2. 中石油江汉机械研究所有限公司;
3. 长庆油田分公司第八采油厂;
4. 长庆油田分公司第七采油厂
2. Jianghan Machinery Research Institute Limited Company of CNPC;
3. No.8 Oil Production Plant, PetroChina Changqing Oilfield Company;
4. No.7 Oil Production Plant, PetroChina Changqing Oilfield Company
0 引言
统计数据表明，50%以上的钻柱失效是由疲劳造成的[1]。由于作业成本提高，BHA疲劳寿命在海洋油气行业变得越来越重要。数项研究表明，由于螺纹载荷集中，钻柱失效通常发生在接头部位[2-4]。1995年，为了开发疲劳损伤预测模型，K.A.MACDONALD等[5]采用有限元方法进行了接头应力分析。2003年，A. BARYSHNIKOV等[6]还用反弯矩载荷曲线进行了定向井钻井过程中接头的疲劳分析。虽然这些研究预测了钻柱疲劳问题，但主要集中于井眼中频繁出现的高曲率效应，因此，引起累积疲劳的钻井动力学和振动得到了广泛关注[7-9]。
以前的研究普遍认为，钻进过程中钻柱经历了钻头和岩石或钻柱和井壁之间的非线性相互作用引起的扭转振动和质量偏心引起的侧向振动(涡动)[10-11]，涡动对旋转钻进组合极为有害。钻进组合和井壁之间的接触点产生侧向力，迫使钻进组合无序间歇撞击井壁。而且，复杂运动导致大幅度的随机侧向振动，引起钻柱过早疲劳损伤[12]。1989年，STRINGS进行了钻铤涡动和参数不稳定研究，但未涉及无序侧向间歇撞击井壁问题。1991年，J.D.JANSEN[13]采用集中质量模型详细研究了涡动(包括撞击井壁效应)，认为不稳定的钻铤运动是周期性的或无序的，但由于假设转速不变，忽略了黏滑振动。通过考虑钻头和地层间的相互作用引起的轴向激励，A.S.YIGIT等[14]进一步分析了钻铤涡动动力学。N.MIHAJLOVIC等[15]对钻头部分耦合扭转弯曲振动进行了分析，但作者只讨论了正向涡动。
为了克服上述研究的不足，挪威科技大学的研究人员在钻铤涡动模拟中考虑了BHA的黏滑旋转振动。研究中使用二自由度非线性集中质量模型表示钻铤，采用修正Karnopp摩擦模型模拟BHA的黏滑旋转振动，并忽略了旋转剪切变形。此外，研究人员利用涡动动力学模型对钻铤接头随机的弯曲应力历史进行了预测，通过雨流计数法计算了各应力范围的循环次数，在此基础上，采用Miner方法对钻铤接头累积疲劳损伤进行了评估。虽然结果不是非常准确，但该方法为井下工具疲劳问题提供了新的解决方案。而且，还可对该方法进行修正，修正后可以包括出于简化目的而被忽略的高曲率井眼轨迹效应。评估结果对于通过调整钻井条件和设计参数延长钻铤疲劳寿命极为重要。为了给我国钻井过程中的钻铤涡动动力学研究提供借鉴，延长钻铤疲劳寿命，笔者对研究情况进行了介绍。
1 涡动建模钻柱由BHA和钻杆组成(见图 1a)，顶驱扭矩通过钻柱传递至钻头。旋转过程中，质量不平衡导致钻具影响井壁的离心力。图 1b显示了偏心引起的旋转钻铤的涡动现象。弯曲钻铤中部产生侧向恢复力Fk和接触力Fb, n与Fb, t。在两端，稳定器沿井眼四周滚动，接触力为Fc。图 1c显示了钻铤接头内、外螺纹的横截面，红色圆圈表示弯矩引起的应力集中区域。
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| 图 1 钻柱结构及钻铤受力 Fig.1 Drill string structure and forces on drill collar |
图 2中的投影平面A-A揭示了钻铤动态运动的更多细节。钻铤绕钻铤中心Cc旋转，旋转角为φ，绕井眼中心O涡动，涡动角为θ。在某些情况下，钻铤可能在点Bc与井壁接触。稳定器有相同的涡动现象，但是在点Bs与井壁接触(见图 2a)。涡动过程中，在接触点Bc钻铤受到井壁接触力Fc={Fc, n，Fc, t}的限制，弯曲内力Fk= {Fk, r, Fk, θ}。很明显，Fk与侧向变形d= |Cc-Cs|和弯曲刚度k密切相关，Cs为稳定器的中心。取决于力平衡，Fk与稳定器接触力Fs大小相等(见图 2b)，Fs为法向力|N|和切向摩擦力μN的合力，应注意的是，假定稳定器总是沿井眼四周涡动。因为钻铤与稳定器涡动不完全同步，所以存在一定范围内的角偏移，即图 2b中的φ。一旦角偏移超过这个范围，稳定器将失去在点Bs的接触，这表明φ=arctanμ必须很小。
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| 图 2 投影平面A-A Fig.2 Projection plane A-A |
因为转速通常接近最低的钻铤固有弯曲频率[10, 13]，通常认为钻铤的侧向振动频率较低。因此，假设钻铤的侧向位移为简单的正弦形状(即简单支撑梁的第一个弯曲振动模式)。旋转钻铤的涡动可以理解为2个垂直平弯振动的叠加，因此，对于计算涡动等效系统特性来说，该假设适用。
等效系统参数从使用拉格朗日方法的相关连续模型中获得。由于需要相当精确而易处理的模型表示系统的复杂行为，连续结构使用该离散模型。而且，集中参数法是一个被许多研究人员接受的常见的建模方法，对相关动力学现象分析极为有益[16]。
1.1 欧拉-拉格朗日方程拉格朗日方程由下式表示：
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(1) |
式中：L为动能和势能的和，Q为非保守力，来自于接触力和流体阻尼力，广义坐标q={x, y}。
旋转钻柱存在2部分动能：一部分来源于钻铤部分集中质量Cm的运动，由等效钻铤质量m定义，另一部分来源于钻铤内和钻铤周围附加的钻井液，由等效附加钻井液质量mf定义。利用简单支撑梁的等效系统特性，有：
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(2) |
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(3) |
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(4) |
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(5) |
式中：m为钻铤等效质量，kg；
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| 图 3 x-y坐标系中钻铤部分质量中心的运动 Fig.3 The movement of the center of the drill collar part in the x-y coordinate system |
因此，x-y坐标系中钻铤部分质量中心Cm的位移可通过式(6)得到：
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(6) |
式中：e为偏心距，m。
很明显，使用时间导数可以得到质量中心Cm的速度：
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(7) |
利用方程
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(8) |
弹性势能可以表示为：
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(9) |
式中：k为钻铤侧向刚度，N/m；d为钻铤侧向变形，m。
需要注意的是，如果涡动不通过旋转运动耦合，那么假设钻铤转速完全与BHA相同。φ定义为取决于钻柱旋转刚度、BHA转动惯量和钻头扭矩的边界条件[16]。
1.2 恢复力公式(9)中弹性势能
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(10) |
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| 图 4 井眼、稳定器和钻铤中心三角关系 Fig.4 The relationship between the wellbore center, stabilizer center and drill collar center |
式中：s0为稳定器间隙，m；r为钻铤径向位移，m；β为O-Cc和Cc-Cs之间的夹角，(°)；γ为Cc-Cs之Cs-O之间的夹角，(°)。
很明显，s0还满足公式：
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(11) |
Fk可被分为：
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(12) |
将式(10)和式(11)代入到式(12)中。当φ很小时，对于测角项，通过使用麦克劳林展开式的第一项，有：cosφ≈1，sinφ≈φ，sin2φ≈0。因此有[16]：
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(13) |
如果径向位移大于间隙(即r>Rc)，那么井壁引起钻杆上的法向力和切向力。假设法向力由赫兹接触定律确定，接触系数为kb，则有：
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(14) |
由于干摩擦，Fc, n引起表面上的切向接触力。切向接触力依赖于相对速度，由接触面上的滚动和滑动确定。显然有：
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(15) |
式中：
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(16) |
虽然Fc, t也有助于扭转力矩，但由于长度较短，可以忽略钻铤的剪切变形。因此，在钻铤的扭转力矩上，该切向力被忽略[16]。
1.4 流体动力阻力阻尼力起因于流体动力阻力，由下式给出：
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(17) |
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(18) |
式中：cf为等效流体阻尼系数，在存在侧向偏转的旋转钻铤循环涡动的假设条件下计算cf，可以如下表示。
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(19) |
式中：
将动力学方程(公式8)转化为极坐标方程，其中：x=rcosθ，y=rsinθ，有：
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(20) |
将公式(20)代入公式(8)，有：
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(21) |
而公式(21)可简化为：
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(22) |
因此，使用公式q = {r, θ}能够计算r方向和θ方向的惯性力，再综合公式(13)~公式(18)，则钻铤涡动方程可表示为：
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(23) |
除了引入相对速度vrel确定接触力Fb, t之外，公式(23)与J.D.JANSEN所给的运动方程(17)相似。其优点是涡动过程中可以捕获滚动和滑动的混合。另外，由于钻进(顶驱速度为Ω)过程中的黏滑效应，钻柱底部转速
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(24) |
式中：kt是钻柱扭转刚度，N/m；Jb为钻头转动惯量，N·s2/rad，Tb为钻头和岩石之间界面的钻头扭矩，N·m。
为简化起见，Tb由钻头和地层之间界面的摩擦承担。该摩擦模型已在钻头黏滑的研究中得到应用[17]，称为修正Karnopp摩擦模型。通过识别
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(25) |
式中：δ为动态摩擦因数，代表Tb的斯特里贝克曲线；C为接触阻尼系数；Ts为钻头和岩石之间界面的静态扭矩，N·m；ε为邻域，其值很小，是低速区域。
通过数值求解非线性涡动方程(公式23)和边界条件(公式24)，能够得到稳定钻铤部分的径向位移r(t)、涡动角θ(t)、弯曲变形d(t)和旋转角φ(t)。
对于四阶龙格-库塔(Runge-Kutta)集成算法，把他们重新组合成一组一阶常微分方程，如：
钻铤涡动通常分为正向、反向和无序涡动，从而导致不同的弯曲载荷，可能是固定不变的或呈现不规则波动。疲劳损伤随着弯曲应力循环以累积的方式增大，可能导致接头破裂。
2.1 弯曲应力循环图 5显示了钻铤接头横截面的应力分布。由图可以看出，应力明显取决于弯曲方向。在弯曲载荷作用下，产生了压缩和拉伸力。在最上边缘，发现了最大拉伸应力，而在下边缘，发现了最大压缩应力。最大应力σmax取决于环形弯曲应力，与公式(10)中弯曲挠度d(t)有关，即有：
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(26) |
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| 图 5 钻铤接头横截面中的弯曲应力分布 Fig.5 Bending stress distribution in cross section of drill collar connection |
式中：E为弹性模量，Pa；Z为钻铤截面模量，m3；I为围绕弯曲轴线惯性矩，kg·m2；σ为弯曲应力，Pa。
横截面上的应力是弧度变量α的函数，如图 5b所示。然而，由于旋转和涡动，每个应力集中点不固定。如果在初始条件下(即α=0)定义接头上的参考点P，那么在时间t(即α=φ(t)+θ(t))后，P会移向新的点P′，如图 6所示。
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| 图 6 参考点运动示意图 Fig.6 Schematic diagram of reference point motion |
应力满足关于弧度变量α的余弦曲线，如图 5c中的红色曲线。因此有：
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(27) |
利用雨流计数法将连续不规则弯曲应力σ(t)转换为波峰和波谷(σn)的过程点[18]。雨流计数算法通常用于分析疲劳数据，以减少变应力谱为一组简单的反向应力。计算过程中，波谷和波峰的半循环次数计算产生了应力范围σni。完成了等于起点和终点间应力差的每个半循环幅值赋值，如图 7所示。此后，相同幅值的半循环均成对出现，以计算全循环次数[16]。
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| 图 7 使用雨流算法的循环次数计算实例 Fig.7 Calculation example of the cycles number using the rainflow algorithm |
2.2 累积疲劳损伤
疲劳寿命方法的基础是S-N曲线，S为公称应力幅值，N为疲劳破坏循环次数。根据S-N曲线，当疲劳发生的时候，在应力范围σni内可得到最大循环次数Ni。已进行了NC50和NC56(API)钻铤接头疲劳寿命研究的一些共振测试[16]。通过线性回归分析，试验数据表示为：
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(28) |
式中：λ是拟合常数，λ=1 500；kl为斜率，kl=4.74。
疲劳极限(循环次数为107时的耐久极限)见图 8。
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| 图 8 NC50和NC56钻铤接头的S-N曲线 Fig.8 S-N Curve of NC50 and NC56 drill collar connection |
Miner法则常用于计算循环/时变载荷引起的损伤。这是一个使用载荷时间历程和S-N曲线作为输入值计算损伤的线性损伤累积模型。如Miner法则所述，在某一时间范围Δt内，如果存在k个不同的应力范围，那么累计疲劳损伤Cdam由式(29)给出：
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(29) |
式中：ni为根据直方图，在应力σni下累积的实际循环次数，Ni为根据S-N曲线，在应力σni下破裂发生时的最大循环次数。C为不同应力水平时，在应力循环下消耗的部分寿命。总之，损伤部分达到统一时，破裂发生[16]。
3 模拟结果和讨论模拟计算中，首先分析了无黏滑旋转振动的钻铤涡动，得到了相图和时域结果，结合公式(23)研究了从正向涡动到反向涡动的转变机理。分析了旋转边界条件，并应用公式(24)计算了一定范围的作业条件下黏滑振动的不同幅值。最后，结合涡动和旋转边界条件研究了旋转振动对涡动的影响。而且，利用不同的涡动形式，在侧向振动下估计了钻铤接头相应的累积损伤[16]。
3.1 正向涡动在转速小于38.62 r/min的情况下，钻铤处于稳定平衡状态，无偏转(即r=0)。如果转速增大，由于离心力大于恢复弹性力Fk，在高转速下钻铤进入不稳定状态。因此，钻铤开始涡动(见图 9)，称为正向涡动。图 9中，顶驱转速Ω=70 r/min，e=0.012 7 m，s0=0.004 m。因为离心力不足以推动钻铤与井壁接触，所以进入另一种稳定状态。然后，涡动方向完全与旋转方向重合，速度值接近于Ω(见图 10)。因此，钻铤的弯曲行为达到稳定状态，正向涡动中无任何累积损伤[16]。
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| 图 9 正向涡动轨道 Fig.9 Forward whirl trajectory |
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| 图 10 正向涡动 Fig.10 Forward whirl |
3.2 反向涡动
随着钻柱转速的增大，正向涡动幅值升高，直到接触井壁。钻铤和井壁之间的摩擦力可能导致反向滚动或滑动，使得正向涡动逐渐变为钻铤的自激反向涡动。在这种情况下，由于离心力、恢复力和接触力之间的平衡状态，钻铤涡动沿着井眼四周滚动和滑动。图 11为稳态反向滑动轨道，图中顶驱转速Ω=100 r/min，e=0.012 7 m，s0=0.004 m。由图可知，在撞击数次后，发现钻铤有反向涡动，轨道方向用黑色箭头表示。
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| 图 11 稳态反向涡动轨道 Fig.11 Steady-state backward whirl trajectory |
在钻铤开始撞击井壁之时，涡动角速度
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| 图 12 稳态反向涡动过程中钻铤侧向振动 Fig.12 Lateral vibration of drill collar during steady-state backward whirl |
根据恢复力方程(13)，随着稳定器间隙s0的增大，径向分量Fk, r线性减少。切向分量Fk, θ是一个抛物线函数，在s0= 0.00，0.05范围内平方递增(图 13a)。一旦稳定器间隙s0超过交叉点M1，恢复力切向分量将变得更大，从而钻铤会偏向井壁一侧。而且，随着转速的增大，侧向振幅进一步增大。图 13b显示，当钻铤开始撞击井壁之时，接触力Fc成指数增长。当侧向位移r超过交叉点M2时，Fc在影响钻铤方面占主要地位。在切向分量Fc, t的作用下，钻铤无序间歇撞击井壁(见图 2)。
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| 图 13 涡动过程中恢复力和接触力演变 Fig.13 Evolution of the restoring force and contact force during whirl motion |
稳定器间隙促进了钻铤的不稳定，导致钻铤无序间歇撞击井壁(见图 14)。图 15显示，钻铤侧向位移受到井壁限制，无序间歇撞击井壁。需注意的是，涡动速度
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| 图 14 反向涡动轨道 Fig.14 Backward whirl trajectory |
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| 图 15 反向涡动过程中钻铤侧向振动 Fig.15 Lateral vibration of drill collar in backward whirl |
选择侧向振动(即r，见图 15蓝色曲线)中10~60 s的时间段，然后转换为一系列的弯曲应力历史(见图 16)，并使用雨流计数法计算了相应的直方图(见图 17)。从图 17可以看出，x轴上弯曲应力范围(1.42~83.72 MPa)分为30段，段高度代表y轴上的循环分布，最大循环次数为462.5，最小循环次数为2.5，总共有2 499.5次循环。
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| 图 16 弯曲应力随时间的变化 Fig.16 Changes of bending stress over time |
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| 图 17 无序间歇撞击井壁50 s内不同应力范围的循环次数 Fig.17 Cycle times of different stress ranges within 50 s of disorderly intermittent impact on wellbore wall |
将应力范围σni代入到公式(28)(NC50钻铤接头)中，可以计算相应的最大破裂循环次数Ni。假设条件保持不变，在进一步的时间周期过程中，相同应力范围内破裂循环密度分布将保持不变。为了估计240 h内的累积损伤，例如，计算的循环次数Ni与240 h×(3 600 s/50 s)相乘，然后代入公式(29)，从而得到累积损伤(见图 18)。结果表明，钻铤接头累计损伤达5.5%，240 h内每小时损伤率为0.023%[16]。
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| 图 18 无序间歇撞击井壁引起的钻铤接头疲劳损伤 Fig.18 Fatigue damage of drill collar connection caused by disorderly intermittent impact on wellbore wall |
3.3 BHA黏滑
旋转运动通过钻柱传递至钻头，扭转振动是钻柱最常见的振动模式之一，相关的主要现象是黏滑振动。顶驱速度对黏滑振动特性的影响分析结果见图 19。
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| 图 19 转速对BHA黏滑振动的影响 Fig.19 Effect of rotational speed on stick-slip vibration of BHA |
Ωt-φ轴线代表钻柱上部和下部之间的扭转角，Ω轴线代表输入顶驱速度，φ轴线为钻头黏滑状态。在钻柱底面速度为Ω的情况下，由于底部扭矩太大，钻头不能旋转，即φ=0。一旦超过扭矩临界值，钻头开始旋转，钻柱底部发生黏滑振动。随着Ω的增大，φ幅值相应地增大。在高转速(φ=180 r/min)情况下，黏滞阶段消失。钻头扭转振动受滑移阶段控制，幅值较小[16]。
3.4 黏滑旋转振动效应在地面，钻柱转速为Ω=70 r/min，由于黏滑效应，BHA经受了旋转振动，相应的侧向振动轨迹见图 20，很明显，即使钻铤转速较低，但仍发生无序侧向间歇撞击井壁现象。图中，顶驱转速Ω=120 r/min，e=0.012 7 m，s0=0.004 m。
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| 图 20 伴有黏滑旋转振动效应的反向涡动轨道 Fig.20 Backward whirl trajectory with stick-slip rotating vibration effect |
顶驱转速为常数(见图 21黑线)，相应的可以计算BHA黏滑振动(图 21红线)。在起初40 s的过渡阶段之后，黏滑振动变为稳定的周期性运动，幅值为140 r/min，频率为0.4 Hz。一旦转速足够大，在离心力的作用下，钻铤撞击井壁，从而导致侧向振动，迫使钻铤无序间歇撞击井壁。图 21显示，钻铤的侧向振动(蓝线)变为侧向无序模式，而不是无黏滑影响的稳定正向涡动模式。因为离心力主要取决于转速，所以黏滑振动(红线)将影响侧向振动(蓝线)。
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| 图 21 反向涡动过程中钻铤侧向振动 Fig.21 Lateral vibration of drill collar in backward whirl |
侧向振动中50~100 s的时间段(图 21中蓝线)被转换为一系列的弯曲应力历史(见图 22)，然后转换为直方图(见图 23)。每个应力范围的宽度为3.5 MPa。X轴上弯曲应力范围(1.26~74.80 MPa)分为30段，段高度代表Y轴上的循环分布。最大循环次数为751，最小循环次数为0，总共有2 194.5次循环。
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| 图 22 弯曲应力随时间的变化 Fig.22 Changes of bending stress over time |
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| 图 23 侧向间歇撞击井壁50s内不同应力范围的循环次数 Fig.23 Cycle times of different stress ranges within 50 s of laterally intermittent impact on wellbore wall |
由于钻铤弯曲振动程度低于钻铤无序侧向间歇撞击井壁程度，大多数的循环分布位于小于50 MPa的低应力范围。由于S-N曲线的耐久极限，可以忽略该低应力范围(见图 8)。利用这些结果得到接头的累积损伤(见图 24)。结果表明，钻铤接头累积损伤达1.9%，240 h内每小时损伤率为0.008%。
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| 图 24 钻铤接头累积疲劳损伤 Fig.24 Cumulative fatigue damage of drill collar connection |
4 结论
(1) 通过数值求解集中质量模型中的微分方程，研究了2个稳定器之间一段钻铤的各种动力学涡动现象。增大稳定器间隙可能会引起钻铤侧向振动和动力学模拟的不稳定。如果稳定器间隙超过一定值，钻铤会无序侧向间歇撞击井壁。
(2) 利用钻铤动态特性模拟，通过雨流计数方法和Miner方法研究了钻铤接头的累积弯曲疲劳，研究结果表明：240 h内累积疲劳损伤达5.5%，意味着除了井眼曲率以外，振动是接头疲劳的重要原因；当考虑黏滑振动时，稳定的正向涡动变为无序侧向振动，甚至在较低钻速下，黏滑振动都可能会引起无序侧向振动。损伤评估结果显示，在240 h内，无序侧向振动引起钻铤接头累积损伤达1.9%。虽然每小时损伤率仅为0.008%，但如果考虑其他恶劣井下环境，该值可能更大。
(3) 研究方法为井下工具故障的另一个可能原因提供了新的解决方案，包括狗腿度引起的弯曲疲劳。利用该累积疲劳损伤新知识，在不同的钻井作业条件下，预测精度会得到明显提高。而且在实际施工中，通过调整钻井参数，研究结果还有助于缓解钻铤疲劳损伤。
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