立地指森林或其他植被类型生存的空间及与之相关的自然因子的综合，在一定时间内相对不变^[1]。森林的立地质量对森林生产力有直接影响，对森林立地质量作出准确评估，不仅可以方便管理，还能为改造森林提供科学依据。评价立地质量的方法较多，但最有效、最客观的方法是地位指数法^[2]。对于立地指数模型的拟合，传统研究大多使用固定基准年龄的静态模型，随着统计学以及计算机科学的不断发展，人们逐渐发展了基准年龄可变的动态方程来拟合立地指数模型，任何一个林龄都可以得出一条相同的立地指数曲线，动态模型能够明显提高模型的拟合效果^[3]。

近年来，国内利用动态模型来模拟优势高生长的相关研究较为成熟，段爱国等^[4]利用代数差分法(algebraic difference approach，ADA)建立了杉木[Cunninghamia lanceolata (Lamb.) Hook.]人工林多形地位指数模型，分别利用理论模型及其差分模型模拟了杉木树高生长过程，拟合结果表明, 差分方程精度较理论模型有所提高，且表现出更好的生物学解释。唐诚^[5]利用差分法建立了西南桦(Betula alnoides Buch.-Ham. ex D. Don)人工林生长模型，其拟合效果总体优于理论模型。广义代数差分法(generalized algebraic difference approach，GADA)也是动态模型的一种，因其能够建立具有可变渐进值的多形地位指数曲线簇而在近些年广泛被使用。曹元帅等^[2]利用GADA研究了杉木人工林地位指数模型，得出应用GADA构建地位指数动态模型有更好的模拟效果。一些学者的相关研究^[6-11]也表明了GADA相较于ADA具有更好的拟合效果。

日本落叶松[Larix kaempferi (Lamb.) Carr]在我国栽培区域北起黑龙江省林口县，南至湖南省城步县和四川省雷波县^[3]，湖北省是日本落叶松最早引种区域之一，该树种目前已发展成为鄂西亚高山区主要造林树种和重要工业原料林树种。但湖北省日本落叶松人工林的立地质量评价和林分生产力预估等方面的研究较少，李忠国^[12]利用导向曲线法编制了恩施土家族苗族自治州(恩施州)日本落叶松立地指数表，马友平等^[13]利用比例法编制了长岭岗林场日本落叶松的立地指数表，这些研究范围较窄，不足以代表湖北省日本落叶松人工林的立地状况，而且研究方法较为传统，研究结果精度与适应性有待进一步验证。以经典理论生长^[6-8]模型为基础，分别采用ADA和GADA构建动态立地指数模型，比较两种模型参数拟合结果及预测精度的差异性，选择最优模型编制湖北省日本落叶松人工林立地指数表，以期为湖北日本落叶松人工林营造、分类经营及林分定向培育提供参考和支持。

1 材料与方法 1.1 试验地概况

湖北省地处中国中部，辖区范围地跨东经108°21′~116°07′，北纬29°01′~ 33°06′，属于亚热带季风气候区，年平均气温16 ℃，年平均降水量800~1 600 mm，气候湿润，雨热同期。湖北省地貌以山地、丘陵为主，约占全省面积的80%，东、西、北三面环山而高高凸起，中间低平。日本落叶松作为外来引种树种，主要分布于海拔1 300~2 100 m的鄂西亚高山区，取样地海拔为1 075~2 007 m，多集中在1 650 m左右，坡度2°~37°，以缓坡(15°)为主；腐殖层厚度2~19 cm，土壤类型以黄棕壤为主。

1.2 数据来源

在造林面积大于15 hm²的日本落叶松人工纯林中按照试验设计要求，选取不同年龄、不同立地、代表性强、林相完整的林分，设置600 m² (20 m × 30 m)的标准地。标准地取样主要分布于恩施州，而十堰市较少，这是因为湖北省日本落叶松主要生长于恩施州境内，十堰市造林数量有限。标准地内进行每木检尺，分别测量树高、胸径、冠幅、枝下高等生长量指标，并记录相应的地理位置、立地环境及林分造林年度、造林密度等基本信息。每块标准地中以生长量最大的5株优势木的树高平均值做为优势高，并选取1株优势木伐倒，按2 m区分段截取树干圆盘并进行树干解析。以86个标准地及其优势木解析资料为本研究基础数据(表 1)。

1.3 模型选择 1.3.1 理论生长模型选择

以Richards、Logistic、Korf、Mitscherlich以及Gompertz等5种经典树高生长模型为基础模型，其表达式见表 2。将解析数据整理成树高-年龄成对值形式用于理论模型的拟合。

1.3.2 代数差分模型

利用R语言中的nlsLM函数进行模型拟合，根据基础模型的拟合结果，将解析数据整理成双树高-双年龄的形式用于差分模型的拟合。选择拟合效果最好的Richards模型，分别利用ADA和GADA构建其动态指数差分模型。模型拐点表达式见文献[3-4]，模型表达式见表 3。

1.3.3 模型统计与评估

选用决定系数(coefficient of determination，R²)、平均残差(mean residual，MR)、均方根误差(root mean square error，RMSE)、绝对残差(absolute mean residual，AMR)、相对残差(relative absolute residual，RAR)以及残差平方和(residual sum of square，RSS)等统计指标评估模型的拟合质量(统计指标计算公式见文献[4])。

1.4 立地指数表的编制 1.4.1 标准年龄与指数级

根据树高理论变动系数^[14]及前期对于日本落叶松的相关研究结果^[12]确定标准年龄T=20 a，并利用标准年龄时的树高绝对变动幅度及经营水平确定级距为2 m，立地指数级为7个(12~24 m)。

1.4.2 立地指数表编制

选择最优的模型，设H=H₂，t=t₂，I_S=H₁，T=t₁，其中I_S、T分别表示立地指数和指数年龄，将各变量代入差分模型求出各年龄优势高，整理并编制立地指数表。

1.4.3 立地指数表检验

分别将基于ADA、GADA编制的立地指数表中的数据整理绘制成立地指数曲线簇，并利用86个标准地优势木平均高进行落点检验。按照立地指数表查定林分立地质量所在的指数级，采用χ²适合性检验方法，统计合格次数(不跳级)与不合格次数(跳级)的值，并利用皮尔逊定理求出η值与χ²值并进行比较，按照森林调查90%的精度，计算出合格与不合格次数的理论值^[15]。

选择30株年龄大于20 a的优势解析木，按基准年龄时的树高值以2 a为龄阶进行分组，利用公式(1)对各龄阶平均值进行换算，得到检验样本的立地指数。利用公式(2) ~ (3)计算不同年龄(龄组)和不同立地指数级的估计误差值，进行立地指数表的预测精度检验。

$ H_{0}=H_{i}H_{0k}/H_{ik} $

(1)

$ S_{i}= \sqrt{ \frac{{\sum\limits^ l _{z=1} [H(i, z)- \bar H (i, z)]^{2}}}{{l}}} $

(2)

$ S_{z}= \sqrt{\frac{{\sum\limits^{ j_{z}}_{ i=1} [H(i, z)- \bar H (i, z)]^{2}}}{{j_{z}-1}}} $

(3)

式中：H₀为基准年龄时的树高(m)；H_i为第i龄阶平均实际树高(m)；H_0k为基准年龄时的导向曲线树高(m)；H_ik为第i龄阶导向曲线树高(m)；H (i, z)为年龄为i，立地指数为z时的实际树高(m)；H (i, z)为年龄为i，立地指数为z时的平均树高(m)；S_i为龄阶为i的立地指数估测误差(m)；S_z为立地指数为z的龄阶估测误差(m); l为立地指数序列的组数; j_z为第z组优势木观测龄阶数。

2 结果与分析 2.1 模型拟合结果与比较

理论模型的拟合结果见表 4。除Korf (a=150.739 0)、Mitscherlich (b=-48.294 2)模型的参数值异常，不符合所表征的生物学涵义外，其他模型参数均合理，决定系数(R²)为0.926 4~0.949 3。其中，R²排序为Korf＞Richards＞Mitscherlich＞Gompertz＞Logistic；AMR排序为Logistic＞Gompertz＞Richards＞Mitscherlich＞Korf；RMSE排序为Logistic＞Gompertz＞Richards＞Mitscherlich＞Korf。在保证参数具有生物学意义的前提下，结合统计指标的大小，可以最终R² (0.947 9)大且AMR (1.281 9)和RMSE (1.621 3)小的Richards模型为建模基础模型，并分别利用ADA和GADA构建Richards模型的差分形式，结果见表 5。

由表 5可知，利用Richards基础模型构建的ADA和GADA模型的AMR、RAR的最大值分别为0.254 7、0.037 8，均小于基础模型的AMR、RAR最小值1.260 2和0.172 9。也就是说，相较于基础模型，ADA模型明显提高了拟合精度。ADA模型之间(A1、A2、A3、A4)，各统计指标值均无太大差异。以b或c为自由参数的模型(A1或A2)的评价结果要好于以a为自由参数的差分模型(A3)。GADA模型在拟合精度一样的情况下，3参数模型(G1)的各项统计指标均小于2参数模型(G2)。

选择ADA模型中拟合效果靠前的A2和A4以及GADA模型的G1和G2进行残差分析(图 1)。A2、G2模型的残差分布范围在-1.5~1.5 m之间，A4模型的在-1.0~1.5 m之间，G1模型的在-1~1 m之间，但4个模型的残差值都随机分布在y=0附近，没有明显的区别。

2.2 立地指数方程的选择

利用ADA模型，以20 a为基准年龄、2 m的指数级距生成立地指数曲线簇，立地指数范围为12~24 m (图 2)。从图 2中可以看出，4个模型所构建的模型均具有多条水平渐近线，并且能够反映出立地质量对优势高生长渐进值和模型拐点的影响。但对比A2与A4模型，可以看出A4模型由于模型自身限制，在低龄阶低立地指数时，会有部分数据无法计算, 出现“0”处不收敛现象，在低龄阶时，A4模型呈现出离散状态且在高立地指数时，优势高明显偏大，并且A2与A4模型是以b和c为自由参数，所形成的立地指数曲线簇a值相同，表明所有曲线的渐进线相同，这类模型无法反映立地质量与优势高渐进值成正比的关系。

同样，对比G1与G2模型可以看出，两种模型均符合立地指数模型理想的生物学假设，但在龄阶为2 a、立地指数为24 m时，G1模型的优势高为3.32 m，G2模型的为1.70 m，G2模型相较于G1更符合日本落叶松在湖北的实际生长, 虽然在统计指标的优度上G2模型稍逊于G1，但从图形表现以及参数数量来看，G2模型要优于G1。综上，最终选择G2模型为最优立地指数曲线方程，并进行立地指数表的编制，方程表达式为：

$ H_{t}=\exp X_{0}[(1－\exp (－0.055\;0t)]^{1.158\;1+1/X_{0}} $

(4)

$ X_{0}= \frac{{ 1}}{{2}} (\ln H_{k}－1.158\;1F_{0}+ \sqrt{(1.158\;1F_{0}－\ln H_{k})^{2}－4F_{0}} $

(5)

$ F_{0}=\ln [1－\exp (－0.055\;0T)] $

(6)

式中：H_t代表年龄为t时的预测树高(m)；H_k是已知的树高(m)；T是基准年龄(20 a); X₀和F₀是引入的新参数。

2.3 立地指数表的编制与检验

设定基准年龄T=20 a，基于GADA模型编制的湖北日本落叶松立地指数表见表 6。

利用编表数据绘制立地指数曲线簇(图 3)，并利用全部86个标准地优势木平均高进行落点检验。由图 3可以看出，GADA模型曲线簇中仅有1个标准地落于曲线外，精度为98.8%。

随机选择30株(占总数34.9%)年龄大于基准年龄20 a的日本落叶松人工林解析木数据进行跳级检验，检验其各年龄树高是否在同一指数级中，统计各解析木在相应的指数级中各年龄树高的合格数和不合格数。结果表明，有27对树高-年龄数据存在跳级，其中25对跳1级，2对跳2级，289对不存在跳级现象，检验合格(表 7)。以α=0.05，f=1，查表可得χ²值，得出两种模型均存在η < χ²，说明其对应的立地指数表对于各优势解析木不同年龄的立地指数是一致的，对立地质量的评判有一定的准确性。但是根据合格数占总数的比例表明，GADA模型的合格数比例为91.46%。落点检验和跳级检验结果均能够说明所编立地指数表预测精度高，能很好地反映湖北省日本落叶松生长实际情况。

将检验样本分组，计算各龄阶树高平均值，利用公式(1)进行树高值的转换，再利用公式(2) ~ (3)计算不同龄阶、不同立地指数的预测精度，结果见表 8。结果表明，立地指数估测误差介于0.22~1.39之间，且高立地指数时的估测误差大于低立地指数；不同龄阶的估测误差介于0.25~1.20之间，总体呈现出中间龄阶预估精度高。立地指数和不同龄阶的预估精度绝大部分未超过1 m的误差，达到了较好的预估效果。

3 讨论与结论

GADA构建的立地指数动态模型在满足统计学和生物学要求的基础上对树高生长过程有很好的模拟效果^{[3, 16]}，国内外学者对此均有相关研究。目前国内对森林立地质量评价多采用ADA代替传统导向曲线法，而GADA模型在避免ADA模型缺陷的基础上，可以对基础模型进行扩展，提高模拟精度，并且可获得多重渐近线模型，因此使用范围更广^[17]。通过对比ADA与GADA模型的拟合结果，可以得出GADA模型拟合精度更高、适用性更好，与曹元帅等^[2]、赵磊等^[18]得出的广义差分型立地指数模型具有更高的预测性能，更适合作为立地指数模型推导方法的结论一致。差分模型的拟合结果表明，以b或c为自由参数的差分模型的拟合结果优于以a为自由参数的差分模型，与相聪伟^[3]得出的基础模型相同时，以b或c为自由参数的差分模型拟合精度好于以a为自由参数的差分模型的结论相似，但是与段爱国等^[4]得出的同一基础模型，自由参数为b和a的差分模型模拟结果更好的结论不同，可能与样本数据分布不均有关。GADA模型编制的立地指数表检验结果预测精度高，落点检验结果表明拟合精度为98.8%，略大于李忠国^[12]关于恩施州日本落叶松的落点检验精度(97.65%)，能很好地反映湖北省日本落叶松生长实际情况。

选择立地指数表中龄阶6~32 a、立地指数12~22 m部分与李忠国^[12]编制的湖北省恩施州日本落叶松人工林立地指数表进行比较，整体来看，各龄阶误差绝大部分未超过1 m，说明两种立地指数表所反映的立地质量十分接近。在龄阶6~12 a和20~32 a时，编制的立地指数表中大部分立地质量略高于后者，相差范围在0.01~0.72 m；龄阶14~18 a时，部分立地质量略低于后者，但相差不大(0.01~0.06 m)。

对比马友平等^[13]有关长岭岗日本落叶松立地指数表的研究，发现其研究结果呈现在低龄阶时树高偏高，高龄阶时树高偏低的现象。利用编制的立地指数表对湖北省已调查的日本落叶松人工林立地质量进行分析发现，立地质量高(20~24 m)的林分占45.4%，立地质量中等(16~20 m)的林分占48.9%，立地质量较差(14~16 m)的林分占5.7%，相较于惠淑荣等^[19]关于辽东地区日本落叶松立地质量研究中得出的80%标准地适合或较适合发展日本落叶松，湖北省日本落叶松人工林立地质量更优，符合南方日本落叶松生长更快的研究结论。

只选择Richards为基础理论模型、1~2个自由参数的假设，利用其他基础模型及自由参数假设构建立地指数模型的效果还有待进一步研究。

通过拟合比较，选择Richards模型为优势高拟合的最优基础模型，基于最优基础模型分别构建ADA和GADA的差分模型，通过评价和检验，差分模型拟合效果优于理论模型，差分模型之间统计指标差异不大，残差分析也没有明显区别。通过对两种模型所形成的立地指数曲线簇的拐点和渐近线分析，最终选择选择参数a=exp X、c=b₁+1/X的GADA模型作为立地指数表编表方程，落点检验精度和跳级检验合格率分别为98.8%和91.5%。GADA模型编制的立地指数表精度高、适应性好，适合用于评价湖北日本落叶松立地质量。