﻿ 单多普勒天气雷达反演降水粒子垂直速度Ⅰ：算法分析
 气象学报  2014, Vol. 72 Issue (4): 760-771 PDF
http://dx.doi.org/10.11676/qxxb2014.053

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#### 文章信息

ZHOU Shenghui, WEI Ming, ZHANG Peichang, XU Hongxiong, ZHAO Chang. 2014.

The precipitation particles’ vertical velocity retrieval with single Doppler weather radar. PartⅠ： Retrieval method’s analysis

Acta Meteorologica Sinica, 72(4): 760-771.
http://dx.doi.org/10.11676/qxxb2014.053

### 文章历史

1. 气象灾害预报预警与评估协同创新中心, 南京信息工程大学, 南京, 210044;
2. 灾害天气国家重点实验室, 中国气象科学研究院, 北京, 100081

The precipitation particles’ vertical velocity retrieval with single Doppler weather radar. PartⅠ： Retrieval method’s analysis
ZHOU Shenghui1, WEI Ming1,2 , ZHANG Peichang1, XU Hongxiong2, ZHAO Chang1
1. Collaborative Innovation Center on Forecast and Evaluation of Meteorological Disasters, Nanjing University of Information Science & Technology, NUIST, Nanjing 210044, China;
2. State Key Laboratory of Severe Weather, Chinese Academy of Meteorological Sciences, Beijing 100081, China
Abstract:The ill-conditioned coefficient matrix and error sensitivities of the Volume Velocity Processing (VVP) wind retrieval method with Doppler radar are analyzed in mathematics, and the equations for resolving vertical velocity are modified especially. Given the condition number varies largely when the different fitted parameters chosen, the partial parameters with small magnitude are always neglected in retrieval. The analysis of error's norm verified that model errors might be introduced, but simplified wind model can decrease the difficulty in solving and stabilize the retrieval results. In the VVP retrieval algorithm, the linear correlation among the coefficient matrix vectors caused the matrix singularity. It is demonstrated that the accuracy of the fitted parameters could be affected when combining or abandoning linear correlation items in the coefficient matrix, and the model bias varied along with the position of analyzed points, not with the magnitude of parameters only, but the partial fitted parameters could remain accuracy. Based on the error analysis of VVP retrieval method, the errors when abandoning some parameters are analyzed and examined. The demonstrations of solving equations' modification further provide a fundamental understanding for the accurate retrieval of the vertical velocity.
Key words: Single Doppler weather radar     Modified VVP method     Ill-conditioned matrix     Vertical velocity     Sensitivity analysis
1 引 言

VVP算法利用多普勒天气雷达多个PPI(plane position indicator)扫描资料进行反演，将径向、切向和垂直方向构成的一个三维空间作为分析体积(Waldteufel et al，1979)。由于选取的分析对象是一个三维的空间区域，因而适用于高仰角的情况。在选定的分析体积中假设：(1)风场结构呈线性分布，(2)在雷达扫描期间风场不随时间变化。

 组 参数 组 参数 组 参数 3P u0，v0，w0 5P2 3P+(uy，vx) 9P1 7P+(wx，wy) 4P1 u0，v0，ux，vy 6P1 3P+(ux，vy，wz) 9P2 7P+(uz，vz) 4P2 u0，v0，uy，vx 6P2 4P1+(uy，vx) 11P 7P+(wx，wy，uz，vz) 5P1 3P+(ux，vy) 7P 3P+(ux，vy，uy，vx) 12P All

 图 1 不同反演参数对应的系数矩阵的条件数(分析体积：10°×20 Gates；仰角：2.5°；a—l的系数矩阵分组见表 1) Fig. 1 Variations of coefficient matrix condition number with the different retrieved parameters. The size of analysis volume is specified as the sector gap of 10°×20 gates for each radial. The elevation is 2.5°. The grouped retrieved parameters of(a)-(l)are shown in Table 1
(1)反演参量个数的增多，会使系数矩阵的条件数发生急剧变化。在反演变量个数较少时，各方位角处差别不明显。但随着参数个数的增多，条件数的大小以指数的形式增多。因此，选取较多的反演参量进行计算，虽可以获得较多的风场信息，但求解会变得更加困难。若选用条件数较大的系数矩阵进行计算，得到的结果误差势必会很大。

(2)当待反演参数不同时，系数矩阵条件数差别较大。通过观察4P2、5P2、6P2的条件数分布可以发现，含有uy、vx的系数矩阵的条件数远大于4P1、5P1、6P1的条件数。同样通过观察11P、12P的条件数也可以发现，加入wx、wy后的条件数比其他分组大出许多量级。由此也可说明，风场模型直接决定了反演计算的精度和求解的难易程度。

(3)在不同方位角、距离雷达不同的位置，系数矩阵的条件数亦不相同。4P1、5P1、6P1在方位角为45°、135°、225°、315°附近的条件数大于其他位置，并且随着距离雷达中心越远，半径越大处条件数越大。而4P2、5P2、6P2在上述位置的条件数相对较小，但在方位角为0°、90°、180°、270°附近的条件数相对较大。通过计算矩阵矢量的相关性发现(图略)，上述位置处的相关系数大于其他方位角处。因此可以判断，矩阵矢量的线性相关，造成了系数矩阵病态。2.4 系数矩阵病态原因的分析

uy、vx的系数dyHxdxHy为例，与其他任意待反演参量Hm构成的系数矩阵为

 名称 参量值 u0，v0 3.0 m/s，2.0 m/s ux，vy -0.3 s-1，0.3 s-1 x0，y0，z0 0，0，0 w0 1.0 m/s

 5° 15° 30° 45° 60° 75° 90° vy w(m/s) 2.19 2.47 1.61 1.01 0.80 0.72 0.70 ξw -3.97 -4.91 -2.04 -0.06 0.65 0.93 1.00 ux w(m/s) 0.70 0.73 0.81 1.04 1.67 2.47 2.09 ξw 0.99 0.92 0.62 -0.14 -2.25 -4.91 -3.65
4 对垂直速度求解方程的分析和改进

 组别 待反演参量 6PM u0，v0，w0，ux，vy，uy+vx 6PM1 u0，v0，w0，ux，vy，uy 6PM2 u0，v0，w0，ux，vy，vx

 名称 参量值 u0，v0 3.0 m/s，2.0 m/s ux，vy -0.1 s-1，0.1 s-1 uy，vx -0.2 s-1，0.1 s-1 x0，y0，z0 0，0，0 w0 3.0 m/s

 图 2 分别选择6PM、6PM1和6PM2 中的参量时u、v和w的反演结果(a．u分量，b．v分量，c．w分量； 6PM、6PM1和6PM2的参数见表 1) Fig. 2 Retrieval results of u，v and w when selecting the different parameters included in 6PM，6PM1 and 6PM2(a．u component，b．v component，c．w component； fitted parameter has shown in Table 1)

 图 3 对选择6PM1(a、b)和6PM2(c、d)参数时u(a、c)和v(b、d)分量反演结果的修正(6PM1、6PM2参数见表 1) Fig. 3 Modification for u(a，c) and v(b，d)components' retrieval results when selecting the parameters of 6PM1(a，b) and 6PM2(c，d)(Fitted parameter has shown in Table 1)
5 总 结

(1)当选择较多的反演参量时，风场模型对实际风场的数学描述更准确，但构建的系数矩阵的条件数却呈指数增大，系数矩阵会愈加病态，以至于不可直接求解。另外，对于相等个数的反演参量，选择的风场模型不同，系数矩阵的条件数也会有较大差别。对误差范数上界的分析表明，为避免求解的困难，选取较少的反演参量时尽管会存在模型误差，但选择合适的系数矩阵能够降低求解难度和计算中的误差，反演效果好于较多参量时。

(2)VVP算法中系数矩阵矢量的线性相关造成了矩阵奇异，由于观测误差和计算误差的影响，在实际反演计算中系数矩阵则表现为病态。对比SVD分解处理的方法发现，舍弃的奇异值只是对病态矩阵的近似，而被舍弃的奇异值对应的是奇异矩阵中为0的矩阵矢量，原系数矩阵并没有实质性改变，并且还会引入新的计算误差。

(3)在VVP算法误差分析的基础上，分析并验证了舍弃部分参量时的反演误差。证明了合并或舍弃线性相关项时，其余待反演参量会受模型误差的影响，并且这种模型误差的大小并不仅与待反演参量的量级有关，而是会随着位置的不同而改变。对调整后求解方程的验证结果表明，如垂直速度等部分待参量仍然可以保持准确值。