0 引言

纠缠是量子信息中最重要的资源之一，利用纠缠可以实现编码和量子传输等经典方法难以实现的行为.最大化纠缠是实现量子通信和量子计算的关键^{[1, 2]}，通常可以利用量子绝热通道或者调整激光脉冲等手段来实现^[3~6].Heule等^[7]对海森堡自旋链上的某一个量子位施加随时间变化的磁场，进一步实现整条链上其他格点之间的纠缠控制.文献[8~10]研究了系统处于均匀磁场中，被控格点之间的纠缠受参数，包括耦合常数、磁场等的影响.研究结果表明，控制外部参量可以让纠缠在一定范围内保持为一个稳定值，这一稳定的区间称为纠缠平台.同时，控制外部参量也可以让纠缠突然消失，实现纠缠和非纠缠之间的转换.文献[9]研究在均匀磁场中，通过调节含控制格点的耦合常数，可以调控被控格点之间的纠缠，得到最大纠缠度为1的平台，从而对信息的传输起到控制作用，并且给出了自旋作用具有线性关系这一结论.

在非均匀磁场中，磁场被描述为H_z=，其中B_i与S_i^z分别是对格点i施加的局域磁场以及沿z方向的自旋算符^[11].对于非均匀磁场的相关研究，文献[12~14]都给出了纠缠平台，但由于它们所讨论的格点之间的耦合作用都一样，且没有考虑被控格点所受局域磁场很弱时的情况，所以没有出现最大纠缠现象.本文先从各向同性出发，通过引入非均匀磁场，当格点之间耦合作用都相等时可以出现最大纠缠，而且通过对比均匀磁场可知，非均匀磁场可以使获得最大纠缠态的参数J₁和B有更大的取值范围.作为对比，讨论了在各向异性情况下，发现一定条件下各向异性参数的大小对各向同性的结果影响不大.

1 Heisenberg XY哈密顿量

图 1为4个量子位的自旋环模型.其中格点2和3为被控格点，格点1与4为控制格点.对应体系的哈密顿量为

(1)

这里表示自旋算符，下标表示格点，σ_i^α(α=x, y, z)表示泡利沿3个方向的算符.J₁表示被控格点之间的耦合常数，J表示控制与被控格点之间的耦合常数，求和项表示，B₁是施加在格点2与3上的局域磁场，B是施加在格点1与4上的局域磁场，γ为各向异性参数.哈密顿量第一项表示被控两格点相互作用项，第二项表示引入控制格点后，控制与被控格点之间的相互作用项，最后两项是自旋系统与磁场之间的相互作用项.

本文讨论反铁磁情形，类似文献[15]定义：

这里，|Φ₂₃〉表示目标基态，|ψ₂₃〉表示被控两格点的反铁磁态，|φ₁₄〉表示控制格点形成的任意态，即目标基态是一个可分离态.要找到出现最大纠缠的可能，就需要比较对角化后的哈密顿量基态与这里定义的目标基态是否一致.按文献[9]热平衡下体系的密度矩阵定义为：

(2)

其中, ρ(T)表示体系密度矩阵，T表示温度，H是体系的哈密顿量，k是玻尔兹曼常数，E_i与|φ_i〉表示体系的本征值以及本征态，是配分函数，为方便起见全文采用T=0.03 K，k=1，J=1，并且所有的参数都是无量纲的.因为温度趋于0 K，所以基态起决定作用.考虑到目标基态是一个可分离态，可定义保真度^[7]

(3)

这里，表示被控两格点的反铁磁态，tr₁₄ρ(T)表示体系密度矩阵对控制格点1和4求迹.F可以用来描述被控格点之间的纠缠程度，F=1物理意义等同于文献[10]所定义的最大纠缠度，即被控两格点处在最大纠缠的状态上，F=0表示被控格点之间不存在纠缠.

2 模拟结果与讨论 2.1 各向同性情形

取γ=0，图 2给出F随B在不同J₁取值下的变化情况，其中图 2(a)给出被控格点在局域磁场B₁=0的情形，图 2(b)给出均匀磁场为B₁=B情形.为了对比图 2(a)与图 2(b)异同，图 3给出最大保真度F=1随B与J₁变化的相图.

从图 2(a)看出随着J₁的增加，失真区间即保真度不为1的区间会逐渐缩小直至消失.首先，自旋相互作用满足线性关系J₁≥2J时，即被控格点2、3之间的偶合常数，不小于被控与控制格点之间的耦合常数的两倍时，被控格点2、3之间就会出现最大纠缠^[9].若B=0，体系基态|E₀〉= (|01〉₂₃－|10〉₂₃)⊗φ₁₄就是目标基态.随着控制格点所受局域磁场B的增加，最终控制格点1、4的磁矩都平行B方向，此时基态变为|E′₀〉=(|01〉₂₃－|10〉₂₃)⊗|00〉₁₄，这里看到局域磁场B只是改变φ₁₄的形式，没有改变被控格点2、3为贝尔态的形式，所以这部分参数区域没有出现失真.其次，当J₁ < 2J，从图看出仍会出现最大保真度，并且在B=0附近出现失真，这一点结合图 3可以看出.图 3中在J₁ < 2J区域内，最大保真度F随B在B=0附近出现失真.随着B取值从0朝着正向或者反向的增加，最终格点1、4磁矩都沿着B方向排列，使得目标基态成为体系的基态，从而出现最大纠缠.

从图 2(b)中可知，J₁越大，越有利于纠缠平台的形成.在J₁≥2J区域，F会随着B的变化发生从0到1之间突变，实现对纠缠的控制，具体表现为F会随B的减弱发生从0到1之间的突变，随着B反向增加，F又从1变回0，这个过程对应一个保真度为1的平台.利用这一特性，可以制作纠缠开关^[9].在这个参数区间，对于最大纠缠的出现只是一个充分条件，这一点结合图 3可以看出，因为图 3中对于均匀磁场B₁=B部分，在J₁ < 2J区间内也出现了最大纠缠.

图 3给出最大保真度出现的参数区间，实线表示非均匀磁场，虚线表示均匀磁场即只有控制格点所受到的局域磁场.其中，对于均匀磁场，最大保真度出现在B₁=B与J₁=4所围成的区间内(包括边界)；对于非均匀磁场，最大保真度出现在B₁=0，J₁=4，B=-8以及B=8所围成的区间内(包括边界).当J₁>2J，对于均匀或者非均匀磁场，二者均可以出现最大纠缠.在J≤J₁≤2J区域内，对于均匀磁场，会对应一个失真时J₁的值J_τ，只有J₁>J_τ才能出现最大纠缠，并且在B=0处附近出现失真.在这部分区域内，随着J₁减小，格点之间受到的耦合相互作用逐渐相近，导致阻挫.因为J>0，被控与控制格点自旋反向，而J₁>0又要求被控格点反向^[9]，这样J越接近于J₁，被控格点之间的阻挫就越大，导致保真度降低，这里当J₁减小到某一临界值时，就会出现失真.在J₁ < J区域，由于阻挫，被控格点更容易处在自旋相同的状态，这对于均匀磁场，被控两格点则不能形成反铁磁态，所以在这个区域内没有最大纠缠出现.而对于非均匀磁场，最大纠缠不仅可以出现在J₁≥J区域，也可以出现在J₁ < J区域，因为随着B的增加，控制格点磁矩最终都会平行于B，这会使基态变为一个可分离态即目标基态，从而出现最大纠缠.以上表明B₁越小，能够产生最大纠缠所需的J₁也会越小，这增加了参数J₁和B取值范围.

2.2 各向异性情形

前面分析了各向同性，下面讨论各向异性γ≠0的情形.这里主要讨论0 < γ < 1，γ≥1属于铁磁情形^[8].图 4(a)给出在B₁=0时，F随B在不同的J₁以及γ的取值下的变化情况.看到若J₁≥2J，γ对最大保真度没有影响.在J≤J₁ < 2J区域内，当磁场B较小时，纠缠仍然符合各向同性时的相应情形，且在B=0附近出现失真.对于J₁≥J，随着局域磁场B的增加，最终控制格点1、4都反平行于外磁场B的方向，此时体系基态就是目标基态，保真度对应为1.这部分情形与γ没有关系，因为这里基态|E′₀〉所对应基态能E′₀的大小为E′₀=〈E′₀|H|E′₀〉= ，只与J₁以及B有关而与γ无关，由此判断体系基态即为目标基态，类似用能量标定纠缠的方法可参考文献[15].在J₁ < J区间内，取同样的J₁，γ越大，需要越大的B才能出现最大纠缠.图 4(b)给出相应均匀磁场下，F随B的变化情形.对于J₁>2J，从图看出γ越大，对应最大纠缠平台也越窄，就是说γ越大，需要消除纠缠的外磁场也越小.当B较小时，若自旋作用满足线性关系J₁>2J，磁场竞争不过耦合作用，则不会出现失真，那么纠缠就可以稳定在一定区间内.随着B的增加，四个格点自旋磁矩最终都沿磁场方向排列，纠缠消失.对于图 4(a)中的J₁ < J区间以及图 4(b)中的J₁ < 2J区间，将会结合下面的图 5作进一步分析.

图 5给出最大保真度F随B与J₁的变化的相图.其中对于均匀磁场，最大保真度出现在B₁=B与J₁=4所围成的区间内(包括边界)；对于非均匀磁场最大保真度出现在B₁=0，J₁=4，B=-8以及B=8所围成的区间内(包括边界).对于均匀磁场，F=1的区域会随着γ的增加而变小.对于非均匀磁场，当J₁≥J，相应区域大小基本不受γ影响，因为随着B的增加，最终格点1、4都会反平行于B，对应体系基态就是目标基态，其基态能E₀与γ无关，即γ不会影响到基态能量，也就不会改变被控格点为反铁磁态的形式.在J₁ < J区域内，γ对F的影响较大，γ越大，对应F=1出现区域越小.首先，在这个区域内由于阻挫的影响，会不利于被控格点反铁磁态的形成.其次，γ描述的是耦合后的自旋沿各自旋轴向的差异.这个差异越大越不能保真^[8]，因为反铁磁态可表示为，这里|↑〉(|↓〉)可以表示自旋沿任意轴的正(负)方向，说明保真度越高，耦合后的自旋沿各轴的差异也应该越小.所以当J₁ < J，γ越大，被控两格点越不容易处于反铁磁态，从而越难以保真.这里对比均匀磁场，非均匀磁场的引入，可以使J₁与B变化在更大范围内取得最大纠缠，同时也可以在J₁≥J区域内弱化γ对纠缠的影响.

3 结论

通过研究反铁磁情形，对比均匀磁场，发现非均匀磁场更有利于被控两格点最大纠缠态的形成，在相图上体现为获得最大保真度的参数J₁和B的范围更大，而各向异性参数γ对上述结论影响不大.从定性分析当中得知，对纠缠起决定作用的是基态形式.对于均匀磁场，若自旋作用满足线性关系(条件J₁>2J)，则必然会出现最大纠缠，对应体系基态就是目标基态，此条件只是能够出现最大纠缠的一个充分条件.而对于本文所讨论的局域磁场，不论J₁与J为何种关系，总可以通过增加B，使基态变成一个可分离态，从而出现最大纠缠，且在J₁≥J区域中，基态能与γ无关，所以此时可以弱化γ对纠缠的影响.