仿生机器鱼是一种高速、高效、工作时间长、工作范围广并能适应多种工况的新型水下机器人，近年来逐渐成为研究热点，并吸引了众多研究人员从事这方面的研究^[1]。目前对于机器鱼的研究成果主要集中在对机器鱼的控制方法^[2]、机器鱼制作的材料、多鱼协作^[3]以及机械结构等方面^[4]。如改进仿生机器鱼的控制方法，将CPG模型运用到仿生机器鱼上提高仿生机器鱼游动的精度^[5-7]；改进仿生机器鱼路径规划的算法，将现有的陆上机器人的路径规划算法移植到仿生机器鱼上^[8-10]；优化仿生机器鱼的尾鳍形状，提高其游动速度^[11]等。然而却鲜有人对仿生机器鱼的运动学模型进行优化，目前鲹科鱼类常用的运动学模型为Lighthill提出的细长体理论^[12]。但是该理论是通过提取真实鱼类游动曲线总结而来的，而仿生机器鱼由于制造精度、制作材料、重心配置等多方面的影响结构并不能和真实鱼类完全一致，因此会导致仿生机器鱼在游动的过程中头部也产生一定幅度的摆动。因此本文从仿生机器鱼的运动学模型入手，通过对仿生机器鱼的观察和研究，将仿生机器鱼头部摆动的因素考虑到其运动学模型中对运动学模型进行优化。利用原始运动学模型减去头部摆动方程，并加上转动中心偏移量得到新的运动学模型。最后，将原始模型与新的模型通过实验进行对比，结果表明新的模型能够有效地抑制仿生机器鱼头部摆动。

1 仿生机器鱼物理模型简化与坐标系建立

仿生机器鱼不同的运动模式有各自独立的运动学模型，为了研究仿生机器鱼各个姿态下的游动运动学模型，在进行建模之前有必要先对机器鱼的游动模式进行一个简单的分类。针对鱼类的游动特征将其游动模式分为3个基本的类型，分别为巡游模式、巡游转弯、C-形转弯^[13]。本文主要对其巡游模式进行研究，对其运动学模型进行修正。

仿生机器鱼沿其体干方向，体厚呈对称分布。为了研究仿生机器鱼游动时的运动学模型及其几何关系，以仿生机器鱼体厚方向的对称中心线作为研究对象。当仿生机器鱼稳态游动时，可以将其简化成如图 1所示的物理模型。

在该模型中将鱼体简化成无限柔软的二维样条曲线，该曲线与鱼体对称中心线重合。尾鳍简化成刚性的波动板，并绕自身的转轴做旋转运动，且随鱼体做平动运动^[14-15]。头部简化成刚性的直线，与鱼体样条曲线连接，连接点为鱼体运动波动起点^[16]。取头部与躯干转动部分的连接点A作为坐标原点，建立一个固定坐标系R₁。X轴的方向始终指向仿生机器鱼的运动方向，鱼尾走向为X轴的正方向。同样为了方便后续研究，我们以连接点A作为原点，建立一个随体坐标系R₂。该坐标系中X轴方向始终指向鱼头方向，鱼头方向为X轴的负方向。

2 运动学模型建立与分析

目前，鲹科鱼类所使用的运动学模型大多采用Lighthill提出的细长体理论^[12]，根据该理论鱼类在R₁坐标系中鱼体波为一波幅逐渐增大的行波系类。由一个多项式和正弦曲线合成来近似描述

式中：f_B(x, t) 为鱼体的横向位移; c₁为鱼体波波幅包络线的一次项系数; c₂为鱼体波波幅包络线的二次项系数; k为鱼体波波数 (k=2π/λ，λ为鱼体波波长); ω为鱼体波频率 (ω=2πf=2π/T)。

该模型可以用来控制理想鱼体的游动，且鱼头保持游动方向，没有沿中心线两侧的摆动。然而实际上由于仿生机器鱼制造工艺、鱼体比例配置、惯性以及反作用力等各方面影响，仿生机器鱼鱼头并不是保持不动，其在中心线两侧具有小幅度摆动。由惯性和反作用力产生的头部摆动，鱼类可以依靠自身的身体机能主动抑制，但是仿生机器鱼并没有这种机能。因此游动过程中头部摆动是目前仿生机器鱼制造中普遍存在的问题，不可能完全消除，只能尽可能减小其摆动的幅度^[17-18]。其摆动中心根据不同的机器鱼样机身体配比而不同，位置会有细微差别，但一般都分布在头部与尾部运动关节的连接点A点左右两侧。当身体配比理想即头部和尾部运动关节比例与鱼类一致，其转动中心即是A点。当鱼头配比大于尾部运动关节，仿生机器鱼整体重心前移，较大的头部质量会减少仿生机器鱼的头部摆动，转动中心处于A点之前，靠近鱼头；反之转动中心处于A点之后靠近尾部运动关节。由于鱼头摆动的存在，因此式 (1) 用来描述和控制仿生机器鱼并不能使其很好地模拟鱼类游动。

为了寻找一个更准确的仿生机器鱼游动时的运动学模型，本文以仿生机器鱼原始运动学模型为基础，在考虑鱼头摆动条件下推导出新的运动学模型f_T(x, t)。建立新的运动学模型的意义是减小机器鱼的头部摆动，其次是用以控制尾部各个关节在相对坐标系 (即R₂坐标系) 中的运动，因为仿生机器鱼所有关节的运动都是基于头部固定不动始终指向运动方向而得出的，故其运动都发生在相对坐标系R₂中而非固定坐标系R₁中。在建立模型之前，先对鱼头进行定义。仿生机器鱼的鱼头是指从机器鱼的鼻尖到尾部运动关节与头部的连接点A之间的刚性连接部分。设鱼头转动中心点B的坐标为 (m, 0)，则在R₁坐标系中鱼头的运动可以用一个随时间变化的线性方程f_H(x, t)=ax+b来代替，方程转动中心点为B，方程的斜率a等于身体波方程f_B(x, t) 对x求偏导，即。需要注意的是原始模型由于转动中心点的偏移，其实际的波动起点位于转动中心点B处，所以运动学模型也要做相应地变化，用f_b(x, t) 来表示实际的运动学模型：

所以仿生机器鱼考虑头部摆动后的运动学模型等于f_b(x, t) 减去头部摆动方程f_H(x, t)，即

因为，所以

将式 (2) 和式 (4) 带入式 (3) 得

c₁、c₂的取值与仿生机器鱼身体尺寸、运动速度以及机器鱼的运动姿态等因素有关。通过调整波幅包络线c₁、c₂的取值可控制仿生机器鱼尾部运动的摆幅，同时其取值对鱼体的身体波波幅也有影响。通过生物学上的研究可知尾部运动关节摆动波幅为0.075~0.1倍体长，鱼体波波长通常取λ≥L_B，所以鱼体波波数k=2π/λ=2π/L_B^[19-20]。本文目前研制出的三关节仿生机器鱼核心部件集中于头部，头部配比较大因此重心偏前，摆动中心应位于连接点之前。利用研制出的仿生机器鱼进行实验，通过实验测得鱼头的摆动中心与理论相一致处于连接点之前，转动中心点B的坐标为 (-0.01, 0)。因此在没有特别说明的情况下，本文所使用的参数均为c₁=0.05，c₂=0.03，k=8，ω=-2π/9，m=-0.01。通过MATLAB取相同的参数绘制仿生机器鱼原始运动学模型f_B(x, t) 的一组曲线簇如图 2(a)所示，新运动学模型f_T(x, t) 曲线簇如图 2(b)所示，图 2(c)是新的运动学模型曲线汇聚点的放大图。从仿真的曲线图中可以看出新的运动学模型曲线簇波动起点较原始模型曲线簇波动起点在零点之前，位于x轴负半轴，且波动起点之前的曲线规整为一条直线。这与前文的分析相一致，说明该方程的推导是正确的。

3 实验与分析

为了进一步比较修正模型与原始模型的区别，我们截选了如图 3(a)、(b)、(c)、(d) 分别为t=1、t=3、t=5和t=7这4个时刻的曲线进行对比，可以看出在取相同参数的情况下新的模型把波动起点前的曲线化为一条直线，从波动起点往后看修正模型各个质点的振幅则均比原始模型的振幅大。因此新的模型在形状上更加接近鱼类，且相对于原始模型振幅增大使得游动速度相应地增大。

上述分析在理论上证明了本文所提出的运动学模型的可行性，再将该模型应用到一种三关节仿生机器鱼上进行实验验证。

图 4是实验用鱼的实物图，该仿生机器鱼由4部分组成，分别为：头部，鱼身运动关节1，鱼身运动关节2，鱼尾运动关节3。

将本文提出的运动学模型与原始运动学模型进行实验对比，图 5是在实验中采集的图片，其中图 (a) 为原始模型，图 (b) 为本文提出的模型，显然新的模型仿生机器鱼头部摆动得到了有效的抑制。从表 1和图 6可以看出摆动频率相同的情况下，新模型的头部摆动角度明显小于原始模型的头部摆动角度。在不同的频率下，频率越大头部摆动角度也变大，且最大摆动角度缩小到原来的86%。表 2和图 7是在摆动频率相同的情况下，测量机器鱼游动相同距离所需要的时间，可以看出新的模型游动相同的距离所用的时间明显小于原始模型的运动时间。通过计算可以得到两种方程在摆动频率相同的情况下的速度，新模型的计算速度相对原始模型的计算速度提高了17%。因此实验证明新模型能够有效提高机器鱼的游动速度。

4 结论

本文通过对仿生机器鱼的运动学模型进行研究，并对研究结果进行实验验证，得出以下结论：

1) 通过对仿生机器鱼运动学模型的分析，将实际仿生机器鱼游动时头部的摆动因素考虑到运动模型当中，对仿生机器鱼的原始模型进行优化，使得运动学模型能够更加准确地描述仿生机器鱼的游动。

2) 通过引入头部摆动方程和摆动中心偏移量，对当前的运动学模型进行了优化，使优化后的模型集中体现仿生机器鱼的尾部运动，削弱了头部与尾部的关联性，从而有效抑制其头部的摆动。通过实验将运动学模型应用到三关节仿生机器鱼上，结果验证了上述理论分析仿生机器鱼头部最大摆动角度减少到原来的86%。而随着仿生机器鱼头部摆动程度的减少，其对仿生机器鱼周边流体的阻力减小，仿生机器鱼游动流畅性增加，因此在摆动频率相同的情况下实验测得仿生机器鱼的速度提高17%。