林业科学  2016, Vol. 52 Issue (1): 30-36   PDF    
DOI: 10.11707/j.1001-7488.20160104
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文章信息

王冬至, 张冬燕, 张志东, 黄选瑞
Wang Dongzhi, Zhang Dongyan, Zhang Zhidong, Huang Xuanrui
基于非线性混合模型的针阔混交林树高与胸径关系
Height-Diameter Relationship for Conifer Mixed Forest Based on Nonlinear Mixed-Effects Model
林业科学, 2016, 52(1): 30-36
Scientia Silvae Sinicae, 2016, 52(1): 30-36.
DOI: 10.11707/j.1001-7488.20160104

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收稿日期：2015-03-23
修回日期：2015-08-30

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张志东
黄选瑞

引用本文
王冬至, 张冬燕, 张志东, 黄选瑞. 2016. 基于非线性混合模型的针阔混交林树高与胸径关系[J]. 林业科学, 52(1): 30-36.
Wang Dongzhi, Zhang Dongyan, Zhang Zhidong, Huang Xuanrui. 2016. Height-Diameter Relationship for Conifer Mixed Forest Based on Nonlinear Mixed-Effects Model. Scientia Silvae Sinicae, 52(1): 30-36.  DOI: 10.11707/j.1001-7488.20160104
基于非线性混合模型的针阔混交林树高与胸径关系
王冬至1, 2, 张冬燕1, 3, 张志东1, 2, 黄选瑞1, 2     
1. 河北农业大学林学院 保定 071000;
2. 河北省林木种植资源创新与保护实验室 保定 071000;
3. 河北农业大学商学院 保定 071000
收稿日期：2015-03-23；修回日期：2015-08-30
基金项目：林业公益性行业科研专项(20150430304);国家自然科学基金项目(31370636);科技部十二五科技支撑计划(2012BAD22B0304)。
通讯作者：黄选瑞
摘要：[目的] 建立多树种、多层次混交林的树高-胸径生长关系非线性混合效应模型，为研究混交林多树种生长规律提供参考依据。[方法] 以河北省塞罕坝国家森林公园华北落叶松-白桦针阔混交林为研究对象，基于87块标准地(20 m×30 m)的4953株华北落叶松和3608株白桦单木数据，选取13个具有代表性且具有生物学意义的树高-胸径模型进行拟合，从中筛选出拟合优度较高的模型作为构建混合效应模型的基础模型，并在混合效应模型中加入哑变量以解决样地内不同树种带来的差异。[结果] 1)在13个树高-胸径候选模型中，模型13的确定系数最大(R2=0.9157)，绝对误差(Bias=1.2006)、均方根误差(RMSE=0.1291)最小，其拟合效果较好。2)以模型13为基础模型建立华北落叶松-白桦混交林树高-胸径关系混合效应模型，华北落叶松混合模型确定系数(R2)为0.9264，AIC值为319.7，均方根误差(RMSE)值1.0708，绝对误差(Bias)为0.0841；白桦混合模型确定系数(R2)为0.9187，AIC值为297.6，均方根误差(RMSE)为1.1022，绝对误差(Bias)为0.0705，表明模型拟合效果较好。3)利用所构建的混合效应模型，以2 cm为一个径阶对华北落叶松和白桦树高进行预测，其树高预测结果与测量值分布一致，表明包含树种哑变量混合效应模型中的参数充分反映出相同径级树高的变异趋势，提高了混交林树高-胸径模型预估精度。[结论] 包含哑变量的混合效应生长模型可解决混交林中样地间及样地内树种对树高-胸径生长关系的影响，提高模型精度及适用性，为该地区提高针阔混交林经营水平及经营效果提供科学支撑。
关键词： 非线性混合模型    华北落叶松    白桦    树高-胸径    混交林    
Height-Diameter Relationship for Conifer Mixed Forest Based on Nonlinear Mixed-Effects Model
Wang Dongzhi1, 2, Zhang Dongyan1, 3, Zhang Zhidong1, 2, Huang Xuanrui1, 2     
1. Forestry College, Agricultural University of Hebei Baoding 071000;
2. Forest Resources Innovation and Protection Laboratory of Hebei Baoding 071000;
3. Business College, Agricultural University of Hebei Baoding 071000
Abstract: [Objective] This paper established the nonlinear mixed effects model for height-diameter relationship in multi-storied and multi-species mixed forests. The purpose of this study was to provide some references for the further study on growth rule in mixed forests. [Method] A total of 87 temporary plots were used in Larix principis-rupprechtii and Betula platyphylla mixed forest of Saihanba National Forest Park, Hebei Province, China. Plot size was 20 m × 30 m. A total of 4953 individuals of Larix principis-rupprechtii and 3 608 individuals of Betula platyphylla were investigated. 13 typical models were selected to fit height-diameter relationship. The best-fit model was chose as the basis for building mixed-effects models. Both fixed-and random-effects parameters expressed in terms of high species strengths and stand basal area were considered to establish height-diameter relationships. Furthermore, dummy variables were added to the mixed-effects models in order to solve intra-plot variability resulting from species difference. The goodness-of-fit criteria used were the coefficient of determination (R2), the absolute error of estimate (Bias) and the root mean square error (RMSE). [Result] 1) Among the 13 pieces of height-diameter candidate models, model 13 (M13) provided the most accurate prediction of height with the highest R2(0.9157), the lowest Bias (1.200 6) and RMSE (0.129 1). 2) For Larix principis-rupprechtii and Betula platyphylla, mixed effects models were established based on M13, respectively. Both models had the best fits with the fit statistics values (R2=0.926 4; AIC=319.7; Bias=0.084 1; RMSE=1.070 8) for Larix principis-rupprechtii and values (R2=0.918 7; AIC=297.6; Bias=0.070 5; RMSE=1.1022) for Betula platyphylla. 3) To further evaluate mixed-effects models for two species, trees from the validation data were divided into different DBH classes with every 2 cm interval. The average values of height prediction bias (observed-predicted) were small for both species. The above results indicated that mixed-effects models including species dummy variable provided in a better fit to the data and improved prediction accuracy. [Conclusion] The mixed-effects models with dummy variables solved the negative effects of species differences between plots and within plot on height-diameter relationships in mixed forests. It was proved able to provide better model fitting, more applicability and more precise estimations than the basic generalized model.
Key words: nonlinear mixed model    Larix principis-rupprechtii    Betula platyphylla    height-diameter    mixed forest    

胸径和树高是森林资源清查工作中2个最基本的观测变量，其中对胸径的观测相对简单，并且精度较高(Vargas-Larreta et al., 2009)，而对树高的观测通常会受林下植被分布状况、林分稀疏程度、地形是否复杂等因子的影响(Peng et al., 2001； Temesgen et al., 2004)，使得树高调查耗时并且成本较高。研究表明，在实地调查中可以观测样地中部分立木树高，利用树高-胸径关系模型来预测样地内未观测立木树高，从而可降低调查立木数据成本(Arabatzis et al., 1992； Huang et al., 2000)。

在林业相关文献中，已有较多线性或非线性模型被用来描述树高-胸径关系(Huang et al., 1992； Soares et al., 2002； Sánchez et al.，2003； Dorado et al., 2005； Trincado et al., 2007)。最初的模型没有将年龄当作一个独立变量作为模型参数，因为在估计树高-胸径生长关系模型时，年龄在混交林中没有实际意义(Huang et al., 1994)。在同一样地，一个树种高径生长关系是相对固定的，而不同样地间数据是相互独立的(Lappi，1997； 2006)，De’Ath(2002)认为多树种不同样地树高可以用树高-胸径回归方程来进行预测，因此建立适应不同样地多树种的树高和胸径关系模型非常必要。目前已经建立的树高-胸径关系模型主要以纯林(Sánchez et al., 2003； Calama et al., 2004； Dorado et al.， 2005； 2006)为研究对象，如传统的非线性回归模型(Schrder et al., 2001； Soares et al., 2002)、哑变量模型(Eerikinen，2009)及非线性混合效应模型(Calama et al., 2004； Saunders et al., 2008； 符利勇等，2012； 李春明，2012)。从现有研究来看，描述多树种、多层次混交林中不同树种的树高-胸径生长关系比纯林要困难很多(Schmidt et al., 2011)，导致对混交林树高-胸径关系混合效应模型的研究较少(Temesgen et al., 2004； Sharma et al., 2007)。在混交林生长模型研究中，急需在同一个模型中既能解决样地对树高和胸径关系影响、又能反映不同树种间树高和胸径关系的混合效应模型，因此建立混交林不同树种的树高-胸径关系模型对预测立木生长具有重要意义。

本文以华北暖温带华北落叶松(Larix principis-rupprechtii)-白桦(Betula platyphylla)混交林为研究对象，从目前应用较广的树高-胸径关系模型中筛选出拟合优度较高的模型作为研究的基础模型，建立不同树种的非线性混合效应模型来描述混交林中不同树种的树高-胸径生长关系，为研究混交林中不同树种的树高-胸径关系提供方法，进而为混交林经营提供依据。

1 研究区概况

塞罕坝机械林场总场(41°22′—42°58′N，116°53′—118°31′E)位于河北省最北部，与内蒙古接壤，总面积92 634.7 hm2，总蓄积8 106 388 m3，属阴山山脉与大兴安岭余脉的交接地带，地势北高南低，呈现由北向南倾斜的独特地貌。林区属华北暖温带立地类型区域，海拔1 010～1 940 m，年均气温-1.2 ℃，年均最高气温33.4 ℃，年均最低气温-43.3 ℃， ≥0 ℃年积温2 072.8 ℃，≥5 ℃年积温1 957.1 ℃，≥10 ℃年积温1 643.7 ℃。年均日照时数2 548.7 h； 年均降水量约452.2 mm，主要集中在6—8月份； 年均积雪日数169天； 年均蒸发量1 339.2 mm，年均相对湿度为68%； 土壤分6个土类、13个亚类、 20个土属、30个土种，土壤类型主要以褐色森林土、棕色森林土、砂壤土、壤土、风沙土、沼泽土、砾石土、草甸土为主，成土母质主要为坡积物、残积物、洪积物、冲积物、沉积物、风积物6种。研究区主要乔木树种有华北落叶松、白桦、云杉(Picea asperata)、樟子松(Pinus sylvestris var. mongholica)、山杨(Populus davidiana)、油松(Pinus tabulaeformis)、蒙古栎(Quercus mongolica)等，主要灌木树种有绣线菊(Spiraea salicifolia)、沙棘(Hippophae rhamnoides)、胡枝子(Lespedeza bicolor)、山刺玫(Rosa daverica)、稠李(Prunus padus)、华北忍冬(Lonicera tatarinowii)、大叶小檗(Berberis ferdin and i-coburgii)、栓翅卫矛(Euonymus phellomanusloes)等，主要草本植物有蒲公英(Taraxacum mongolicum)、野蔷薇(Rosa multiflora)、曼陀罗(Dature stramonium)、苔草(Carex tristachya)、草地老鹳草(Geanium daharicum var. alpinum)、藜芦(Veratrum nigrum)、地榆(Sanguisorba officinalis)、唐松草(Thalictrum aquilegifolium)等。

2 研究方法 2.1 数据来源

数据来源于2014年7—8月，在北曼甸、大唤起、阴河、千层板、第三乡5个林场共设置20 m×30 m华北落叶松-白桦混交林临时样地87块，对样地内胸径大于5 cm的立木进行每木检尺。调查时在每块样地内以每0.01 hm2(Nigh，2002)分别选取不同树种优势木各5株，并用生长锥确定其年龄及生长量。共调查立木8 561株(华北落叶松4 953株、白桦3 608株)，其中优势木1 044株(华北落叶松522株、白桦522株)，并将数据分为建模数据和模型检验数据(表 1、表 2)。

表1 模型建立数据 Tab.1 Data of establishment model

表2 模型检验数据 Tab.2 Data of test model
2.2 模型选择

在本研究中，选择具有生物学意义且能够较好表述立木树高-胸径关系的13个模型(表 3)作为研究混交林树高-胸径关系的基础模型。

表3 候选树高－ 胸径关系模型 Tab.3 Candidate models of height-diameter function
2.3 模型及参数检验

对所选择的13个树高-胸径模型(M1~M13)参数进行拟合，并选用绝对误差(Bias)、均方根误差(RMSE)及确定系数(R2)对模型拟合参数精度进行评价和比较：

$Bias=\frac{1}{M}\sum\limits_{r=1}^{M}{\sum\limits_{i}^{n}{({{h}_{i}}-{{{\hat{h}}}_{i}})}}/n;$ (1)
$RMSE=\sqrt{\frac{1}{M}{{\sum\limits_{r=1}^{M}{\sum\limits_{i}^{n}{({{h}_{i}}-{{{\hat{h}}}_{i}})}}}^{2}}/n};$ (2)
${{R}^{2}}=1-\sum\limits_{r=1}^{M}{\sum\limits_{i}^{n}{{{({{h}_{i}}-{{{\hat{h}}}_{i}})}^{2}}}}/{{\sum\limits_{r=1}^{M}{\sum\limits_{i}^{n}{({{h}_{i}}-{{{\bar{h}}}_{i}})}}}^{2}}$ (3)
式中：M为样地数；n为样地内第r个树种株数；hi为观测树高(m)；h^i为预测树高(m)；h-为平均高(m)。

2.4 混合效应模型

本研究为了解决塞罕坝林场针阔混交林不同样地及树种间效应对树高-胸径生长关系的影响，采用非线性混合效应模型来描述混交林中树高-胸径生长关系(Pinheiro et al., 2000)。依据Fang等(2001)的研究，构建混合效应模型包括3个步骤：首先，确定模型固定效应参数和随机效应参数； 其次，确定用于说明不同样地林木内方差和协方差矩阵结构； 最后，确定方差-协方差随机效应矩阵。那么第i个样地上第j株树高的混合模型可表述为：

${{h}_{ij}}=f({{\beta }_{ij}}，{{d}_{ij}})+{{\varepsilon }_{ij}}{{\varepsilon }_{ij}}\tilde{\ }N(0，{{\sigma }^{2}})$ (4)
式中：βij为参数向量； f为包含树高和胸径因子的函数表达式(表 2)； εij为误差； hij为树高(m)； dij为胸径(cm)。

混合效应模型参数矩阵βij的固定效应参数和随机效应参数可表述为：

${{\beta }_{ij}}=x_{ij}^{'}\beta +z_{ij}^{'}{{b}_{i}}{{b}_{i}}\tilde{\ }N(0，\phi)$ (5)
式中：β为固定效应参数，bi为第i个样地随机效应参数； 假设bi遵循正态分布，均值为0，协方差矩阵为$\varphi $；xij′和zij′是第i个样地第j株树协方差矩阵。

随机效应参数数目可以减小系统误差，使模型能够收敛(Sharma et al., 2007)，因此只有将模型渐近线参数(b0)进行混合来建立混交林树高-胸径生长关系混合模型(Temesgen et al., 2014)才能使模型收敛效果较好。通常混合效应模型中内方差-协方差残差效应由包括相关因子和加权因子的矩阵Ri来平衡误差，其计算公式为：

${{R}_{i}}=\sigma _{e}^{2}G_{i}^{0.5}{{\Gamma }_{i}}G_{i}^{0.5}$ (6)
式中：Gi为描述异构方差的对角阵； Γi为样地i观测矩阵nini； σe2为误差扩散的比例因子，即模型剩余方差值(Grégoire et al., 1995)。

随机效应的方差-协方差矩阵(D)、样地间协方差矩阵用于确定样地间差异，因为模型中仅有1个随机效应参数，因此方差-协方差的随机效应矩阵(D)为：

$D=\sigma _{\mu }^{2}$ (7)

2.5 统计处理

样地数据处理及模型建立采用SPSS21.0软件和SAS9.3软件中PROC NLIN语句及PROC NLMIXED完成。

3 结果与分析 3.1 混交林树高-胸径分布

在华北落叶松-白桦混交林中，不同树种的树高与胸径分布如图 1所示。华北落叶松胸径集中分布在12～26 cm，树高集中分布在8～16 m； 白桦胸径集中分布在12～22 cm，树高集中分布在6～12 m； 在华北落叶松-白桦针阔混交林中，华北落叶松立地指数和胸径集中分布范围均比白桦要高。

图1 混交林中不同树种的树高－ 胸径分布 Fig.1 Height-diameter distribution of different tree species in mixed forest
3.2 候选模型拟合与评价

在华北落叶松-白桦混交林中，华北落叶松为优势树种，因此以华北落叶松调查数据为基础对候选模型进行拟合与筛选。不同非线性树高-胸径模型参数估计值、确定系数(R2)、绝对误差(Bias)及均方根误差(RMSE)如表 4所示。模型M1与M2为具有生物学意义的传统树高-胸径关系模型，反映了树高-胸径生长关系的趋势，但是对不同林分类型树高预测精度较低； 而模型M3~M6加入了每公顷株数、林分断面积及优势树种断面积，提高了模型预测精度； 此外 模型M7~M13还加入了能够反映立地质量的树种优势高及对应胸径，使树高-胸径生长关系模型得到了进一步发展。

表4 模型参数估计及统计检验 Tab.4 Parameter estimations and goodness-of-fit statistics of models

从13个候选模型(M1~M13)的拟合效果看，包含树种优势高和林分断面积的树高-胸径关系模型(M13)拟合效果最好，其确定系数(R2=0.915 7)最大，绝对误差(Bias=0.129 1)及均方根误差(RMSE=1.200 6)最小。

3.3 非线性混合效应模型构建

将M13中渐近线参数(b0)作为样地间固定效应和随机效应的组合参数，模型中所有估计参数作为固定效应参数，并使用哑变量来解决样地内不同树种对参数b1的影响，那么包含哑变量的混交林树高-胸径生长关系模型表达式为：

${{h}_{ij}}=1.3+{{e}^{({{b}_{0}}+{{\mu }_{i}}+\frac{{{b}_{1}}+{{\gamma }_{1}}+{{\gamma }_{2}}+\cdot \cdot \cdot +{{\gamma }_{n}}}{{{d}_{ij}}+{{b}_{2}}})}}+{{\varepsilon }_{ij}};$ (8)
${{b}_{0}}={{a}_{0}}+{{a}_{1}}\times {{h}_{0}}+{{a}_{2}}\times BA$ (9)
式中：b0，a0，a1，a2，b1，b2为模型固定效应参数； μi为模型样地间随机效应参数； 1…n为混交林不同树种哑变量； h0为树种优势高(m)； BA为林分断面积(m2·hm-2)。

3.4 模型拟合

对混交林中不同树种构建的非线性混合模型进行拟合，不同树种混合模型参数估计值、R2、Bias、RMSE及AIC值见表 5，其中华北落叶松-2Log Likelihood 值为305.7，白桦-2Log Likelihood值为283.6。运用拟合模型对混交林不同树种树高值进行预测，不同树种残差分布如图 2所示。

表5 非线性混合模型参数估计及统计检验 Tab.5 Parameter estimations and goodness-of-fit statistics of mixed models

图2 不同树种残差分布 Fig.2 The residual distribution of different species
3.5 模型应用

将混交林中华北落叶松和白桦分别按胸径2 cm为一个径阶进行划分，利用建立的非线性混合效应模型拟合的数据结果对数据进行统计分析(图 3)，箱体中间线表示每个径阶的树高中值，正方形表示树高估计值，方框两端分别表示上下四分位数，箱体高度表示树高在25%～75%百分位数，显然方框内包含了每个径阶50%的树高分布值，方框上下2条线为除去异常值以外的树高最大和最小值。

图3 不同树种树高－ 胸径分级箱式图 Fig.3 Box-plots of height distributions against diameter classes of different species

用包含树种哑变量的混合模型来预测不同立木优势高时，由于模型中包含了样地间随机参数和样地内树种哑变量参数，使相同径级立木树高具有较大的可变性，并与树高观察值分布一致，因此在包含树种哑变量的混合效应模型中参数充分模拟了相同径级树高的变异趋势，从而提高了混交林中不同树种树高-胸径生长关系模型的预测精度。

4 讨论

在森林资源调查中有许多不同形式的树高-胸径模型可供选择，以提高对样地内未观测立木树高的预测精度，混交林样地内树种、胸径、相对密度、断面积等林分因子比较容易观测，将这些因子加入到基础模型中可提高模型精度及适用性。本研究中选择了具有生物学意义的13个树高-胸径关系模型，结果表明包含树种优势高和林分断面积的模型13拟合效果较好，并将其作为基础模型来构建混交林不同树种树高-胸径生长关系混合效应模型。在混合效应模型中，将渐近线参数(b0)中加入随机效应参数μi来提高模型在不同样地的适用性，并在与生长速率有关的参数(b1)中加入哑变量来解决样地内树种间的影响，从而提供了模型精度。

本文以方法研究为主，可为准确描述混交林中不同树种树高-胸径关系提供参考依据。在本研究中没有考虑不同树种空间自相关对树高-胸径模型的影响，然而混交林中华北落叶松和白桦树高-胸径模型参数拟合精度较高，可用于塞罕坝华北落叶松-白桦混交林立木蓄积量和生物量估计。

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