带为1号条带，向西依次将所有条带进行编号。

定义2：卫星覆盖带。在地球表面南北纬80°以内的区域中，卫星经过每条星下点轨迹时，卫星对地面的可访问区域(包括进行侧摆)形成的条带称为卫星覆盖带。

定义3：覆盖带经度跨度。指卫星覆盖带对某一纬度线的覆盖所跨越的经度大小。

定义4：条带纬度覆盖图。将卫星覆盖带绘制在以摄影条带号为横坐标，以纬度为纵坐标的直角坐标图中称为条带纬度覆盖图。

定义5：当前条带号。某指定时刻下卫星所处圈次(从升交点起至下一次经过升交点为一个圈次)中星下点经过的摄影条带编号。

本文主要研究卫星星座对地面目标的长期覆盖性能和优化方法。覆盖性能分析的基本方法是通过卫星的条带纬度覆盖图来实现。覆盖性能的优化通过调整各个卫星的当前条带号和降交点地方时来实现。

    (2.2) 覆盖带经度跨度简化计算模型

设某时刻卫星穿越纬度线 $\delta $ ，其与降交点的经度差为 $\alpha $ ，与降交点的幅角差为u(图1)。根据球面公式可得

$ u = \arcsin \left(\frac{{\sin \delta }}{{\sin i}}\right) $

(1)

式中，i为轨道倾角的补角。

覆盖带的左边缘与该纬度的交点为D，其卫星星下点位置为A₁, 其与降交点的幅角差为u₁ 则根据覆盖带外沿轨迹上点的纬度计算公式(翁慧慧，2006)，可得到

$ {u_1} = \arcsin \left(\frac{{\sin \delta - \cos i\sin \beta }}{{\sin i\cos \beta }}\right) $

(2)

式中， $\beta $ 为传感器覆盖地心角。

解球面三角形A₁AD，根据球面三角余弦公式可得

$ \cos \overset\frown{AD}=\cos \beta \cos (u-{{u}_{1}}) $

(3)

解球面三角形APD，同理可得到

$ \cos \overset\frown{AD}={{\sin }^{2}}\delta +{{\cos }^{2}}\delta \cos \Delta {{\alpha }_{1}} $

(4)

联立(3)(4)式，可得

$ \Delta {{\alpha }_{1}}=\arccos \left(\frac{\cos \beta \cos (u-{{u}_{1}})-{{\sin }^{2}}\delta }{{{\cos }^{2}}\delta }\right) $

(5)

再考虑卫星从A到A₁时间内地面和轨道面得相对转动，可得卫星在纬度 $\delta $ 线上的西经度跨度为

$ \begin{split} \Delta {{{\textit{λ}}}_{1}}= & \arccos \left(\frac{\cos \beta \cos (u-{{u}_{1}})-{{\sin }^{2}}\delta }{{{\cos }^{2}}\delta }\right)+ \\ & \frac{(u-{{u}_{1}})T}{2{\text{π}} }({{\omega }_{e}}-{{\omega }_{s}}) \end{split} $

(6)

式中， ${{\omega }_{e}}$ 为地球自转角速度， ${{\omega }_{s}}$ 为平太阳角速度。

同理可得到卫星在纬度 $\delta $ 上的东经度跨度为

$ \begin{split} \Delta {{{\textit{λ}} }_{2}}= & \arccos \left(\frac{\cos \beta \cos ({{u}_{2}}-u)-{{\sin }^{2}}\delta }{{{\cos }^{2}}\delta }\right) + \\ & \frac{({{u}_{2}}-u)T}{2{\text{π}} }({{\omega }_{e}}-{{\omega }_{s}}) \end{split} $

(7)

    (2.3) 条带—纬度覆盖图

卫星摄影条带中心标称轨迹的经纬度可以通过轨道仿真计算得到，亦可通过计算第一个条带的中心标称轨迹经纬度并沿东西方向进行平移360°/R的整数倍得到(Wang 等，2016)。不妨设编号为1的条带中心标称轨迹经度 $\lambda $ 与纬度 $\delta $ 的函数关系为

$ {\textit{λ}} ={{f}_{1}}(\delta) $

(8)

如下给出经纬度图上点 $({{\lambda }_{0}}, {{\delta }_{0}})$ 到条带纬度图上对应点 $(\xi, \varsigma)$ 的转化方法。

$ \left\{ \begin{aligned} & \xi ={{\delta }_{0}} \\ & \varsigma =\left(\frac{-({{{\textit{λ}} }_{0}}-{{f}_{1}}({{\delta }_{0}}))}{360/R} \right)od (R)+1 \end{aligned} \right. $

(9)

式中，mod表示取模运算。从经纬度图到条带纬度图的变换过程将地球上南北纬80°以下的点绕地轴转动了一定角度，使得星下点轨迹从曲线变为直线。

利用式(6)和式(7)可以描绘出卫星经过该条带中心轨迹时的东西覆盖边缘，进而得到覆盖图。如图2所示为卫星经过编号为1和3的条带的经纬度覆盖图。用式子(9)将其投影到条带纬度图中，如图3所示。

在经纬度覆盖图(图2)中，卫星覆盖带的横向跨度很大，整体呈现为一个细长条带。卫星经过条带1和条带3标称轨迹时卫星覆盖带的重合关系并不直观。

在条带纬度覆盖图(图3)中，横坐标转化为条带号，卫星覆盖带的横向跨度则限制在其星下点所处条带号左右的几个条带中，整体呈现为低纬度窄高纬度宽的对称条带。卫星经过相邻摄影条带时卫星覆盖带的重合关系一目了然。

3、覆盖性能分析方法

卫星星座对地覆盖性能包括覆盖次数和重访间隔。覆盖次数可以通过绘制条带纬度覆盖图分析直接得到，而重访次数则需要对卫星每次覆盖的时序进行分析。

    (3.1) 卫星对目标区域的覆盖次数

卫星在一段时间内对地面目标的覆盖次数可以通过绘制和分析条带纬度覆盖图来得到。

以01星在一个回归周期中的地面覆盖特性为例，卫星在对摄影条带1附近的条带纬度覆盖图如图4所示。通过图4可以直观看出，卫星对中低纬度区域的覆盖次数分为A, B, C共3类区域。覆盖次数随着颜色的加深而增加。A, B, C共3类区域的覆盖次数分别为1次、2次和3次。分析某目标区域的覆盖次数，只需将目标区域映射到条带纬度覆盖图中，判断属于哪类区域即可知道卫星对该目标的覆盖次数。

分析多星对地面目标覆盖次数则只需将每颗卫星的条带纬度覆盖图进行叠加即可。所不同的是随着卫星数目的增加，地面覆盖区域的类别会分得更多更细。

    (3.2) 单颗卫星对目标区域的重访间隔

从条带纬度覆盖图中，判读出卫星覆盖目标区域时所处的摄影条带号。通过分析卫星对摄影条带的访问顺序即可得到卫星对目标区域的重访间隔。

对于天绘一号卫星而言，易知卫星每一圈访问的摄影条带号都是上一圈的摄影条带号基础上增加D个条带。因此，卫星访问的条带号具有如下关系

$ {{a}_{n+1}}=({{a}_{n}}+D-1)od (R)+1 $

(10)

式中， ${{a}_{n}}$ 为第n圈访问的条带号，运算符mod表示模运算。

卫星依次访问条带a与条带b中间相隔的圈次x可以如下表示：

$ x=revbtw(a, b)\triangleq \frac{R{{k}_{b-a}}+(b-a)}{D} $

(11)

式中， ${{k}_{b-a}}\in {{{N}}^{+}}$ 表示使该式整除的最小值。

如图4所示，覆盖A类区域的卫星摄影条带号为1，因而对A类区域的重访间隔圈次为

$ {{I}_{\rm{A}}}=R $

(12)

即一个回归周期。覆盖B类区域的卫星摄影条带号为1和2，其最大重访间隔为

$ {{I}_{\rm{B}}}=\max ((R{{k}_{1}}+1)/D, (R{{k}_{-1}}-1)/D) $

(13)

覆盖C类区域的卫星摄影条带号为1、R和2，最大重访间隔为

$ \begin{split} {{I}_{\rm{C}}}= & \max ((R{{k}_{1}}+1)/D, (R{{k}_{-1}}-1)/D, \\ & (R{{k}_{2}}+2)/D, (R{{k}_{-2}}-2)/D) \end{split} $

(14)

    (3.3) 多颗卫星对目标区域的重访间隔

多颗卫星对目标区域的重访间隔不仅需要分析每一个卫星访问该目标区域的摄影条带号序列，还需要考虑各个卫星之间的相位差，进而得到整个星座对目标区域的访问序列。

卫星的相位差是由于卫星轨道之间的差异造成的。由于研究的对象为卫星星座的长期覆盖性能，选择卫星的标称轨道进行分析。标称轨道的高度、偏心率、轨道倾角在测绘卫星总体设计时已经确定下来，并在运行过程中进行较好的保持。卫星轨道之间的差异主要是降交点地方时和当前条带号。

降交点地方时在系统总体设计时是确定的，但实际工程应用中，在摄动力下会出现漂移。降交点地方时体现了卫星轨道的升交点赤经的差异。

工程应用中，由于卫星星下点轨迹保持在标称轨迹网内，在固定的降交点地方时下，卫星的当前条带号唯一确定了一颗卫星的位置。卫星当前条带号体现了卫星纬度幅角的差异。

卫星y滞后于卫星x的时间差ΔT 可通过以下式子计算得到

$ \Delta T=\Delta {{T}_{1}}+\Delta {{T}_{2}}+\Delta {{T}_{3}} $

(15)

$ \Delta {{T}_{1}}={{T}_{\Omega }}\cdot revbtw({{p}_{x}}, {{p}_{y}}) $

(16)

$ \Delta {{T}_{2}}={{T}_{\Omega }}\cdot ({{p}_{y}}-{{p}_{x}})/D $

(17)

$ \Delta {{T}_{3}}={{t}_{DNLTy}}-{{t}_{DNLTx}} $

(18)

式中， $\Delta {{T}_{1}}$ 为由当前条带号差异造成的摄影条带时序滞后， $\Delta {{T}_{2}}$ 为由于当前条带号差异造成的纬度幅角滞后， $\Delta {{T}_{3}}$ 为由于降交点地方时差异造成的滞后， ${{T}_{\Omega }}$ 为交点周期，p为当前条带号， ${{t}_{DNLT}}$ 为降交点地方时。

至此，通过每个卫星访问目标区域的摄影条带号序列和各个卫星之间的相位差，不难得到整个卫星星座访问目标区域的时间序列，进而得到对目标区域的重访间隔。

4、覆盖性能优化方法

由条带纬度覆盖图可知，由于轨控保持卫星星下点轨迹运行在标称轨迹网上，在一个回归周期内完成对R个条带的巡察，因此只要每颗卫星的传感器覆盖地心角确定下来后，目标区域在一个回归周期的被覆盖次数就确定下来，没有能够优化的空间。因此本节的覆盖性能优化只讨论对目标区域重访间隔的优化方法。

    (4.1) 覆盖性能优化的变量及其调整范围

如前所述，标称轨道的高度、偏心率、轨道倾角在测绘卫星总体设计时已经确定下来。卫星轨道剩下的可调整变量为降交点地方时和卫星当前条带号，分别表征卫星的升交点赤经和纬度幅角。

对卫星星座进行优化时，需要先固定其中一个卫星的当前条带号作为参考。当参考卫星的当前条带号确定下来后，在相同的降交点地方时约束下，其他待优化卫星的当前条带号也被约束在了参考卫星当前条带左右的D个条带中。

降交点地方时在总体设计时出于地面太阳高度角和卫星电量的考虑会确定下来，但是实际应用中会允许有一定的偏离。对于天绘一号测绘卫星而言，不妨设定降交点地方时的变化范围为13:00:00—14:30:00。

    (4.2) 覆盖性能优化的基本步骤

由式(13)—(16)可知，调整当前条带号使待优化卫星的访问序列进行大幅度的整周期偏离，而调整降交点地方时则使待优化卫星的访问序列进行小幅值的连续偏离。因此，基于当前条带号和降交点地方时的覆盖性能优化方法可以通过如图5所示的思路进行实现：

首先，固定星座中某颗卫星的当前条带号，待优化卫星的当前条带号在相同降交点地方时的D个卫星中进行遍历寻优，得到若干个较好的条带号。由于调整条带号对卫星访问时序的调整只能是整数周期的平移，因而优化的效果有限，并且得到的次优条带号可能会有多个。

其次，在限定的次优条带号附近进行降交点地方时偏移时间的调整，求解每个条带号对应的最优降交点地方时偏移。由于降交点地方时偏移为连续值，允许的偏移量是有限的，并且易知在访问时序连续偏移时，最大重访时间的变化也是连续的，因此求解最优降交点地方时偏离实际上是求解一个闭区间连续非线性函数的极值问题，该问题可通过序列二次规划方法得到有效解决。

最后，在每个次优条带号和相应最优降交点地方时的结果中寻找最优值，得到的最优条带号和最优降交点地方时作为问题的最终结果。

5、仿真算例

本节对本文提出的覆盖性能分析和优化方法进行仿真验证，并将结果与STK软件中基于网格点分析的方法进行对比。

选取如图6所示中低纬度地区某目标区域为例，该区域由于常年雨水充沛，云量较厚，不能获取有效数据，需要分析和提高当前卫星覆盖性能。

假定天绘一号卫星相关参数如表1所示。

    (5.1) 覆盖性能分析

绘制3颗卫星在一个回归周期内的条带纬度覆盖图，将其叠加到一起，并把目标区域投影到条带纬度覆盖图中(图7)。

从图7中可以分析得到，目标区域只跨越了条带纬度覆盖图的B′, C′和D′共3类区域。因而只需分析这3类区域的覆盖性能即可。根据第3节所述方法可得3类区域覆盖次数和最大重访间隔如表2所示。

将条带纬度覆盖图中覆盖区域的分区投影到经纬度覆盖图中如图6中区域内虚线所示。

采用基于网格点分析的方法进行覆盖性能分析对比。设计目标区域中2787个网格点，经纬度间隔为0.015°，计算相同的标称轨道参数下，每个点的覆盖次数和重访间隔。计算结果如图8所示。

以上两种方法的分析结果几乎完全一致，因此基于条带纬度覆盖图分析方法的结果是可信的。并且从两种方法的分析过程可以看出，条带纬度覆盖图分析法具有如下优点：

(1)计算量小。网格点法的计算过程中设计了近3000个网格点，对每个点的覆盖性能都需进行计算。网格点的数目是随目标面积增大而增大的。有时为了发现目标区域的覆盖特性规律以便得到更可靠地结果，还需要对目标区域进行进一步细分。这些都使得计算量得不到控制。而条带纬度覆盖图法的计算仅仅是将摄影覆盖带和目标区域从经纬度覆盖图投影到条带纬度覆盖图的过程，以及对目标区域覆盖性能的分区计算。分区数目是远远小于网格点数目的。

(2)便于直观理解和应用。若要通过网格点法得到目标区域覆盖特性的分布特点，则需要增加网格点的数量使其布满目标区域，再从中找寻规律。而从条带纬度覆盖图分析可以看出，该方法通过图形使目标区域覆盖特性和分布显得直观易懂。虽然目标区域从经纬度图投影到条带纬度后形状发生了变化，但是这种变化没有改变目标区域及其覆盖分布的拓扑性质。该方法可进一步应用，例如回答某星星下点轨迹网发生平移后覆盖性能变化趋势等问题。

    (5.2) 覆盖性能优化

采用第4节所述方法对卫星覆盖性能进行优化，使卫星对目标区域的平均最大重访间隔尽量小。本节采用3种备选方案进行优化，结果如表3所示。

由表3结果可知，3种备选的调整方案能使得卫星对目标的平均最大重访间隔分别缩小1.3天、2.3天和3.0天，说明了该方法的有效性。若采用基于网格点的优化方法，则每次迭代都需要对网格点的覆盖性能进行重新分析计算，严重降低了优化的效率。

6、结　论

本文根据天绘一号卫星的轨道维持和摄影特点，提出了基于条带—纬度覆盖图的长期覆盖性能分析和优化方法。该方法能够实现对不规则形状目标区域的长期覆盖性能进行分析和优化。相较于常见的网格点分析法具有计算效率高，直观性强等优点。

该方法可以为优化卫星的地面覆盖性能提供有效的技术支撑，并对卫星的轨道保持和相位调整工作提出建议。该方法可推广应用于功能类似的测绘卫星。下一步研究可对本文所提方法进行改进以适用于其他对地观测卫星。