一、集合种群及Levins模型

在生态学中，种群(population)是指在一定时间内占有一定空间的同种生物个体的集合。集合种群(meta-population)是生境斑块(patch)中局域种群(local population)的集合，这些局域种群在空间上存在隔离，彼此之间通过个体扩散而相互联系，这个概念是由Levins首先提出来的。局域种群是指同一物种的以很高的概率相互作用的个体的集合，斑块是指局域种群所占据的空间区域。

Hanski(1995：21-28)认为一个典型的集合种群应该具备4个标准：①适宜的生境以离散的斑块形式存在，这些斑块可被局域繁殖种群(local breeding population)占据；②即使是最大的局域种群也有灭绝的风险存在；③生境斑块不可以过于隔离而阻碍了重新侵占的发生；④各个局域种群的动态不能完全同步。否则，集合种群不会比灭绝风险最小的局域种群继存更长的时间。

随着自然环境日趋遭到人为的破坏，面积较大的生境沦落残留为一个个离散的斑块，这些斑块仍适于一些种群的生存。在生境斑块中，由于存在生物个体的出生、死亡、迁入和迁出的现象，局域种群的数量在不同的时点可能是不同的，变化幅度也许会很大，甚至灭绝为零。当一些生境斑块的局域种群发生灭绝时，使此生境斑块成为此种群的空白生境斑块，其他生境斑块的生物个体会重新侵占，于是出现了局域种群的灭亡与“再生”动态过程。集合种群动态是研究被占据生境斑块比例随时间变化的过程。

Levins(1969：237-240)将p(t)定义为t时刻已经被一个种所占据的生境斑块的数量与总的生境斑块数量之比。如果以H表示总的生境斑块的数量，h(t)表示t时刻已被占据的生境斑块的数量，则$p\left(t \right) = \frac{{h\left(t \right)}}{H} $。决定一个集合种群动态的两个最基本的过程是局域种群的灭绝和新的局域种群的建立。Levins将与一个集合种群动态有关的个体和种群过程都浓缩在两个关键参数e和m之中。e是局域种群的灭绝率，而m是一个与扩散个体侵占空白的生境斑块有关的参数。作为一种最简单的情形，Levins假定：①物种生存的生境斑块在生态学上是完全相同的；②占据这些生境斑块的局域种群的状态被定义为K(生境斑块的环境容量)或0(灭绝)；当一个生境斑块被一个局域种群所占据时，该局域种群的大小就被定义为K，而生境斑块内的局域种群灭绝时，对应于该生境斑块的局域种群大小就抽象地定义为0；③局域种群的动态是被忽略的；④个体在不同生境斑块之间的迁移过程是完全相同的；⑤新的局域种群的建立速度不仅与集合种群的大小p成正比，而且也与尚未被占据的生境斑块的比例1-p成正比；⑥为了忽略样本随机性对集合种群动态的影响，假定生境斑块的数量是充分大的。根据这6条假定，一个集合种群大小的动态可以表示为：

$ \frac{{dp}}{{dt}} = mp\left({1 - p} \right) - ep $

(1)

这就是著名的Levins模型。其中，m、e分别为侵占和灭绝系数。$1 - \frac{e}{m} $表示生境斑块总环境容量。当$ \frac{{dp}}{{dt}} > 0$，即当$0 < p < 1 - \frac{e}{m} $时，集合种群未达到环境容量，趋于增加；当$\frac{{dp}}{{dt}} < 0 $，即当$ p > 1 - \frac{e}{m}$时，集合种群超过环境容量，出现密度制约等，趋于减少；当$ \frac{{dp}}{{dt}} = 0$时，即当$ p = 1 - \frac{e}{m}$时，集合种群趋于稳定。在稳定点附近，如e≥m，p≤0，意味着集合种群灭绝；如e < m，p>0，集合种群继存。

二、将集合种群理论引入城市贫民窟社会学研究的可行性 (一) 在城市贫民窟研究中引入集合种群理论是遵循城市生态学研究传统的

西方社会学研究中现在很重视引入其他学科的理论内容来丰富拓宽社会学研究的内容。“当前，功能主义方法正在对旨在提高社会复杂性的长期进化趋势进行理论化。其他两种方法(影响社会学理论的生物学思想，即生态学和基因学)，在两次世界大战之间和本世纪中叶的几十年里，也以新的创造性的方式得到了扩展。”(特纳，[1998]2001：91)生态学作为研究有机体和其周围环境关系的理论，受到了社会学家的青睐。在美国，一些社会学家把生态学的一些理论引入到社会学理论的研究中形成了著名的芝加哥学派，“芝加哥学派的思想家们——伯吉斯(Ernest Burgess)、哈里斯(Chauncy Harris)、霍伊特(Homer Hoyt)、麦肯齐(Roderick McKenzie)、帕克(Robert Park)、厄尔曼(Edward Ullman)、沃斯和他们的学生——非常有意识地借助了正在从生物学中兴起的生态学次级领域。”(同上：92) 20世纪上半叶，西方社会学界把斯宾塞和迪尔凯姆关于人类社会组织生态的宏观观念简化为城市社会过程的中观分析；随后，又出现了开始于霍利(Amos Hawley)的宏观层次理论，然后转向城市生态学，并最终成为组织社会学的理论时期。早期的芝加哥学派把城市区域看作为一种社会文化生态系统，提出了一些城市生态学模型，这些模型把生物学关于竞争城市空间和资源导致的“选择”过程的思想与社会文化动力学联系起来。在霍利把城市生态学提升到宏观层次的过程中，城市生态学中一些可行、鲜明的中观层次的理论方法被保留下来，空间过程研究受到了重视。“为重新改为空间过程研究，理论家寻求解释诸如定居规模、居住区人口集中程度、居住区地理扩张的比例和形式，以及居住区之间联系的性质这样一些变量。”(同上：114)集合种群是种群生态学的一个重要概念，它所描述的是生境斑块中局域种群的集合，这些局域种群在空间上是离散的，彼此间通过生物个体的扩散而相互联系构成集合种群；集合种群理论比较适合用来研究景观呈斑块化的种群的空间分布及其动态变化。

城市贫民窟问题是城市社会学的一个重要研究对象，若城市贫民窟及其居住者满足集合种群理论的应用条件，那么在城市贫民窟的社会学研究中引入集合种群理论，可看作是对城市生态学研究传统的继承，把对城市贫民窟居住者的空间过程研究纳入到自己的视野之中。

(二) 城市贫民窟及其居住者满足集合种群理论研究所要求的条件

关于城市贫民窟的定义有很多种，本文定义的贫民窟有两种：①房产所有权归属于居住者的贫民窟。社区人居环境恶劣，居住者虽有房产的所有权，但房产不具有高额的转让价值从而使居住者永久性脱离社会底层的角色，居住者大多为本地人，收入低于当地最低生活标准，社区存在贫民文化。像这样的贫民窟，例如国企工厂倒闭后遗留的职工居住区，许多职工不能找到正式的工作，收入来源很少并且不稳定。②房产所有权不属于居住者的贫民窟。社区人居环境极为恶劣，社区物业管理混乱或根本就没有物业管理，越轨社会现象严重，居住者不具有房产的所有权，居住者大多是外来务工人员，靠租金居住并且居住期不稳定，收入水平低且不稳定，亦存在贫民文化。

集合种群理论的研究对象是集合种群，研究的内容是被局域种群占据的生境斑块比例随时间的变化过程。在城市贫民窟社会学研究中可否引入集合种群理论，关键在于城市贫民窟中的居住者是否可以被视同为一个经典的经典种群，换言之，关键就是看城市贫民窟中的居住者是否满足经典集合种群的四个条件。

首先，城市中的贫民窟显然是以离散的形式存在的，而贫民窟以相对较低的租金和距离贫民收入来源地较近等优势吸引了贫民的入住。

其次，无论在哪块贫民窟的居住者，有人可能会通过社会流动机制产生向上的流动，脱离贫民阶层，从而永久性或暂时离开贫民窟。本文将贫民窟居住者向上的社会流动脱离贫民窟以及外城市流入的居住在贫民窟的人群离开贫民窟前往其他城市称之为“死亡”；相反，原先在社会分层中居于中上层的一些人群由于向下流动被迫入住到贫民窟以及由外城市流入人群入住贫民窟称之为“再生”；在不同贫民窟之间的流动称之为“扩散”。死亡和再生可以看作为是在贫民窟中形成的，因为他们或是脱离了贫民窟(以前是在贫民窟居住，但现在从此贫民窟消失了)，或是进入到贫民窟(以前不是在贫民窟居住，但现在在此贫民窟出现了)。

再次，同一座城市，贫民窟之间不会因相隔遥远而隔离贫民间的扩散。因为城市交通便利，当一块贫民窟聚集规模和人口密度临近和超出此社区的环境容量(即前文所说的$ K = 1 - \frac{e}{m}$)时，贫民的扩散则更多地受扩散目的地收入状况和居住状况的影响，受距离影响会很小。

最后，各个贫民窟不会出现动态同步。这一点是显而易见的，贫民窟中不会出现所有的人同时向上流动，也不会出现所有人同时向某一贫民窟扩散的现象。

从以上分析可以看出，城市贫民窟的居住者满足Hanski认为的一个经典的集合种群应该具备四个标准，可以被视同为是一个集合种群，各个贫民窟的居住者可以被视同为是一个个的局域种群，每个贫民窟本身可以被视同为此局域种群的生境斑块。从而使城市贫民窟及其居住者满足集合种群理论研究所要求的条件，这样在理论研究中就可以把集合种群的理论和Levins模型应用于城市贫民窟社会学研究中。

三、将集合种群理论引入到城市贫民窟社会学研究中的几点问题

因为集合种群理论模型的重要应用是作预测，因此，对该理论模型的研究有利于今后对城市贫民窟的研究深入到量化分析的层次。但是任何模型的引入不仅要注意模型本身的合理性问题和引入的可行性问题，而且还要注意，在城市贫民窟问题的社会学研究中，对模型予以应用过程中的“道德中立”问题和根据社会调查实际需要对原模型进行适当处理问题，以便于解决在对城市贫民窟社会调查过程中遇到的可行性问题(而不是指理论的可行性问题)。

(一) 引入集合种群理论模型研究城市贫民窟本身并不是“道德中立”的

利用集合种群理论来研究城市贫民窟，从形式上说，似乎毫无疑问是“道德中立”的，因为不同贫民窟间居住者的扩散转移是客观现象，集合种群的大小表示空白生境斑块¹数量占总的生境斑块数量的比例，集合种群动态是描述集合种群在不同时间的大小动态变化，这些都是可以量化的。但是，形式上的客观中立，并不能掩盖实质上存在的价值判断取向问题。因为我们在应用模型前只承认了居住者扩散转移的现状，而忽略了迫使居住者扩散转移、“死亡”、“再生”等现象背后社会力量运作的合理性问题。正如M.韦伯([1917]1999：144)在《“道德中立”在社会学和经济学中的意义》一文中所言的“这是从事实陈述中所推演出的一个难以令人接受的价值判断，即使我们暂时忽略由这一价值判断所得出的结论的含混性也是如此。一旦我们开始讨论(维护或“促进”国家的)手段问题，这种含混性无疑会立即明显地凸现出来”。贫民不是由城市化和社会分层造成的，这种社会现象只是后者的内容，而不是后者的结果，说到底是国家的再分配机制不合理的产物，而应用集合种群的前提是忽略这种问题的讨论，它承认国家再分配机制的合理性，起码不抵触，如果必须讨论就只是对集合种群动态结果的溯源讨论了。

(二) 关于Levins模型的假定在城市贫民窟社会调查中应用存在的问题

根据Levins模型的假定②，占据这些生境斑块的局域种群的状态被定以为K(生境斑块的环境容量)或0(灭绝)。当一个生境斑块被一个局域种群所占据时，该局域种群的大小就被定义为K；而生境斑块内的局域种群灭绝时，对应于该生境斑块的局域种群大小就抽象地定义为0。实际上，每块贫民窟不能按此定义来计算p，因为假定②暗含着只要有空白生境斑块，一旦生物个体侵占，就立即能够全部侵占达到此生境斑块的环境容量K。对于面积较大的空白贫民窟而言，贫民的入住是渐进的，不是短时间迅速完成的；并且每块贫民窟的环境容量不是定值，因为人类社区是一个社会文化生态系统，不像生物界当密度过高(超过环境容量)会出现你死我活的密度效应，人类可以通过文化手段使实际的居住人数在K值附近波动；另外上文对于城市贫民窟虽有界定，但界定标准毕竟不一，界定充斥着人的主观性，对于将一个人居环境较差的社区归属于贫民窟问题，不同的人可能会有不同的答案。为了解决以上几个问题，笔者提出以下解决办法。

第一，对于贫民窟居住者尚未达到环境容量如何计算p值的问题。

建议利用居住比例作为计算p值的依据。例如：甲市认定的贫民窟有4块，分别为slum1、slum2、slum3、slum4，相应的环境容量(可以理解为能够提供居住的人数)分别为500人、200人、150人、250人，其中除slum4只住了100人外，其它三块均已达到环境容量。此时，$ {\rm{p}} = \frac{{1 + 1 + 1 + 0.4}}{4} = 0.85$。

第二，对于贫民窟环境容量的确定问题。

建议使用模糊数学(贺仲雄，1983：52-72)的方法确定环境容量。通过模糊统计调查建立环境容量的隶属度函数。

图 1中，当贫民窟居住者人数为200人时，隶属度等于1，就可以认定贫民窟已经达到环境容量；当贫民窟居住者人数20人时，虽然有人居住但人数很少，隶属度为0，但仍把此贫民窟视为空白的生境斑块；当贫民窟居住者人数处于20人和200人之间的，隶属度界于0和1之间，按隶属度确定贫民窟环境容量的大小。图 1只是假设了一块贫民窟的情况，作为确定贫民窟环境容量的解决办法。

第三，对某特定社区是否属于贫民窟的判定问题。

同样建议使用模糊数学的方法确定社区是否属于贫民窟。

图 2表示当贫民窟居住者家庭月平均收入≥4，000元时，隶属度等于0，就可以认定此社区不属于贫民窟；当贫民窟居住者家庭月平均收入≤560元时，隶属度等于1，就可以认定此社区完全属于贫民窟；当贫民窟居住者家庭月平均收入处于560元和4，000元之间时，隶属度界于0和1之间，按隶属度确定贫民窟的归属。图 2只是假设了某一城市的情况，并且仅仅用了家庭月收入水平作为计算隶属度的依据，根据研究城市的不同情况，还可以采用其他依据。

试以一假设的数据为例，对贫民窟环境容量确定问题和社区是否属于贫民窟的制定问题作如下说明。假定乙市具有人居环境恶劣的社区三块，分别为community1、community2和community3，相应的环境容量隶属度为0.80、0.90、1.0，相应的贫民窟隶属度为0.75、0.60、0.80，则$ p = \frac{{0.80 \times 0.75 + 0.90 \times 0.60 + 1.0 \times 0.80}}{{0.75 + 0.60 + 0.80}} = 0.9$。

四、将集合种群理论引入到城市贫民窟研究的示例

为了更好的证明集合种群理论在城市贫民窟问题的社会研究中的价值，本文将运用集合种群理论的研究范式对北京市的贫民窟进行研究。鉴于缺乏系统的北京市城市贫民窟基础数据，笔者建议作如下处理：将北京市常住人口²居住环境作为贫民现实和潜在的生境，而将外来常住人口³总数近似地看作是北京市城市贫民总数，于是外来常住人口总数与常住人口总数之比就代表了贫民窟居民实际占据的生境斑块数占总斑块数的比例p值。作此处理的合理性在于：

第一，北京市贫民窟居民主要由外来贫民和北京市本地贫民两部分组成，外来常住人口中绝大多数都属于低收入者，居住在北京的较富裕的外来人员(包括一些外地驻京机构人员、在京有较大投资的外地人以及在一些高收入行业就业的外地人员)在外来人口总数中占少数(史柏年，2005：11-12)，外来人口大多数居住在生活环境恶劣的社区，近年来的报道显示，北京市的外来人口(包含居住半年以下的人口)有半成以上是租房生活，其余大部分居住在单位提供的住房和工棚，只有少数居住在自购和自建房屋，极少数外来人口住在旅馆饭店(出差、旅游)、医院(就医)等。⁴由于单位提供的住房大多数位于靠近单位低廉的社区或被贫民窟包围的破旧的单位宿舍楼，贫民文化盛行，这样的居住环境和贫民窟近乎无异，而工棚的居住生活环境也是有目共睹，肮脏拥挤，比贫民窟还要差，可以说北京外来常住人口绝大多数都居住在贫民窟和隶属贫民窟程度非常高的社区里。

第二，由于社会经济发展过程中提供的就业机会是一定的，外来常住人口中非贫民在京从事中高收入的职业，必然相应造成一批北京本地人失去中高收入的就业机会。不妨假设北京市本地贫民的总数正好等于外来人常住人口中非贫民人口总数。实际上，由于北京市原本就有一批贫民的存在，北京市本地贫民的总数很可能大于外来常住人口中非贫民人口总数，但在本文研究中为了使研究具有简洁性，同时因为外来常住人口中贫民比重大，不妨作了大胆的假设，忽略了这种误差。

第三，虽然常住人口中既有居住在城市的居民，也有居住在乡村的居民，但是由于北京城市化水平较高，在社会经济发展过程中，由于交通、住房建设投资加大等原因，乡村很容易成为外来人口居住的“乐园”，沦为贫民窟。比如北京大兴区黄村镇的南成庄和李庄近年来由于周边交通的发展，外来人口纷纷涌入(本文的术语称为“侵入”)，日渐变成贫民聚集的社区。在这里外来居民生活环境恶劣，居住空间狭小，卫生条件很差，收入不稳定，贫困文化蔓延，成为两个准贫民窟(隶属度较高)。

第四，在城市化过程中，穷富居民区演替频繁，一些曾经是富人引以为荣的居住区若干年后可能成为贫民窟，而现有的贫民窟可能因为房地产业的发展摇身一变成为富人的别墅区。因此，常住人口的居住环境可以看作是可供贫民居住的生境斑块，目前非贫民的社区是没有住着贫民的空白生境斑块。那么外来常住人口总数与常住人口总数之比的涵义，就不单单是指在北京市居住满半年的一定数目人群中有多少是没有本地户籍的外来人群，还表示贫民对可供居住的环境占有了多少。

现在利用北京市1978年到2005年的人口数据(参见表 1)，来分析贫民的集合种群动态变化。图 3更直观地显示p值的变动情况。

(一) 直接采用Levins模型进行处理

Levins模型经过变形可以转化为：

$ P\left(t \right) = \frac{K}{{1 + \left({\frac{k}{{{P_0}}} - 1} \right){e^{ - rt}}}} $

(2)

其中$ K = 1 - \frac{e}{m}$，r=m-e，p₀为集合种群初始值，利用表 1的p(t)的观察值使用Mathematic 4.1进行拟合。拟合的具体方法是：首先将方程化为$\frac{1}{{p\left(t \right)}} = \frac{1}{K} + \left({\frac{1}{{{p_0}}} - \frac{1}{K}} \right){e^{ - rt}} $形式，r从0到1选取0.0001为步长，在这10001个函数中找出使目标函数$ L = \mathop \sum \limits_{i = 1}^{10001} {[p({t_i}) - {y_i}]^2}$最小的一个拟合函数，这个函数同时还要满足k∈[0，1]。经过拟合，满足要求的函数式为：

$ {\rm{p}}\left({\rm{t}} \right) = \frac{1}{{1.00086 + 49.5953{e^{0.0862t}}}} $

(3)

L=694.191，K= 0.999914，m=0.0862741，e=0.000074132，p₀=0.197643。拟合得出的集合种群的初始值p₀指的是t=0时的p值，最终衡量拟合效果的决定系数已经达到了0.819214，拟合效果较为理想。图 4是将P(t)的函数与不同时点p的观察值之间的比较：

由图 4可以看出利用Levins模型来拟合不同年份的外来常住人口占常住人口的比值取得了较好的效果。如果城市贫民窟居民的变动趋势是符合集合种群变动趋势的，那么利用公式1来拟合不同时点城市贫民窟占总的生境斑块比例的数据是可行的，而利用不同年份的外来常住人口占常住人口的比值作为城市贫民窟占总的生境斑块比例的近似值究竟可不可以，也要看它是否适应Levins模型，0.81924的决定系数远远大于0.5，至少说明外来常住人口占常住人口的比值变动符合Levins模型，如果没有证据表明外来流动人口恰巧也属于集合种群，那么完全可以说明用外来常住人口占常住人口的比值作为城市贫民窟占总的生境斑块比例的近似值是可行的，即使两者不相等，至少两者也是正相关的。

由拟合求得的公式3具有重要的现实意义，它既可说明城市贫民窟居民向非贫民窟扩散的程度和自身灭绝的程度，用来预测城市贫民窟居民数量的增长趋势，还能在此基础上，假设侵入参数和灭绝参数发生变动时，p值会如何变化，为科学解决城市贫民窟问题提供量化依据。以2008年(即t=31)为例，m和e的不同组合会对p值有何影响(2008年不同m和e组合导致p(t)变动的一些具体数值参看表2)。

这样，通过Levins模型就可以推算贫民窟总的环境容量K和预测未来贫民窟居住者扩散动态。另外，拟合过程求出的m和e不仅对于求解方程有益，而且，更为重要的是它们也可以被粗略地当作社会分层向上和向下流动的一个重要指标，这对于社会分层的量化研究具有十分重要的意义。e实际上也由两部分构成：一是“死亡”系数，它又由向上流动系数e₁₁和外来贫民流出系数e₁₂构成；二是向外扩散系数e₂。其中向上流动系数e₁₁表示在社会流动机制中向上流动的人群脱离贫民窟在Levins模型中的灭绝参数值，外来贫民流出系数e₁₂表示外城市流入的居住在贫民窟的人群离开贫民窟前往其他城市在Levins模型中的灭绝参数值，向外扩散系数e₂表示贫民窟的居住者迁移到本市其他贫民窟在Levins模型中的灭绝参数值。m实际上由两部分构成：一是“再生”系数，它又由向下流动系数m₁₁和外来贫民流入系数m₁₂构成；二是向内扩散系数m₂。其中向下流动系数m₁₁表示在社会流动机制中向下流入贫民层的人群入住贫民窟在Levins模型中的侵占参数值，外来贫民流入系数m₁₂表示由外城市流入人群入住贫民窟在Levins模型中的侵占参数值，向内扩散系数m₂表示由其他贫民窟的居住者迁移而来的人群入住贫民窟在Levins模型中的侵占参数值。真正能够反映在社会分层中向上和向下流动的指标是m₁₁和e₁₁。在一些对流动人口管理较为严格的城市，可以根据暂住证登记的外来流动人口流动信息，在计算p值时，扣除外来流动人口，也就是不算调查期内的新增外来流动人口的迁入和迁出，这样拟合出的e和m实际上包含了e₁₁+e₂和m₁₁+m₂；如果在调查工作中比较细致彻底的话，还应该对贫民窟之间的人口扩散，即贫民仅在城市内各贫民窟之间迁移作一番记录，在计算p值时，扣除扩散的人口，也就是将调查期内扩散的人口放回原来的扩散始发地计算环境容量，这样拟合出的e和m实际上只包含了e₁₁和m₁₁。

(二) 调整基础数据后再采用Levins模型进行处理

利用表 1的数据直接采用Levins模型进行拟合求出相应参数的方法，虽然可以反映P值的长期变动趋势，但是对于局部时间段数据值出现停滞(1986-1994年p值变动不大，围绕这9年的均值0.053348上下波动，幅度很小)和倒退(1995-1998年p值反而从0.1445降到0.1237，到1999年略有提高0.1252)的现象，无法保证进一步提高拟合优度(看决定系数)。1995-1999年数据的p值的变动与较高的基数(五年数据都超过0.12)相比，其实也是一种停滞现象，确切地说是趋向某一平衡区域的现象。为了减少这种停滞现象对拟合优度的影响，可以采用累加拟合再累减调整数据的办法，以期达到更好的拟合效果。将表 1中p值的数据累加，得到表 3：

选取一元三次函数对p的累加值进行拟合，得到：

$ p\left(t \right) = 0.02624611 + 0.01140798t - 0.0005973{t^2} + 0.00011983{t^3} $

(4)

决定系数达到0.999998，并且在所给区间(即t从1到28)内∑P(t)图形始终处y(n)=n(n=1，2，…，28)之下，拟合效果十分理想，见图 7：

然后利用公式4得到的t从1到28的累加值数据进行累减，得到表 4：

再利用公式2对累减调整后的p值进行拟合，得到：

$ p\left(t \right) = \frac{1}{{1.0045 + 119.975{e^{ - 0.1395t}}}} $

(5)

理论值和调整后的实际观察值的比较见图 8：

L=421.495，K= 0.99552，m=0.140128，e=0.00062775，p₀=0.00826586。最终衡量拟合效果的决定系数达到了0.977877，拟合效果比原来(见本文第78页)求得的0.819214理想的多。两组m和e虽然相差很大，但是m和e只是一种参数，单独的m和单独的e都没有实际意义的，只有将两者综合起来才能真正表示侵入与灭绝程度，并不影响预测最大环境容量K=1-e/m。原来(见本文第78页)求得的K= 0.999914和此处求得的K= 0.99552相差不大，都接近1；原来(见本文78页)求得的r=m-e=0.0862，而此处求得的r=m-e=0.1395，说明两者在预测p值变化方面存在不同，下图将公式3和公式5函数增长趋势进行了比较：

p值调整前和调整后对于拟合结果产生了不同影响，产生这种差异的原因在于对p值的调整，而调整拟合的依据在于假设了表 1的数据存在的数据停滞为随机变动，利用一定的数据手段消除这种随机变动使之更符合连续增长的规律变动。

(三) 似Allee效应(Allee-like effect)对城市贫民集合种群的影响分析

在集合种群水平上，当生境斑块的侵占比例低于一定值时，侵占率的增加率会随侵占比例的减少而减少，且达到一临界值时，侵占率呈负增长而导致整个集合种群灭绝，这种现象被称为似Allee效应(Amarasekare，1998：298-302)。城市贫民窟居民既然可以被看作是集合种群，那么当城市贫民对可供居住的生境板块侵占比例低于一定值时，也会出现似Allee效应，也就是说，如果有关部门通过一系列手段减少城市贫民窟的存在，使其降低到一定水平，低于临界值时，贫民窟居民这个群体可以自行解除。当然，这不是否定社会分层的客观存在，更不是说减少贫民窟数量和规模就可以消除贫民的存在，而是说通过降低贫民窟在城市的占有率可以消除贫民聚集形成贫民窟这种现象。如果城市贫民聚集在贫民窟，侵占非贫民窟社区，会加剧贫民群体的数量增长，不利于社会和谐进步。这种理论推导其实也符合贫民窟的贫困文化会抑制贫民的向上流动等社会学的一些基本观点。为了分析贫民窟居民负增长的临界值，下面给出了引入似Allee效应后的Levins模型(周淑荣，2004：40-46)：

$ \frac{{dp}}{{dt}} = m\left({1 - p} \right)\left({\frac{p}{{p + a}}} \right)p - ep $

(6)

p/(p+a)表示似Allee效应，a表示效应常数。在初值、侵占参数和灭绝参数一定的情况下，a值在一定范围内的变化并不能改变最终的环境容量K值，它可以改变到达K值的时间长度。当a值超过一定临界值时，会使增长趋势发生变化。将原来(见本文第78页)求得的参数m和e代入公式6，以2005年的实际p值为初始值，用欧拉折线法进行测算，求得a的临界值在(207.32，207.33)之间(可参看图 10)。

图 10横坐标为时间t，纵坐标为p值。甲图a=207.32，由于似Allee效应，p值虽然还是趋于上升，但在150年的变化非常之小，增长的幅度小于0.000001，且纵坐标上p值几乎没有什么变化，可以把0.232315看成是一个不稳定的平衡点；乙图a=207.33，由于似Allee效应，p值已经开始趋于下降，但是由于a没有远远大于(207.32，207.33)之间的临界点，所以下降幅度不大，也近乎稳定在0.232315。

公式6初值p₀的临界点为：

$ {p_{2, 1}} = \frac{{m - e \pm \sqrt {{{\left({m - e} \right)}^2} - 4mea} }}{{2m}} $

(7)

当p₀∈(0，p₁)∪(p₂，1)时，dp/dt < 0，p(t)为负增长，趋于灭绝；当p₀∈(p₁，p₂)，dp/dt>0，p(t)为正增长，趋于K值。

当初值p₀确定时，使其成为临界点的a值称为a_c，使初值的临界点等于K/2的a_c称为a_max，而实际的a值称为a_tr。

$ {a_c} = \frac{{\left({m - e} \right){p_1} - mp_1^2}}{e} = \frac{{\left({m - e} \right){p_2} - mp_2^2}}{e} $

(8)

$ {a_{\max }} = \frac{{{{\left({m - e} \right)}^2}}}{{4me}} $

(9)

当参数m和e确定时，对于给定任意一个初值，都有一个使其成为临界点的a_c存在，见图 11：

m=0.086274132，e=0.000074132，当初值p₀=0.2323时，a_c=207.3143；当初值p₀=K/2=0.49957时，a_c取到最大值a_max=290.4479。

与此同时，对于一个给定的a值，有p₁和p₂与之对应。表 5给出了部分a值对应的初值的临界点：

当a_tr>a_c时，a_tr越小，在相当长的时间内曲线越贴近临界点上升，上升幅度小，a_tr越大，在较短的时间内曲线上升程度越大，相当于缩小曲线上升区间(p₁，p₂)到一个更小的区间(p_tr1，p_tr2)，使初值p₀的临界点接近(p₁+p₂)/2而远离两个端点p₁和p₂，这样原来的临界点p₁和p₂就不再是曲线升降初值的临界点，而是包含在曲线下降区间(0，p_tr1)∪(p_tr2，1)内，但是a_tr不可能无限大，因为当a_tr≥a_max时，(p₁，p₂)已经缩小为一点K/2，此时dp/dt=0，曲线上升程度达到最大值，a_tr超过a_max无意义。当a_tr < a_c时，a_tr越小，在相当长的时间内曲线越贴近临界点下降，下降幅度小，a_tr越大，在较短的时间内曲线下降程度越大。

可见当m和e确定时，a值决定了集合种群趋于灭绝所要求的初值临界值，a值越大，p₁、p₂越接近K/2=0.49957。从公式6来看，引入a值可以使曲线减缓上升势头。在较长的时期内，如果初值接近p₁、p₂，则曲线基本处于停滞状态，则p(t)变化非常之小，变化近乎为0，如图 9所示，a值很大，p₁=0.23230915609，而初值p₀=0.2323，两者十分接近，所以曲线增长非常缓慢；如果初值p₀远远大于p₁(a值非常小)，接近K/2，曲线上升最快，短期内p(t)趋近于K，参看图 12：

a= 0.1决定了p₁、p₂远离K/2，若p₀=K/2，曲线上升趋势最快，初值p₀=0.49957，p(t)在t=100时就上升到0.9952，接近达到最大环境容量。

既然a值如此重要，那么如何求得a_tr呢？在似Allee效应的相关文献中并没有具体的说明，有些只是人为设定a值为计算机模拟提供可能。在本文的研究中，笔者提出一种利用社会调查对a_tr进行近似计算的方法，以供参考。

$ {a_{tr1}} = \mathop \sum \limits_{i = 1}^s \frac{{{K_i}}}{{\mathop \sum \limits_{i = 1}^s {K_i}}}{\alpha _i}{a_c} $

(10)

其中：$ {\alpha _i} = \frac{{({K_i}{p_{pr}} - {k_{bi}}) - {k_{pi}}}}{{{K_i}{p_{pr}}}}$，表示第i个社区本地居民的排斥系数；K_i表示第i个社区的最大环境容量；p_pr表示进行社会调查时的总的外来常住人口占总的常住人口的比例；k_bi表示调查前已经居住在第i个社区的外来居民数量，要求k_bi≤K_ip_pr；k_pi表示第i个社区本地居民允许外来人口入住的数量，k_pi∈[0，K_ip_pr-k_bi]；$ {a_c} = \frac{{\left({m - e} \right){p_1} - mp_1^2}}{e} = \frac{{\left({m - e} \right){p_2} - mp_2^2}}{e}$。

当a_tr < a_c时，社区本地居民允许的外来人口入住的数量越多，p值越接近初值临界点0.2323，排斥的越少，a_tr越小，曲线越贴近临界点增长。

例如，丙市某一社区2005年居住1，000人，已知p_pr=0.2323，其中社会调查前已经居住外来人口150人，社会调查问卷的调查基数应该为1000×0.2323-150=82(人)，调查该社区常住居民，当有82人能会进入该社区居住时，他们认为进多少比较适宜，如果调查的居民认为的可以进入的外来人口数量的均值为32人，则α_i=(82-32) / 232=0.2155，此社区的a_tri=α_ia_c=0.2155×207.3143=44.676。将调查的s个社区的a_tri进行加权平均就可以得到a_tr1。

$ {a_{tr2}} = \mathop \sum \limits_{j = 1}^q \frac{{{K_j}}}{{\mathop \sum \limits_{j = 1}^q {K_j}}}{\beta _j}{a_c} $

(11)

其中：${\beta _j} = \frac{{{k_{bj}} - {k_{dj}}}}{{{K_j}{p_{pr}}}} $，表示第j个社区本地居民的保留系数；K_j表示第j个社区的最大环境容量；k_dj表示第j个社区本地居民对社会调查前已经居住在此社区外来居民的意愿驱赶人口，k_dj∈[0，k_bj-K_jp_pr]；k_bj表示调查前已经居住在第j个社区的外来居民数量，要求k_bj>K_jp_pr。

$ {a_{tr}} = \frac{{\mathop \sum \limits_{i = 1}^s {K_i}}}{{\mathop \sum \limits_{i = 1}^s {K_i} + \mathop \sum \limits_{j = 1}^q {K_j}}}{a_{tr1}} + \frac{{\mathop \sum \limits_{j = 1}^q {K_j}}}{{\mathop \sum \limits_{i = 1}^s {K_i} + \mathop \sum \limits_{j = 1}^q {K_j}}}{a_{tr2}} $

(12)

其中：当某社区的β_ja_c>a_max时，令β_ja_c=a_max，因为a_tr>a_max无意义；$ {a_{\max }} = \frac{{{{\left({m - e} \right)}^2}}}{{4me}}$。

当a_tr>a_c时，社区本地居民心理驱赶的外来人口入住的数量越多，p值越接近初值临界点0.2323，保留的越少，a_tr越小，曲线越贴近临界点降低。

例如，丁市某一社区2005年居住1，000人，已知p_pr=0.2323，其中社会调查前已经居住外来人口332人，社会调查问卷的调查基数应该为332-1000×0.2323=100(人)，调查该社区常住居民，当有100人居住该社区居住时，他们认为保留多少人比较适宜，如果调查的居民认为的可以保留的外来人口数量的均值为20人(表明他们心理驱赶了80人)，则β_j=(332-80) / 232=1.0862，此社区的a_trj=β_ja_c =1.0862×207.3143=225.185。将调查的q个社区的a_trj进行加权平均就可以得到a_tr2。

在上述计算a_tr的过程中，假设了不同调查时点所得到的实际的似Allee效应常数是不变的。如果在调查过程中出现a与p(t)存在明显的正相关关系，这就是一种非常特殊的情形，a不再是一个常数，而是一个变量，但它仍然符合似Alllee效应，只是它影响了最大环境容量K值。不妨令a=cp(t)(c为比例常数)，则公式6变为：

$ \frac{{dp}}{{dt}} = m\left({1 - p} \right)\left({\frac{1}{{1 + c}}} \right)p - ep $

(13)

此时相当于把侵占率减小为原来的1/(1+c)，c最大取值为m/e-1=1162.79，图 13反映了c值不同取值对集合种群动态的影响：

坐标原点为(28，p(28))，即以2005年为基期，在此基础上c分别取0，1，2，3，4，5共6个数据，图中从上到下的曲线依次表示了代入这些值进入公式13后的函数图像。

由图 13明显可以看出，c值越大，函数增长减缓，相应的最大环境容量K也变小了。到了一定程度甚至是负增长(c=1000，c=1100，详见图 14)，当c取到最大值时，K=0。符合似Allee效应的要求。

表 6给出了c取不同值时对集合种群动态变化影响的具体数值，表 7给出了它们相应的最大环境容量K=1-e(c+1)/m以供参考。

似Allee效应的现实意义也是很明显的，比如目前社会上有一部分人提出建立富人的居住区让贫富分野更加明显可以促使社会竞争进步的观点，其实是非常令人怀疑的，如果依此观点此进行城市规划，造成的结果是城市中富人区被压缩到很小的部分而其它大部分城区城市贫民窟林立，根据本文第四部分推算2028年贫民人数在北京市常住人口中就可能分别达到62%(公式3推算)和90.7%(公式5推算)，财富分配不均、大多数人生活在人居环境恶劣的贫民窟，那么还怎么谈得上社会和谐文明进步呢？

五、结论

城市贫民窟的居民符合Hanski认为的一个经典的集合种群应该具备4个标准，属于集合种群，所以可以利用集合种群理论对其进行研究，掌握其时空分布状态。为了印证集合种群理论及模型在城市贫民窟问题的社会研究中的可行性，本文把北京市1978年到2005年外来常住人口数量与常住人口数量的比值作为p值的近似值，采用Levins模型进行拟合，得到了较好的效果，超过0.8的决定系数也在一定程度上证明了这种近似计算的合理性。另外，本文在研究城市贫民集合种群水平上的似Allee效应中提出了一种近似计算效应常数a_tr的方法，展示了集合水平上的似Allee效应在社会科学研究领域中的现实意义。然而本文并不是完美无缺的，在数据拟合过程中，对于数据停滞问题，虽然采用了累加累减法消除了这种影响，但是对于数据明显存在四个不同的水平(特别在第二个水平，数据在9年中几乎相等)，产生这种现象的原因有待相关研究的进一步解释；而由此拟合的两个不同参数的模型哪一个更符合实际，有待实践的进一步检验。

注释：

1 在城市贫民窟研究中只能是看作近似空白生境斑块，下文将进一步说明。

2 在京居住半年以上的人口，包括有北京户籍的人口和无此户籍的人口。

3 在京居住半年以上的没有北京户籍的人口。

4 北京市统计局.北京市2002年外来人口动态监测调查公报[N].北京日报，2003-02-12；北京市统计局.北京市2003年外来人口动态监测调查公报[N].北京日报，2004-02-24。