0 引言

随着我国高铁事业的快速发展，谐波、负序等涉及高速铁路电能质量的问题受到了更多关注。高速铁路电力机车利用交(直)交型传动技术，在牵引供电系统中，降低了低频带谐波含有率，却在高频带产生了大量高次谐波^[1]，增大了牵引供电系统谐波谐振潜在的可能性，谐振时系统阻抗在谐振频率下理论上趋于无穷大^[2]，即使注入很小的谐波电流，也会激发出很高的过电压，严重威胁系统安全。

当前电力系统谐波谐振分析主要通过频谱分析，但分析结果对有效解决谐振问题不能提供更多的信息支持^[2-4]。文献[5-6]根据谐波谐振特点，提出了“解耦”的理念来分析评估谐波谐振，认为系统矩阵的奇异性是引发谐波谐振的关键。对矩阵特征根进行分析，可发现谐振产生和影响的机理以及引发谐振的根源，这种分析谐波谐振的方法，称为模态分析。文献[7]将模态分析理论由单相推广至三相，并进行了理论分析和实例研究。文献[8]针对模态分析时解耦复矩阵运算复杂，提出了用实矩阵替代复矩阵，通过仿真分析和算理研究得出实矩阵较复矩阵灵敏度更高。上述研究都是基于静态系统，而牵引供电系统结构复杂，其网络参数随机车的位置和牵引网长度变化。本文结合多导体传输线理论，以模态分析方法为工具对牵引供电系统动态网络展开谐振分析，以降低牵引网高次谐波谐振带来的风险。

1 谐波谐振模态分析理论

假定系统发生并联谐振的频率为f，那么由公式(1)计算出的电压向量的某些数值在频率f下将趋于无穷大。

(1)

其中，V_f、Y_f、I_f分别为谐振频率f下的电压向量、导纳矩阵和电流向量。为了简化符号，以下分析均省略下标f。

谐波谐振时某些节点电压升高，可认为是矩阵Y出现奇异性时发生，而奇异性是由于矩阵某个特征根趋近于零，故对矩阵Y的特征根进行分析成为解决问题的一个可行方法^[5-6]。矩阵Y可以分解为公式(2)

(2)

其中，Λ为对角特征值矩阵；L、T分别为左、右特征向量矩阵，且L=T^-1。将公式(2)代入公式(1)得：

(3)

令模态电压向量U=TV，模态电流向量J=TI，则公式(3)可简化为：

(4)

公式(4)中λ^-1为模态阻抗。如果λ₁=0或无穷小，λ^-1将趋近于无穷大，那么非常小的模态电流J₁也会引起很大的模态电压U₁，即谐振对应着某个具体的模态发生，它并非由注入某个网络节点的谐波电流引发。因此，将最小的特征值定义为“关键模态”，将左右特征向量定义为“关键特征向量”。模态电流是实际电流在第一个特征向量方向上的线性映射，则有：

(5)

公式(5)中假定T₁₃最大，则电流I₃将会对模态电流J₁具有最大贡献，即模态1下节点3最容易受到激励。但如果T₁₃=0，则I₃数值不会影响J₁。实际电压与模态电压之间的关系如公式(6)所示。

(6)

假定模态1下发生谐振时，公式(7)可近似表示实际电压和模态电压之间的关系，如果L₃₁最大，则节点3上的电压将会最大；L₃₁=0，则节点3上的电压不受影响。

(7)

通过上述分析可得：模态域下谐振的观测性可通过左特征向量反应，激励性可由右特征向量表示。文献[6]用一个指标定义了这两种特性，即母线对关键模态的参与因子PF_bm=L_bmT_mb，b为节点号，m为模态号。由L=T^-1可知，对于某种模态具有最大可激励性母线，同时具有最大可观测性。

2 牵引网多导体降阶模型

牵引网一般由馈线、接触网、钢轨、回流线、承力索等组成^[9]，导线数量多且结构复杂。考虑到这些导线在电气特性上的连续性和相关性，可对其进行合并和等效处理^[10]，通过应用多导体传输线路理论，采用网络降阶简化方法。

2.1 阻抗矩阵

利用Carson公式可计算导体单位长度自串联阻抗：

(8)

式中Z_ii—导体单位长度自串联阻抗，Ω/m；

Z_Aii—导体单位长度的内阻抗，Ω/m；

Z_Eii—导体和大地之间的外阻抗，Ω/m。

工频下加入Carson修正系数的导体自串联阻抗和互阻抗的工程常用表达式见公式(9)和公式(10)^[11]：

(9)

(10)

式中 Z_ik—导体i与导体k间的互阻抗，Ω；

r_i—导线i单位内阻抗，即导线的直流电阻，Ω/m；

ω—角频率，rad/s；

R_i—导体i的等效半径，m；

D_g—导体与大地回路的等值深度，m；

d_ik—导体i与导体k间的距离，m；

K—取值2×10⁷ H/m。

多导体传输线系统，可通过图 1中所示的降阶理论来减少导线数目，具体降阶方法可通过阻抗矩阵的运算实现^[12]。图 1a多导体传输线系统矩阵表示为公式(11)，图 1b降阶后的系统矩阵表示为公式(12)

(11)

(12)

其中，I为导体中的电流向量，U为导体中的电压向量，Z为阻抗矩阵。

2.2 导纳矩阵

多导体传输线中导体自逆电容和互逆电容计算公式分别如公式(13)、(14)

(13)

(14)

式中 ε₀—真空介电常数；

h_i—导体i对地高度，m；

R_i—导体i等效半径，m；

D_ij—导体i与导体j间的电镜像距离，m；

d_ij—导线i与导体j间的距离，m。

电容的降阶可参照阻抗的降阶方法，图 2所示的多导体传输线关系矩阵为公式(15)。

(15)

其中，E为导体对地电压向量，Q为导体所带电荷向量。

降阶后的电容矩阵为：

(16)

其中，C_ii为多导体自电容；C_ij为多导体互电容。

2.3 线路的等效π模型

考虑到线路参数的均匀分布特征，采用集中参数模型的等效π模型来精确描述线路^[13-14]，则有：

(17)

式中 Z_c—特征阻抗，Ω；

z—单位长度线路串联阻抗，Ω/km；

y—单位长度线路并联导纳，S/km。

长度为l的输电线路等效π模型如图 3所示。其对应的计算公式见公式(18)和公式(19)。

(18)

式中 Z_s—串联阻抗矩阵，Ω/km；

γ—线路传播系数，；

l—线路长度，km。

(19)

式中 Y_p—并联导纳矩阵，S/km。

2.4 牵引网的参数计算

牵引网悬挂系统如图 4所示。通过上述分析可获得牵引网各导体自阻抗、互阻抗、自逆电容和互逆电容，计算结果见公式(20)和公式(21)。

(20)

(21)

其中，Z_C、Z_M、Z_R、Z_F分别为接触线、承力索、钢轨、正馈线的自阻抗；P_CC、P_MM、P_FF分别为接触线、承力索、正馈线的自逆电容；Z_CM、P_CM分别为接触线与承力索间的互阻抗和互逆电容；Z_CF、P_CF分别为正馈线与接触线间的互阻抗和互逆电容；Z_MF、P_MF分别为承力索与正馈线间的互阻抗和互逆电容；Z_CR为接触线与钢轨间的互阻抗；Z_MR为钢轨与承力索间的互阻抗；Z_FR为钢轨与正馈线间的互阻抗。阻抗单位为Ω/km，自逆电容与互逆电容单位为m/F。

3 牵引网谐波谐振模态分析 3.1 牵引网谐波谐振与机车位置的关系

取牵引网供电臂长度为40 km，改变机车在牵引网供电臂的位置，分别距离牵引变电站0、10 km、20 km、30 km、40 km，其谐波谐振模态分析如图 5所示，牵引网模态分析结果如表 1—表 3所示。由图 5和表 1—表 3可知。

(1) 该悬挂系统结构的牵引网在120次谐波区域内，模态1、2未发生谐波谐振，模态3、4、5谐波谐振点为102次、19次、64次谐波。

(2) 模态4下谐振时，表 2中节点5参与因子值最大，因此节点5具有最大可激励性与可观测性。假定机车在节点5上注入19次谐波电流时，节点5的电压将会出现很高值，其他节点电压畸变水平也会被放大。

(3) 节点5在3种谐振模态下都具有最大参与因子，因此机车在牵引网供电臂末端时发生谐振概率最大，谐振最强。

3.2 牵引网谐波谐振与牵引网长度的关系

将机车固定在牵引网供电臂末端，改变牵引网供电臂长分别为20 km、30 km、40 km、50 km。在相同的悬挂系统结构下，模态谐振情况如图 6所示，随着牵引网供电臂长度的增大，谐振频率降低，牵引网谐振频率的大小和牵引网供电臂长成反比。

4 结论

(1) 对多导体传输线等效降阶理论所建立的牵引网谐波模型，进行模态分析，计算结果与文献[15]结论基本吻合，准确反映了牵引网谐波谐振特性。

(2) 牵引网谐波谐振在特定的模态下发生，由网络结构的内在特性决定，非机车注入的谐波电流引起。但机车运行至某些特殊位置时会更易于激发谐振，这些特殊的位置可由节点模态参与因子来判别。

(3) 谐振时机车运行在不同位置的重要性在频谱分析中很难辨识，与频谱分析相比，模态分析作为一种数学分析手段，更为简单有效。