0 引言

钻井液压力差分相移键控(DPSK)调制是一种连续压力波信号的调制方式，钻井液压力DPSK调制通过随钻测量数据形成的基带脉冲来控制旋转阀转速，使其在一个载波周期内瞬间降低，造成压力载波的相位延迟来表示编码信息^{[1, 2]}。通过钻井液压力DPSK信号的相位解调及旋转阀转速控制脉冲的重构，可以恢复信号调制过程中的数据编码^[3]，但解调系统产生的固有干扰及信号噪声会对旋转阀转速控制脉冲重构的正确性产生很大影响。对于数字通信系统，通常要求的误码率为10^-3~10^-6量级^[4]，因此针对重构的旋转阀控制脉冲进行误码率的理论分析，对于信号传输系统的可靠性评估及系统的可靠性设计尤为重要。根据无码间串扰单极性脉冲PCM(脉码调制)系统的误码率分析，误码率与基带信号的幅度信噪比有关^[5]，因此建立重构脉冲信噪比的数学模型成为DPSK信号解调系统误码率分析的关键。笔者基于信号的相干解调理论及钻井液压力DPSK信号调制过程的数学分析，通过数学建模与数值仿真研究了旋转阀转速控制脉冲的重构及解调系统的固有干扰与信号噪声对误码率的影响。

解调的目的是得到钻井液压力DPSK信号的相位信息，钻井液压力DPSK信号可表示为^{[6, 7]}：

式中：A_c为压力载波幅度，Pa；ω_c=2πf_c，为载波角频率，rad/s；f_c=1/T_c，为载波频率，Hz；T_c为载波周期，s；，为相移函数，rad；，为旋转阀控制脉冲序列函数，无量纲逻辑电平。

根据相干解调理论^[8]，将钻井液压力DPSK信号与同步信号c(t)=2sinω_ct相乘有：

式中：A_ccos[f_DPSK(t)]为零频调制信号，A_ccos[2ω_ct-f_DPSK(t)]为倍频调制信号。

根据频谱分析，倍频调制的信号能量大约有10%会进入零频调制的信号频谱，对零频调制信号产生一定影响。用截止频率为f_L=f_c的低通滤波器将大部分倍频项滤除后，考虑到进入零频调制信号频谱的倍频调制信号影响，可得到与相位有关的信号：

式中：φ_d(t)为倍频调制信号分量进入零频调制信号频谱的相位折合，由于倍频调制信号进入零频调制信号频谱的分量随数据编码而变，所以φ_d(t)可以看作具有随机性。

式(3)经反余弦运算得相位输出信号：

钻井液压力DPSK信号频带内的噪声为限带高斯噪声，可以表示为^[9]：

则解调系统的输入信号可以表示为：

其中

式(5)和式(6)中：r_n(t)为限带噪声幅度，Pa；φ_n(t)为限带噪声相位，rad；θ_e(t)为噪声对钻井液压力DPSK信号产生的相位干扰，rad；R(t)为包含噪声影响的信号等效幅度，Pa。根据数值计算，当信号信噪比时，有R(t)≈A_c，。含噪声DPSK信号经过相干解调系统的乘法器和低通滤波器后有:

相位信号为:

对式(10)求导，可得到含噪声情况下旋转阀控制脉冲序列函数的重构数学模型为:

式中：,为信号噪声对旋转阀控制脉冲重构的影响；,为进入零频调制信号频谱的倍频调制信号对旋转阀控制脉冲重构产生的固有随机干扰。

重构的旋转阀转速控制脉冲为单极性基带信号。根据单极性脉冲的误码率分析^[9]，钻井液压力DPSK信号重构脉冲的误码率可表示为：

式中：,为误差函数；S_o为脉冲的幅度信噪比，为脉冲幅度与干扰噪声的有效值之比。

式(12)表明，误码率只与基带信号的幅度信噪比有关。图 1为误码率与重构脉冲信噪比的关系曲线。图中，当信噪比分贝值S_o(dB)＞16 dB时，误码率随着信噪比的增加迅速下降，因此S_o(dB)=16 dB可以看做信噪比门限，对应的误码率为10^-3。对于重构的旋转阀控制脉冲误码率计算，关键是要得到DPSK信号经解调后重构脉冲的幅度信噪比。

图 1 重构脉冲信噪比对误码率的影响 Fig.1 Effect of the reconstructed pulse SNR on the bit error rate

图选项

将随机噪声幅度r_n(t)用噪声方差σ_n²来表示，有。定义S_i=A_c²/2σ_n²为输入信号的功率信噪比，则，因此有:

由于有丨sin[θ_n(t)+f_DPSK(t)]丨_max=1，设，则L_e(t)的最大值可表示为:

将L_e(t)用最大值L_e(t)丨_max表示，则式(11)可以表示为：

式中：为噪声与解调系统干扰对旋转阀控制脉冲函数L(t)的随机干扰。

由于L_n(t)与噪声相位有关，根据信号相位与频率关系，对于n(t)=r_n(t)cos[ω_ct+φ_n(t)]，噪声n(t)的频率分布为=2π(f_c+f_φ)，即n(t)的频谱为以f_c为中心的频带，因此n(t)的频率范围为f_n=f_c±f_φ，其中f_φ为噪声频率偏离载频的偏频。根据钻井液压力DPSK信号的频谱特征^[7]，DPSK信号的频谱范围为f_DPSK=f_c±(f_c/4)，由于噪声的频谱与DPSK信号频谱落在同一频带内，所以有频偏，则噪声相位产生的最大干扰幅度为：

设在DPSK信号一个数据周期内，解调系统固有干扰L_d(t)的最大幅度为L_d，旋转阀控制脉冲幅度为A_p，则噪声与解调系统干扰的最大幅度可以表示为:

考虑到旋转阀控制脉冲幅度的逻辑电平为A_p=1，L_n(t)_max=0.5，将A_n用有效值A_neff表示，有A_n=2A_neff，则重构的旋转阀控制脉冲的幅度信噪比可以表示为：

用分贝表示为：

式(18)的应用条件为≥10，即S_i=≥100；当S_i＜100时，式(18)可作为参考。

由式(18)可以看出，解调系统的固有干扰L_d对重构脉冲的信噪比有着较大影响；在输入信号的功率信噪比S_i很大情况下，有，则重构脉冲的信噪比最终被限制在，令固有干扰的幅度比，有S_o(dB)=17 dB，根据式(12)计算的误码率大约为10^-4量级，可以满足数字通信系统误码率的要求，但对输入信号的信噪比要求很高；如果适当减小解调系统干扰，可以放宽对输入信号信噪比的要求。图 2为解调系统固有干扰的幅度比L_d/A_p为参变量时，钻井液压力DPSK信号重构脉冲的幅度信噪比与输入信号功率信噪比的关系曲线。

图 2 重构脉冲信噪比与输入信号信噪比的关系曲线 Fig.2 The relation of the reconstructed pulse SNR and the input signal SNR

图选项

由图 2可以看出，降低解调系统的固有干扰可以较大地提高重构脉冲的信噪比。数值计算结果表明，在L_d/A_p=0.15条件下，输入信号的信噪比S_i≥420,可以使重构脉冲信噪比大于16 dB，进而使误码率满足数字通信系统的基本要求。

设钻井液压力DPSK信号载频f_c=20 Hz，载波幅度A_c=1 Pa，数据编码C=1010101011，输入信号的功率信噪比S_i=106，解调系统的低通滤波器截止频率f_L=20 Hz。通过Matlab的数值仿真分析，无噪声影响下解调系统固有干扰的幅度比L_d/A_p=0.17。图 3为噪声影响下钻井液压力DPSK信号的相干解调及脉冲重构的仿真结果。

图 3 有噪声条件下钻井液压力DPSK信号的解调仿真 Fig.3 The demodulation simulation of the drilling pressure DPSK signals under noise condition

图选项

从图 3可以看出，重构的旋转阀控制脉冲非常明显，经抽样判决和整形得到的控制脉冲序列符合调制数据的编码规律。通过进一步分析，虽然控制脉冲的抽样判决结果正确，但是解调系统固有干扰和信号噪声的影响较大，造成重构的旋转阀控制脉冲信号存在较明显的波动干扰，数值计算此时的误码率P_b=0.013，如果输入信号的功率信噪比进一步减小，则很可能造成误码。数值仿真结果表明，当输入信号的功率信噪比S_i下降为10.8时，产生一个控制脉冲的判决错误，相当于误码率为0.1；计算结果表明，此时重构脉冲的信噪比S_o(dB)=7.1 dB，由式(12)可以计算出误码率P_b=0.13。解调系统固有干扰与DPSK信号的数据编码有关，表 1为不同数据编码的钻井液压力DPSK信号重构脉冲出现1个脉冲判决错误时误码率的理论计算结果。

从表 1可以看出，通过理论计算的钻井液压力DPSK信号误码率与仿真分析结果基本一致，验证了理论分析的正确性。由于式(18)为重构脉冲可能的最小信噪比，所以DPSK信号误码率的计算值比实际值要稍大。由表 1还可看出，解调系统的固有干扰仍较大(L_d/A_p≥0.15)，可以尝试在相干解调过程中采用具有一定过渡带的低通滤波器来进一步减小倍频调制项的影响。

(1)钻井液压力DPSK信号相干解调过程中，由于零频调制信号与倍频调制信号的频谱发生部分重叠，进入零频调制信号频谱的倍频调制信号会对旋转阀控制脉冲的重构产生干扰；由于倍频调制信号进入零频调制信号频谱的分量随数据编码而变，该干扰可以看作是解调系统产生的固有随机干扰。

(2)旋转阀控制脉冲的重构会受到解调系统固有干扰及信号噪声的双重影响，二者通过影响DPSK信号重构脉冲的幅度信噪比使解调系统的误码率增大。

(3)通过建立重构的旋转阀控制脉冲信噪比数学模型，对钻井液压力DPSK信号误码率进行了理论计算与分析，结果表明误码率的计算值与仿真值基本一致。这说明可以通过理论计算来实现钻井液压力DPSK信号传输效果的可靠性评估。