0 引言

概率论中极限定理的研究一直受到学者们的重视^[1~3]，Heinkel ^[4]研究了可分B-空间中的Cesaro大数定律，Bozorgnia和Rao ^[5]研究了可分B-空间中的欧拉大数定律.加权系数为一般情形的加权大数定律与加权系数为特殊情形的加权大数定律相比较，前者由于其所具有的广泛性，在理论上显得更加重要.本文按照文献[4]的思想方法对可分Banach空间中一般加权和的大数定律进行了研究，得到了可分B-空间中这类加权和的强、弱大数定律成立的充分条件.对Heinkel ^[4], Bozorgnia, Rao ^[5]以及刘吉定^[6]等人所作的工作进行了推广，给出了这些结果的统一形式.作为推论，实值i.i.d随机变量序列相应的一般加权大数定律自然成立.

设(Ω, F, P)是一概率空间，B是可分的实Banach空间，{X_k}_k≥0是定义在(Ω, F, P)上的独立同分布B-值随机元序列，{X_k′}_k≥0是{X_k}_k≥0的独立版本，K表示常数，在某些地方，它可能与α有关，在不同的地方，它有可能表示不同的常数.

1 主要结果及其证明

定理1  设{λ_nk}为一非负实双重数组，=1，且存在单调增加的正数列{μ_n}，使得

若E‖X₀‖＜∞，则

(1)

证  不妨假设EX₀=0(否则用X_k－EX_k取代X_k).因为B是可分的Banach空间，故存在B的可数稠子集{x_j:j=1, 2, …}.∀ε＞0(不妨认为ε≤1/4)，∀j∈{1, 2, …}，定义E_j={x:‖x－x_j‖≤ε}，记F₁=E₁, …, , …; Y_k=.

由于{x_j:j=1, 2, …}是B的可数稠子集，所以∀ω∈Ω, ∀k≥0，有

(2)

根据Y₀及{F_j}_j≥1的定义，有

(3)

由于{X_k}_k≥0是同分布序列，所以根据(3)式，存在自然数N=N(ε)，使得∀k≥0，有

(4)

从而

(5)

根据Y_k的定义，有

(6)

由(2)式，知∀n≥0, ∀ω∈Ω，有

(7)

对于每一个j∈{1, 2, …, N}，显然{I_{Xk∈Fj}}_k≥0为实值i.i.d随机变量序列，且E|I_{X0∈Fj}|＜∞，所以根据文献[7]定理1，有

由此可得

(8)

由Y₀的定义，EX₀=0，(2)式及{X_k}_k≥0是同分布序列及(4)式，知

(9)

由(5)~(7)、(9)式及Chebyshev不等式可得

(10)

由(10)式及(8)式，知

定理1证毕.

对每个常数β＞－1，定义^[4]：A₀^β=1, A₁^β=β+1, …, A_k^β=(β+1)…(β+k)/k!, ….

推论1  若E‖X₀‖＜∞，则对任意的α∈(0, 1)，有.

证  由定理1及文献[4]中引理1即得到.

推论1就是文献[4]中引理3.

推论2  若E‖X₀‖＜∞，则

证  由定理1及文献[8]中引理1即得.

推论2就是文献[6]中定理.

定理1对文献[4, 6]中的相应结果进行了统一推广.

推论3  设{X_k}_k≥0是定义在(Ω, F, P)上的实值i.i.d随机变量序列，{λ_nk}为一非负实双重数组，，且存在单调增加的正数列{μ_n}，使.若E|X₀|＜∞，则.

证  由定理1立即得到推论3.

定理2  设{λ_nk}为一非负实双重数组，.若E‖X₀‖^1/α＜∞，则

(11)

证  利用Hoffmann-Jogensen不等式^[9]及指数不等式^[10]可以完成定理2的证明.

推论4  .成立的充要条件是E‖X₀‖²＜∞.

证  由定理2, 文献[8]中引理1及文献[5]中定理2.3(ⅱ)的必要性的证明过程即可得到推论4.

推论4就是文献[5]中定理2.3(ⅱ).

推论5  .成立的充要条件是E‖X₀‖^1/α＜∞.

证  由定理2、文献[4]中引理1及文献[4]中定理2必要性的证明过程即可得到推论5.

推论5就是文献[4]中定理2.

由此可见，定理2对文献[4, 5]中的相应结果进行了统一推广.

推论6  设{X_k}_k≥0是定义在(Ω, F, P)上的实值i.i.d随机变量序列，{λ_nk}为一非负实双重数组，.若

则

证  由定理2立即得到推论6.

下面给出经验过程中的一个结果.有关记号见文献[11].

推论7  设S=[0, 1], G⊂C[0, 1], ∀f, g∈G, 完全有界，X为(Ω, F, P)上取值于可测空间(S, A)中的随机元.{X_k}_k≥0是X的独立版本序列，则对于任何α∈(0, 1)，.成立的充要条件是E‖f(X)‖_G^1/α＜∞.

证  由(G, d)完全有界，可知：G是可数决定族.且∀x∈S, ‖f(x)‖_G＜∞.记随机映射X(f):G→R的值空间为Q.令.显然Q⊂R.由推论5知：为证推论7，只需证明R可分.

令{x_i}_i≥1是[0, 1]中的一切有理数.由(G, d)完全有界，容易看出：∀x∈S, ∀ε＞0, ∃x_i使得‖f(x)－f(x_i)‖_G＜ε.故:G→R|i=1, 2, …}为R的可数稠子集，从而R可分.推论7得证.