木材作为重要的建筑原材料之一，生长周期较长，其供应量及供应可靠性易受到诸多因素的影响，如自然环境、国内政策、国际政策等，导致其供应具有不确定性。一些动态网络优化模型通过考虑网络参数的波动，改善了传统静态优化模型对供应链网络不确定性考虑不足的局限性^[1]，但缺乏对供应链网络受到较大影响甚至发生中断的情形的刻画^[2]，之后学者们开始了对弹性网络的思考和研究。HUTCHISON et al^[3]将弹性定义为网络在中断期间维持其服务水平的能力，一些学者研究了有助于供应链中断后快速恢复的应急策略^[4-6]，而另一些学者则研究了考虑不确定性和中断风险的供应链网络优化模型^[7-9]。

由于木材供应链网络具有较经典供应链网络更为复杂的跨层级结构^[10-11]，其优化设计问题也受到了学者们的持续关注，但是已有研究大多针对确定性优化问题。例如，TRONCOSO et al^[12]研究了包含木材砍伐、设施选址以及木材运输三类决策的确定性木材供应链网络优化模型。KANZIAN et al^[13]用两个接续的运输模型描述了一个区域木材供应链网络优化问题。ABASIAN et al^[14]通过纳入设施的技术选择决策进一步丰富了木材供应链网络优化模型。CHEN et al^[15]通过将规划期划分为多个周期刻画了供应量的动态性，同时用三角模糊数描述了木材需求的不确定性，建立了木材供应链网络优化的动态模型，但没有考虑到木材供应的不确定性。

木材具有长、大、笨重的特点，运输量一般较大，即需求满足的来源较集中，这能够有效节约运输成本，但通常具有较低的弹性^[16]。随着我国木材需求量的不断提高，弹性木材供应链网络的构建成为了亟待解决的问题之一。然而，考虑供应失效的木材供应链网络优化研究仍十分鲜见。鉴于此，本研究针对木材供应链网络结构特点，利用随机规划方法，结合情景树分析构建弹性木材供应链网络优化模型，分析木材供应可靠性影响因素对供应链网络的影响，并通过比较确定性模型和弹性模型得出的最优木材供应链网络方案揭示从网络设计角度增加木材供应链网络弹性的途径，为弹性木材供应链网络设计决策提供工具和理论支持。

1 供应链网络弹性的评价指标

供应链网络特征表现出与网络弹性较强的相关性，DIXIT et al^[16]基于表征弹性网络行为的网络设计指标，如节点密度、网络连接度、网络规模等^[17]，提出了供应链网络弹性指标，该指标由4个网络特征指标组成，如式(1)。

$ R = \frac{{{C_{\rm{V}}}{N_{\rm{S}}}}}{{D{C_{\rm{T}}}}} $

(1)

式中：R为网络弹性；C_V为网络连接度，用所有供应点到所有需求点间的路径条数表示，网络连接度越高，供应链网络在中断后能保持的服务水平越高^[18]，故其与供应链网络的弹性成正比；N_S为网络规模，用网络中的节点个数和弧的条数之和表示，网络规模越大，在供应链中断后，采用额外的资源和路径充当缓冲的可能性越大，故网络规模越大，弹性越大^[19]；D为网络密度，定义为单位距离上节点的数量，网络密度越大，则局部中断事件对网络的影响越大，在中断时表现出的脆弱性更大^[20]；C_T为网络中心性指标，用平均节点度表示，供应点中心性较低的供应链网络具有更大的弹性^[21]。

2 考虑节点失效的弹性木材供应链网络优化模型 2.1 问题描述

研究对象为由供材点、木材物流中心以及需材点构成的单产品三级木材供应链网络，其中需材点的需求既可直接从供材点(伐区的砍伐点、港口、车站等)获得，也可以从木材物流中心获得。各供材点的供应量可通过科学预测获得，但其供应可靠性受到一些因素的影响，即供应点具有一定的失效风险。为了更好地贴近实际并增加模型的灵活性，在优化模型中引入弹性供应量，即当节点发生失效时，还可能通过使用额外的弹性供应成本提供少量的供应。同时，由于供材点失效后，需材点无法马上与新的供材点建立连接，于是木材流量只能在已建立连接的节点间发生。需材点为各类木材加工厂，如人造板厂、家具厂，应尽可能满足需材点的需求；同时在目标函数中引入缺货成本，在促进需求量被满足的同时允许存在一部分不被满足的需求量。需要从有容量限制的候选木材物流中心和供材点中进行选择，与需求点共同组成供应链网络中的节点，并进行节点间路径连接决策，形成最终的供应链网络，目标是使网络的期望总成本最低。

基于进口和本地两种木材来源，考虑4类可能影响木材供应可靠性的供材点失效事件，如表 1所示。综合运用概率分析和情景树分析法，可以得出供材点失效情景及其概率，图 1给出了一个分析示例。假设有4个供材点(M₁、M₂、M₃、M₄)，其中M₁为港口，M₂、M₃、M₄为人工用材林，因国内林业政策影响供应的概率为P_d，国际形势不出现影响供应的概率为P_g，不发生森林灾害的概率分别为P_{f, 2}、P_{f, 3}和P_{f, 4}。M₂、M₃位于区域Ⅰ，M₄位于区域Ⅱ，区域Ⅰ和区域Ⅱ不出现恶劣气候的概率分别为P_{c, Ⅰ}和P_{c, Ⅱ}。因此，M₁、M₂、M₃、M₄的失效概率分别为1-P_g、1-P_dP_{c, Ⅰ}P_{f, 2}、1-P_dP_{c, Ⅰ}P_{f, 3}和1-P_dP_{c, Ⅱ}P_{f, 4}；情景s₁~s₁₆的发生概率分别为情景树从M₁至M₄的各条分支上的概率的乘积。

2.2 随机规划模型

考虑节点失效的弹性木材供应链网络优化问题可以用以下的随机规划模型描述。

集合：I为供材点集合；J为木材物流中心集合；K为需材点的集合；S为情景集合。

参数：P_s为情景s发生的概率；c_ij为木材供应链网络中节点i与节点j间的单位运输成本；f_j为木材物流中心j的固定成本；γ为单位缺货成本；D_k为需材点k对木材的需求量；e_{c, i}为供材点i的单位弹性供应成本；R_i为供材点i的弹性供应量；M_{cap, i}为供材点i的正常供应量；D_{cap, j}为木材物流中心j最大的处理能力；E₁、E₂和E₃分别表示供材点与物流中心，物流中心与需材点、以及供材点与需材点之间的最小起运量；Y_{s, i}表示情景s下供材点i是否失效，等于1表示失效，否则等于0。

决策变量：Q_{s, ij}为情景s下供材点i到木材物流中心j的正常运输量；Q_{s, jk}为情景s下木材物流中心j到需材点k的正常运输量；Q_{s, ik}为情景s下供材点i到需材点k的正常运输量；Q_{s*, ij}为情景s下供材点i到木材物流中心j的弹性运输量；Q_{s*, ik}为情景s下供材点i到需材点k的弹性运输量；X_j为木材物流中心j是否被选择的二维变量，等于1表示被选中，否则等于0；l_{s, ij}为情景s下节点i和节点j之间是否存在连接，等于1表示存在，否则等于0。

目标函数：

$ \min = \sum\limits_{s \in S} {{P_s}} \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\sum\limits_{i \in I} {\sum\limits_{j \in J} {{c_{ij}}} } \left( {{Q_{s,ij}} + {Q_{s * ,ij}}} \right) + \sum\limits_{j \in J} {\sum\limits_{k \in K} {{c_{jk}}} } {Q_{s,jk}} + \sum\limits_{i \notin I} {\sum\limits_{k \in K} {{c_{ik}}} } \left( {{Q_{s,ik}} + {Q_{s * ,ik}}} \right)}\\ { + \gamma \left( {\sum\limits_{k \in K} {{D_k}} - \sum\limits_{j \in J} {\sum\limits_{k \in K} {{Q_{s,jk}}} } - \sum\limits_{i \in I} {\sum\limits_{k \in K} {\left( {{Q_{s,ik}} + {Q_{s * ,ik}}} \right)} } + \sum\limits_{i \in I} {{e_{c,i}}} \left( {\sum\limits_{j \in J} {{Q_{s * ,ij}}} + \sum\limits_{k \in K} {{Q_{s * ,ik}}} } \right)} \right.} \end{array}} \right\} + \sum\limits_{j \in J} {{f_j}} {X_j} $

(2)

Subject to

$ {\sum\limits_{j \in J} {{Q_{s,ij}}} + \sum\limits_{k \in K} {{Q_{s,ik}}} \le {M_{cap,i}}\left( {1 - {Y_{s,i}}} \right),\forall s \in S,i \in I} $

(3)

$ {\sum\limits_{j \in J} {{Q_{s * ,ij}}} + \sum\limits_{k \in K} {{Q_{s * ,k}}} \le {R_i},\forall s \in S,i \in I} $

(4)

$ {\sum\limits_{i \in I} {\left( {{Q_{s,ij}} + {Q_{s * ,ij}}} \right)} \le {D_{cap,j}}{X_j},\forall s \in S,j \in J} $

(5)

$ \sum\limits_{i \in I} {\left( {{Q_{s,ij}} + {Q_{s * ,ij}}} \right)} \ge \sum\limits_{k \in K} {{Q_{s,jk}}} ,\forall s \in S,j \in J $

(6)

$ \sum\limits_{i \in I} {\left( {{Q_{s,ik}} + {Q_{s * ,ik}}} \right)} + \sum\limits_{j \in J} {{Q_{s,jk}}} \le {D_k},\forall s \in S,k \in K $

(7)

$ {{Q_{s,ij}} + {Q_{s * ,ij}} \ge {E_1}{l_{s,ij}},\forall s \in S,i \in I,j \in J} $

(8)

$ {{Q_{s,jk}} \ge {E_2}{l_{s,jk}},\forall s \in S,j \in J,k \in K} $

(9)

$ {{Q_{s,ik}} + {Q_{s * ,k}} \ge {E_3}{l_{s,ik}},\forall s \in S,i \in I,k \in K} $

(10)

$ {{Q_{s,ik}} + {Q_{s * ,jk}} \le {l_{s,ik}}{M_{cap,i}},\forall s \in S,i \in I,k \in K} $

(11)

$ {{Q_{s,ij}} + {Q_{s * ,ij}} \le {l_{s,ij}}{M_{cap,i}},\forall s \in S,i \in I,j \in J} $

(12)

$ {{Q_{s,jk}} + {Q_{s * ,jk}} \le {l_{s,jk}}{D_k},\forall s \in S,j \in J,k \in K} $

(13)

$ {{l_{s,ij}} \le {l_{1,ij}},\forall s \in S,i \in I,j \in J} $

(14)

$ {{l_{s,jk}} \le {l_{1,jk}},\forall s \in S,j \in J,k \in K} $

(15)

$ {{l_{s,ik}} \le {l_{1,ik}},\forall s \in S,i \in I,k \in K} $

(16)

$ {{Q_{s,ij}},{Q_{s,jk}},{Q_{s,ik}},{Q_{s * ,ij}},{Q_{s * ,ik}} \ge 0,\forall i \in I,j \in J,k \in K,s \in S} $

(17)

$ {{X_j},{l_{ik}} \in \{ 0,1\} ,\forall i \in I,j \in J,k \in K} $

(18)

式中：目标函数(2)最小化供应链网络总成本，包括3个层级节点间的运输成本、供材点的弹性供应成本、木材物流中心的固定成本、需材点的缺货成本。式(3)为不失效情况下供材点的供应量约束；式(4)为失效情景供材点的弹性供应量约束；式(5)为木材物流中心的能力约束；式(6)保证流出木材物流中心的木材量不超过流出量；式(7)保证需材点的需求不会超量满足，从而保证非负的缺货成本；式(8)~(10)为3类连接的最低起运量约束；式(11)~(12)为二维变量l_ik的逻辑约束的线性化表达，即若节点i和节点k之间不存在连接(l_ik=0)，则i、k间的木材流量为零；式(13)~(16)表明突发事件发生时无法立刻建立新连接，只能使用正常状态(无供应点失效)下的既有连接；式(17)为连续决策变量的非负约束；式(18)约束了二维决策变量。

3 实例分析 3.1 案例介绍

以某木材供应链网络为背景，该木材供应链网络包含4个供材点(M₁~M₄)和5个需材点(P₁~P₅)。4个供材点由1个港口(记为M₁)和3个人工用材林(M₂、M₃、M₄)组成，其中M₂、M₃同处一区域，M₄位于另一区域。基于对木材物流中心的选址需求分析，利用ArcGIS软件找到4个木材物流中心(L₁~L₄)的候选址。案例相关数据如表 2和表 3所示，供材点与木材物流中心和需材点间的最低起运量为20 000 m³，木材物流中心与需求点间的最低起运量为1 000 m³。按照最大供应量的20%设置供材点的弹性供应能力，弹性供应成本和缺货成本分别为20和50元·m^-3。

根据历史数据及现状分析，预测国际形势发生变化的概率为30.00%，国内政策发生变化的概率为10.00%，区域Ⅰ和区域Ⅱ出现恶劣气候发生的概率分别10.00%和5.00%。最后，根据参考文献[22]预测3处人工用材林的森林灾害发生概率分别为1.00%、2.00%和2.00%。基于前述分析，可得16种情景及其概率，如表 4所示，其中“√”表示对应的供材点失效。

3.2 案例求解及分析

利用IBM ILOG CPLEX 12.9优化求解器对2.2中的随机规划模型进行编译求解，得到的供应链网络的期望总成本为4 826 230.29元，选择的木材物流中心为{L₄}。若不考虑失效，即情景s₁的发生概率为100%，此时得到确定性优化模型解方案，总成本为2 054 000元，选择的木材物流中心为{L₂}。表 5比较了16种情景下的确定性优化模型(deterministic optimization model, DOM)解与随机规划模型(stochastic programming model, SPM)解的成本。

从表 5可以看出，仅在不发生供应点失效的情景下随机规划模型解产生了比确定性优化模型解多1.75%的总成本，其余15种情景下随机规划模型解的供应链网络总成本均不同程度小于确定性优化模型解。其中，最大的节约发生在情景s₉(概率16.00%)，总成本低45.01%；最小的发生在情景s₈(概率0.46%)。此外，由于设置了较高的单位缺货成本，故随机规划模型解具有更高的期望运输成本、更高的期望弹性供应成本和更低的期望缺货成本。从对需求点的供应来看，随机规划模型的解更大程度地满足了需材点的需求。如前所述，若供应链网络中的两个节点间没有建立连接，则当节点发生失效时无法及时建立新连接，从而可能导致较大的缺货量。显然，随机模型的解在网络节点间建立了供应点和需求点之间更多的连接，虽然这导致在无失效事件发生的情景(s₁)下的总成本略高于确定性优化模型的解，但却具有更高的弹性以应对节点失效的风险。

表 6给出了两种模型解的供应链网络弹性评价指标值。本研究提出的弹性木材供应链网络随机规划模型能给出弹性更高的供应链网络方案。此外，随机规划模型得到的木材供应链网络连接度(C_V=20)显著大于确定性优化模型(C_V=8)。由于本案例中总供应量与总需求量基本相当，故建立的供应链网络均包含了所有的供材点；同时两种方案均选择了一个木材物流中心，故总节点数相等，因此两种模型解的N_S指标值的差异全部体现在网络中弧的条数的差异上。随机规划模型得到的木材供应链网络中的弧的条数比确定性优化模型得到的木材供应链网络中多了42.11%，然而由于总节点数相同，导致了更高的节点平均度。可以推断，若存在更多可供选择的供应点能提供更多的供应量，随机规划模型的解将比确定性优化模型的解包含更多的节点，从而得到R值更高的木材供应链网络。

3.3 节点失效事件概率敏感性分析

对4类失效事件的发生概率进行敏感性分析，考虑各类事件的发生概率在[-30%，30%]范围内变化时，供应链期望总成本的变化率，结果如图 2所示。供应链网络期望总成本表现出对因国内政策导致供应点失效的发生概率的变化最为敏感，而对因森林灾害导致的供应点失效的发生率的变化最不敏感。这是因为期望网络总成本的大小和节点失效概率及失效影响的供应量的减少相关。虽然影响进口木材供应的国际形势变化而引起供应点失效的发生概率最大(30.00%)，但该概率仅对M₁的供应产生影响，受影响的供应量占总供应量的23.1%；而因国内政策导致供材点失效的发生概率虽仅为10.00%，但其影响面较大，M₂、M₃和M₄均受到该因素的影响，受影响的供应量占总供应量的77.9%；其次，虽然也同时受到因森林灾害导致的供材点失效的影响，但由于其发生概率较低(≤0.02%)，故对弹性供应链网络优化结果的影响最小。

4 结论

研究针对木材供应链网络特点，分析了供材点的失效事件，并基于概率分析和情景树分析法得出了供材点的失效情景及其概率。基于此，建立了弹性木材供应链网络优化的随机规划模型。为合理评价该模型，引入了网络弹性评价指标，对模型得出的网络方案进行弹性评价。其次，通过实例分析验证了该模型的科学有效性，同时也表明，就网络结构而言，在供材点和需材点间建立更多的路径连接能有效提高供应链网络的弹性。最后，对失效事件发生概率的敏感性分析表明节点失效概率及相应的供应量与供应链网络期望总成本成正比，故为了构建更具弹性的网络，应选择失效概率较低的供应点，并尽量不同时选择受到同一随机事件影响的供材点。