2. 中国石油大学(华东)机电工程学院
2. College of Mechanical and Electronic Engineering, China University of Petroleum (Huadong)
0 引言
随着海洋油气资源的开采逐步向深海领域发展，顶张力立管作为海面与海底井口装置的重要连接通道，其应用越来越广泛。顶张力立管为深海油气开采的关键设备，但同时也是深海油气开发中的薄弱构件之一，只有准确掌握立管动态特性才可保证立管的精确设计及安全应用。
立管固有振动特性分析是立管复杂动态分析的基础，准确掌握立管固有振动特性可为立管设计提供依据。深海立管长径比非常大，同时由于立管自重的影响，其轴向张力沿水深不断变化，使得立管固有振动特性分析变得非常复杂。文献[1-2]采用半解析法分析了变轴向力立管的固有振动特性，并给出了工程简化计算方法。F.K.ALFOSAIL等[3]采用有限单元法分析了倾斜立管固有振动特性。Y.F.CHEN等[4]采用变分迭代法分析了立管固有振动特性。D.J.MONTOYA-HERNANDEZ等[5]采用有限单元法分析了立管内部多相流体流动对立管固有振动特性的影响。X.M.LI等[6]研究了内流对立管固有振动的影响。Y.CHENG等[7]提出了一种基于WKB理论的动态刚度法来分析立管振动固有频率。I.K.CHATGIGEORGIOU[8]采用WKB方法分析了立管固有振动特性。I.SENJANOVIC等[9]采用分割方法分析了顶张力立管固有振动特性。J.R.GRAVES等[10]基于经验公式给出了深海立管高阶模态频率近似计算方法。深海顶张力立管长径比大、支撑简单，在海流作用下沿海流方向(顺流向)产生较大弯曲位移，从而使得立管沿顺流向及横流向呈现非对称分布状态，目前尚未有非对称分布立管固有振动特性的相关研究。
笔者基于现有研究成果，综合考虑立管顺流向弯曲位移对立管固有振动特性的影响，建立了顶张力立管固有振动分析模型，研究了深海实尺寸顶张力立管顺流向及横流向振动固有频率及振型，分析了顶张力、海流流速及内流密度的变化对立管固有振动特性的影响规律，以期为立管复杂动态分析提供参考。
1 理论分析 1.1 结构模型深海油气开采时，立管顶端通过张紧装置与浮式生产系统相连接，底部通过万向节与海底井口装置相连接[11-12]。因此，可将立管简化为欧拉-伯努利纵横弯曲梁模型，简化后的深海立管结构示意图如图 1所示。建立三维笛卡尔坐标系，坐标原点位于立管底端，x轴沿顺流方向，y轴为横流方向，z轴向上为正。
|
| 图 1 顶张力立管结构示意图 Fig.1 Structural schematic diagram of top tensioned riser |
1.2 理论模型
基于Euler-Bernoulli纵横弯曲梁理论[13-14]，立管准静态分析控制方程为：
|
(1) |
式中：EI为立管抗弯刚度，N·m2；x(z)为立管准静态弯曲位移，m；T(z)为立管有效轴向张力，N；w为轴向单位长度立管湿重，N/m；CD为顺流向拖曳力系数；ρw为海水密度，kg/m3；D为立管外径，m；u(z)为不同水深处海流流速，m/s。
综合考虑立管自重、内部流体重力、外部浮力及内外流体静水压力的作用[15]，立管轴向有效张力可表示为：
|
(2) |
式中：Ttop为立管顶部所施加张力(Ttop=ftopwH)，N；ftop为张力比；H为海水深度，m。
轴向单位长度立管湿重为：
|
(3) |
式中：ρr和ρf分别为立管及内部流体的密度，kg/m3；d为立管内径，m；g为重力加速度，m/s2。
|
(4) |
式中：∂x(z, t)/∂t和∂y(z, t)/∂t分别为立管顺流向及横流向振动速度，m/s；∂2x(z, t)/∂t2和∂2y(z, t)/∂t2分别为立管顺流向及横流向振动加速度，m/s2；mr、mf和ma分别为轴向单位长度的立管质量、内部流体质量及外部流体附加质量，kg/m；fx(z, t)和fy(z, t)分别为轴向单位长度立管顺流向及横流向所受外界动力载荷，N/m。
轴向单位长度外部流体附加质量可表示为：
|
(5) |
式中：Ca为外部流体附加质量系数。
1.3 边界条件立管作业时两端皆通过铰接方式与其他装置相连接，不考虑浮式生产系统的水平漂移及垂荡运动，立管固有振动特性分析时边界条件可表示为：
|
(6) |
由式(1)及式(4)可知，立管准静态及动态分析理论方程均为变系数四阶微分方程[16-17]，无法得出其精确理论解，因此采用有限单元法进行立管准静态及固有振动特性计算分析。首先，基于Galerkin原理运用Hermite三次插值函数得到初始状态下立管刚度矩阵及静力载荷矩阵；其次，运用Newton-Raphson迭代算法计算立管的准静态弯曲变形，得到准静态平衡位置处立管刚度矩阵及质量矩阵；最后，将立管准静态平衡位置作为立管固有振动特性分析的初始状态，依据边界条件，采用子空间迭代法得到立管振动固有频率和振型。整个计算过程通过编写有限元程序在Matlab平台进行计算分析。
3 实例分析 3.1 相关参数以深水平台一实尺寸顶张力立管作为研究对象，分析立管顺流向及横流向振动固有频率和相应振型，立管及环境主要参数见表 1。
| 主要参数 | 数值 |
| 作业水深/m | 2 000 |
| 立管外径/m | 0.533 4 |
| 立管内径/m | 0.482 6 |
| 弹性模量/GPa | 210 |
| 立管密度/(kg·m-3) | 7 850 |
| 内部流体密度/(kg·m-3) | 0~865 |
| 海水密度/(kg·m-3) | 1 030 |
| 张力比 | 1.1~1.6 |
| 海面海流流速/(m·s-1) | 0.5~1.5 |
| 海底海流流速/(m·s-1) | 0.2 |
| 顺流向拖曳力系数 | 1.2 |
| 流体附加质量系数 | 1.0 |
3.2 计算过程
以竖直未变形状态作为立管准静态分析的初始状态，根据式(1)~式(3)并结合立管及环境参数，基于Galerkin原理运用Hermite三次插值函数得到初始状态下立管抗弯刚度矩阵及几何刚度矩阵，从而得到立管整体刚度矩阵及载荷矩阵；根据式(6)的边界条件，通过划行划列法修改结构整体刚度矩阵及载荷矩阵；然后运用载荷增量法结合Newton-Raphson迭代算法计算得到立管在相应环境载荷下的准静态弯曲变形。
以准静态平衡位置作为立管固有振动特性分析的初始状态，根据式(4)并结合立管参数，运用Hermite三次插值函数得到初始状态下立管整体刚度矩阵及质量矩阵，根据式(6)的边界条件通过划行划列法修改结构整体刚度矩阵及质量矩阵；然后运用子空间迭代法求解得到立管固有振动频率及相应的特征位移，从而得到立管振动固有振型。
3.3 结果分析假设海流沿水深方向为线性剪切流，海面海流流速为1.5 m/s，海底海流流速为0.2 m/s，张力比为1.6，内部流体密度为865 kg/m3时，立管顺流向及横流向前50阶振动固有频率如图 2所示。
|
| 图 2 立管振动固有频率 Fig.2 Natural vibration frequency of riser |
由图 2可知，立管顺流向及横流向振动固有频率较低，且相邻阶次频率间隔非常小，立管振动固有模态属于典型的低频密集模态；立管顺流向振动固有频率高于横流向振动频率，且随着振动阶次的增加差别越来越明显。
图 3所示为立管顺流向及横流向振动1阶、5阶及10阶固有振型，其中立管顺流向振动固有振型位移为去除静态位移之后归一化所得。
|
| 图 3 立管振动固有振型 Fig.3 Natural vibration mode of riser |
由图 3可以看出，同一阶次下立管顺流向及横流向振动固有振型有所不同，而且2个方向的固有振型不是标准的正弦曲线。这是由于立管顺流向具有较大的弯曲位移，使得立管在顺流向及横流向空间分布不对称，从而引起结构振动固有振型不同；同时立管轴向有效张力沿水深不断变化，使得结构刚度沿水深不断变化，从而引起结构振动固有振型不再是标准的正弦曲线。由图 3还可知，同一阶次下，立管横流向振动最大幅值点相对顺流向振动更加靠近海底。
3.4 立管固有振动特性影响因素分析由理论分析可知，立管轴向张力、海流流速及内部流体密度的变化皆对立管固有振动特性具有一定的影响，准确掌握各因素对立管固有振动特性的影响规律有助于立管的精确设计。
3.4.1 顶张力的影响海面海流流速为1.5 m/s，内部流体密度为865 kg/m3，张力比分别取1.2、1.4及1.6时，立管顺流向及横流向前50阶振动固有频率见图 4。
|
| 图 4 不同顶张力时立管振动固有频率 Fig.4 Natural vibration frequency of riser under different top tensions |
由图 4可知，随着顶张力的增大，立管顺流向振动各阶固有频率不断减小，而横流向振动各阶固有频率不断增加。顶张力的变化对立管顺流向前10阶固有频率影响相对较小，随振动阶次的增加，影响越来越明显；顶张力的变化对立管横流向振动固有频率影响相对较大，随振动阶次的增加，影响越来越大。
图 5所示为3种顶张力下立管顺流向及横流向振动1阶、5阶及10阶固有振型。由图可知，顶张力的变化对立管顺流向及横流向振动固有振型皆有较大影响，顶张力的变化改变了立管振动固有振型的空间分布。
|
| 图 5 不同顶张力时立管振动固有振型 Fig.5 Natural vibration mode of riser under different top tensions |
3.4.2 海流流速的影响
张力比为1.6，内部流体密度为865 kg/m3，海面海流流速分别为0.5、1.0及1.5 m/s时，立管顺流向及横流向前50阶振动固有频率如图 6所示。由图可知，随着海流流速的增加，立管顺流向振动各阶固有频率不断增加，而横流向振动各阶固有频率基本不变。由此可知，海流流速的变化主要影响立管顺流向振动固有频率，对立管横流向振动固有频率无影响。
|
| 图 6 不同海流流速时立管振动固有频率 Fig.6 Natural vibration frequency of riser under different sea currents |
图 7所示为3种流速下立管顺流向及横流向振动1阶、5阶及10阶固有振型。由图可知，海流流速的变化主要影响立管顺流向振动固有振型，而对立管横流向振动固有振型基本无影响；随海流流速的增加，立管顺流向各阶振型最大幅值点越来越远离海底。
|
| 图 7 不同海流流速时立管振动固有振型 Fig.7 Natural vibration mode of riser under different sea currents |
3.4.3 内流密度的影响
当张力比为1.6，海面海流流速为1.5 m/s，立管内部流体密度分别为0、550及865 kg/m3时，立管顺流向及横流向前50阶振动固有频率见图 8。
|
| 图 8 不同内流密度时立管振动固有频率 Fig.8 Natural vibration frequency of riser under different fluid densities |
由图 8可知，随着内部流体密度的增加，立管顺流向振动各阶固有频率不断减小，立管横流向振动各阶固有频率不断增加，且随着振动阶次的增加差别越来越明显。这是因为在相同张力比工况下，内部流体密度的增加使得立管系统的质量及轴向张力均不断增加，从而改变了立管振动固有频率。
图 9所示为3种内流密度时立管顺流向及横流向振动1阶、5阶及10阶固有振型。由图可知，内流密度的变化主要影响立管顺流向振动固有振型，对立管横流向振动固有振型基本无影响；随着内流密度的增加，立管顺流向各阶振型最大幅值点越来越靠近海底。
|
| 图 9 不同内流密度时立管振动固有振型 Fig.9 Natural vibration mode of riser under different internal fluid densities |
4 结论
(1) 在海流载荷影响下，深海顶张力立管顺流向及横流向振动固有频率不同，顺流向振动固有频率大于横流向固有频率；立管顺流向及横流向振动固有振型空间分布不同，立管振动固有振型不是标准正弦曲线。
(2) 顶张力的变化对立管振动固有频率及振型均有较大影响。随着顶张力的增加，立管顺流向振动各阶固有频率不断增加，横流向振动各阶固有频率不断减小。顶张力的变化改变了立管两向振动固有振型的空间分布。
(3) 海流流速的变化主要影响立管顺流向振动固有频率及振型，对横流向振动基本无影响。随着海流流速的增加，立管顺流向振动各阶固有频率不断增加。海流流速的变化改变了立管顺流向振动固有振型的空间分布。
(4) 随着内流密度的增加，立管顺流向振动各阶固有频率不断增加，横流向振动各阶固有频率不断减小。内流密度的变化改变了立管顺流向振动固有振型的空间分布，对立管横流向振动固有振型基本无影响。
| [1] |
张杰, 唐友刚. 深海立管固有振动特性的进一步分析[J].
船舶力学, 2014, 18(1): 165-171.
ZHANG J, TANG Y G. Further analysis on natural vibration of deep-water risers[J]. Journal of Ship Mechanics, 2014, 18(1): 165-171. DOI: 10.3969/j.issn.1007-7294.2014.h1.021 |
| [2] |
邵卫东, 唐友刚, 樊娟娟, 等. 考虑浮体升沉及张紧环运动深海立管固有振动特性研究[J].
海洋工程, 2012, 30(2): 8-13.
SHAO W D, TANG Y G, FAN J J, et al. Study of natural vibration characteristics of deep-water riser considering heave motion of platform and tension-ring's motion[J]. The Ocean Engineering, 2012, 30(2): 8-13. DOI: 10.3969/j.issn.1005-9865.2012.02.002 |
| [3] | ALFOSAIL F K, NAYFEH A H, YOUNIS M I. Natural frequencies and mode shapes of statically deformed inclined risers[J]. International Journal of Non-Linear Mechanics, 2016, 94: 12-19. |
| [4] | CHEN Y F, ZHANG J, ZHANG H, et al. Re-examination of natural frequencies of marine risers by variational iteration method[J]. Ocean Engineering, 2015, 94: 132-139. DOI: 10.1016/j.oceaneng.2014.11.026 |
| [5] | MONTOYA-HERNANDEZ D J, VAZQUEZ-HERNANDEZ A O, CUAMATZI R, et al. Natural frequency analysis of a marine riser considering multiphase internal flow behavior[J]. Ocean Engineering, 2014, 92: 103-113. DOI: 10.1016/j.oceaneng.2014.09.039 |
| [6] | LI X M, GUO H Y, MENG F S. Effect of internal flow on the dynamic behavior of top tensioned riser[J]. Journal of Ship Mechanics, 2010, 14(9): 1021-1030. |
| [7] | CHENG Y, VANDIVER J K, MOE G. The linear vibration analysis of marine risers using WKB-based dynamic stiffness method[J]. Journal of Sound and Vibration, 2002, 251(4): 750-760. DOI: 10.1006/jsvi.2001.3843 |
| [8] | CHATGIGEORGIOU I K. Application of the WKB method to catenary-shaped slender structure[J]. Mathematical and Computer Modelling, 2008, 48(1): 249-257. |
| [9] | SENJANOVIC I, LJUSTINA A M, PARUNOV J. Natural vibration analysis of tensioned risers by segmentation method[J]. Oil & Gas Science and Technology, 2007, 61(5): 647-659. |
| [10] | GRAVES J R, DAREING D W. Direct method for determining natural frequencies of marine risers in deep water[J]. Journal of Energy Resources Technology, 2004, 126(1): 47-53. DOI: 10.1115/1.1628677 |
| [11] |
王耀锋, 樊春明, 侯晓东, 等. 海洋立管全尺寸共振疲劳试验机理研究与应用[J].
石油机械, 2017, 45(12): 38-42.
WANG Y F, FAN C M, HOU X D, et al. Research on full-size resonant fatigue test of marine riser[J]. China Petroleum Machinery, 2017, 45(12): 38-42. |
| [12] |
刘昶, 李玉星, 王琳, 等. 海洋立管两相流动及管道振动特性试验研究[J].
石油机械, 2016, 44(4): 46-50, 56.
LIU C, LI Y X, WANG L, et al. Experimental study on two-phase flow and vibration characteristics of marine riser[J]. China Petroleum Machinery, 2016, 44(4): 46-50, 56. |
| [13] | BURKE B G. An analysis of marine risers for deep water[J]. Journal of Petroleum Technology, 1973, 26(4): 455-465. |
| [14] | WANG Y B, GAO D L, FANG J. Static analysis of deep-water marine riser subjected to both axial and lateral forces in its installation[J]. Journal of Natural Gas Science and Engineering, 2014, 19(7): 84-90. |
| [15] | CHUCHEEPSAKUL S, MONPRAPUSSORN T, HUANG T.[JP]Large strain formulations of extensible flexible marine pipes transporting fluid[J]. Journal of Fluids and Structures, 2003, 17(2): 185-224. |
| [16] |
王琳, 刘昶, 李玉星, 等. 海洋立管涡激振动与疲劳寿命影响因素分析[J].
石油机械, 2016, 44(2): 42-47.
WANG L, LIU C, LI Y X, et al. Numerical simulation of vortex-induced vibrations and fatigue life factor analysis of marine riser[J]. China Petroleum Machinery, 2016, 44(2): 42-47. |
| [17] |
陈文礼, 周性坤, 郑苗子, 等. 基于微分变换法的海洋立管模态参数影响分析[J].
石油机械, 2018, 46(1): 33-39.
CHEN W L, ZHOU X K, ZHENG M Z, et al. Impact analysis of modal parameters of marine riser based on differential transformation method[J]. China Petroleum Machinery, 2018, 46(1): 33-39. |