Complexity of the Hotelling model with bounded rationality rules
0 引言
经济系统理论中,
将非线性动力学理论和混沌理论结合起来分析博弈模型的动态特征是一个重要的分支.
这种研究方式形成一种基于有限理性的动态寡头博弈模型[1],
该模型放松了对参与人完全理性和完全信息的约束,
同时假设参与人采取逐步调整产量或价格的策略. 通过对博弈模型改进,
不但拓展了博弈论理论的研究方法,
也使得博弈模型对现实经济问题有了更好的描述[2].
在对寡头市场的研究中,
能够将非线性动力学理论和混沌理论结合起来的有动态博弈模型和推测变差模型.
其中,
有限理性动态寡头博弈模型因其更为合理的模型假设和对实际经济问题更强的解释能力而备受关注.
对这类动态寡头博弈模型进行的研究也是多角度的.
一类是从有限理性定义和划分的角度[3],有限理性包括:
基本有限理性行为[4, 5]、适应性有限理性行为[6]、延迟有限理性行为[7]
以及天真预期行为[8] 等,
这些研究主要集中于证明参与人的有限理性差异对博弈结果有哪些不同影响.
在动态博弈模型中,参与人可能具有相同的有限理性,
例如Elsadany[9] 建立了一个延迟有限理性寡头博弈模型,
分析了模型的动态性和均衡的存在性,
最后采用数值模拟说明延迟有限理性更容易达到纳什均衡.
Luciano等[10] 引入了产品的差异性,
分析了具有异质性预期的古诺模型的动态性,表明产品的替代性越强,
市场竞争越激烈,纳什均衡越稳定,系统由混沌状态转向均衡状态.
参与人也可能具有不同的有限理性,Tomasz[11]
在线性逆需求函数和二次成本函数的假设下,
构建了一个具有有限理性和适应性理性的重复古诺寡头博弈模型,
分析了均衡的存在性和稳定性,
并采用数值模拟表明系统会发生倍周期分岔和混沌.
一些学者则将有限理性寡头博弈模型应用于实际经济问题中,
研究广告市场[12]、发电商市场报价[13]等问题;
另一类有限理性动态博弈模型,
是以差分方程为背景构建价格竞争[14]、产量竞争[15]和成本竞争[16]
的双寡头博弈模型,分析了系统均衡点的稳定性.
利用数值模拟展示了产量分岔、价格分岔、利润分岔、混沌和奇异吸引子等动力学问题,
指出参数取值不同对博弈收敛到均衡点速度有直接的影响;
以上的动态博弈模型多数以双寡头市场为背景,
而以三寡头市场为基础的动态博弈模型也较多,例如Elsadany[17],
Peng[18] 构建了三寡头有限理性动态非线性古诺模型,
对均衡的稳定性进行了分析,用数值模拟说明当调整速度很大时,
经济系统的均衡将不稳定,混沌等复杂现象会发生.
通过对文献的梳理我们发现,现有的关于寡头市场的研究文献中,
在分析产品差异时多数集中于产品的成本和价格这两个方面,
而造成产品定价差异的重要因素之一是产品位值 ,
豪泰林模型详细阐述了产品位值对寡头市场中价格竞争的影响.
本文将豪泰林模型与非线性动力系统理论结合在一起,
在参与人具有延迟反馈控制的有限理性行为下,分析豪泰林模型的复杂性.
首先,从理论上对动态系统Nash均衡的存在性与稳定性进行分析,
探查豪泰林模型的复杂性. 其次,
利用豪泰林模型中的边际利润函数进行生产决策调整,
采用数值仿真方法对系统的动态行为进行描述.
1 模型构建与求解
1.1 豪泰林模型
在伯川德价格竞争模型中,即使是两家企业进行同质产品的价格竞争,
也与完全竞争的情形一样,均衡价格等于边际成本. 但在实际经济中,
很难看到这种现象. 因而我们称其为伯川德悖论.
解开伯川德悖论的一个方法是引入产品差异化的概念.
对于同质而具有不同的``位值"产品,豪泰林(Hotelling) 模型表明,
如果产品位值不同,则均衡价格就不再等于边际成本.
企业在对于这种差异产品进行市场竞争时,一方面要选择产品的位值,
另一方面还要选择产品的价格.
假设市场中有两家企业,生产同类可完全替代产品,
产品的绿色环保程度使两种产品具有了不同位值,
企业1产品的绿色环保程度为${a_1}$,
企业2产品的绿色环保程度为${a_2}$,
产品位值分别位于区间$[0,1]$的${a_1}$ 和${a_2}$处,不妨设${a_2} >
{a_1}$ 代表企业2产品的绿色环保程度高于企业1产品的绿色环保程度.
企业1产品价格为${p_1}$,市场需求为${q_1}$. 企业2产品价格为${p_2}$,
市场需求为${q_2}$. 消费者对于产品的偏好
服从$[0,1]$区间上的均匀分布,
消费者对于区间$[0,1]$上的任何一点位值都没有特殊的喜好.
消费者选择${a_1}$需要支付的偏离成本$t{(h - {a_1})^2}$;
如果选择${a_2}$需要支付的偏离成本$t{({a_2} - h)^2}$.
偏离成本描写消费者由于消费了与自己偏好$h$不同的商品而产生的损失.
称$t$为偏离成本率.
设消费者对于该产品具有单位需求,需要支付两部分费用: 一是价格成本,
二是偏离成本. 假设消费者偏好$h = {h^ * }$时,
对于消费者两种位值的产品是无差异,${h^ * }$满足: ${p_1} + t{(h -
{a_1})^2} = {p_2}=t{({a_2} - h)^2}$从而有: ${h^ * } = ({a_1} +
{a_2})/2 + ({p_2} - {p_1})/2t({a_2} - {a_1})$. 其中,
${p_1}$和${p_2}$代表不同位值产品的价格,记$\overline a = ({a_1} +
{a_2})/2$,$\Delta a = ({a_2} - {a_1})$. 假设企业实行产品差异化,
$\Delta a > m$,$m$是正数,且$m < 1$.
在市场上仅有一个典型消费者的假设下,对${a_1}$产品需求为:
|
\begin{equation}
{q_1}({a_1},{a_2},{p_1},{p_2}) = F({h^ * }) = \overline a + ({p_2} - {p_1})/2t\Delta a
\end{equation} |
(1)
|
其中,$\overline a $为企业1的自然客源,代表当两种产品价格相同时,
市场对企业1产品的需求. $1/2t\Delta a$是市场竞争强度. ${p_2} -
{p_1}$是企业1的价格优势. 由于${q_2} + {q_1} = 1$,
所以企业2的市场需求为:
|
\begin{equation}
{q_2}({a_1},{a_2},{p_1},{p_2}) = 1 - \overline a - ({p_2} - {p_1})/(2t\Delta a)
\end{equation} |
(2)
|
其中,$[1 - \overline a]$为企业2的自然客源.
两家企业的利润函数分别为:
|
\begin{equation}
{\pi _1}({a_1},{a_2},{p_1},{p_2}) = ({p_1} - c)[\overline a + ({p_2} - {p_1})/2t\Delta a]
\end{equation} |
(3)
|
|
\begin{equation}
{\pi _2}({a_1},{a_2},{p_1},{p_2}) = ({p_2} - c)[1 - \overline a - ({p_2} - {p_1})/2t\Delta a]
\end{equation} |
(4)
|
其中,$c$代表生产成本,对利润函数分别求价格的一阶导数,
得到两家企业的边际利润函数为:
|
\begin{equation}
\partial {\pi _1}/\partial {p_1} = \overline a + ({p_2} - {p_1})/2t\Delta a - ({p_1} - c)/2t\Delta a
\end{equation} |
(5)
|
|
\begin{equation}
\partial {\pi _2}/\partial {p_2} = 1 - \overline a - ({p_2} - {p_1})/2t\Delta a - ({p_2} - c)/2t\Delta a
\end{equation} |
(6)
|
均衡条件: $\partial {\pi _1}/\partial {p_1} = 0$,$\partial {\pi
_2}/\partial {p_2} = 0$. 均衡价格:
|
\begin{equation}
p_1^ * = c + 2t(1 + \overline a )\Delta a/3
\end{equation} |
(7)
|
|
\begin{equation}
p_2^ * = c + 2t(2 - \overline a )\Delta a/3
\end{equation} |
(8)
|
通过对豪泰林模型的求解,得到博弈均衡结果 ($p_1^ * $,$p_2^ * $),
如果两类产品绿色环保程度相同,即$\Delta a = ({a_2} - {a_1}) =
0$时,两个企业产品无差异,这时均衡价格为${p_1} = {p_2}$,
模型回到Bertrand均衡.
1.2 具有延迟反馈控制行为的豪泰林模型
本文中假设参与人是有限理性的,
有限理性企业根据边际利润的信息决定产量,即边际利润是正的,
则企业就提高价格; 边际利润是负的,就降低价格. 动态调整机制表示为:
|
\begin{equation}
p_i^\prime = {p_i} + {\alpha _i}({p_i}){\rm d}{\pi _i}/{\rm
d}{p_i}
\end{equation} |
(9)
|
其中,``${p'_i}$"代表下一期 企业的价格,$i = 1,2$,${\alpha
_i}({p_i})$是$i$企业的价格调整函数. 令${\alpha _i}({x_i}) =
{v_i}{x_i}$,${v_i}$是$i$企业的价格调整速度.
将(5)和(6)分别代入动态调整机制中,得到动态系统:
|
\begin{equation}
{p'_1} = {p_1} + {v_1}{p_1}[\overline a + ({p_2} - {p_1})/2t\Delta a - ({p_1} - c)/2t\Delta a]
\end{equation} |
(10)
|
|
\begin{equation}
{p'_2} = {p_2} + {v_2}{p_2}[1 - \overline a - ({p_2} - {p_1})/2t\Delta a - ({p_2} - c)/2t\Delta a]
\end{equation} |
(11)
|
在动态系统中,
价格调整速度过大易使系统出现周期态和混沌状态[19].
为了使处于混沌状态的系统转向均衡状态,Pyragas[20]
提出了一种控制混沌的方法-延迟反馈控制法 (method of time delayed
control,简称DFC法). 这种方法的思路是,
利用系统输出信号的一部分经过延迟时间再反馈到系统中.
即设$x(t)$是某一可测量的输出量,$u(t)$是输出控制量,
则反馈控制形式为: $x(t + 1) = f(x(t),u(t))$. 其中,$u(t) = k(x(t +
1 - T) - x(t + 1))$,$T$是时间延迟量,$k$是控制强度,$t > T$.
Holyst等[21]
证明了延迟反馈控制法能够控制双寡头博弈中的混沌行为,
Elabbasy[22]
等则将延迟反馈控制法应用于控制三寡头博弈中的混沌行为.
下面给出参与人具有延迟反馈控制行为的有限理性豪泰林模型的动态系统:
|
\begin{equation}
{p'_1} = {p_1} + {v_1}{p_1}[\overline a + ({p_2} - {p_1})/2t\Delta a - ({p_1} - c)/2t\Delta a] + {k_1}({p_1} - p')
\end{equation} |
(12)
|
|
\begin{equation}
{p'_2} = {p_2} + {v_2}{p_2}[1 - \overline a - ({p_2} - {p_1})/2t\Delta a - ({p_2} - c)/2t\Delta a] + {k_2}({p_2} - {p'_2})
\end{equation} |
(13)
|
其中,${k_1}$,${k_2}$是非负的控制因子,
即政府对产品绿色环保程度的政策控制. 经过整理得到:
|
\begin{equation}
{p'_1} = {p_1} + {v_1}{p_1}[\overline a + ({p_2} - {p_1})/2t\Delta a - ({p_1} - c)/2t\Delta a]/(1 + {k_1})
\end{equation} |
(14)
|
|
\begin{equation}
{p'_2} = {p_2} + {v_2}{p_2}[1 - \overline a - ({p_2} - {p_1})/2t\Delta a - ({p_2} - c)/2t\Delta a]/(1 + {k_2})
\end{equation} |
(15)
|
令${V_i} = {v_i}/(1 + {k_i})$,${V_i}$是引入控制因子
以后的价格调整速度,${V_i}$随着${k_i}$的增加而减小,
随着${v_i}$的增加而增大. 延迟反馈控制下的动态系统:
|
\begin{equation}
{p'_1} = {p_1} + {V_1}{p_1}[\overline a + ({p_2} - {p_1})/2t\Delta a - ({p_1} - c)/2t\Delta a]
\end{equation} |
(16)
|
|
\begin{equation}
{p'_2} = {p_2} + {V_2}{p_2}[1 - \overline a - ({p_2} - {p_1})/2t\Delta a - ({p_2} - c)/2t\Delta a]
\end{equation} |
(17)
|
2 动态系统稳定性分析
由 (16) 和 (17) 组成动态系统,求解系统均衡点,
并分析均衡点的稳定性. 设${p'_i} = {p_i}$,$i = 1,2$,
经过计算可以得到该动态系统的4个不动点: ${E_0} = (0,0)$,${E_1} =
(0,[(1 - \overline a )2t\Delta a + c]/2)$,${E_2} = ((\overline a
2t\Delta a + c)/2,0)$,${E^*} = (p_1^*,p_2^*)$. 其中,
$p_1^*$和$p_2^*$由 (7) 和 (8) 给出. 下面讨论在动态调整系统中,
参数满足什么样的条件,${E^*} =
(p_1^*,p_2^*)$将作为稳定的动态均衡实现. 当这些参数在什么条件时,
特别是企业过度调整价格时,经济系统中是否会出现周期或混沌状态.
为此需要计算动态系统雅克比 (Jacobi) 矩阵的特征根.
对于给定的${a_1}$和${a_2}$,动态系统的雅克比矩阵:
|
\begin{equation}
J({p_1},{p_2}) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{1 + {V_1}{\pi _{{p_1}}} + {V_1}{p_1}{\pi _{{p_1}{p_1}}}}&{{V_1}{p_1}{\pi _{{p_1}{p_2}}}}\\
{{V_2}{p_2}{\pi _{{p_2}{p_1}}}}&{1 + {V_2}{\pi _{{p_2}}} + {V_2}{p_2}{\pi _{{p_2}{p_2}}}}
\end{array}} \right)
\end{equation} |
(18)
|
利用$J({p_1},{p_2})$的特征根讨论系统不动点的稳定性. 得到以下定理.
定理1 边界均衡点${E_0}$、${E_1}$和${E_2}$都是不稳定的.
证明 1. 首先,给出${E_0}$点处的雅克比矩阵:
|
\begin{equation}
{J_0} = J({E_0}) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{1 + {V_1}(\overline a + c/2t\Delta a)}&0\\
0&{1 + {V_2}(1 - \overline a + c/2t\Delta a)}
\end{array}} \right)
\end{equation} |
(19)
|
${J_0}$有两个特征根,${\lambda _1} = 1 + {V_1}(\overline a +
c/2t\Delta a)$和${\lambda _2} = 1 + {V_2}(1 - \overline a +
c/2t\Delta a)$,由于$\left| {{\lambda _1}} \right| > 1$,$\left|
{{\lambda _2}} \right| > 1$,所以${E_0} = (0,0)$是不稳定的.
2. 给出${E_1}$处的雅克比矩阵:
|
\begin{equation}
{J_1} = J({E_1}) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{1 + {V_1}[(1 + \overline a )/2 + 3c/4t\Delta a]}&0\\
{{V_2}[(1 - \overline a )/2 + c/4t\Delta a]}&{1 - {V_2}[(1 - \overline a ) + c/2t\Delta a]}
\end{array}} \right)
\end{equation} |
(20)
|
${J_1}$有两个特征根,${\lambda _1} = 1 + {V_1}[(1 + \overline a
)/2 + 3c/4t\Delta a]$和${\lambda _2} = 1 - {V_2}[(1 - \overline a
) + c/2t\Delta a]$,得出$\left| {{\lambda _1}} \right| > 1$,
${E_1}$是不稳定. 同理可知${E_2}$也是不稳定.
${E^*}$是纳什均衡,参与人实现了利润最大化,即$\partial {\pi
_1}/{p_1} = 0$,$\partial \pi /\partial {p_2} = 0$.
${E^*}$处雅克比矩阵为:
|
\begin{equation}
{J^*} = J({E^*}) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{1 - {V_1}p_1^ * /t\Delta a}&{{V_1}p_1^ * /2t\Delta a}\\
{{V_2}p_2^ * /2t\Delta a}&{1 - {V_2}p_2^ * /t\Delta a}
\end{array}} \right)
\end{equation} |
(21)
|
特征方程: $f(\lambda ) = {\lambda ^2} - T\lambda + D = 0$,
$T$和$D$是${J^*}$的迹和行列式. $T = 2 - {V_1}p_1^ * /t\Delta a -
{V_2}p_2^ * /t\Delta a$,$D = (1 - {V_1}p_1^ * /t\Delta a)(1 -
{V_2}p_2^ * /t\Delta a) - {V_1}{V_2}p_1^ * p_2^ * /4{t^2}\Delta
{a^2}$. 因为$\Delta = {T^2} - 4D \ge 0$,
可以推断纳什均衡的特征根为实数. 如果$\Delta = {T^2} - 4D \ge
0$的特征根在单位圆内,则纳什均衡${E^*}$是稳定的. $\left| {{\lambda
_i}} \right| < 1$的充要条件是Jury条件成立: ① $1 + D - T > 0$; ②
$1 + D + T > 0$; ③ $D < 1$. $1 - T + D = 3{V_1}{V_2}p_1^ * p_2^
* /4{t^2}\Delta {a^2} > 0$恒成立,所以条件①恒成立.
如果要求条件②和条件③同时成立,则参数需要满足:
|
\begin{equation}
{V_2}(3{V_1}p_1^ * p_2^ * /4{t^2}\Delta {a^2} - 2p_2^ * /t\Delta a) > 2{V_1}p_1^ * /t\Delta a - 4
\end{equation} |
(22)
|
|
\begin{equation}
{V_2}[3{V_1}p_1^ * p_2^ * /4{t^2}\Delta a - p_2^ * /t] < {V_1}p_1^ * /t
\end{equation} |
(23)
|
由 (22) 得到函数:
|
\begin{equation}
f({V_1}) = (2{V_1}p_1^ * /t\Delta a - 4)/(3{V_1}p_1^ * p_2^ * /4{t^2}\Delta {a^2} - 2p_2^ * /t\Delta a)
\end{equation} |
(24)
|
由$f({V_1})$及${V_1} > 0$,${V_2} > 0$围成区域$S$.
称区域$S$为豪泰林均衡的稳定区域.
$f({V_1})$与${V_1}$和${V_2}$两轴的交点分别为: $(2t\Delta a/p_1^ *
,0)$ 和$(0,2t\Delta a/p_2^ * )$. 当${V_2} < (2{V_1}p_1^ * /t\Delta
a - 4)/(3{V_1}p_1^ * p_2^ * /4{t^2}\Delta {a^2} - 2p_2^ * /t\Delta
a)$时,${E^*}$是局部稳定的.
将${V_i} = {v_i}/(1 + {k_i})$代入$f({V_1})$中,系统稳定条件变为:
|
\begin{equation}
{v_2}/({k_2} + 1) < [8t\Delta a{v_1}p_1^ * /({k_1} + 1) - 16{t^2}\Delta {a^2}]/[3{v_1}p_1^ * p_2^ * /({k_1} + 1) - 8t\Delta ap_2^ *]
\end{equation} |
(25)
|
定理2 当${V_2} < (2{V_1}p_1^ * /t\Delta a -
4)/(3{V_1}p_1^
* p_2^
* /4{t^2}\Delta {a^2} - 2p_2^ * /t\Delta a)$时,
${E^*}$是局部稳定的.
当${k_1}$,${k_2}$足够大时:
|
\begin{equation}
[8t\Delta a{v_1}p_1^ * /({k_1} + 1) - 16{t^2}\Delta {a^2}]/[3{v_1}p_1^ * p_2^ * /({k_1} + 1) - 8t\Delta ap_2^ *]
\end{equation} |
|
\begin{equation}
\to 2t\Delta a/p_2^ * > 2tm/(c + t) > 0
\end{equation} |
(26)
|
并且${v_2}/({k_2} + 1)$趋近于零,稳定条件恒成立. 系统处于稳定域中,
两家企业均选择均衡价格$(p_1^
* ,p_2^ * )$. 将$p_1^ * $,$p_2^ * $代入由 (3) 和 (4)
表示的利润函数中,得到与${a_1}$,${a_2}$有关的降阶利润函数:
|
\begin{equation}
{\pi _1}({a_1},{a_2}) = 2t{(1 + \overline a )^2}\Delta a/9
\end{equation} |
(27)
|
|
\begin{equation}
{\pi _2}({a_1},{a_2}) = 2t{(2 - \overline a )^2}\Delta a/9
\end{equation} |
(28)
|
假设企业仅能估计降阶边际利润,因而有限理性的位值调整行为是:
|
\begin{equation}
{a'_1} = \max (0,{a_1} + {u_1}{a_1}{\pi _1}_{,a1}({a_1},{a_2}))
\end{equation} |
(29)
|
|
\begin{equation}
{a'_2} = \min (1,{a_2} + {u_2}{a_2}{\pi _2}_{,a2}({a_1},{a_2}))
\end{equation} |
(30)
|
其中,${u_i}$为企业位值调整速度,$i = 1,2$,且${u_i} > 0$.
由于${\pi _{1,}}_{a1}=- t(2 + {a_1} + {a_2})(2 + 3{a_1} -
{a_2})/18 < 0$,${\pi _{2,}}_{a2}=t(4 - {a_1} - {a_2})(2 - {a_1} -
{a_2})/18 > 0$,易知位值调整结果为: ${a_1}=0$,${a_2}=1$.
从而当${V_1}$,${V_2}$处于稳定域内时,企业可以实现豪泰林均衡价格:
$p_1^ * =p_2^ * =t + c$.
下面说明企业产品横向差异化对均衡稳定性的影响. 与 (10) 不同,
在一定的条件下,当$\Delta a=1$时,${E^*}$的稳定域最大. 由(24)式知,
$\Delta a=1$时,${V_1}$所对应的稳定域的边界值为$(2{V_1}(c + t)/t -
4)/(3{V_1}{(c + t)^2}/4{t^2} - 2(c + t)/t)$,
因而我们需要寻找使下式成立的参数条件:
\begin{equation}
(2{V_1}(c + t)/t - 4)/(3{V_1}{(c + t)^2}/4{t^2} - 2(c + t)/t) \ge
(2{V_1}p_1^ * /t\Delta a - 4)/(3{V_1}p_1^ * p_2^ * /4{t^2}\Delta
{a^2} - 2p_2^ * /t\Delta a)
\end{equation}
(31)
即$({V_1}(c + t) - 2t)/((c + t)(3{V_1}(c + t) - 8t)) \ge (\Delta
a({v_1}p_1^ * - 2t\Delta a))/(p_2^ * (3{V_1}p_1^ * - 8t\Delta
a))$,这等同于 $p_2^ * (3V_1^2p_1^ * (c + t) - 8t{V_1}(c +
t)\Delta a - 6t{V_1}p_1^ * + 16{t^2}\Delta a)$ $ \ge \Delta a(c +
t)(3V_1^2p_1^ * (c + t) - 8t{V_1}p_1^ * - 6t{V_1}(c + t)\Delta a
+ 16{t^2}\Delta a)$. 如果: $(2{V_1}c + t)/t - 4)/(3{V_1}{(c +
t)^2}/4{t^2} - 2(c + t)/t) \ge (2{V_1}p_1^ * /t\Delta a -
4)/(3{V_1}p_1^ * p_2^ * /4{t^2}\Delta {a^2} - 2p_2^ * /t\Delta
a)$,
|
\begin{equation}
(c + t)\Delta a \le p_1^ *
\end{equation} |
(32)
|
|
\begin{equation}
(c + t)\Delta a \le p_2^ *
\end{equation} |
(33)
|
成立,则 (31) 式成立. 由 (7)、(8) 两式易知,当$3c - t\left| {1 -
{a_1} - {a_2}} \right| > 0$且$\Delta a \le 3c/(3c + t\left| {1 -
{a_1} - {a_2}} \right|\,)$ 时,(32)和(33) 式成立,这时
所对应的稳定域含于$\Delta a=1$所对应的稳定域之内,从而$\Delta
a=1$所对应的稳定域最大.
通过对系统稳定性的讨论可以看出: 当${k_1}$,${k_2}$足够大时,
即政府对产品绿色环保程度的政策约束足够强时,
虽然两家企业产品的绿色环保程度不同,同样能够实现均衡价格$(p_1^
* ,p_2^ *
)$; 两类产品的绿色环保程度差异越大,系统的稳妥区域越大,
说明容易出现两类产品占领不同的细分市场,
企业1占领环保意识较差的低端消费市场,
企业2占领环保意识较强的高端消费市场,
两类企业之间的相互竞争不是非常激烈,容易形成价格均衡.
第3部分将通过数值模拟描述系统的复杂动态特征.
3 数值模拟
为了更清楚地观察参数处于稳定域外所表现出来的动态复杂性特征.
在本节对模型参数赋值,使用Matlab2012.a作为数值模拟工具,
对动态豪泰林模型的复杂性进行模拟.
从价格分岔图、利润分岔图、最大Lyapunov指数图、混沌吸引子及价格随时间变化等几个方面对动态经济系统的
复杂性进行分析. 在两家企业的产品可以完全替代情况下.
模型中各参数取值设置为: $t = 1.1$,$c = 1.1$,${V_1} = 0.2$,
${a_1} = 0$,${a_2} = 1$. 在此假设条件下动态系统的均衡: (2.2,
2.2). 依据模型公式和软件模拟得到两家企业价格分岔图和利润分岔图,
如图 1和图 2.
图 1给出了企业1和企业2的价格随调整速度 变化的分岔图. 当$0.7 < {V_2}
< 0.93$时,价格处于稳定区域; 当$0.93 < {V_2} < 1.25$时,
价格处于倍周期分岔区域; 当${V_2} > 1.25$时,价格处于混沌区域,
两家企业将无法获得均衡价格. 从图 1中可以看出,
如果两家企业满足边际利润为零,可以获得价格调整的均衡利润,
两家企业选择的价格在均衡点附近波动. 企业当期的边际利润为正,
会在下一期提高价格调整速度来获得更多利润,当调整速度超过一定值时,
系统将由均 衡状态向周期态和混沌态转移.
图 2给出了企业1和企业2的利润随价格调整速度${V_2}$变化的分岔图.
从图中可以看出,当$0.7 < {V_2} < 0.93$时,两家企业获得均衡利润,
随着${V_2}$不断增大,系统发生倍周期分岔和出现混沌现象,
两企业的利润将不再稳定. 两家企业的均衡利润曲线 为水平线,
表明均衡利润不会随价格调整速度而变化. 如果企业2为了追求更大的利润,
不断加大价格调整速度${V_2}$,这样企业1的利润也会受到影响,
均衡利润不再稳定,系统会进入倍周期分岔和混沌态.
这样企业会很难做出长期的价格规划,不能获得稳定的利润.
图 3给出的最大Lyapunov指数图能够让我们更清楚地观察到${a_1} =
0$和${a_2} = 1$时,价格、利润的分岔点.
把图 1、图 2和图 3对比可以看出: 当最大Lyapunov指数为零时,
系统发生倍周期分岔,当最大Lyapunov指数大于零时,系统出现混沌.
在图 3中,$A$点处最大Lyapunov指数为零,
与图 1和图 2中第一次倍周期分岔点相对应;
$B$点处最大Lyapunov指数也为零,与图 1和图 2
中第二次倍周期分岔点相对应; $C$点处最大Lyapunov指数大于零,
与图 1和图 2中发生混沌的点相对应.
混沌状态奇怪吸引子的一个特征就是用分数维度量.
Kaplan等[23]给出的Lyapunov维数的定义为: ${D_L} = j +
\sum\nolimits_{i = 0}^j {{l_i}/} \left| {{l_{j + 1}}} \right|$,
其中${l_1},{l_2},\cdots,{l_j},\cdots,{l_n}$为Lyapunov指数,
并且满足${l_1}
> {l_2} > \cdots > {l_j}>\cdots >
{l_n}$,$j$为最大整数使$\sum\nolimits_{i = 1}^j {{l_i} > 0} $,
$\sum\nolimits_{i = 1}^{j + 1} {{l_i} < 0} $. 特别是在二维情况下,
相应的Lyapunov维数为${D_L} = 1 + {l_1}/\left| {{l_2}} \right|$,
其中,${l_1} > 0$,${l_2} < 0$,$\left| {{l_2}} \right| > {l_1}$.
图 4给出了系统处于混沌区域时,
产量${p_1}$和${p_2}$之间的奇怪吸引子图. 其中参数取值为: $t = 1.1$,
$c = 1.1$,${V_1} = 0.2$,${a_1} = 0$,${a_2} = 1$. 当${V_2} =
1.35$时,${l_1} = 0.7046$,${l_2} = - 1.7801$,计算可得出${D_L} =
1.3958$. 随着调整速度的不断变化,奇怪吸引子也表现出不一样的形状,
最后出现无穷层次的序列.
混沌的特征之一对初值敏感.
为了说明本文动态豪泰林价格调整系统对初值敏感.
给出不同初值下价格变化图,其中参数的取值为${V_1} = 0.2$,${V_2} =
1.35$. 图 5是企业1价格${p_1}$随时间的变化图,实线表示价格初值为:
${p_1} = 2$,${p_2} = 2$,虚线表示价格初值为: ${p_1} = 2.001$,
${p_2} = 2$. 图 6的实线表示价格初值为${p_1} = 2$,${p_2} = 2$,
虚线表示价格初值为: ${p_1} = 2$,${p_2} = 2.001$.
从两个图中可以看出初期企业价格变化并不显著; 但是随着时间推进,
不同初值下企业价格变化表现出明显的差异性,价格波动特征的变化巨大.
即初值差距0.001,价格随时间的变化都非常明显.
为了观察延迟反馈控制行为是否能控制豪泰林模型的混沌状态.
令混沌控制因子${k_1} = {k_2} = k$. 动态系统其它参数取值设置:
${V_1} = 0.2$,${V_2} = 1.35$,${p_1} = 2$,${p_2} = 2$,${a_1} =
0$,${a_2} = 1$,通过模拟得到图 7和图 8. 从图 7中看到,当$k >
0.42$时,在延迟反馈控制的作用下,系统从混沌态转为稳定状态.
从图 8则看出,给出参数初值为${p_1} = 1$,${p_2} = 1$,$k = 0.5$时,
在$t > 30$的以后各期中,两家企业的价格收敛于均衡值2.2.
综合图 7和图 8得出结论: 当企业对系统充分控制时,可实现豪泰林均衡,
否则,即使两企业实现产品差异 最大化,系统也可能处于周期或混沌状态.
4 结论
寡头垄断市场更为现实的特点,
使得对寡头垄断市场的研究始终是学术界的一个热点话题.
本文基于参与人具有有限理性行为规则构建豪泰林模型,
分析豪泰林模型的复杂性. 理论分析得出结论:
当企业的价格调整速度被控制于稳定域之内时,
豪泰林均衡仍可作为动态均衡而实现.
两家企业对位值的选择影响系统的稳定域大小. 通过数值仿真可以看到:
第一,当价格调整速度在较小阶段,价格处于稳定区域,
两家企业可以获得均衡价格. 当价格调整速度在较大阶段,
价格处于倍周期分岔区域. 当价格调整速度超过一定程度以后,
价格处于混沌区域,两家企业将无法获得均衡价格; 第二,
通过分析两家企业利润随价格调整速度变化的关系发现,
在价格调整速度较低的阶段,两家企业的均衡利润曲线为水平线,
表明均衡利润不会随价格调整速度的变化而改变,
市场中的企业获得相同的均衡利润.
如果其中一家企业为了追求更大的利润,不断加大价格调整速度,
当调整速度增加到一定水平之后,另外一个企业的利润也会受到影响,
均衡利润不再稳定,系统会进入倍周期分岔和混沌态; 第三,
给出最大Lyapunov指数图来更清楚地观察价格、利润的分岔点.
从数值模拟图中可以看出,当最大Lyapunov指数为零时,
系统发生倍周期分岔,当最大Lyapunov指数大于零,系统出现混沌.
最大Lyapunov指数的零点与倍周期分岔点相对应,
最大Lyapunov指数大于零时,与发生混沌的点相对应; 第四,
观察动态系统处于混沌状态时,价格变化对初值的敏感程度.
数值模拟图显示,两家企业初始值即使只有微小的变化,
都会导致价格波动特征的巨大变化.
在开始阶段不同初值下企业价格变化并不显著,
但是随着时间推进不同初值下企业价格变化表现出明显的差异性; 第五,
将延迟反馈控制法应用于豪泰林模型中的混沌控制.
当企业对系统充分控制时,可实现豪泰林均衡,否则,
即使两企业实现产品差异最大化,系统也可能处于周期或混沌状态.
参数初值给定,延迟反馈控制最终使两家企业的价格收敛于均衡值.
总结理论分析和数值仿真结果,当企业的价格调整速度不在稳定域时,
即使企业实现了产品差异最大化经济也会出现倍周期分岔或混沌的复杂动态特征,
而且参与人的调整速度越大,经济系统的复杂性程度越高.
如果进入混沌状态,
参与人对价格初值微小的调整都会引起博弈结果产生巨大的变化,
使整个市场出现不可预测性,
而参与人也就无法对未来价格做出合理的决策.
延迟反馈控制可以使处于混沌状态的系统转向均衡状态,从而使企业可
以选择合理的位值和价格. 企业产品横向差异化可增强系统的稳定性
