0 引言

自万邦烈于20世纪70年代提出使用螺杆泵开采稠油的方法^[1]，并于80年代初对其应用效果进行了评述和展望^[2]以来，螺杆泵采油技术得到了全面发展和完善^[3-4]。螺杆泵因具有连续而稳定的压力“窗口”而成为稠油冷采举升设备，并在国内外有过许多成功应用的报道^[5-6]。陈永红等^[7]根据螺杆泵油井抽油杆的伸长量，设置转子限位器，防冲距提升简单、准确，无卡泵现象发生。

文献[8]报道了同轴式双空心抽油杆配套螺杆泵取得了稠油冷采成功经验，但因抽油杆本体和接箍直径增大，同时，双空心抽油杆受热后伸长量增加，螺杆泵定子与转子轴向间隔调整只能凭经验进行。现场作业中，螺杆泵所用的丁腈基橡胶常出现脱胶情况^[9]，导致油井被迫停产检泵作业。

基于上述考虑，笔者提出了一种螺杆泵定子与转子轴向间隔调整方法^[10]，即采用Visual Basic 6.0编写计算程序，通过单点打靶法计算螺杆泵定子与转子轴向间隔的调整长度^[11]。这项技术应用于现场作业后，完全避免了卡泵现象的发生，在15口螺杆泵用双空心抽油杆油井中应用，一次性作业成功率100%，这表明该方法显著提高了螺杆泵井的一次性作业成功率和油井生产时率。

1 数学模型建立与求解 1.1 数学模型的建立

同轴式双空心抽油杆内循环热传导加热系统由地面热交换器、加热器、循环泵、双空心抽油杆三通和同轴双空心抽油杆组成。地面热交换器将水、导热油和防冻液等热载体加热后，经过循环泵到加热器进行二次加热，热载体经过双空心抽油杆三通从同轴式双空心抽油杆的内通道以较高速度流至其下端后，再流入外空心通道，从外管返回时，通过散热作用对油管内的原油加热。最后，热载体返至地面热交换器，并被再次加热。以螺杆泵定子与转子轴向间隔的长度为最优目标，以同轴式双空心抽油杆下入深度，进、出口温度差为约束条件，建立螺杆泵定子与转子轴向间隔调整方法的计算模型^[12-13]：

(1)

式中：H为螺杆泵定子与转子轴向间隔的长度，m；Δt为同轴式双空心杆进、出口温度差，℃; M为同轴式双空心抽油杆单位长度内热载体软化水的质量，kg/km；k₁为同轴式双空心抽油杆内热载体软化水的流动速率；∑k_i一级动力学转化速率(取0.55~0.60); p₁为油井井口回压，MPa；p₂为在同轴式双空心抽油杆内循环的循环水压力，MPa；k₂为亨利常数，主要指O₂的亨利常数，4.40×10⁶; ∑p_i为分配系数，指一定温度下，处于平衡状态时，水与空气在固定相中浓度和流动相中浓度之比；A_c为油管内横截面积，mm²; r为同轴式双空心抽油杆本体半径，mm；F为同轴式双空心抽油杆单位长度伸长量，m/km；E为同轴式双空心抽油杆弹性模量，Pa；I为同轴式双空心抽油杆极惯性矩，m⁴。

1.2 约束条件的建立

结合实际问题，建立以下约束条件：①  同轴式双空心杆进、出口温度差已知，即Δt已知；②  同轴式双空心抽油杆的伸长量为0.923 m/km；③  同轴式双空心抽油杆的弹性模量为3.2×10⁵ Pa；④  极惯性矩I为1.729×10^-3 m⁴；⑤  油管内横截面积A_c已知，由于油管外径为89 mm，内径为76 mm，计算得其内横截面面积为4 534.16 mm²；⑥  同轴式双空心抽油杆本体半径r=22.5 mm；⑦  同轴式双空心抽油杆单位长度内热载体软化水的质量M=600 kg/km；⑧  对于油井井口回压p₁，规定机械采油井p₁=1.0~1.5 MPa，低产油田的机械采油井采用管道集输时p₁=1.0~2.5 MPa；⑨  对于在同轴式双空心抽油杆内循环的循环水压力p₂，随着下入深度的不同而不同，现场测定取值；⑩  对于同轴式双空心抽油杆内热载体软化水的流动速率k₁，随着p₂的不同而不同，现场测定取值。

1.3 数学模型的数值求解

打靶法是一种求解边界值问题的方法，其思路是将解归为一个初值问题。单点打靶法是打靶法中的一种典型方法，其主体思想是将隐式边界作为一个目标函数进行显式化处理，有利于求解单变量非线性方程的初始值。以式(1) 为例，当H=0时，Δt=0。同时其他参数已知，相当于仅缺少一个初始值。假设双空心抽油杆进、出口温度差Δt=x，为待求变量，用初始值(H，x₁，x₂) 对式(1) 进行积分运算，可得到H=F时Δt的边界值x₁(F) 和x₂(F)。既然F已知，那么定义残差函数为:

(2)

当Y(x)=0时，式(2) 不具有显式表达式，因此对于给定的初始值(H，x₁，x₂)，需借助于微分方程数值解法进行求解。为避免误差积累以及导致数值不稳定等伪物理现象，采用四阶Runge-Kutta方法的Gear格式，取步长h≤20 m，并结合弦截法求出其根。具体求解步骤如下：

①  在闭区间[x_min，x_max]内取任意2初值x₁和x₂，步进单位取Δx=0.5(x₂-x₁)。通过x₁和x₂求式(2) 的函数值Y₁和Y₂。

②  若Y₁Y₂ < 0，用线性插值法求出Y(x)=0的近似根为：

(3)

当x=min{max{x_min，x}，x_max}时，进入步骤④，否则进入步骤③。

③  若(Y₁-Y₂)Y₁ < 0，则向左更新x₁、x₂，取：

(4)

(5)

若(Y₁-Y₂)Y₁ > 0，则向右更新x₁、x₂，取：

(6)

(7)

根据更新后的x₁和x₂求对应的Y₁和Y₂，返回步骤②，直到满足Y₁Y₂ < 0为止。

④  将线性插值所得x代入式(2)，得到新的函数值Y₃。

⑤  若|Y₃|小于所设定的计算精度，则x为所求根，跳入步骤⑦；否则，进入步骤⑥。

⑥  若(Y₁-Y₂)Y₃ > 0，则x₁=x，Y₁=Y₃；若(Y₁-Y₂)Y₃ < 0，则x₂=x，Y₂=Y₃。再次通过线性插值法求出新的x，并进入步骤④。

⑦  将所求(H，x₁，x₂) 代入式(1) 进行求解，即可得到数学模型的唯一解--螺杆泵定子与转子轴向间隔的调整长度。

2 实例计算

华北油田泽70-15X井在50 ℃条件下的地面原油黏度为1.490 2×10⁴ mPa·s，采用常规螺杆泵开采工艺油井无法正常生产。采用同轴式双空心抽油杆配套螺杆泵恢复生产，设计泵深1 350 m；同轴式双空心抽油杆单位长度内循环水的质量M=600 kg/km；井口回压为1.6~2.5 MPa；油管横截面面积A_c取4 534.16 mm²；双空心抽油杆本体半径取42 mm。根据不同的井深，依据式(1) 所示的数学模型，采用Visual Basic 6.0编写计算程序，对螺杆泵定子与转子轴向间隔的调整长度进行优化计算，结果为1.68 m。该井2014年5月14日投产，泵深1 361 m，螺杆泵定子与转子轴向间隔的调整长度为1.70 m，初期日产液14 m³，日产油8.7 m³，含水质量分数38.0%，目前，日产液12 m³，日产油3.5 m³，含水质量分数70.9%。

3 结论

(1) 利用单点打靶法，采用Visual Basic 6.0编写程序计算螺杆泵定子与转子轴向间隔的调整长度，运算速度快，提高了优化效率和计算精度。

(2) 在现场油井实践中，应用笔者提出的计算螺杆泵定子与转子轴向间隔的调整长度方法简单而准确，一次性作业成功率100%，这表明新方法显著提高了螺杆泵井的一次性作业成功率和油井生产时率。