由于电力系统中的非线性负荷、变频调速装置、风电场和光伏电站等均为间谐波源，因此，系统中不仅存在大量的整数次谐波，而且存在着非整数次谐波（次谐波、间谐波）。间谐波对电力系统及设备的危害很大，会引起灯光闪烁、低频继电器异常运行、无源滤波器过流跳闸、感应电动机噪声和振动等问题。因此，必须对间谐波进行治理，而治理的前提在于对间谐波的精确测量^[1]。

快速傅立叶变换（FFT）是最常用的电力系统谐波分析方法^[2]，但其频率分辨率不高，且易受噪声尤其是时变噪声的影响。为了提高频率分辨率，实际工程中通常采用较长的数据窗，但噪声的影响依然很难克服。现代谱估计算法具有较高的频率分辨率，如自回归模型算法和特征值法^{[3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10]}，但当信号中含有噪声，尤其是时变噪声时，所得谱估计结果会含有大量伪峰，可能无法区分真实的谐波和间谐波成分。小波变换^[11]和时频分析^[12]也被用于分析电力系统间谐波，虽然这些方法对噪声不敏感，但频率分辨率和估计精度较低，运算量也较大。

最小方差（MVDR）谱估计最初是由Capon在1969年研究地震波的空间谱时提出的^[13]。之后，Lacoss于1971年将该方法用于单一时间序列谱估计^[14]，并证明了由该方法得出的估计是信号谱分量的最小方差无偏估计。文献^[15]将最小方差方法应用于电力系统间谐波谱估计中，然而，由于需要进行矩阵求逆运算，导致该算法计算量较大。Musicus于1985年给出了最小方差递推算法^[16]，通过使用Gohberg-Semencul公式和Levinson递推算法使运算变得更为快捷。

本文采用Musicus提出的最小方差递推算法，将其用于电力系统间谐波谱估计。其优点是稳健性较好，对噪声不敏感，计算速度快。仿真结果验证了该方法的有效性。

1 基于最小方差谱估计的间谐波分析原理

设含M个谐波和间谐波的周期信号为：

n—采样点；

f_s—采样频率；

w（n）—噪声序列。

将信号x（n）输入到1个FIR滤波器中，则输出响应为：

P—滤波器阶数；

B—滤波器系数矢量，B=（b₀，b₁，…，b_P-1）；

X—信号数据矢量，X=[x（n），x（n-1），…，x（n-P）]^T。

则滤波器输出的平均功率（即输出序列的方差）为：

选择滤波器的原则是在频率点f处，FIR滤波器的频率响应归一化为1，即：

在满足式（5）约束的情况下，使滤波器输出平均功率最小化，可得到1个系数经过优化的滤波器。由于谐波和间谐波的能量主要集中在所对应的频率点上，因此当某次谐波成分无失真地通过该滤波器时，其他次谐波和噪声严重衰减，从而达到检测谐波和抑制噪声的目的。

对滤波器系数矢量B的求解是1个有约束的极值问题，令目标函数T（B）为：

由式（7），可得：

由式（11）可以看出，在作最小方差谱估计时，涉及相关矩阵R_P的逆矩阵运算，计算量较大。而采用以下算法^[16]可以使整个运算更为快捷。

令R_P^-1为自相关矩阵的逆矩阵，其中的元素为R_l,k^-1 ，可将式（11）写为下列形式：

由于R_P是Toeplitz矩阵，则可根据Gohberg-Se-mencul公式^[17]来推导R_l,k^-1，即：

现有阶数预测法则（如最终预测误差准则，Akaike信息准则等）所预估的结果都不理想。因此，通常采用经验法则进行阶数预估，阶数的取值范围为N/3~N/2（其中，N为信号采样点数），这样得到的谱估计效果较好^[18]。

Levinson递推算法提供了一种阶数逐渐增高的参数估计方法，每一阶的系数和误差均可由前一阶的结果递推获得，从而提高了计算效率。

将所求得的系数a_i,n和误差ε_n代入式（14），求得R_l,k^-1 ，再将R_l,k^-1 代入式（13），则：

将λ（k）代入式（12）中，则可求得P_MVDR（ω）。在谱估计曲线上搜索，对应各峰值位置处即为各次谐波和间谐波的角频率估计结果。3 仿真算例

为验证最小方差递推算法的可靠性，本文将该算法与MUSIC算法、Burg算法、FFT算法进行了比较，采用Matlab软件进行仿真。

设信号除基波（频率为50Hz，相位为π/3）外还含有1.7，3，3.5，7，7.3次谐波分量；幅值分别为基波的12%，7%，10%，8%，6%，相位分别为π/6，π/3，0，π/4，π/5。信号的采样频率为1000Hz，采样点数为256，根据经验法则和采样点数，设定阶数为120。3.1 算例1

在信号中加入方差σ=1.5的时变白噪声，该噪声在0.15s时开始出现，持续时间为1/4个周波（5ms）。仿真结果如图 1所示。

图1(Figure 1)

图1 时变白噪声下的功率谱估计结果

从图 1可以看出，受到时变噪声的影响，MUSIC算法、Burg算法和FFT算法谱估计结果均出现大量伪峰。其中，MUSIC算法谱估计结果在85Hz附近、140~190Hz及340~380Hz均出现由噪声引起的幅值较大的伪峰，无法将其与信号中的谐波和间谐波成分区分开来；Burg算法中的伪峰幅值较小，但信号中的3次和7.3次谐波同样由于幅值较小，因此被淹没在伪峰中，无法检测出来；FFT算法无法检测到3次和7.3次谐波，也无法将信号中的谐波和间谐波与噪声区分开来。

最小方差递推算法可以检测到频率为50Hz、86Hz、151Hz、176Hz、350Hz、367Hz的6个谱峰，平均频率误差为0.83Hz，图中未含伪峰，检测结果虽然有一定的误差，但是仍能够反映实际的谐波情况，检测精度满足工程要求。说明采用最小方差递推算法可有效抑制噪声，从而得到稳定、准确的频率估计结果，说明该算法具有较好的稳健性。3.2 算例2

在信号中加入30dB高斯白噪声，该噪声持续时间与信号相同，试验结果如图 2所示。

图2(Figure 2)

图 2 高斯白噪声下的功率谱估计结果

从图 2可以看出，在高斯白噪声的影响下，MU-SIC算法和Burg算法谱估计结果均出现大量伪峰，无法将其与信号中的谐波和间谐波成分区分开。FFT算法谱估计结果虽然也存在一些伪峰，但伪峰幅值较小，可将其与谐波和间谐波成分区分开，检测到的6个谱峰的频率分别为50.78Hz，85.94Hz，148.44Hz，175.78Hz，351.56Hz，367.19Hz，平均频率误差为1.3Hz。最小方差递推算法谱估计结果基本不含伪峰，可以检测到所有的谐波和间谐波成分，检测到的6个谱峰的频率分别为50Hz，86Hz，151Hz，176Hz，350Hz，367Hz，平均频率误差为0.83Hz。3.3 结论

通过以上分析可以看出，相对MUSIC算法、Burg算法及FFT算法，最小方差递推算法谱估计结果受伪峰影响最小，同时该算法的平均频率误差也较低。4 结束语

本文将最小方差递推算法用于电力系统间谐波谱估计，通过仿真试验对该算法的谱估计性能进行检验。结果表明：该算法具有良好的噪声抑制性能，在信号含噪声的情况下，可以精确检测出信号所含的各次谐波和间谐波的频率。由于算法利用了Levinson递推法，计算效率高。同时，该方法无需同步采样，为硬件电路的简化创造了条件。