林业科学  2015, Vol. 51 Issue (12): 141-148   PDF    
DOI: 10.11707/j.1001-7488.20151217
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文章信息

庞丽峰, 贾宏炎, 陆元昌, 牛常海, 符利勇
Pang Lifeng, Jia Hongyan, Lu Yuanchang, Niu Changhai, Fu Liyong
分段削度方程2种估计方法比较
Comparison of Two Parameters Estimation Methods for Segmented Taper Equations
林业科学, 2015, 51(12): 141-148
Scientia Silvae Sinicae, 2015, 51(12): 141-148.
DOI: 10.11707/j.1001-7488.20151217

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收稿日期：2015-02-09
修回日期：2015-10-08

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庞丽峰
贾宏炎
陆元昌
牛常海
符利勇

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庞丽峰, 贾宏炎, 陆元昌, 牛常海, 符利勇. 2015. 分段削度方程2种估计方法比较[J]. 林业科学, 51(12): 141-148.
Pang Lifeng, Jia Hongyan, Lu Yuanchang, Niu Changhai, Fu Liyong. 2015. Comparison of Two Parameters Estimation Methods for Segmented Taper Equations. Scientia Silvae Sinicae, 51(12): 141-148.  DOI: 10.11707/j.1001-7488.20151217
分段削度方程2种估计方法比较
庞丽峰1, 贾宏炎2, 陆元昌1, 牛常海2, 符利勇1    
1. 中国林业科学研究院资源信息研究所 北京 100091；
2. 中国林业科学研究院热带林业实验中心 凭祥 532600
收稿日期：2015-02-09；修回日期：2015-10-08
基金项目：中央级公益性科研院所基本科研业务费专项资金课题“目标树单株木管理和收获预估研究”(IFRIT2013)；公益性科研院所基本科研专项“中德合作多功能森林抚育经营创新技术研究”(CAFYBB2012013 & Lin2Value)；河南省省院合作项目“河南省主要人工用材林木材造材最优方案”(122106000051)。
感谢唐守正院士和雷渊才研究员对论文的指导。
摘要：【目的】 分段削度方程广泛用于模拟树木干形变化，其通常采用最小二乘回归法估计参数，但是最小二乘回归法估计分段削度方程时，拐点参数a1和a2(相对树高，值域在0和1之间)经常不能保证落在(0，1)区间内，从而限制了模型的应用。基于以上问题，本文采用双因素自动优选法和最小二乘回归法进行比较，找出分段削度方程最优拟合方法，为构建树木曲线模型和精细化合理造材提供技术支撑。【方法】 以Max等(1976)分段削度方程为基础模型，以热带3个主要珍贵树种红椎、格木、柚木共120株解析木为例，分别采用最小二乘回归法和双因素自动优选法构建各树种干形曲线模型，并以决定系数、残差平方和、平均残差、残差方差和均方误差等统计量指标进行比较分析。【结果】 最小二乘回归法和双因素自动优选法的拟合精度都高达95%以上，格木、红椎、柚木都满足决定系数相同、残差平方和相同；对于残差方差和均方误差，格木、红椎、柚木都满足双因素自动优选法最小；对于平均残差，格木满足最小二乘回归法最小，而红椎和柚木则满足双因素自动优选法最小，但是2种方法对应的平均残差差距很小；树干曲线预测效果也很相似；双因素自动优选法可保证所估计出的拐点参数在(0，1)区间内，计算简单，拟合结果稳定。【结论】 双因素自动优选法能从理论上说明分段削度方程参数a1和a2的最优值，因此建议选择双因素自动优选法拟合分段削度方程。
关键词： 珍贵树种    干形曲线    分段削度方程    双因素优选    
Comparison of Two Parameters Estimation Methods for Segmented Taper Equations
Pang Lifeng1, Jia Hongyan2, Lu Yuanchang1, Niu Changhai2, Fu Liyong1    
1. Research Institute of Forest Resources Information Techniques, CAF Beijing 100091;
2. Experimental Center of Tropical Forestry, CAF Pingxiang 532600
Abstract: [Objective] Taper equation is a key tool to describe stem form variations. By far, different taper equations have been proposed in the world. Among them, the segmented taper equation is one of the most commonly used equation.The method of ordinary least squares regression (OLS) is commonly used to estimate the parameters in the model. However, in practical terms, the application of the segmented taper equation was restricted because the estimated parameters of inflection points a1 and a2 (the relative tree height with numerical region of 0 to 1) obtained by OLS regression do not ensure to fall into the region of 0 to 1. Based on the above issue, the aim of this research is to find out the optimal fitting method by using TS(the two-factor automatic selection algorithm)and OLS, which provides technical supports for the construction of tree curve model and fine material.[Method] The three rare species such as Erythrophleum fordii, Castanopsis hystrix and Tectona grandis were developed using 120 individual data (40 for each species), the segmented taper equation was constructed for each species using OLS and TS, respectively. They were evaluated and compared based on the indexes of the coefficient of determination, the residual sum of squares, the mean prediction error, the variance of prediction errors and the root mean square error.[Result] The results show that both the OLS regression and TS fitting accuracy are preferred more than 95% and their coefficient of determination, residual sum of squares are the same. For the variance of prediction errors and the root mean square error TS is the best for E.fordii, C.hystrix and T.grandis; for the mean prediction error OLS method is the best for E.fordii,but TS is the best for C.hystrix and T.grandis, however, the difference between the two methods corresponding the mean prediction error is small; stem profiles prediction results are also very similar; TS can ensure that the inflection point of the estimated parameters is in the (0,1),and it is simple, fitting result is stable.[Conclusion] TS could explained theoretically the optimal value of segmented taper equation parameters a1 and a2. Therefore, it was recommended to fit the segmented taper equations with TS.
Key words: rare tree species    stem profiles    segmented taper equation    two-factor automatic selection algorithm    

干形是测树学中重要的树木因子，其好坏决定了材种等级高低。通常把树木的干形分为通直、饱满、弯曲、尖削和主干是否明显(孟宪宇，2006)。削度是描述树木干形好坏的一个重要定量指标，是指直径随着高度增加而变细的缓急程度，表达树干各部位直径随其与树梢距离变化的数学模型(或方程)称作削度方程(曾伟生，1997)。削度方程主要作用有：1)估计树干任意高度的去皮直径；2)计算树干总材积；3)计算从任意伐根高度至任意小头直径的商品材材积和材长； 4)推算各段原木的材积(Kozak，1988；何美成，1993)。在欧美等国家，树干削度方程已经逐渐取代材积表和材积方程，广泛应用于估算树干材积、出材率和重建树干的三维空间及仿真与优化造材。据国外学者研究报道，优化造材可以提高经济效益39%～55%(Pickens et al.，1992； Bowers，1998)。

迄今为止，国内外学者已提出多种削度方程，按照方程类型不同大致可以归为3类： 1)简单削度方程(Kozak et al.，1969； Ormerod，1973；孟宪宇，1982； Amidon，1984； Avery et al.，2002)； 2)分段削度方程(Max et al.，1976； Cao et al.，1980；姜立春等，2011； Jiang et al.，2011)； 3)可变参数削度方程(曾伟生等，1997；曾伟生，1997； Kozak，1988； Newnham，1992；严若海等，1992； Muhairwe，1994； Lee et al.，2003)。其中，简单削度方程很难准确描述干形具体变化。一般认为，树干的最低部可以看作一个凹面体，中间部位可以看作抛物线体，最上部可以看作一个圆锥体(Avery et al.，2002)。虽然Valentine等(2001)提出有些树木树干各部位并不是上述形状，但后来许多学者基于此建立了大量较复杂的模型来描述树干削度(即分段削度方程和可变指数削度方程)解决树干不同部位的形状问题(Kozak et al.，1969； Ormerod，1973； Amidon，1984； Reed et al.，1985； Sharma et al.，2001； 2002)。其中分段削度方程是将树干每部分的削度分别用相应的多项式来表示，然后将各个多项式在拐点(干形曲线交叉点)处相连接，Max等(1976)、Demaerschalk等(1977)、Cao等(1980)、Fang等(2000)采用该方法建立了干形曲线模型；可变指数削度方程是指用一系列变化的指数来描述树干的凹面体、抛物线体和圆锥体，Kozak(1988)、Newnham(1992)使用该方法建立了可解释变量的树干削度方程。目前我国开展了主要用材树种的干形模型研究，曾伟生等(1997)以湖南省杉木(Cunninghamia lanceolata)为例，对削度方程的结构形式进行了深入研究；王明亮(1998)从8个基础模型中选出Max等(1976)模型为杉木和日本落叶松(Larix kaempferi)的最佳削度模型，并对其理论造材和材种出材率表编制进行了研究；姜立春等(2011)以Max等(1976)为基础模型，采用非线性混合模型方法建立了我国落叶松人工林树干削度模型；胡春祥等(2011)用可变指数削度方程对我国落叶松人工林进行了研究。这些模型虽都能较准确地预测干形，但由于分段削度方程树干拟合精度高、易于积分、相容一致性的特点，目前最受学者青睐。

以典型的Max等(1976)为代表的分段削度方程被大部分学者选择作为基础模型(王明亮，1998； Rojo et al.，2005；姜立春，2011)。该模型认为树干由3部分组成，分别代表树干下部、中部和上部的不同几何形状。Max等(1976)分段削度方程拐点参数点 a1和a2的估计值能直观表明树干形状凹面体与抛物线体、抛物线体与圆锥体的连接点位置，其中 a1和a2估计值应该在(0，1)范围内。分段削度方程广泛采用的参数估计方法是普通最小二乘(ordinary least squares，OLS)回归方法，通常是按照经验给定树干下部拐点 a1和上部拐点 a2的参数初始估计值，然后查看回归结果是否满足拟合条件；如果不满足，则重新给定初始值，直到满足拟合条件为止。但采用OLS法拟合分段削度方程时，经常会发现 a1或a2为负数且收敛，也发现 a1或a2大于1且收敛。由于拐点参数估计值的确定国内外没有统一的标准，不能从方法上给出寻找分段削度方程参数 a1和a2的最优值，因此使得模型具有很大的不确定性。例如对于同一地区同一树种，在平均水平上 a1和a2的取值应该相同，但在实际建模时由于人为因素可能使得 a1和a2的取值差异较大；或者对于同一树种不同地区，由于立地因子和气候条件等因素的随机干扰，使得参数 a1和a2的取值差异较大，但在实际应用时可能设定相同的取值。因此参数 a1和a2取值将直接影响分段削度方程的预测效果和实用性。庞丽峰(2015)采用双因素自动优选法(two-factor automatic selection algorithm，TS)给出了该模型参数拟合的新方法，能够从理论上说明所预估的参数 a1和a2的估计值最优，而且估计方法简单。为此本文以热带地区3个主要珍贵树种红椎(Castanopsis hystrix)、格木(Erythrophleum fordii)、柚木(Tectona gr and is)120株解析木数据为例，以Max等(1976)为基础模型，分别采用OLS和TS法对其拟合，通过对决定系数、残差平方和、平均残差、残差方差、均方误差等统计量指标进行分析比较，找出2种估计方法的最佳方法，为构建树干曲线模型和精细化合理造材提供技术支撑。

1 材料与方法 1.1 试验材料

本研究试验区位于广西壮族自治区凭祥市中国林业科学研究院热带林业实验中心(热林中心)，地理位置106°41′— 106°59′E，21°57′— 22°16′N。属亚热带季风性气候，夏无酷暑，冬无严寒，雨量充沛，年均气温21～23 ℃，年降雨量1 062～1 772 mm，日最大降雨量206.5 mm，年无霜期344天，平均日照1 614 h。土壤主要为花岗岩发育成的红壤，间有部分石灰岩土、酸性紫色土和冲积土。植被属南亚热带季雨林，主要树种有马尾松(Pinus massoniana)、杉木、米老排(Mytilaria laosensis)、桉树(Eucalyptus)等，珍贵树种有红椎、格木、柚木等。

建模数据为热林中心30块人工林纯林固定样地(格木、红椎和柚木各选10块样地，每块样地面积为0.06 hm2)的单木数据。数据获取的具体方法为：在每块样地中按优势木、亚优势木、平均木和被压木各随机选取1株对象木，将对象木伐倒后分别测量全树高、树基(0.1 m处树高)带皮直径和去皮直径、断面高为0.3 m和1.3 m处带皮直径和去皮直径；伐倒木按2 m进行区分，测量各区分段东西南北4个方向的带皮和去皮直径，4个方向的平均观测值即为相应各区分段带皮和去皮直径。伐倒木胸径和树高的实测数据统计见表 1。

表 1 样地伐倒木胸径和树高数据统计 Tab.1 Statistics of DBH and height in the sampled plots data

图 1所示为3个树种对应的 d/D(相对直径)与 h/H(相对树高)的散点分布图，可以看出每个树种的 d/D与h/H都呈负相关，试验数据没有明显异常值。

图 1 格木(a)、红椎(b)和柚木(c)树种的d/D与h/H的散点分布 Fig. 1 The scatter distribution of Erythrophleum fordii(a)，Castanopsis hystrix(b)and Tectona grandis(c)
1.2 试验方法

选用Max等(1976)分段削度方程为基础模型，分别采用OLS和TS法对试验区3个珍贵树种进行估计，从模型拟合精度、参数稳定性以及预测效果等方面对2种估计方法进行系统比较和分析，最终确定一种最优方法用于拟合珍贵树种干形曲线。

1)基础模型 Max等(1976)提出的分段削度方程由3个多项式组成，分别代表树干下部、中部和上部的不同几何形状，即认为树干由凹面体、抛物面体和椎体组成，模型表达式如下：

$\begin{array}{*{20}{c}} {{{(d/D)}^2} = {b_1}(h/H - 1) + {b_2}({h^2}/{H^2} - 1) + }\\ {{b_3}{{({\alpha _1} - h/H)}^2}{I_1} + {b_4}{{({\alpha _2} - h/H)}^2}{I_2})} \end{array} $ (1)

式中： b1，b2，b3，b4为方程的待定参数； a1和a2分别为树干下部和上部拐点处的相对高度； H为树高； D为带皮胸径； h为从地面起算的高度； d为树干 h高处的带皮直径； d/D为相对直径； h/H为相对树高； I1和I2为模型的指示变量，当 h/H≤a1时 I1=1，反之 I1=0 ；当 h/H≤a2时 I2=1，反之 I2=0 。

2)普通最小二乘法普通最小二乘法是基于残差平方和最小(最小二乘法)的参数估计方法，迄今为止应用最多。本研究将I1和I2分别用以下形式表示：

$ {I_1} = \frac{{\left| {({\alpha _1} - z)} \right| + ({\alpha _1} - z)}}{{2({\alpha _1} - z)}}$ (2)

$ {I_2} = \frac{{\left| {({\alpha _2} - z)} \right| + ({\alpha _2} - z)}}{{2({\alpha _2} - z)}}$ (3)

则模型(1)变为：

$ \begin{array}{*{20}{c}} {y = {b_1}(z - 1) + {b_2}({z^2} - 1) + }\\ {{b_3}{{({\alpha _1} - z)}^2}\frac{{\left| {({\alpha _1} - z)} \right| + ({\alpha _1} - z)}}{{2({\alpha _1} - z)}} + }\\ {{b_4}{{({\alpha _2} - z)}^2}\frac{{\left| {({\alpha _2} - z)} \right| + ({\alpha _2} - z)}}{{2({\alpha _2} - z)}}} \end{array}$ (4)

式中： z=h/H；y=(d/D)2 。

显然模型(4)中所有参数 b1，b2，b3，b4以及 a1和a2可用传统最小二乘法进行求解。

3)双因素自动优选法在普通最小二乘法中，参数a1和a2的值域是任意实数，但在本实例中，它们分别代表树干下部和上部拐点处的相对高度，因此值域为(0，1)。为了从理论上保证参数的取值能落在区间(0，1)，本文采用双因素自动优选法。该方法是基于华罗庚双因素优选法理论并结合黄金分割法思想设计的，即对于给定的试验数据，在因素1和2的可行域中取可行点，通过迭代算法，使得每次迭代后寻找的新点对应模型的残差平方和(目标函数)最小，相应的目标函数和约束条件如下：

$ {\rm{obj}}: = f(G) = {\sum\limits_{i = 1}^n {\left| {y - \hat y} \right|} ^2};$ (5)

式中：a(1)，b(1)以及 a(2)，b(2)分别为 a1和a2对应的值域下限和上限，其取值根据具体问题而定； f(G)表示点 G对应模型(5)的残差平方和，即目标函数；y和分别表示实测值和估计值。

双因素自动优选法实质是在因素1和2的取值区间(平面)所构成的矩形 U内首先确定4个内点 G1，G2，G3和G4，计算各内点对应的目标函数 f(G1)，f(G2)，f(G3)和f(G4)。

情况1：若 f(G1)最小，保留矩形 P1G4(表示以 P1G4为对角线的矩形)；

情况2：若 f(G2)最小，保留矩形 G3P2(表示以 G3P2为对角线的矩形)；

情况3：若 f(G3)最小，保留矩形 P3G2(表示以 P3G2为对角线的矩形)；

情况4：若 f(G4)最小，保留矩形 G1P4(表示以 G1P4为对角线的矩形)。

图 2是情况3的优选示意，图 2a的4个内点 G1，G2，G3和G4就是根据黄金分割法的思想确定的，即在因素1和2的范围内0.382处和0.618处画2条直线，直线的交叉点就是4个内点 G1，G2，G3和G4点所在位置。图 2b的4个内点 G1′，G2′，G3′和G4′按照同样的方法在保留矩形 U′中确定，每次迭代计算矩形 U′的区域将逐渐缩小，其中阴影部分就是下次迭代计算时将不再考虑的取值区间，直到满足约束条件，即找到最优估计值为止。

图 2 双因素自动优选算法示意 Fig. 2 Diagram of the two-factor automatic selection algorithm

为了计算简便，将模型(1)通过变量变化得到简化后的线性形式：

$ y = {b_1}{x_1} + {b_2}{x_2} + {b_3}{x_3} + {b_4}{x_4}$ (6)

式中： x1=h/H－1，x2=(h/H)2－1，x3=(a1－h/H)2I1，x4=(a2－h/H)2I2，y=(d/D)2，I1和I2按照式(2)和式(3)表示。

具体计算时，每次只需要输入a1和a2的取值范围，如拐点a1的取值区间为a(1)=0<a1<b(1)=0.5，拐点a2的取值区间为a(2)=0.5<a2<b(2)=1 。根据双因素自动优选算法的计算结果，如果 a2不等于取值区间的左边界点0.5，就结束计算；否则，重新给出 a1和a2的取值区间，即把 a1的试验区间缩小，a2的试验区间增大，直到 a2不落在左边界点上为止。

4)模型评价及检验指标本文以珍贵树种为研究对象，数据基于砍倒对象木调查得到，即数据是通过破坏性调查得到的，因此总观测数据较少。本文选用10阶交错检验法(10-fold cross-validation)对每个树种的干形曲线进行构建和检验，即把所有试验数据随机分成10组，按顺序每次剔除1组，利用剩余的9组进行建模并对所剔除的组进行检验，依次循环计算10阶。

首先，分别采用OLS和TS法将全部试验数据计算基础模型(1)得到模型的参数估计值，采用决定系数(R2)、残差平方和(RSS)对模型进行初步分析；然后分别采用OLS和TS法，根据交错检验法计算出的结果，利用平均残差(e)、残差方差(σ2)和均方误差(δ)对基础模型(1)进行分析和比较，最终确定一种预测效果最好的方法用于分段削度方程参数估计；最后确定珍贵树种格木、红椎和柚木的最佳削度方程。检验指标计算公式如下：

${R^2} = 1 - ({\sum {({y_i} - {{\hat y}_i})} ^2}/\sum {({y_i} - {{\sum {y/N)} }^2}} $ (7)

$ {\rm{RSS}} = {\sum {({y_i} - {{\hat y}_i})} ^2};$ (8)

${\rm{\bar e}} = \sum {({y_i} - {{\hat y}_i})} /N $ (9)

$ {\sigma ^2} = {\sum {({y_i} - {{\hat y}_i})} ^2}/(N - 1)$ (10)

$ \delta = \sqrt {{{{\rm{\bar e}}}^2} + {\sigma ^2}} \;。$ (11)

式中： yi为实际测量值； i为模型预测值；N为总观测数。本文所有计算均在ForStat统计软件上实现(唐守正等，2009)。

2 结果与讨论 2.1 参数估计结果

分别采用OLS和TS法，全部试验数据拟合模型(1)拟合的参数估计值见表 2。

表 2 格木、红椎和柚木削度方程参数估计值 Tab.2 Parameter estimates for taper model of Erythrophleum fordii，Castanopsis hystrix and Tectona grandis

由表 2可知，对于格木，采用OLS和TS法拟合得到的参数估计结果相差不大，红椎和柚木也是这样的情况，而且估计参数 b1，b2，b3，b4和拐点参数 a1，a2的估计值都很接近，说明对于分段削度模型(1)无论OLS法还是TS法拟合的参数估计结果都相近。

2.2 模型评价及检验

格木、红椎和柚木3个珍贵树种全部试验数据拟合模型(1)拟合统计量和对模型(1)的交叉检验指标计算结果见表 3。

表 3 格木、红椎和柚木对应模型(1)的拟合统计量和10阶交叉检验指标 Tab.3 Fit statistics and evaluation indexes for models (1) using the 10-fold cross-validation of Erythrophleum fordii，Castanopsis hystrix and Tectona grandis

由表 3可知，采用OLS和TS法拟合得到的统计量，格木、红椎和柚木3个珍贵树种都满足拟合精度高达95%以上；格木、红椎和柚木也满足R2，RSS精度一致的结果，说明对于分段削度模型(1)无论OLS法还是TS法拟合的精度都非常高。

对于每个树种，OLS和TS 2种方法对分段削度模型的预测效果都很好。对于 e，格木削度方程使用OLS估计方法最小，而红椎和柚木则是使用TS法最小，但是OLS和TS法对应的 e差距不大；对于 σ2，各树种都满足TS法对应的 σ2最小，即TS法拟合分段削度模型(1)时，σ2最小；对于 δ，各树种都满足TS法对应δ最小。总体而言，利用TS法拟合分段削度模型(1)效果最好。

从表 3中还可知，不同树种对应的模型精度存在一定差异，但在统计水平上差异并不显著，主要表现在：对于格木树种，TS与OLS法拟合结果相比，σ2减小了0.57%，δ减小了0.25%；而对于红椎树种，TS与OLS法拟合结果相比，σ2减小了8.34%，δ减小了4.82%；对于柚木树种，TS与OLS法拟合结果相比，σ2减小了5.03%，δ减小了2.7%。进一步说明模型(1)2种拟合方法对于各树种干形曲线的预估效果较好。由于满足不同树种，采用TS模型(1)的预测精度最高，因此选择TS法拟合模型(1)效果最好。

格木、红椎和柚木3个珍贵树种对应模型(1)采用OLS和TS法交叉检验估计树干直径的残差分布如图 3所示。由图 3可知，格木、红椎和柚木3个树种TS法拟合的估计树干直径的残差分布图较集中，而OLS法拟合的残差分布图较分散，但是二者的差异较小，说明OLS和TS法拟合分段削度模型(1)效果都很好，但是TS法拟合分段削度模型(1)最好。

图 3 格木、红椎和柚木对应模型(1)估计树干直径的残差分布 Fig. 3 Residual distribution of estimated stem diameter for the models(1) of Erythrophleum fordii，Castanopsis hystrix and Tectona grandis

另外，参数拟合过程分析中，TS法每次只需输入拐点参数的范围，基本一次就能拟合出结果，而且拟合结果较稳定，效率高；而OLS法需要多次反复输入拐点参数的初始值，因为有时拐点参数 a1或a2的值出现负数，有时a1或a2的值大于1，直至找到最佳拟合效果，如果用双因素优选法计算出参数拐点估计值作为OLS预估拐点参数的初始值，很容易达到收敛，因此TS法拟合分度削度模型(1)最优。

2.3 干形曲线预测比较

把相对树高 h/H在(0，1)区间内按照0.001步长分成1 000点，把格木、红椎和柚木3个树种参数拟合结果(表 2)代入模型(1)，经计算得到OLS和TS法拟合3个树种相对树高处对应的相对直径，并画出其相对树高与相对直径的关系图(图 4)。

图 4 基于OLS和TS的3个树种对应的 h/H与d/D 关系 Fig. 4 The relationship with h/H and d/D of Erythrophleum fordii,Castanopsis hystrix and Tectona grandis based on the OLS and TS

由图 4可知，用OLS和TS法拟合的结果，对树干曲线预测效果相似，差异很小，看不出显著差异。采用OLS和TS法拟合干形模型预测结果是h/H在(0，0.03)区间时，柚木d/D最大，格木和红椎差异不大，几乎相同；h/H在(0.03，0.7)区间时，红椎d/D最大，其次是格木，最小是柚木，即红椎干形最粗；h/H在(0.7，0.8)区间时，格木、红椎和柚木3个树种的d/D几乎相同；当相对树高h/H在0.8以上时，红椎d/D最小，而格木和柚木的直径几乎相同。说明随着相对树高增加，柚木干形变化最大，红椎干形变化最小，格木干形介于二者之间；当相对树高在0.8以上时，红椎干形变化最大，格木和柚木几乎相同。

3 结 论

本文对分段削度方程分别采用传统最小二乘法和双因素自动优选算法进行拟合比较，结果表明，考虑决定系数、剩余残差平方和、平均残差、残差方差和均方误差等指标时，传统最小二乘法和双因素自动优选算法对模型(1)拟合精度都很高；而考虑残差方差(σ2)和均方误差(δ)统计量指标时，双因素自动优选算法的精度较高，而且在参数拟合过程中，双因素自动优选算法每次只需输入拐点参数的范围，基本一次就能拟合出结果，而且拟合结果较稳定；而传统最小二乘法需要多次反复输入拐点参数的初始值，直至找到最佳拟合效果，如果用双因素自动优选算法计算出参数拐点估计值作为传统最小二乘法预估拐点参数的初始值，很容易达到收敛。因此考虑拟合精度和计算效率2个方面，采用双因素自动优选算法拟合分段削度模型(1)最佳。

采用传统最小二乘法和双因素自动优选算法对模型(1)参数的拟合结果，分别预测了3个珍贵树种的干形变化趋势，从定量角度分析可知，根据2种方法拟合的参数结果预测干形变化趋势相同。即相对树高在(0，0.8)时，柚木干形变化最大，红椎干形变化最小，格木干形介于二者之间，即此区间柚木削度最大，其次是格木，红椎的削度最小；当相对树高在0.8以上时，红椎干形变化最大，格木和柚木干形变化几乎相同，即此区间红椎削度大，格木和柚木的削度几乎相同。

本文以珍贵树种干形曲线模型为例，重点解决了采用双因素自动优选算法拟合结构简单的分段削度方程效果最优，对于比较复杂的干形模型，是否有更好的方法来拟合其干形曲线，还需要进一步研究。本文初步对热带珍贵树种干形曲线变化趋势进行了定量分析，关于珍贵树种活立木材种及价值预估具体实现还需进一步研究。

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