面向模糊C均值算法的MAME聚类有效性指标

唐益明; 陈仁好; 李冰

doi:10.11992/tis.202212028

面向模糊C均值算法的MAME聚类有效性指标

doi: 10.11992/tis.202212028

合肥工业大学计算机与信息学院，安徽合肥 230601

基金项目: 国家重点研发计划项目（2020YFC1523100）；国家自然科学基金项目（62176083，62176084）.

详细信息

作者简介:
唐益明，教授，博士，主要研究方向为聚类、模糊逻辑与系统、情感计算、图像处理、计算机辅助设计。主持国家自然科学基金项目3项。发表（或录用）学术论文80余篇，授权发明专利5项;

陈仁好，硕士研究生，主要研究方向为聚类、粒度计算、情感计算;

李冰，硕士研究生，主要研究方向为聚类、聚类有效性指标、情感计算.

通讯作者:
唐益明. E-mail： tym608@163.com.

中图分类号: TP181；TN99
出版历程
- 收稿日期: 2022-12-18
- 录用日期: 2023-06-20
- 网络出版日期: 2023-06-25

A clustering validity index called MAME for the fuzzy c-means algorithm

School of Computer and Information, Hefei University of Technology, Hefei 230601, China

摘要

摘要: 聚类有效性指标可用来评估聚类结果的有效性，并且帮助判别聚类的类别数。现有的面向模糊C均值算法的聚类有效性指标存在对于类内紧致性的刻画不太到位、对于类间分离性的度量刻画不够准确的问题。为此，基于类内紧致性和类间分离性两个角度着手设计，提出了一种新的模糊聚类有效性指标——考虑最大值和均值的指标（maximum-mean，MAME）。首先，考虑了整个数据集的综合特征，计算分别分为K类和1类的情况的比值，提出了一种新的模糊紧致性度量表达式。其次，引入最大聚类中心距离和平均聚类中心距离，提出了一种新的分离性度量方法。最后，从模糊紧致性度量表达式、分离性度量方法出发，提出了MAME指标。面向5个UCI数据集和6个人工数据集，和9个聚类有效性指标（包括CH、DB、NPC、PE、FSI、XBI、NPE、WLI和I指标）一起进行了对比实验，验证了所提指标的准确性、稳定性，说明了MAME指标的鲁棒性较好。
- 聚类 /
- 模糊聚类 /
- 模糊C均值 /
- 聚类有效性指标 /
- 内部指标 /
- 外部指标 /
- 紧致性 /
- 分离性
Abstract: The clustering validity index can be used to evaluate the effectiveness of clustering results and determine the number of clusters. However, existing validity indices for fuzzy c-mean algorithm suffer from the inadequate characterization of intracluster compactness and inaccurate measurement of intercluster separability. To address these issues, we proposed a new fuzzy clustering validity index called maximum-mean (MAME), which considers the maximum and mean values and is designed based on two perspectives, intracluster compactness and intercluster separability. First, considering the comprehensive characteristics of the entire dataset, a new expression of fuzzy compactness measure is put forward by calculating the ratio of cases divided into K clusters and one cluster, respectively. Second, by introducing the maximum and mean distance between cluster centers, a new method is proposed for separability measurement. Finally, the MAME index is put forward on the strength of fuzzy compactness measure expression and the separability measure method. Using five UCI and six artificial datasets, MAME is compared with nine other cluster validity indices, including CH, DB, NPC, PE, FSI, XBI, NPE, WLI, and I. The experimental results demonstrate the accuracy and stability of our proposed index, indicating that MAME has good robustness.
- clustering /
- fuzzy clustering /
- fuzzy c-means /
- clustering validity index /
- internal criteria /
- external criteria /
- compactness /
- separation

HTML全文

在大数据时代，数据无所不在，如何从海量的数据中挖掘出有价值的信息变成了一个重要的问题^[1-4]。日常生活中产生的各种数据无一不蕴含着各种各样丰富的信息。生产的数据只有经过加工和处理，才能够提炼出真正有价值的信息，其中一个重要的处理机制就是聚类。

聚类将相似性高的数据点划分到同一簇内，相似性低的数据点分离出去。作为一种无监督的机器学习方法^[5-8]，在对海量的数据聚类后，将能提取出有价值的信息。按照是否能将数据集中每个样本只划分至一个簇，又可分为硬聚类和模糊聚类。硬聚类的“硬”体现在非0即1。模糊聚类相对于硬聚类而言，其特点体现在“模糊”，通过引入模糊隶属度的概念^[9-11]，对某个对象属于某一类的不同程度进行刻画，这使得聚类的结果更加贴近现实意义。其中，最为广泛应用的是模糊C均值(fuzzy C-means, FCM)算法^[11-14]。FCM算法把聚类过程转化为带约束条件的目标函数优化问题，再通过数学方法求解，最终可以确定聚类结果。

在聚类的研究过程中有两个十分复杂的问题，一是如何划分数据集才能得到最好的聚类结果，二是如何确定该数据集划分的类别数。前者通过聚类算法解决，后者可以通过聚类有效性问题^[15-19]来解决。如何确定最佳聚类数是聚类领域的公认难题。虽然聚类的类别数可能由用户的经验或者专家根据领域的知识进行估计得到，但通常我们难以提前得知真实的聚类数。

真实世界中的数据往往复杂且多样，这就要求聚类算法能够准确地根据数据其内部的特征和结构进行聚类。聚类有效性研究就是通过使用聚类有效性指标对聚类结果进行评估，从而分析出聚类的效果。具体而言，在不同聚类数的情况下，运行聚类算法，若得到的结果使得聚类有效性指标函数下取得最优值，则该情况即为最佳聚类数，该划分即为最佳划分。这种研究方法是简洁而有效的。

当前的聚类有效性指标主要涉及3类^[13-15]，即外部有效性、内部有效性和相对有效性指标。内部有效性指标基于数据集的几何结构信息，从紧致性、分离性、连通性和重叠度等方面对聚类结果加以评价。外部有效性指标通过将聚类结果与外部准则相对比来评估聚类效果。相对有效性指标则根据预先设置的评价标准，对取不同参数的聚类算法进行评估，最终选出较优的参数设置和聚类模式。此外，还有其他类型的评价指标，比如生物类型指标^[20]、关联性指标^[21]、基于稳定性的指标^[22]等，都是为了针对某一特性而研究出来的。

学者们在内部有效性指标的设计中投入了很多精力，现存的内部有效性指标的设计主要分为以下几类。第一类是基于几何结构信息，如Calinski提出的CH指标^[23]、Davies提出的DB指标^[24]等。CH指标用类内离差矩阵来度量紧密度，用类间离差矩阵来度量分离度。DB指标用类内样本点到其聚类中心的距离来度量类内紧致性，用聚类中心之间的距离来度量类间分离性。第二类基于隶属度，如Bezdek提出的用于模糊聚类的有效性指标，分离系数PC^[25]和分离熵PE^[26]指标，以及Roubens提出的标准分离系数NPC和NPE^[27]指标等。PC和PE指标考察的维度是隶属度信息，并没有考虑到样本的结构信息，且PC指标还有一个缺点，就是单调变化。为了克服这个缺点，NPC指标应运而生，但其也没有对样本信息进行全面的考量。此外，还有一些指标基于数据集的结构信息和隶属度，比如Xie提出的XBI^[28]指标、Fukuyama提出的FS^[29]指标。XBI指标是一种比值型的指标，但指标的性能不稳定。FS指标是一种求和型指标，这类指标和DB指标原理相同。在XBI指标的基础上，通过在其中引入聚类中心之间的中值距离，Wu等提出了WLI指标^[30]，在实际中也有不错的表现。后来还有学者提出了I指标^[31]，其由3部分信息构成，也取得了不俗的效果。

目前来看，现有的面向模糊C均值算法的内部有效性指标尚存在一些比较典型的问题：

1) 对于类内紧致性的刻画不太到位。现有的大多数指标都是用类内距离表示簇内的紧致性。类内距离越小则认为类内紧致性更好。考虑到模糊聚类的特点，其实这个是不够充分的。大多指标对此都处理得较为简单。这方面WLI考虑得稍好，但也没有考虑整个数据集的综合特征。

2) 对于类间分离性的度量刻画不够准确。大多数有效性指标的处理机制过于简单、粗糙，比如XBI采用聚类中心之间的最小距离来刻画类间分离性，FS和VCVI采用聚类中心和平均聚类中心的差值再求和来刻画。而这种对类间分离性度量的刻画方式并不准确，需要更为综合性地考虑。

基于上述原因，本文提出一种新的聚类有效性指标，即考虑最大值和均值的指标（maximum-mean，MAME）。该指标从类内紧致性和类间分离性两个角度着手设计。首先，考虑了整个数据集的综合特征，计算分别分为K类和1类的情况的比值，提出了一个新的模糊紧致性度量表达式。其次，引入最大聚类中心距离和平均聚类中心距离，提出了一个新的分离性度量方法。最后，从模糊紧致性和分离性度量方法出发，提出了MAME指标。通过大量的实验，在多个数据集上均验证了所提指标较以往的聚类有效性指标有明显的性能改善，特别是面对复杂多样的数据集时，也能表现良好。这进一步证明了新提出的聚类有效性指标，即MAME指标的合理性和有效性。

1. 相关工作

近年来，大量的研究致力于设计有效的模糊聚类有效性指标。它们的目的是通过对聚类结果进行有效性评估从而能够更好地进行聚类。这里介绍3种比较典型的指标。

XBI指标^[28]是目前应用较为广泛的指标之一。XBI指标将类内紧致性与类间分离性的比值作为其结果，计算方式简单，且准确率较高。其使用数据簇内的数据点到其聚类中心的距离之和来度量类内紧致性，类间分离性由N倍的最小数据簇之间的距离来表示。具体公式为

$$ X_{{{{\rm{B}}}}{{\rm{I}}}^{( - )}} = \dfrac{{\displaystyle\sum\limits_{k = 1}^K {\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^N {\mu _{ik}^m} } d({x_i},{v_k})}}{{N \times { \wedge _{i \ne j}}d({v_i},{v_j})}} $$

(1)

式中： $ K $ 是数据集的类别数； $ N $ 是数据集中数据样本的个数； $ m $ 表示模糊加权系数； $ {x_j} $ 表示数据集中第 $ j $ 个样本点； $ {v_i} $ 和 $ {v_j} $ 分别表示数据集的第 $ i $ 个和第 $ j $ 个聚类中心； $ \wedge $ 表示对数据集取最小值； $ {v_k} $ 表示数据集的第 $ k $ 个聚类中心； $ {u_{ik}} $ 表示第 $ i $ 个样本点属于第 $ k $ 个聚类中心的隶属度。XBI指标不仅考虑了数据集内部的几何结构信息，还考虑了模糊隶属度信息，能较为全面的评价一个聚类算法的优劣。但XBI指标有个缺点，当划分的类的数量不断增加时，XBI指标函数的值会不断减小，当 $ K $ 无限接近于 $ N $ 时，其值会无限趋向于0，在这种情况下，该指标就不能有效评价。

WLI指标^[30]的具体定义为

$$ {{W}}_{{\rm{LI}}}^{(-)}=\frac{{\displaystyle \sum _{k=1}^{K}\left(\frac{{\displaystyle \sum_{i=1}^{N}{\mu }_{ik}^{2}\left|\right|{x}_{i}-{v}_{k}|{|}^{2}}}{{\displaystyle \sum_{i=1}^{N}{\mu }_{ik}}}\right)}}{{\wedge }_{i\ne j}\left\{\right||{v}_{i}-{v}_{j}|{|}^{2}\}+{ \triangleleft }_{i\ne j}\{\left|\right|{v}_{i}-{v}_{j}\left|{|}^{2}\right\}} $$

(2)

其中， $ \triangleleft $ 表示数据集取平均值，其他符号（比如K、N等）的定义和前面一样。并且，

$$ { \triangleleft _{i \ne j}}\left\{ \left\|{v_i} - {v_j}\right\|^2\right\} $$

(3)

表示两聚类中心间的距离的中值，而

$$ { \wedge _{i \ne j}}\left\{ \left\|{v_i} - {v_j}\right\|^2\right\} $$

(4)

表示最小的聚类中心间的距离值。为了面对簇中心分布密集的数据集时也有不错的表现，WLI指标引入了中值距离，但其对于含有噪声的数据集表现依然不佳。

$ I $ 指标^[31]的具体定义为

$$ {I}^{(+)}={\left(\frac{1}{K}\times \frac{{E}_{1}}{{E}_{K}}\times {D}_{K}\right)}^{p} $$

(5)

其中， $ K $ 是数据集的类别数，且

$$ {E}_{K}={\displaystyle\sum_{k=1}^{K}{\displaystyle\sum_{i=1}^{N}{\mu }_{ik}\left\|{x}_{i}-{v}_{k}\right\|}} $$

(6)

$ p $ 是小于1的任意实数。该指标由3部分构成，彼此之间相互竞争和制衡，但其十分依赖于初始值的设定，导致结果具有很大的不确定性。

根据以上对于指标的简要介绍，这里分析其存在的问题。XBI指标对聚类划分的质量进行了详细评价，但是当聚类数K非常大并趋向数据样本总数N时，效果不理想。WLI指标加入了中值距离，可以防止聚类中心分布较近时指标值大的情况，但是对于噪声点适应性不佳。I指标中隶属度、聚类中心、两个集群之间最大分离度三者相互竞争，但是对于密集型簇的效果不明显，且依赖于初始值的设定。

表1是各类指标的优缺点汇总。总体而言，对于引言部分提及的2个问题（即对于类内紧致性的刻画不太到位、对于类间分离性的度量刻画不够准确），这些指标都难以有效地解决。

表 1 各类指标的优缺点对比

Table 1 Advantages and disadvantages of various indicators

指标	提出年份	优点	缺点
XBI	1991	对聚类划分的质量进行了详细评价	当聚类数K非常大并趋向数据样本总数N时，指标的值会和聚类数成反比
WLI	2015	加入了中值距离，能够防止聚类中心分布很近的时候，指标函数值很大的情况	对有大量数据噪声点的数据集来说，此指标的性能不佳
$ I $	2002	隶属度、聚类中心、两个集群之间最大分离度三者相互竞争	只考虑到聚类最大分离度，对密集型簇的分类评价效果不明显，且非常依赖于参数初始值的设定

2. 新的聚类有效性指标

以往的模糊聚类有效性指标或多或少地会存在一些问题，并不能有效地对聚类结果进行评估，从而难以有效地指导聚类。例如，CH指标和DB指标，主要的评判依据是数据集的结构信息，并没有考虑模糊隶属度，虽然也可以应用于模糊聚类算法中，但其准确性以及使用范围都大打折扣。这两个指标在一般数据集中表现良好，但是当遇到较复杂的数据集，比如噪声点较多或者是数据簇相互之间重叠度较大的时候，得不到较好的结果。

又例如PE指标，其仅仅考虑了模糊聚类的隶属度信息，该指标会随着聚类数的变化而单调变化，虽指标形式简单，易于计算，但是数据集只要稍微复杂一点，就不能达到理想的效果。作为改进，NPC与NPE指标在一定程度上缓解了PC与PE指标的单调性问题，但是最终的聚类评价效果还是不理想。FS、XBI、WLI等3种指标都是基于数据集的内部几何结构信息与隶属度信息，相对于其他指标而言，更为全面和综合，但他们计算量较大，运算较为复杂。 $ I $ 指标中的3个因子之间能够相互协调和制衡，但是它过度地依赖于初始值地设定，导致结果具有很大的不确定性。

所以这里，我们提出了一个新的聚类有效性评价指标，即MAME指标。该指标基于类内紧致性和类间分离性两个方面，又综合考虑了以往指标存在的问题，尽可能地简化指标的运算复杂度，使得指标即使处理复杂数据集时也能得到较满意的效果，能够更加清晰、准确地评价聚类结果。

2.1 紧致性度量分析

紧致性用来衡量类中每个数据样本之间的紧密程度，一个好的划分就要求类内的数据点尽可能地紧密，而类间的数据点尽可能分离。

在参考了WLI、 $ I $ 、XBI指标中关于紧致性的度量之后，此处给出新的模糊紧致性度量表达式为

$$ {{j}}_{\rm{zx}}({{K}})=\frac{{E}_{K}}{{E}_{1}} $$

(7)

其中，

$$ {E}_{K}={\displaystyle \sum _{k=1}^{K}\frac{{\displaystyle\sum_{i=1}^{N}{\mu }_{ik}^{m}\left|\right|{x}_{i}-{v}_{k}|{|}^{2}}}{{\displaystyle\sum_{i=1}^{N}{\mu }_{ik}}}} $$

(8)

其中， $ \displaystyle\sum\limits_{i = 1}^N {{\mu _{ik}}} $ 是模糊基数。 $ {E_1} $ 是 $ {E_K} $ 当 $ k = 1 $ 时的值（即整个数据集分为1类的情形），反应了整个数据集的综合特征。此外，

$$ \displaystyle\sum\limits_{i = 1}^N {\mu _{ik}^m\left\|{x_i} - {v_k}\right\|^2} $$

(9)

称为类内平方误差和。这里实际上考虑了分别分为K类和1类的情况的比值（即 $ {E_K} $ 和 $ {E_1} $ 的比值）。

一般情况下，类内误差平方和通常会随着K的增加而减小。即当类别划分数增加时，每类对应的类内平方误差和就越小。模糊紧致性衡量的是一个数据簇内部的数据样本之间的紧凑程度。数据簇内部的数据样本之间越紧凑，就说明该划分聚类效果好，所以，一般来讲，j_zx的值越小越好。

2.2 分离性度量分析

分离性用来衡量每个划分之间的分离程度，两个聚类之间的分离性越大说明划分效果越好。因此，为了提高聚类有效性指标的性能，就需要重新设计一种新的分离性度量表达式，以便更精准地度量类之间的分离性。

我们提出得到新的分离性度量方法为

$$ f_{\rm{lx}}(K)=\frac{{\vee }_{i\ne j}\left\|{v}_{i}-{v}_{j}\right\|^{2}+{\exists }_{i\ne j}\left\|{v}_{i}-{v}_{j}\right\|^{2}}{K} $$

(10)

式中：N是数据集中数据样本的个数， $ {v_i} $ 表示第i个聚类中心，同理 $ {v_j} $ 表示第j个聚类中心； $ \vee $ 表示对数据集取最大值， $ \exists $ 表示对数据集取均值。其中， $ K $ 是为了防止聚类中心之间的最小距离和平均距离太小而导致的指标值过大的情况。

新的分离性度量表达式不仅考虑了数据簇中心之间的最大距离，还引入了数据簇中心之间的平均距离，使得新提出的聚类有效性指标的性能更加的准确和稳定。

2.3 MAME函数表达式

根据前两节提出的新的模糊紧致性度量表达式和分离性度量方法，本节提出一种新的聚类有效性指标，即 MAME指标。新的聚类有效性指标从分离性和紧致性两个角度上评估聚类结果的有效性，具体公式如下：

$$ M_{\rm{AME}}({{K}})={\left[\frac{f_{\rm{lx}}({{K}})}{j_{\rm{zx}}({{K}})}\right]}^{p} $$

(11)

或者，可以重写为

$$ \begin{array}{l}M_{\rm{AME}}({{K}})= {\left[\dfrac{{\vee }_{i\ne j}\left\|{v}_{i}-{v}_{j}\right\|^{2}+{\exists }_{i\ne j}\left\|{v}_{i}-{v}_{j}\right\|^{2}}{K\times {E}_{K}/{E}_{1}}\right]}^{p}\end{array} $$

(12)

式中： $ p $ 是一个不小于1的任意实值，这里 $ p $ 取2。紧致性衡量的是数据簇内部的的紧致程度，即一个簇中所有数据样本的分布是否比较紧密，越紧密则说明该划分效果较好；分离性衡量的是数据集中不同簇之间的分布情况，两个簇之间相隔的越远，则越能说明聚类的结果较优。本文中提出的新的聚类有效性指标表现为簇间分离性和簇内紧致性的比值，由此分析，当聚类数目确定时，MAME指标的值越大，则说明聚类的效果越好。

2.4 MAME计算算法

如下给出MAME的计算算法。其过程基本为：首先进行FCM算法的迭代，然后进行MAME公式的计算，并且发现最大值对应的聚类数，即为本算法对应的最优聚类数。

算法1　有效性指标MAME的计算算法

输入　最大迭代次数 $ {{M}} $ ，迭代停止的误差 $ \varepsilon $ ，隶属度矩阵 $ {\boldsymbol{U}} = [{u_{ij}}] $ ,最小聚类数 $ {K_{\min }} $ 和最大聚类数 $ {K_{\max }} $ 。

输出　每种聚类数所对应的MAME指标值。

1）设定 $ {{M}} $ 、 $ \varepsilon $ 、最大聚类数 $ {K_{\max }} $ 。初始化隶属度矩阵 ${\boldsymbol{U}} = \left[{u_{ij}}\right]$ （注意需要满足 $\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^c {{u_{ij}}} = 1$ ），令初始迭代次数 $ k = 0 $ ， $ {K_{\min }} = 2 $ ， $ K = {K_{\min }} $ ， $ m = 2 $ 。

2）更新隶属度矩阵U：

$$ {\mu }_{ik}=\frac{1}{{\displaystyle\sum_{j=1}^{K}{\left(\frac{{x}_{i}-{v}_{k}}{{x}_{i}-{v}_{j}}\right)}^{\frac{2}{m-1}}}} $$

(13)

3）更新聚类中心V：

$$ {v}_{k}=\frac{{\displaystyle\sum_{i=1}^{N}{\mu }_{ik}^{m}{x}_{i}}}{{\displaystyle\sum_{i=1}^{N}{\mu }_{ik}^{m}}} $$

(14)

4）令 $ k = k + 1 $ 。

5）如果 $\left\|{V^{(k + 1)}} - {V^{(k)}}\right\| \geqslant \varepsilon$ 且 $k < M$ ，返回2）。否则，继续。

6）用式（7）计算紧致性。

7）用式(10)计算分离性。

8）利用式(11)得到MAME的值。

9） $ K = K + 1 $ 。

10）如果 $ K \leqslant {K_{\max }} $ ，返回2）。否则，继续。

11）找出M_AME(K)的最大值，该值对应的K即为最优划分数。

12）结束。

3. 仿真实验与分析

为了证明新提出的聚类有效性指标MAME指标的合理性和有效性，采用模糊C均值算法FCM来进行实现验证。首先在不同的K值下运行FCM算法，然后使用指标逐个检验聚类结果，最终选取最优指标值所对应的K值即为聚类的最优划分数。在此实验中，使用的环境为Intel(R) Core(TM)i5-4200 U CPU @ 1.60 GHz以及RAM 4.00 GB和Windows 7旗舰版，编程软件采用VC++6.0。

3.1 数据集与对比指标

本次实验挑选了11个数据集，即Flame、Banknote、Habe、Jain、WDBC和AD1、AD2、AD3、AD4、Data-E6、Data-Fc1。前5个数据集为UCI数据集^[32]，来自真实世界的真实数据；后6个数据集是人工数据集（来自于文献[30]），分布较复杂且含有很多噪声点，可以从不同角度对指标评估。UCI数据集中，Flame有240个数据样本，每个数据样本具有2个属性，共有2类；Banknote是从纸币鉴别过程中提取出来的数据集，数据量为1372，共4个属性，分为2类；Habe的数据量为306，有2个属性，分为2类；Jain的数据量为373，共2个属性，分为2类；WDBC描述的是乳腺癌诊断的信息，数据量为569，共有30个属性，分为2类。在人工数据集中，下述4个数据集的数据点均有2个属性，其中，AD1的数据量为800，分为4类；AD2的数据量为300，分为3类；AD3的数据量为300，分为3类；AD4的数据量为450，分为3类；而Data-E6含有8537个数据样本，具有2个属性，分为4类；Data-Fc1含有1053个数据样本，具有2个属性，分为5类。

在这些数据集上对新提出的指标进行实验并与多种有效性指标进行比较。采用了9个具有代表性的指标，分别是CH⁽⁺⁾指标、DB⁽⁻⁾指标、PE⁽⁻⁾指标、NPC⁽⁺⁾指标、NPE⁽⁻⁾指标、FS⁽⁻⁾指标、XBI⁽⁻⁾指标、I指标(+)、WLI⁽⁻⁾指标。这里(+)表示该指标的值越大越好，即最优值对应最大的值。同时(−)表示指标的值越小越好，即最优值对应最小的值。

3.2 面向UCI数据集的实验

由于FCM聚类算法的初始聚类中心是随机初始化的，因此可能每次得到的聚类结果都不一样，进而导致对于聚类数K，聚类有效性指标函数的最优值可能也不一样。所以为了保证实验结果的稳定性，将每个实验在不同的K值下重复运行10次。每一轮的每一个聚类有效性指标都会记录一个最大或者最小值，该最大或是最小值所对应的K值即为最优划分数。每一轮结束后，都会统计出一个最优值，10次实验结束后，同一个评价指标会得到10个极值所对应的K值，用K^*表示其统计结果。若同一个指标的10轮结果中极值所对应的K值都相同，则说明此指标的稳定性较强，正确率较高。

在UCI数据集上实验的结果如表2所示，其中， $ {X^Y} $ 表示K=X的值出现了Y次。

表 2 UCI数据集上实验的结果

Table 2 Results of experiments on UCI datasets

数据集	PE⁽⁻⁾	NPE⁽⁻⁾	NPC⁽⁺⁾	FSI⁽⁻⁾	XBI⁽⁻⁾	CHI⁽⁺⁾	DBI⁽⁻⁾	WLI⁽⁻⁾	I⁽⁺⁾	MAME⁽⁺⁾
Flame	2⁹4¹	2¹⁰	4⁹2¹	8⁷2³	4¹⁰	4¹⁰	4¹⁰	4²5⁸	2⁹5¹	2¹⁰
Banknote	2¹⁰	2¹⁰	2¹⁰	2¹⁰	9⁸2²	2¹⁰	2²4⁸	2¹⁰	3⁷4³	2¹⁰
Habe	2¹⁰	2¹⁰	2⁸3²	7⁸2²	4⁹5¹	4¹⁰	4⁶3⁴	2¹⁰	3¹⁰	2¹⁰
Jain	2⁸3²	2¹⁰	5⁹2¹	8⁶2⁴	6⁶5⁴	10¹⁰	8¹⁰	5¹⁰	2²3⁸	2¹⁰
WDBC	2¹⁰	2¹⁰	2¹⁰	9¹⁰	10⁸6²	9⁶2⁴	2¹⁰	2¹⁰	4⁹2¹	2⁸3²

以Flame为例，其数据量为240，具有4个属性，共分为2类。由表2中数据可知，运行了10次后，PE指标的结果中仅出现了一次K为4是最优值的情况，其余的9次得到的最优值均为2；NPE指标的结果中，最优值均是2；NPC指标的结果中，只有一次划分为2类，其余均划分为4类；FSI指标的结果中，有3次的划分结果为2，7次的划分结果为8；XBI指标的结果中，最优值都是4；CHI指标的结果中，最优值都是4类；DB指标的结果中，均划分为4类；WLI指标的结果中，有2次得到的最优值是4，8次划分为5类；I指标的结果中，9次划分为2类，一次划分为5类；在MAME指标的结果中，最优值均为2。最终选取出现次数最多的最优值所对应的K值作为评价指标最终的结果，见表3。其中，结果右上角带“*”的表示本次结果不是最优划分。Best列表示数据集的真实聚类数。

表 3 UCI数据集上指标得到的最优值

Table 3 Optimal value of the index on UCI datasets

数据集	最优值	PE⁽⁻⁾	NPE⁽⁻⁾	NPC⁽⁺⁾	FSI⁽⁻⁾	XBI⁽⁻⁾	CHI⁽⁺⁾	DBI⁽⁻⁾	WLI⁽⁻⁾	I⁽⁺⁾	MAME⁽⁺⁾
Flame	2	2	2	4^*	8^*	4^*	4^*	4^*	5^*	2	2
Banknote	2	2	2	2	9^*	9^*	2	4^*	2	3^*	2
Habe	2	2	2	2	7^*	4^*	4^*	4^*	2	3^*	2
Jain	2	2	2	5^*	8^*	6^*	10^*	8^*	5^*	3^*	2
WDBC	2	2	2	2	9^*	10^*	9^*	2	2	4^*	2

由表3中数据可知，PE指标、NPE指标和MAME指标在数据集Flame、Banknote、Habe、Jain和WDBC上均得到了正确的聚类结果；而NPC指标只在数据集Banknote、Habe和WDBC上得到了正确的结果；FSI指标和XBI指标在数据集Flame、Banknote、Habe、Jain和WDBC上划分错误；CH指标仅在数据集Banknote上实现了正确划分，在其余数据集上均判断错误；DBI指标仅在数据集WDBC上实现了正确划分，而在其余数据集上均判断错误；WLI指标则在数据集Banknote、Habe和WDBC上实现了正确划分，而在其余2个数据集上判断错误；I指标仅在数据集Flame上得到了正确划分，而在其余数据集上均判断错误。由此可见，新提出的MAME指标的正确率为100%，而其他的指标在面对稍微复杂的数据集时，就会出现准确率不高、且不稳定的缺点。

每个指标的K从2～10得到的结果在Flame数据集上的变化情况见图1。图1中，横坐标表示的是聚类数K值，纵坐标表示对应的评价指标。星标记的是每个指标函数值的极值所对应的最优分类数。由图可知，只有NPE、PE、I和MAME指标在K为2时的极值是正确的，其他的指标均有偏差。可以看出，各指标的最优值出现的K值不同，且每个指标算法收敛时所取的最优值的收敛方向不同，评价函数在取不同的K值时，都会对应一个值。各个指标选取结果中的最大或最小值来作为这个聚类评价函数的最优值的情况各不相同。例如，CH指标、NPC指标、I指标均是取评价函数结果中最大值作为最优值；其余指标均是取评价函数结果中最小值为最优值。而新提出的MAME指标则是取评价函数结果中最大值为最优值。

图 1 各指标在Flame数据集上的结果对比

Fig. 1 Comparison of results for each metric on the Flame dataset

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图1和表2~3中的数据均清晰地显示了新提出的聚类有效性指标对于UCI真实数据集表现出了较高的准确率和稳定性。

3.3 面向人工数据集的实验

图2给出了4个人工数据集AD1~AD4^[28]的分布情况，图3给出了2个人工数据集E6和Fc1的分布情况，人工数据集AD1~AD4以及E6、Fc1上的实验结果如表4所示， $ {X^Y} $ 表示K=X的值出现了Y次。

图 2 4个人工数据集

Fig. 2 Four artificial datasets

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图 3 人造数据集E6和Fc1的分布

Fig. 3 The distribution of artificial datasets E6 and Fc1

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表 4 人工数据集上实验的结果

Table 4 Results of experiments on artificial datasets

数据集	最优值	PE⁽⁻⁾	NPE⁽⁻⁾	NPC⁽⁺⁾	FSI⁽⁻⁾	XBI⁽⁻⁾	CHI⁽⁺⁾	DBI⁽⁻⁾	WLI⁽⁻⁾	I⁽⁺⁾	MAME⁽⁺⁾
AD1	4	2¹⁰	2¹⁰	4⁹2¹	4⁷2³	4¹⁰	4¹⁰	4¹⁰	4¹⁰	4⁹3¹	4¹⁰
AD2	3	3¹⁰	3⁹2¹	3¹⁰	5⁹4¹	3¹⁰	3¹⁰	2¹3⁹	3¹⁰	3⁷4³	3¹⁰
AD3	3	3¹2⁹	2¹⁰	2⁸3²	9⁸2²	3¹⁰	8⁹2¹	3¹⁰	3¹⁰	3¹⁰	3¹⁰
AD4	3	3¹⁰	3¹⁰	3⁹2¹	5¹⁰	3¹⁰	5¹⁰	3¹⁰	3¹⁰	5¹⁰	3¹⁰
E6	4	4⁸2²	4⁷2³	4⁷2³	5⁸6²	4⁸2²	4⁶2⁴	4⁷2³	4⁹2¹	4⁹6¹	4¹⁰
Fc1	5	3¹⁰	2¹⁰	2⁶4⁴	5⁸4²	5⁸6²	2¹⁰	3⁷2³	5⁹3¹	5¹⁰	5¹⁰

表4是人工数据集AD1~AD4、E6和Fc1的运行结果。Best列表示数据集的真实聚类数。以AD1数据集为例，AD1的数据量为800，具有2个属性，共分为4类。由表4中数据可知，运行了10次实验后，PE指标的结果中，得到的最优值均为2类；NPE指标的结果中，最优值都是2；NPC指标的结果中，有9次得到了正确划分，剩余1次的最优值为2；FS指标的结果中，有7次实现了正确划分，而3次得到了最优值是2类；XBI指标的结果中，最优值都是4类；CHI指标的结果中，最优值都是4；DBI指标的结果中，最优值均为4类；WLI指标的结果中，最优值均为4类；I指标的结果中，有9次的最优值是4，1次最优值是3类；而MAME指标的10次结果中，得到的最优值都是4类。最终选取出现次数最多的最优值所对应的K值作为评价指标最终的结果，结果见表5。其中，结果右上角带“*”的表示本次结果不是最优划分。

表 5 人工数据集上指标得到的最优值

Table 5 Optimal values of the indexes on artificial datasets

数据集	最优值	PE⁽⁻⁾	NPE⁽⁻⁾	NPC⁽⁺⁾	FSI⁽⁻⁾	XBI⁽⁻⁾	CHI⁽⁺⁾	DBI⁽⁻⁾	WLI⁽⁻⁾	I⁽⁺⁾	MAME⁽⁺⁾
AD1	4	2^*	2^*	4	4	4	4	4	4	4	4
AD2	3	3	3	3	5^*	3	3	3	3	3	3
AD3	3	2^*	2^*	2^*	9^*	3	8^*	3	3	3	3
AD4	3	3	3	3	5^*	3	5^*	3	3	5^*	3
E6	4	4	4	4	5^*	4	4	4	4	4	4
Fc1	5	3^*	2^*	2^*	5	5	2^*	3^*	5	5	5

由表5中可知，XBI指标、WLI指标和MAME指标在数据集AD1、AD2、AD3、AD4、E6和Fc1上全都实现了正确划分；DBI指标在数据集AD1、AD2、AD3、AD4和E6上实现了正确划分，仅在Fc1上没有实现正确划分；I指标在数据集AD1、AD2、AD3、E6和Fc1上实现了正确划分，仅在AD4上没有实现正确划分；NPC指标在数据集AD1、AD2、AD4和E6上实现了正确划分，而在其余数据集上划分错误；PE指标和NPE指标在数据集AD2、AD4和E6上实现了正确划分，其余数据集上判断错误；CHI指标仅在数据集AD1、AD2和E6上划分正确，其余数据集上均划分错误；FS指标仅在数据集AD1和Fc1上实现了正确划分，而在其余数据集上均判断错误。观察以上结果可知，有些指标在面对稍微复杂的数据集时，就会出现准确率不高且不稳定的缺点，效果有点差强人意。

每个指标的K从2~10得到的结果在AD1数据集上的变化情况见图4。图4中，横坐标表示的是聚类数K值，纵坐标表示对应的评价指标。星标记的是每个指标函数值的极值所对应的最优分类数。除PE、NPE指标在K为4时得到的极值是错误的外，其他的指标都得到了正确的分类结果。可以看出，新提出的聚类有效性指标，即MAME指标在6个人工数据集中都取得了正确的分类结果。

图 4 各指标在AD1数据集上的结果对比

Fig. 4 Comparison of the results of each index on AD1 dataset

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观察表4和表5中结果可知，新提出的MAME聚类有效性指标对于人工数据集确实有较高的有准确率和稳定性。

此外，我们还将MAME指标分别与其他指标的实验结果进行了克鲁斯卡尔−沃利斯检验（Kruskal-Wallis test）。该指标用于检验MAME与其他聚类有效性指标是否有显著性差异，若克鲁斯卡尔−沃利斯检验的最终值小于0.05，则说明两指标间存在显著性差异。表6列出了MAME指标与其他指标之间克鲁斯卡尔−沃利斯检验的最终结果。例如，MAME与FSI指标间的结果值为 $ 1.653\;1 \times {10^{ - 4}} $ ，说明两指标间的差异是显著的。总体而言，MAME指标与其他指标之间存在着差异。

表 6 MAME和其他指标之间的Kruskal-Wallis检验结果

Table 6 Final values of Kruskal-Wallis tests between MAME and every other CVI.

指标	PE⁽⁻⁾	NPE⁽⁻⁾	NPC⁽⁺⁾	FSI⁽⁻⁾	XBI⁽⁻⁾	CHI⁽⁺⁾	DBI⁽⁻⁾	WLI⁽⁻⁾	I⁽⁺⁾
检验结果	$ 0.292\;0 $	$ 0.169\;2 $	$ 0.861\;4 $	$ 1.653\;1 \times {10^{ - 4}} $	$ 0.009\;4 $	$ 0.039\;1 $	$ 0.099\;8 $	$ 0.273\;7 $	$ 0.123\;3 $

4. 结束语

近些年来，随着聚类技术的不断发展，各种聚类算法层出不穷，如何评价聚类结果的有效性变成了一个重要的问题。聚类有效性问题就是用来评估聚类结果以及帮助判别聚类的类别数的。但现有的聚类有效性指标对于类内紧致性的刻画不太到位、对于类间分离性的度量刻画不够准确。

为了解决以上的问题，使聚类有效性问题能更加有效地指导聚类过程，本文提出了一个新的模糊聚类有效性指标，即MAME指标。针对现有指标对类内紧致性刻画不到位的问题，在考虑了整个数据集的综合特征的基础上，计算分别分为K类和1类的情况的比值，提出了一个新的模糊紧致性度量表达式。对于类间分离性度量不准确问题，引入最大聚类中心距离和平均聚类中心距离，提出了一个新的分离性度量方法。最后，基于类内紧致性和类间分离性表达式提出了MAME指标。

为了证明新指标的可行性与准确性，在多个真实数据集和人工数据集上进行了实验。其结果均验证了所提指标较以往的聚类有效性指标有明显的性能改善，且对不同类型数据集的适应能力较强，表明新的聚类有效性指标可以更准确地指导聚类过程从而得到最优结果。即使面对复杂多样和噪声点较多的数据集时也能得到较满意的效果，能够更加清晰、准确地评价聚类结果，并且适应的范围也比较广泛，准确性较高。这进一步证明了新提出的聚类有效性指标，即MAME指标的合理性和有效性。

本文的创新性体现在以下3个方面：1）考虑了分别分为K类和1类的情况的比值，提出了一个新的模糊紧致性度量表达式。2）引入最大聚类中心距离和平均聚类中心距离，提出了一个新的分离性度量方法。3）从模糊紧致性度量表达式、分离性度量方法出发，提出了一个面向模糊聚类的新的聚类有效性指标MAME。

未来，将基于本文提出的MAME指标去设计一种新的模糊聚类算法，进一步提升其在发现最优聚类数方面的能力。进一步将研究适用于多种聚类算法^[33-34]的聚类有效性指标。

图 1 各指标在Flame数据集上的结果对比

Fig. 1 Comparison of results for each metric on the Flame dataset

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图 2 4个人工数据集

Fig. 2 Four artificial datasets

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图 3 人造数据集E6和Fc1的分布

Fig. 3 The distribution of artificial datasets E6 and Fc1

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图 4 各指标在AD1数据集上的结果对比

Fig. 4 Comparison of the results of each index on AD1 dataset

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表 1 各类指标的优缺点对比

Table 1 Advantages and disadvantages of various indicators

指标	提出年份	优点	缺点
XBI	1991	对聚类划分的质量进行了详细评价	当聚类数K非常大并趋向数据样本总数N时，指标的值会和聚类数成反比
WLI	2015	加入了中值距离，能够防止聚类中心分布很近的时候，指标函数值很大的情况	对有大量数据噪声点的数据集来说，此指标的性能不佳
$ I $	2002	隶属度、聚类中心、两个集群之间最大分离度三者相互竞争	只考虑到聚类最大分离度，对密集型簇的分类评价效果不明显，且非常依赖于参数初始值的设定

表 2 UCI数据集上实验的结果

Table 2 Results of experiments on UCI datasets

数据集	PE⁽⁻⁾	NPE⁽⁻⁾	NPC⁽⁺⁾	FSI⁽⁻⁾	XBI⁽⁻⁾	CHI⁽⁺⁾	DBI⁽⁻⁾	WLI⁽⁻⁾	I⁽⁺⁾	MAME⁽⁺⁾
Flame	2⁹4¹	2¹⁰	4⁹2¹	8⁷2³	4¹⁰	4¹⁰	4¹⁰	4²5⁸	2⁹5¹	2¹⁰
Banknote	2¹⁰	2¹⁰	2¹⁰	2¹⁰	9⁸2²	2¹⁰	2²4⁸	2¹⁰	3⁷4³	2¹⁰
Habe	2¹⁰	2¹⁰	2⁸3²	7⁸2²	4⁹5¹	4¹⁰	4⁶3⁴	2¹⁰	3¹⁰	2¹⁰
Jain	2⁸3²	2¹⁰	5⁹2¹	8⁶2⁴	6⁶5⁴	10¹⁰	8¹⁰	5¹⁰	2²3⁸	2¹⁰
WDBC	2¹⁰	2¹⁰	2¹⁰	9¹⁰	10⁸6²	9⁶2⁴	2¹⁰	2¹⁰	4⁹2¹	2⁸3²

表 3 UCI数据集上指标得到的最优值

Table 3 Optimal value of the index on UCI datasets

数据集	最优值	PE⁽⁻⁾	NPE⁽⁻⁾	NPC⁽⁺⁾	FSI⁽⁻⁾	XBI⁽⁻⁾	CHI⁽⁺⁾	DBI⁽⁻⁾	WLI⁽⁻⁾	I⁽⁺⁾	MAME⁽⁺⁾
Flame	2	2	2	4^*	8^*	4^*	4^*	4^*	5^*	2	2
Banknote	2	2	2	2	9^*	9^*	2	4^*	2	3^*	2
Habe	2	2	2	2	7^*	4^*	4^*	4^*	2	3^*	2
Jain	2	2	2	5^*	8^*	6^*	10^*	8^*	5^*	3^*	2
WDBC	2	2	2	2	9^*	10^*	9^*	2	2	4^*	2

表 4 人工数据集上实验的结果

Table 4 Results of experiments on artificial datasets

数据集	最优值	PE⁽⁻⁾	NPE⁽⁻⁾	NPC⁽⁺⁾	FSI⁽⁻⁾	XBI⁽⁻⁾	CHI⁽⁺⁾	DBI⁽⁻⁾	WLI⁽⁻⁾	I⁽⁺⁾	MAME⁽⁺⁾
AD1	4	2¹⁰	2¹⁰	4⁹2¹	4⁷2³	4¹⁰	4¹⁰	4¹⁰	4¹⁰	4⁹3¹	4¹⁰
AD2	3	3¹⁰	3⁹2¹	3¹⁰	5⁹4¹	3¹⁰	3¹⁰	2¹3⁹	3¹⁰	3⁷4³	3¹⁰
AD3	3	3¹2⁹	2¹⁰	2⁸3²	9⁸2²	3¹⁰	8⁹2¹	3¹⁰	3¹⁰	3¹⁰	3¹⁰
AD4	3	3¹⁰	3¹⁰	3⁹2¹	5¹⁰	3¹⁰	5¹⁰	3¹⁰	3¹⁰	5¹⁰	3¹⁰
E6	4	4⁸2²	4⁷2³	4⁷2³	5⁸6²	4⁸2²	4⁶2⁴	4⁷2³	4⁹2¹	4⁹6¹	4¹⁰
Fc1	5	3¹⁰	2¹⁰	2⁶4⁴	5⁸4²	5⁸6²	2¹⁰	3⁷2³	5⁹3¹	5¹⁰	5¹⁰

表 5 人工数据集上指标得到的最优值

Table 5 Optimal values of the indexes on artificial datasets

数据集	最优值	PE⁽⁻⁾	NPE⁽⁻⁾	NPC⁽⁺⁾	FSI⁽⁻⁾	XBI⁽⁻⁾	CHI⁽⁺⁾	DBI⁽⁻⁾	WLI⁽⁻⁾	I⁽⁺⁾	MAME⁽⁺⁾
AD1	4	2^*	2^*	4	4	4	4	4	4	4	4
AD2	3	3	3	3	5^*	3	3	3	3	3	3
AD3	3	2^*	2^*	2^*	9^*	3	8^*	3	3	3	3
AD4	3	3	3	3	5^*	3	5^*	3	3	5^*	3
E6	4	4	4	4	5^*	4	4	4	4	4	4
Fc1	5	3^*	2^*	2^*	5	5	2^*	3^*	5	5	5

表 6 MAME和其他指标之间的Kruskal-Wallis检验结果

Table 6 Final values of Kruskal-Wallis tests between MAME and every other CVI.

指标	PE⁽⁻⁾	NPE⁽⁻⁾	NPC⁽⁺⁾	FSI⁽⁻⁾	XBI⁽⁻⁾	CHI⁽⁺⁾	DBI⁽⁻⁾	WLI⁽⁻⁾	I⁽⁺⁾
检验结果	$ 0.292\;0 $	$ 0.169\;2 $	$ 0.861\;4 $	$ 1.653\;1 \times {10^{ - 4}} $	$ 0.009\;4 $	$ 0.039\;1 $	$ 0.099\;8 $	$ 0.273\;7 $	$ 0.123\;3 $

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图(4) / 表(6)

摘要

面向模糊C均值算法的MAME聚类有效性指标

doi: 10.11992/tis.202212028

通讯作者: 唐益明. E-mail： tym608@163.com.

出版历程

A clustering validity index called MAME for the fuzzy c-means algorithm

1. 相关工作

2. 新的聚类有效性指标

2.1 紧致性度量分析

2.2 分离性度量分析

2.3 MAME函数表达式

2.4 MAME计算算法

3. 仿真实验与分析

3.1 数据集与对比指标

3.2 面向UCI数据集的实验

3.3 面向人工数据集的实验

4. 结束语

出版历程

目录

通讯作者:
唐益明. E-mail： tym608@163.com.