0 引言

在连续管注入直井段或从直井段中起出时，如果直井的井斜为0°，经过矫直的连续管与井壁任何部位都没有接触，处于悬垂状态。此时连续管的阻尼较小，如果激励频率与固有频率相同，在较小的周期性激励下就有可能导致较大幅度的振动。这种振动有可能使连续管表面产生损伤，如犁沟式损伤。据统计，这种损伤占所有表面损伤的46%^[1-6]。

近年来，管柱的振动问题已经有很多学者进行过相关研究。张辉等^[7]研究了管柱在平台升沉振动作用下产生的纵向振动载荷，得出当钻井平台的升沉振动频率与作业管柱的固有频率相近时，将产生大的纵向振动载荷的结论。巨全利等^[8]应用位移激励法计算了完井管柱的固有频率和振型。阳明君等^[9]针对尤拉屯气田典型管柱高速气流诱发的振动，展开了管柱振动产生损伤的研究，为预防振动损伤提供了理论基础。周志宏等^[10]分析夹持块-链条传动结构对连续管运动的影响后，发现驱动链条的液压马达匀速运转时，注入头夹持块夹持连续管运动会对连续管产生周期性的位移激励。这个激励在什么情况下会与系统产生共振？会不会对连续管的强度产生影响？影响的程度有多大？针对这些问题，笔者将进行较为详细的分析，并将分析结果应用到工程之中，以期避免某些连续管损伤事故的发生。

1 直井中连续管的振动模型

如图 1所示，设连续管原始长度坐标x，以井口为原点，向下为正，全长l，位移y(x, t)。连续管上部被注入头夹持，下部与工具串相连。在连续管与井壁之间充满钻井液，钻井液会对运动中的连续管产生摩擦阻尼。

假设连续管为理想直管，截面积为A_ct，密度为ρ_ct，材料为理想弹性体。当连续管悬垂于井中时，可以将其看成一个上部有位移激励、下部有质量块m相连的管柱纵向振动，微元体dx的平衡方程为：

(1)

式中：E为连续管弹性模量，Pa；g为重力加速度，m/s²；τ(x, t)为连续管与环空液体间的黏滞阻力，Pa。

假设井筒与套管外没有流体流动，连续管在纵向振动时，忽略管内流体与连续管之间的相互运动，只有环空流体与连续管之间有相对运动。设连续管以速度v运动，由于整个井筒的体积一定，连续管注入将使流体往上流动，连续管提升将使流体向下流动。假定包括管内流体在内的截面积为A_ct，套管内环空的截面积为A，连续管与套管之间环空液体的平均流速为A_ct/A。环空流体流速沿径向的分布如图 2所示

考虑环空流体为层流状态，则有：

(2)

式中：μ为流体动力黏度，Pa·s；u为流体速度，m/s；du/dr为环形空间流体沿r方向的速度梯度。

如果环空的流体与固体交界面没有滑移，在连续管外径处，u = dy/dt；在套管内径处，流体速度为0。假设环空流体流速沿半径方向呈线性分布，则很容易由连续管的位移y计算出环空流体对连续管的黏滞阻力τ(x, t)。

将式(1)写为：

(3)

式中：c为钢铁中纵波的声速，。

连续管上部被注入头夹持块夹持的边界条件可以简化为：

(4)

在井下，质量块m的平衡方程为：

(5)

式中：T_ct(l, t)为连续管在l处的张力，N，其表达式为：

(6)

在x=0时，液体向上通过连续管进入弯管段，弯管段有几百上千米，液体压力波经弯管反射和折射，到滚筒接口处基本衰减完毕，可以假定x=0，液体压力从弯管段不会有较大的反射。

2 系统的固有频率

如果式(3)中黏性阻力τ(x, t)很小，则可以略去，通过变换可消去常数g，则式(3)可以简化为波动方程：

(7)

令w(x, t)=y(x, t)-Bsinωt-mg，边界条件(4)可写为：

(8)

于是方程(7)可写为：

(9)

边界条件(5)可写为：

(10)

式(8)、式(9)和式(10)对应的齐次方程为：

(11)

(12)

(13)

式(11)、式(12)和式(13)的特征方程可写为^[11]：

(14)

用数值方法解出方程(14)的，系统的固有频率。

设连续管材料弹性模量210 GPa，密度7 850 kg/m³；连续管外径50.8 mm，壁厚4.78 mm；工具质量m = 200 kg。不同管长时系统最低10阶固有频率如表 1所示。由表 1可知，连续管的固有频率与其长度相关，长度越长，固有频率越低。经过计算可知，工具质量对最低阶固有频率影响不大。

与固有频率对应的共振激励频率和连续管起升或下放的速度有关，以2 000 m长的连续管为例，常见的ø50.8 mm(2in)连续管注入头与夹持块之间的距离为101.6 mm，最低阶固有频率ω₁= 3.988 7 rad/s = 0.634 8 Hz，因此能引起共振的速度为3.87 m/min；第4阶固有频率ω₄=27.927 0 rad/s=4.445 0 Hz，能引起共振的速度为27.10 m/min。

3 振动方程的差分解

将连续管全长划分为n段，每段长度为Δx，时间段为Δt。一阶导数用向后差分，二阶导数可以按中心差分方法近似写为：

(15)

(16)

用上标i表示某时间增量步，用下标j表示某空间增量步；差一个常数g，式(3)可写为：

(17)

式中：α为参数，假设环空流体流速沿半径方向线性分布，，r_ct为连续管外半径，m；r_c为套管内半径，m。

式(17)可以简化为：

(18)

其中，r=cΔt/Δx。选择Δt足够小，使，则算法稳定。

x=l时的边界条件式(5)可写为：

(19)

化简为：

(20)

注入头附近连续管由振动引起的应力为：

(21)

设连续管材料弹性模量210 GPa，密度7 850 kg/m³，连续管外径50.8 mm，壁厚4.78 mm，工具质量m = 200 kg，下入直井段连续管的深度为3 000 m，相应1阶固有频率为2.675 3 rad/s，在差分方法中的共振频率为2.683 3 rad/s，对应的连续管速度为2.603 4 m/min。设连续管注入头引起的位移激励为y=0.000 5sin(2.683 3t)，注入头附近连续管应力随时间的变化曲线如图 3所示。

图 3显示系统产生了共振，50 s内井口连续管的最大应力幅值为4.5 MPa左右；随着时间延长，应力振幅进一步增大。如果第8阶固有频率40.142 rad/s产生共振，在差分方法中的共振频率为40.202 rad/s，则对应的连续管运行速度为39 m/min，设连续管注入头引起的位移激励为y=0.000 5sin(40.202t)，注入头附近连续管应力幅值随时间的变化曲线如图 4所示。50 s内井口连续管的最大应力幅值为68 MPa左右。随着时间延长，应力振幅每经历8个周期后会有所增大。从图 3和图 4还可以看出，高阶频率的共振引起的注入头附近连续管应力增加速度比低阶频率更快，高阶频率意味着较高的下放或上升速度。

在连续管实际作业中，较长时间(200 s)保持高阶频率共振状态的概率不太大，因此较少见到明显的共振现象，但有时可能会看到连续管疑似发生共振的现象。图 5为涪陵焦石坝某井连续管下放过程中记录的注入头悬重等信息曲线图。下放速度约为38.24 m/ min，在2 930~3 100 m下深，有较大的悬重波动，持续时间4.4 min，如图 5中粉红色椭圆区域，从下深和速度看，有可能激起了第8阶固有频率的共振。

共振引起应力振幅的大幅增加将会导致井口连续管轴向拉力最大值的增加。如果持续共振时间较长，则井口连续管应力的振幅叠加上静态拉伸应力，可能造成两方面的损伤：一是注入头夹持块与连续管摩擦产生的夹持力不够，发生夹持块与连续管的相对滑动，进而可能对连续管表面产生损伤，尤其对于连续管椭圆度偏大或直径增长过大的情况，连续管外表面可能产生刮伤^[12-13]；二是高强度的振动造成疲劳损伤，会加速连续管的疲劳破坏。

4 结论

(1) 对波动方程简化可得出固有频率需满足的特征方程，通过数值求解可得出各阶固有频率与连续管下入深度的关系，连续管下入越深，基频的频率越低。

(2) 注入头产生的周期激励力频率与连续管起升速度或下放速度成正比。

(3) 同样的下深情况下，越高阶固有频率的共振，井口连续管中产生的应力振幅越大。