0 引言

混砂车被广泛应用于石油、页岩气和煤层气等行业，是压裂成套设备的重要组成部分^[1]，其主要用于混合、搅拌和输送压裂作业需要的砂液等介质^[2]。螺旋输砂器是一种大倾角螺旋输送机，是混砂车的关键组成部件之一，输砂器的输送能力及压裂砂的计量控制将直接影响到整个压裂作业的成败^[3]。其主要工作指标有驱动功率、输砂量和输送效率。而影响上述工作指标的参数主要有螺旋轴转速、螺旋叶片直径、螺距、螺旋轴直径和倾斜角度等。

目前，关于螺旋输送机输送量及其影响因素的研究主要有：F.J.C.Rademacher^[4]进行了垂直和倾斜螺旋叶片对螺旋输送机输送性能影响的对比研究，建立了物料力学和运动分析模型，得出了螺旋输送机输送效率与相关结构参数的关系。A.W. Roberts等^{[5, 6, 7]}根据量纲分析法以及动力学相似理论，预测了结构尺寸相似的螺旋输送机工作时的性能也相似，并对颗粒涡旋运动进行了更深层次的研究。根据理论建模和试验的结果，初步预测了螺旋输送机工作时的一般理论公式。张福培^[8]通过建立空间坐标系对物料在大倾角螺旋输送机中的受力情况进行分析，得出了物料向上输送的临界条件。李立等^[3]通过建立混砂车螺旋输砂器试验装置的方法，从统计试验数据出发，修正了混砂车输砂能力计算公式，并形成相应的经验公式，该经验公式的建立忽略了倾斜角度、填充系数和摩擦因数的影响。但到目前为止，对于大倾角螺旋输送机的输送量的理论公式尚未见报道。

笔者采用单质点法来求解散粒体的运动形态，即将物料分成若干份并将螺旋体中的每份物料看成一个单一质点，分析该质点的运动和受力。通过理论建模和试验数据建立临界状态与实际工作状态的函数关系，通过实例研究了45°倾角下螺旋输砂器的相关参数对输砂量的影响，发现结构参数与工作指标的内在联系，以期为设计高效率的环保型输砂装置提供实践依据。

大倾角螺旋输砂器在工作时，物料在螺旋叶片推动下产生较大的离心力，使物料克服与螺旋叶片之间的摩擦力而被压向螺旋叶片的周围，从而与筒壁形成了新的摩擦阻力，当这种阻力达到足够大时，便能克服物料本身重力及其他力所引起的下滑力。在螺旋叶片的推动下，物料又克服它与螺旋叶片间的摩擦阻力和它与输送管内壁间的摩擦阻力，从而以比螺旋转速较低的旋转速度上升，直到出料口卸出^[8]。

对于理论公式的推导采用单质点法，对单质点进行力学分析，先求解物料在稳定状态下(即受力平衡状态时)的临界转速，再对物料进行运动分析，并求解出沿轴线方向上的分速度，达到求解临界转速下输砂量的目的。

单颗粒物料受力分析如图1所示。物料受到如图所示一些力的作用，稳定状态下根据受力平衡可建立以下等式关系：

图 1 物料在稳定输送状态下的受力图 Fig.1 The forces on the material at steady state convey

图选项

整理式(1)~式(4)，化简后可得临界转速为：

颗粒在大倾角螺旋输送机中运动时，颗粒一边沿着叶片表面绕螺旋轴旋转，一边沿着螺旋轴的方向做直线运动^[9]。颗粒运动的总速度由螺旋旋转引起的螺旋速度和颗粒相对于螺旋面的相对速度组成^{[5, 10]}。设颗粒相对速度为v_r，圆周速度为v_k，则颗粒将以v_a=v_r+v_k的速度相对筒壁沿轴线向上做螺旋运动。颗粒的运动分析情况如图2所示。

图 2 物料运动分析图 Fig.2 The material motion analysis

图选项

根据图2可知，在摩擦力F₁、F₂和F₀组成的力三角形中，由正弦定理可以建立以下等式关系：

化简求得绝对速度与圆周速度夹角为：

物料在通过螺旋输送机的过程中，不是单纯的沿轴向运动，而是在一种复合运动中沿螺旋轴运动，输送量的大小要靠轴向速度v_z来决定^[11]。

根据图2，在v_k、v_a和v_r组成的速度三角形中，由正弦定理可以建立如下等式：

则轴向分速度为：

将临界转速下的物料看作以轴向速度v_z匀速输送的稳定质量流，则推导螺旋输送机的输送量Q₀的理论计算公式为：

式(10)所求得的输砂量Q₀为临界转速下的理论输砂量，该公式全面考虑了螺旋输送机的结构参数和工作参数。而实际工作中的转速和输砂量都远大于临界状态下的转速和输砂量，因此需要试验结果来建立实际工作指标与临界工作指标之间的关系，进而确定实际工作指标与结构及工作参数间的内在联系，建立基于试验的输砂量计算公式，为设计高效率的环保型输砂装置提供依据。

通过分析，建立螺旋输砂器的实际输砂量Q与实际转速n、临界输砂量Q₀和临界转速n_k之间的函数关系为：

当螺旋输砂器的结构与工作参数一定时，可通过前文的推导求出临界状态下的转速n_k和输砂量Q₀，并通过大量实物输送试验得出实际转速及实际输砂量，采用数据拟合的方法求解函数表达式，再将n_k和Q₀与螺旋输砂器的结构及工作参数的关系代入式(11)，即可得到实际输砂量与相关结构参数及工作参数间的关系。

以目前国内外生产的几种常用的系列混砂车螺旋输砂器来进行分析比较，其主要结构尺寸及相关参数见表1和表2^[3]。根据式(5)、式(7)、式(9)和式(10)可计算不同型号螺旋输砂器的临界转速n_k和临界转速下的输砂量Q₀，见表3。

参考文献^[3]中针对45°布置的系列螺旋输砂器在不同转速下进行了输送试验，实际输砂量的试验数据见表4，HS60、HS210及HS360型螺旋输砂器试验测得的实际流量分别为Q₁、Q₂和Q₃。建立实际转速n与临界转速n_k，实际输砂量Q与临界转速下输砂量Q₀之间的关系，所得转速比和流量比如表4所示。

根据表4试验数据，将不同型号下的流量比与转速比采用最小二乘法进行数据拟合，结果如图3所示。

图 3 流量比Q/Q0与转速比n/nk拟合曲线图 Fig.3 The fitted curve of flow ratio Q/Q0 and speed of revolution ratio n/nk

图选项

由图3拟合结果可知，转速比与流量比呈现线性关系，则45°布置的螺旋输砂器实际输砂量的表达式为：

再将n_k和Q₀与螺旋输砂器的结构与工作参数的关系式带入式(12)，即可得到45°布置的螺旋输砂器实际输砂量与相关结构参数和实际工作转速之间的关系。该公式在螺旋输砂器进一步的现场使用中得到了验证，对于指定型号的输砂器(45°布置)可以根据转速精确地控制输砂量。

采用单质点法对螺旋输砂器进行受力和运动分析，推导出螺旋输砂器的临界转速和临界转速下的输砂量与倾角、叶片表面摩擦因数、筒壁摩擦因数、填充量、密度等参数之间的理论公式，并通过实例分析和验证实际输砂量与实际转速、临界输砂量、临界转速之间的函数关系，得到了螺旋输砂器在45°倾角工作时实际输砂量的表达式。该式可以采用同样的方法推广到任意倾角时输砂量的理论公式。研究成果可为螺旋输砂器实际工作提供相应的实践依据和指导。